旋转弹在飞行过程中绕自身纵轴连续滚转，在无控条件下可有效降低气动不对称、结构不对称和推力偏心等扰动因素所带来的弹道散布，提高落点精度，在制导控制条件下可省掉滚转控制回路，简化控制系统组成，因而旋转体制为众多弹箭类武器系统所采用。但是，弹体的旋转也使旋转弹在空气动力学特性、飞行力学特性、控制理论与方法等方面明显有别于非旋转弹，并带来一些特殊问题，如马格努斯效应、陀螺效应等，使得旋转弹在俯仰和偏航方向的运动存在交叉耦合作用^[1]。在旋转弹控制系统设计中，需要考虑各种耦合因素，不仅包括以马格努斯效应为表现形式的气动交联、以陀螺效应为表现形式的惯性交联，而且包括舵机系统延迟引起的控制交联。在复杂的飞行环境下弹体自身会受到各种不确定性因素的干扰，这都给旋转弹控制系统设计带来了较大挑战^[2-3]。
相关****在旋转弹控制系统设计领域开展了较为深入研究，并取得了一定的研究成果。文献[4-5]分析了双通道控制旋转弹的各种耦合特性，并采用前馈补偿解耦方法实现了旋转弹基于过载驾驶仪的静态解耦控制。文献[6]采取对角占优解耦控制方法设计了弹体动力学环节以及执行机构动力学环节的解耦控制器。上述中基于前馈补偿解耦和对角占优解耦方法需要对模型有较为精确的认识，而且所设计的补偿器并不能确保系统在全频域段具有较好的解耦效果，从而****将现代控制系统设计方法应用于旋转弹控制系统设计。文献[7]采用动态逆方法进行姿态控制器设计，该方法可有效处理动力学中的非线性因素。文献[8-10]采用鲁棒H_∞控制方法进行旋转弹控制器设计，具有良好的鲁棒性和自适应能力。由于滚动时域优化(RHO)方法，又被称为模型预测控制，对模型精度要求不高，且具有较好的解耦控制能力^[11]，其被****应用于导弹控制领域^[12-13]，并取得了较好的控制效果。本文在文献[11]的基础上，提出一种基于指令滤波器的RHO控制方法，并将其应用于旋转弹解耦控制，在不同的弹体旋转速度下取得了较好的解耦控制效果，确保了飞行指令的稳定跟踪。
1 旋转弹动力学模型 由于旋转弹在飞行过程中以一定角速度绕其纵轴连续滚转，为了便于分析，引入准弹体坐标系，建立旋转弹动力学模型。准弹体坐标系中旋转弹的质心运动动力学方程组和导弹绕质心转动的动力学方程组分别为^[14]

(1)

(2)

式中：m为旋转弹质量；g为重力加速度；V为飞行速度；为旋转速度；D为弹体直径；P为推力；X为阻力；Y为升力；Z为侧向力；Y_m为沿着升力方向的马格努斯力；Z_m为沿着侧向力方向的马格努斯力；α为迎角；β为侧滑角；γ_V^*为速度准倾斜角；θ为弹道倾角；ψ_V为弹道偏角；ω_x、ω_y、ω_z为旋转弹转动角速度；J_x、J_y、J_z为旋转弹转动惯量；M_x^σ_x为滚转力矩对尾翼安装角的偏导数；M_x^ω_x为滚转力矩对弹体绕纵轴旋转角速度的偏导数；M_y^β为偏航力矩对侧滑角β的一阶偏导数；M_y^σ_y为偏航力矩对偏航舵偏角σ_y的一阶偏导数；M_y^ω_y为偏航力矩对弹体转动角速度ω_y的一阶偏导数；M_y"为偏航力矩对弹体无因次旋转角速度和迎角α的二阶偏导数；M_z^α为俯仰力矩对迎角α的一阶偏导数；M_z^σ_z为俯仰力矩对俯仰舵偏角σ_z的一阶偏导数；M_z^ω_z为俯仰力矩对弹体转动角速度ω_z的一阶偏导数；M_z"为俯仰力矩对弹体无因次旋转角速度和侧滑角β的二阶偏导数。
为了简化控制系统设计，需要对弹体动力学方程组(1)和(2)进行简化，不失一般性，作如下假设：
1) 假设在一小段飞行过程中，弹体的速度不变，弹体的转速不变。
2) 假设在控制系统设计的相关研究中，忽略重力作用。
3) 假设迎角α、侧滑角β、偏航角ψ、弹道偏角ψ_V、偏航角微分和俯仰角微分为小量，它们之间的乘积为零。
4) 假设控制舵产生的升力和弹体受到的总升力相比是小量。
当重点考虑弹体短周期运动时，可假定速度的方向不变，而只考虑弹轴的摆动运动，即假定弹道倾角θ和弹道偏角ψ_V在弹体运动短周期内基本保持不变，可近似为零，并根据小角度假设条件，有如下近似关系式成立^[1]：

