损伤力学将疲劳过程中的裂纹萌生视为一个渐进损伤的过程[5]。认为材料在交变载荷下，在微观层次上出现微缺陷，这些微缺陷的发展导致了局部宏观力学性能的变化。在微缺陷生长到一定程度后，此处便出现了宏观裂纹。损伤力学方法用热力学方法描述此不可逆的过程，通过定义损伤度场来刻画局部微缺陷的危险程度，并推导损伤演化方程表征其演化规律[6-7]。
损伤演化方程通常是描述损伤度累积速率的函数形式，其中损伤参数是代表材料损伤性能特征的材料参数。一般地，损伤演化参数多于一个，即会有2个或者更多的损伤演化参数，这些参数大多数都是通过实验决定。最常用的方法是通过S-N曲线决定参数，这些参数无法直接获得，而是采用参数拟合的方式进行估算，多参数拟合的方法计算量大，并且过程较为复杂，为结果带来一定的不确定性[8-14]。
本文研究目的是提出一种损伤演化方程参数确定的新方法，推导出充分利用实验数据，减少同时拟合参数个数，逐一确定损伤演化参数。
1 损伤演化方程 首先，根据损伤力学理论[5, 8]，对于各向同性金属材料，定义损伤度D为
 | (1) |
式中：E为材料的弹性模量；ED为材料损伤后微缺陷造成的有损弹性模量。显然损伤度D的取值范围为0~1。当D=0时，材料无损；当D=1时，材料局部失去承载能力，产生宏观裂纹。
材料含损伤的本构方程可以表示为
 | (2) |
式中：εij为应变分量；σkl为应力分量；Cijkl为四阶柔度张量。
损伤驱动力Y可定义为[8]
 | (3) |
式中：ρ为材料密度；e为应变能密度。
此时，损伤演化方程可以表示为[9]
 |
式中：N为交变载荷循环次数；Yth为损伤驱动力门槛值；YM为相应于载荷峰值的损伤驱动力；Ym为载荷谷值的损伤驱动力；α和p为待定的材料常数。
特别地，对于单轴加载情况，由式(3)知：
 |
式中：σth为损伤应力门槛值；σmax为载荷应力峰值；σmin为载荷应力谷值。当Yth＞Ym时，损伤演化方程简化为
 | (4) |
代入单轴加载损伤驱动力表达式得
 | (5) |
一般通过式(5)的积分形式建立载荷与寿命的关系。然后利用标准疲劳实验数据对α和p这2个参数进行最小二乘法同时拟合，这种“多参数直接拟合”计算量大，对于误差十分敏感，给疲劳问题的计算带来了不必要的麻烦。
2 参数确定新方法 2.1 损伤参数p的确定 对式(5)进行积分得
 | (6) |
式(6)等号左边取D=0和D=1为积分上下限定积分可得
 | (7) |
观察式(7)右边非常数项，其乘积为一常量，当最大应力σmax产生微小增量Δσmax时，相应的循环次数N也将产生相应的微小负增量ΔN，即
 | (8) |
泰勒展开式(8)右边项，消去高阶小量
 | (9) |
整理式(9)并取极限可得
 | (10) |
 | (11) |
式(10)和式(11)中仅有一个未知材料损伤参数p，令对应的损伤度为1，式(10)即为S-N曲线上一点(σmax，N)的斜率，损伤参数p即可基于实验的S-N曲线通过式(10)确定。
基于材料疲劳寿命的分散性和实验误差，可在S-N曲线上取多组中值疲劳实验数据点(σmaxi，Ni)，对式(10)两边取对数并整理后得
 | (12) |
进一步，定义参数拟合均方差函数为
 | (13) |
一般认为损伤参数p为材质参数，与载荷无关，故对于特定S-N曲线，p为常数。因此，p的取值应使其拟合均方差取得极小值，即
 | (14) |
至此，综合式(10)~式(14)可计算出p值，从而实现损伤参数的单一确定。
2.2 损伤参数α的确定 参看式(5)，假设材料初始无损伤，当材料产生宏观裂纹时有
 |
假定疲劳实验数据中，同一应力下疲劳寿命N0最长的实验点对应于无初始损伤的情况，则有
 | (15) |
由式(15)可确定损伤参数α。
参照2.1节做法，为提高参数确定的准确性，可在S-N曲线上取多组距中值疲劳寿命最远的实验点N0i(对应于无初始损伤的情况)，对式(15)两边取对数并整理后有
 | (16) |
定义参数拟合均方差函数为
 | (17) |
令参数拟合均方差取极小值，即
 | (18) |