(3)

(4)

将式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)整理化简后可得如下所示旋转弹动力学模型：

(5)

对于轴对称弹体，有J_y=J_z，M_z^α=M_y^β，M_z"=M_y"，M_z^ω_z=M_y^ω_y，M_z^σ_z=M_y^σ_y。
令法向加速度a_y、侧向加速度a_z为系统输出，根据法向加速度和侧向加速度的定义有

(6)

式中：q为动压；S为机翼参考面积；c_y^α为升力系数对迎角α的导数；c_ym"为升力系数对弹体无因次旋转角速度和侧滑角β的二阶偏导数；c_zm"为侧力系数对弹体无因次旋转角速度和迎角α的二阶偏导数；c_z^β为侧力系数对侧滑角β的导数。
根据式(3)，a_y和a_z可由式(7)近似得到

(7)

考虑建模误差和外界干扰，将式(5)和式(7)写成如下状态空间形式：

(8)

式中：为旋转弹状态向量；y为旋转弹测量输出；σ=[σ_z σ_y]^T为控制输入；b₀为模型不确定项；A、B、C的具体表达式为



2 旋转条件下舵机系统动力学模型 舵机系统的指令执行框图如图 1所示。

图 1 舵机系统的指令执行框图 Fig. 1 Command execution block diagram of servo system

图选项

弹体的控制指令σ_cy、σ_cz形成于非旋转的准弹体坐标系下，根据传感器测量得到此时弹体相对于准弹体坐标系的滚转角γ_d，将σ_cz、σ_cy进行分解，得到弹体坐标系下的控制指令σ_c1、σ_c2，σ_c1、σ_c2经舵机驱动舵面偏转，从而得到弹体坐标系下舵面偏转角σ₁、σ₂和控制力矩，最后再将σ₁、σ₂和控制力矩合成到准弹体坐标系下的舵机响应σ_z、σ_y和控制力矩。
舵机响应传递函数为

(9)

式中：k_s为舵机系统增益；T_s为舵机系统时间常数；μ_s为舵机系统阻尼。
根据图 1所示的指令执行框图和舵机响应传递函数，可得舵机系统的传递函数矩阵为^[1]

(10)

式中：τ为从滚转角γ的测量到控制指令的生成并分解输入到实际舵机系统所需的时间；G_s(s)和G_sco(s)分别为前向通道传递函数和耦合通道传递函数，其表达式分别为

可以看出，旋转弹旋转导致控制通道出现耦合，随着转速的提高，前向通道传递函数G_s(s)的增益将减小，耦合通道传递函数G_sco(s)的增益将增大，控制通道耦合加剧。
当忽略转速变化且仅考虑舵机系统在常值指令输入下的稳态输出时，则准弹体系中舵机系统的动力学模型可简化为

(11)

式中：σ_c=[σ_cz σ_cy]^T为准弹体坐标系中控制指令；k_r表征了舵机系统由于弹体滚转出现的幅值衰减特性；为舵机系统总延迟角，γ_c为由于舵机响应滞后造成的动态相位滞后角度。k_r、γ_c的表达式如下所示，具体推导过程见文献[1]。

将式(11)代入式(8)可得考虑舵机系统动态特性的旋转弹动力学模型

(12)

式中：B_c表达式为

3 解耦控制器设计 采用以下指令滤波器^[15]得到加速度指令信号：

(13)

式中：a_yc和a_zc分别为法向加速度指令和侧向加速度指令；a_yc0和a_zc0分别为法向加速度指令滤波器和侧向加速度指令滤波器的输入信号；ξ_ay和ξ_az分别为法向加速度指令滤波器和侧向加速度指令滤波器的阻尼；ω_ay和ω_az分别为法向加速度指令滤波器和侧向加速度指令滤波器的自然频率。
将指令滤波器式(13)写成状态空间的形式

(14)

式中：指令滤波器状态向量；指令滤波器输出y_r=[a_yc a_zc]^T；指令滤波器输入r_c0=[a_yc0 a_zc0]^T；指令滤波器状态矩阵A_r、控制矩阵B_r、输出矩阵C_r的表达式为



RHO优化控制的性能指标如下所示^[16]：

(15)