至此，综合式(15)~式(18)可计算出α值，从而实现了损伤参数的单一确定。
2.3 损伤参数D0的确定 如2.2节所述，在应用成组法确定材料疲劳的S-N曲线的实验中，可以假定同一应力下疲劳寿命N0最长的实验点对应于材料无初始损伤的情况。
当初始损伤度D0≠ 0时，对式(5)积分有
 | (19) |
在2.1节和2.2节中已经确定损伤参数α和p的前提下，利用式(19)可基于疲劳实验的S-N曲线确定材料的初始损伤度D0。
与2.1节同理，基于材料疲劳寿命的分散性和实验误差，在同样的疲劳寿命置信度下，在S-N曲线上取多组这样对应于初始损伤度D0的实验数据点(σmaxi，Ni)，遵循前述的处理方法，对式(19)两边取对数有
 | (20) |
定义参数拟合均方差函数为
 | (21) |
令参数拟合均方差取极小值，即
 | (22) |
至此，综合式(19)~式(22)可计算在建立材料疲劳的S-N曲线的实验中，具有同样置信度的初始损伤D0。
3 应用举例 本节举例说明第2节参数拟合方法的应用，选取航空工程常用的铝合金材料LC9标准板件的疲劳实验数据[15]拟合损伤参数。
超硬铝合金LC9板材标准疲劳实验的几何外形和尺寸如图 1所示，材料热处理方法为CGS1，在室温下沿轴向施加循环载荷，加载频率为160 Hz，在应力集中系数Kt分别为1、3和5时的疲劳实验数据如表 1所示。
 |
| 图 1 标准试样示意图 Fig. 1 Schematic diagram of standard specimen |
| 图选项 |
表 1 LC9CgSi疲劳实验数据 Table 1 Fatigue test data of LC9CgSi
| Kt=1 | Kt=3 | Kt=5 | |||||
| σn/MPa | lg N | σn/MPa | lg N | σn/MPa | lg N | ||
| 270 | 4.996 4 | 147 | 4.733 5 | 98 | 4.707 0 | ||
| 221 | 5.345 6 | 98 | 5.314 1 | 78 | 5.074 4 | ||
| 196 | 5.449 2 | 88 | 5.664 5 | 67 | 5.305 7 | ||
| 156 | 5.916 7 | 76 | 5.969 8 | 60 | 5.317 8 | ||
| 130 | 6.445 8 | 70 | 5.994 1 | 57 | 5.527 3 | ||
表选项
根据表 1数据拟合S-N曲线，然后根据上述单一损伤参数确定方法分别计算p和α，所得结果如表 2所示。
表 2 参数拟合结果 Table 2 Parameter fitting results
| Kt | p | α |
| 1 | 1.021 | 2.505 67×10-5 |
| 3 | 1.112 3 | 4.304 6×10-4 |
| 5 | 0.389 9 | 2.867×10-4 |
表选项
分别将表 2中3套参数代入损伤演化方程式(15)，并假设初始损伤为零。拟合曲线如图 2所示，可见拟合效果良好。
 |
| 图 2 实验点与拟合曲线 Fig. 2 Test point and fitting curve |
| 图选项 |
4 结论 金属材料虽然各方面的性能不尽相同，但就疲劳问题而言，损伤演化的规律性有着很强的一致性，即损伤演化可用损伤驱动力的指数函数表示。因此，常规的多参数拟合也具有较好的适用性，但是，参数越多拟合结果的不确定性就越强，可能由此造成损伤演化方程对损伤描述的偏离。一般应用中，多参数拟合是最常用的方式。
1) 本文单一损伤参数确定法旨在充分利用实验(现象/曲线)的特征，在理论框架内建立损伤参数的物理含义，不仅确定参数的方法简明，拟合的计算量小，适用性更宽泛，同时可以准确地反映金属构件的疲劳性能。
2) 本文分别基于典型结构材料的标准件(棒件/板件)疲劳实验结果，进行了损伤参数的单一确定，与实验结果相比，取得了良好的一致性，也证明了本文方法的合理性和适用性。
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