式中：t_f和t₀分别为区间的上界和下界；Q_p和Q_I分别为跟踪误差和跟踪误差积分的加权阵；R_r为控制量的加权阵；y_I为积分误差，可由下式得到

(16)

综合旋转弹线性状态方程、指令滤波器状态方程和积分误差方程得到增广状态方程为

(17)

将式(17)写成对应的如下形式：

(18)

式中:A_R、B_R、b_R、b表达式分别为


基于增广状态方程式(18)将性能指标式(15)重新写成

(19)

式中:

对控制量进行设计，先构造如下Hamilton函数^[17]：

(20)

式中:λ_R为时变拉格朗日乘子向量。
σ_c使得Hamilton函数值最小的必要条件为?H/?σ_c=0，有

(21)

由于

(22)

式中：R_r为正定矩阵；H为σ_c的二次型，则满足式(21)的σ_c可使H值最小。求式(21)的解为

(23)

将时变拉格朗日乘子向量λ_R设计成状态x_R的线性组合，有

(24)

式中：K_R和k_R为参数变量。
对于时变拉格朗日乘子向量λ_R有如下等式成立^[18]：

(25)

整理式(25)可得

(26)

将式(24)两边对时间t求导得

(27)

将式(23)代入式(27)得

(28)

根据式(26)和式(28)得

(28)

整理式(29)得

(30)

由式(30)对于任意的状态向量x_R都成立，则可以得到如下2个黎卡提微分方程：

(31)

(32)

通过求解式(31)和式(32)所示的黎卡提微分方程得到参数变量K_R和k_R。由于式(32)中模型不确定项b未知，且RHO方法对模型精度要求不高，可用以下黎卡提微分方程近似计算k_R^[11]:

(33)

由于K_R和k_R在有限时域区间[t₀ t_f]边界t_f可以稳定在任意一个常值上，认为K_R和k_R在时域边界t_f为0。在有限时域内对式(31)和式(33)进行反向积分，得到K_R(t₀)和k_R(t₀)^[11]。通过式(34)计算得到控制器增益

(34)

式中：F_R=[F_r F_x F_I]为控制器增益，F_r、F_x和F_I分别为对应指令滤波器状态、旋转弹状态和积分误差状态的控制器增益; f_R为针对建模误差的补偿控制器增益。
基于RHO控制器结构如图 2所示。通过式(35)计算得到控制量

(35)

图 2 基于RHO的控制系统结构 Fig. 2 Structure of control system based on RHO

图选项

4 仿真分析 为了验证控制系统的鲁棒性，在原有气动参数基础上加上15%作为建模误差，并在旋转弹准弹体坐标俯仰通道施加30 sin(2πt) N·m的干扰信号。指令滤波器参数为

RHO控制器设计参数为


旋转弹质量m=465 kg，机翼参考面积S=0.070 9 m²，弹体直径D=0.3 m，舵机系统增益k_s=10；舵机系统时间常数T_s=0.016；舵机系统阻尼μ_s=0.5；飞行速度V=1 200 m/s。
法向加速度指令为幅值100 m/s²的阶跃信号，侧向加速度指令为0，仿真结果如图 3所示，分别给出了转速在2、4、10 r/s条件下的响应曲线。图 3(a)、(b)分别为法向加速度和侧向加速度响应曲线，能够较好地跟踪指令信号。图 3(c)、(d)分别为准弹体坐标系下俯仰舵偏角和偏航舵偏角响应曲线，在指令跟踪段俯仰舵以小幅振荡调整来抑制外界干扰的影响，随着转速的提高，所需用来抑制侧向加速度的偏航舵偏角越大。从仿真结果可以看出，所设计的控制系统基本不受转速、建模误差和外界干扰的影响，具有较高的鲁棒性。

图 3 基于RHO控制器的仿真结果 Fig. 3 Simulation results based on RHO controller

图选项

5 结论 1) 旋转弹旋转导致控制通道出现耦合，随着转速的提高，舵机系统前向通道传递函数的增益将减小，舵机系统耦合通道传递函数的增益将增大，控制通道耦合加剧。
2) 在进行基于指令滤波器的RHO控制器设计中，将控制量设计为增广状态向量的线性组合。控制量中包含增广状态向量的部分充分利用反馈信息以达到保障基本稳定飞行的目的；截距控制量用来抑制建模误差和外界干扰的影响。
3) 本文设计的RHO控制器在滚动的时域区间内实时对控制参数进行更新，有效抑制了建模误差和外界干扰的影响，使得系统输出能够较好地跟踪指令信号，实现解耦控制。

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