热线风速仪是基于电桥平衡的电工原理和对流热交换的传热原理设计的一种传统的测量气流速度的仪器^[1]。应用热线风速仪不仅可以测量稳定流场，还可以研究随时间变化的脉动流场。其原理可简要描述如下：在气流中的物体若加热到高于气流的温度，则物体与气流之间会发生热交换，物体的热量损失速率取决于物体的几何形状、物理性质以及气流的特性；热线风速仪中的热线探针(发热电阻丝)作为气流中的发热物体，其参数变化与热量输入速率及热量损失速率有关，即电桥平衡过程中热线探针的响应反映的只是热线与流场之间的热交换关系，根据此关系可对流场的参数进行测量和求解^[2]。由于热线探针具有体积小、热惯性小、频响高等优点，广泛应用于稳定流场及脉动流场测量中。
由于每支热线探针的加工工艺不尽相同，导致其性能会有所差异，因此热线探针校准是热线风速仪使用前的关键环节。对于不可压缩流体，热线探针的响应关系式较为明确，其输出电压E仅与流体速度u有关，两者符合King公式^[3]。而对于可压缩流体，热线探针并没有明确的响应关系式，且热线输出电压E为流体速度u、密度ρ、总温T₀、热线温度T_w的复杂函数^[4]，为了将热线探针应用于可压缩流体中脉动量的测量，国内外****做了大量的工作。1950年，Kovasznay^[5]首次将热线探针应用于可压缩流体领域中，经研究发现，虽然在可压缩流体中热线校准关系式极为复杂，但在超声速流体中，恒温热线风速仪的响应仅与流体的质量流率ρu和总温T₀有关，因此提出了简化的以敏感度系数为基础的校准方法，并通过实验进行了验证。1983年，兰利研究中心的Stainback等^[6]提出了对速度、密度、总温敏感度系数进行精细化校准的方法，以极小步长更改状态参数，并对每个状态下的敏感度系数进行求解，但实际风洞试验中几乎不可能实现。1989年，兰利研究中心的Jones等^[7]提出了脉动量的量化求解方法，以热线响应关系式为基础，通过改变热线的过热比，构建齐次线性方程组，对脉动量进行求解，但求解过程中会遇到系数矩阵基本不可逆的问题。国内有关热线风速仪的研究多数集中在不可压缩流体领域。1997年，李超和黄淑娟^[8]对单丝热线进行了速度和方向响应特性的校准方法研究，通过分析热线探针的不同安装方式对其在不可压缩流体条件下输出响应的影响，得出了单丝热线探针的校准方法应根据其测量时的安装方式而定。2013年，姚惠元等^[9]提出了将B样条与递推最小二乘法相结合对不可压缩流体中恒温热线风速仪进行校准，经风洞试验数据验证，该方法具有所需样本点少、校正精度高、简单实用等优点。庄永基、盛森芝^[10-12]对传统热线风速仪的物理模型进行了改进，针对电路中存在分布电容和分布电感的问题，研究并提出了预移相型热线热膜流速计的构思，对其构建了完备的数学方程及物理模型，最终研制出了性能优良的新型热线风速仪。国内还有很多热线风速仪的应用研究，多数集中在不可压缩流体领域^[13-15]，并逐渐覆盖到内燃机内流、低温流动、高温高压流动等复杂流动状态中^[16-18]，但基本没有可压缩流体领域理论研究。
本文针对恒温热线风速仪，研究了对数校准数学模型，通过参数无量纲化和添加正向偏置对其进行改进，解决了校准系数求解过程中存在的矩阵奇异性问题及方程求解稳定性问题，在马赫数为0.3~0.5，引射压力为150~300 kPa范围内进行了单丝热线探针校准实验，并进行了速度平均不确定度分析，验证了该数学模型应用于可压缩流体热线探针校准的可行性。
1 对数校准数学模型 对于应用在可压缩流体中的恒温热线风速仪，其输出电压E为流体速度u、密度ρ、总温T₀的复杂函数：

(1)

考虑到热线校准与使用过程中，ρ无法直接测量，而ρ与u、p₀、T₀有关，总压p₀可直接用传感器测量，因此可用p₀代替ρ，而不影响数学模型中变量的封闭性，函数关系式如下：

(2)

由于多项式拟合的通用性，传统方法普遍采用多项式对热线探针校准实验数据进行拟合，三次多项式校准模型如下：

(3)

式中：a₀、a₁ⁱ、a₂^ij、a₃ⁱ分别为热线校准零次、一次、二次、三次校准系数；q₁、q₂、q₃分别代表热线输出电压E、流体总压p₀、总温T₀。
但多项式拟合存在一定的问题, 即无法确定多项式的最佳次数。当多项式次数选取过低时，会导致实验数据欠拟合，而多项式次数过高时，会导致实验数据过拟合，2种情况下拟合出的校准数学表达式均无法准确描绘热线的响应。
由于对数函数的性质lgxⁿ=nlg x，即对数函数对变量的指数变化不敏感，因此利用对数函数建立的数学模型可以很好地克服多项式拟合方法的不足。考虑如下对数校准数学模型^[19]：

(4)

式中：c₁~c₈为热线校准系数。
笔者在文献[19]中对式(4)中的数学模型的构建过程进行了详细分析，该数学模型将参数的次数转换成系数，可通过校准获得最优的参数次数，且数学模型中除了对数线性项外，还加入了对数二阶非线性交叉项以及对数三阶非线性交叉项，校准模型较为完备。
2 热线探针校准实验 2.1 热线探针校准风洞 热线探针校准实验在中国空气动力研究与发展中心的热线探针校准风洞中开展。该风洞采用直吹射流式布局，主要技术指标为：试验段喷管出口截面尺寸为?50 mm，马赫数调节范围为0.05~1.0，总压调节范围为0.05~0.25 MPa，总温调节范围为278~330 K，引射压力调节范围为100~350 kPa。热线探针校准风洞结构示意图如图 1所示。

图 1 热线探针校准风洞示意图 Fig. 1 Schematic of hot-wire probe calibration wind tunnel

图选项

2.2 热线探针校准实验方案 热线探针校准实验使用美国TSI公司的1201-20型一维热线探针，热丝材料为金属铂，抗氧化特性较好。
为验证对数校准数学模型的有效性，在上述热线探针校准风洞中进行校准实验，通过改变等步长控制马赫数Ma来改变流体速度u，改变等步长引射压力p_e来改变密度ρ，为保护热线探针不被高温气流及高速气流中的小颗粒损坏，目前仅在常温及较低马赫数可压缩流体中进行实验，校准实验数据见表 1。表中：p、T分别为试验段静压、静温。
表 1 热线探针校准实验数据 Table 1 Data of hot-wire probe calibration experiment

pe/kPa	E/V	u/(m·s-1)	p0/kPa	T0/K	Ma	p/kPa	T/K
151.727 8	1.989 6	103.563 0	89.971 59	296.064 2	0.302 14	84.431 88	290.755 8
149.573 2	2.090 3	119.608 2	92.018 07	295.797 0	0.350 92	84.537 09	288.687 0
149.767 1	2.172 6	136.852 8	94.236 87	295.526 7	0.402 18	84.330 02	286.266 2
150.004 1	2.232 5	152.453 6	96.477 22	295.220 4	0.448 39	84.035 05	283.808 4
150.068 8	2.291 6	169.145 6	99.148 41	295.028 3	0.499 72	83.610 31	280.994 1
199.366 3	1.940 0	102.981 2	82.302 70	294.631 5	0.301 66	77.267 83	289.365 2
200.185 0	2.030 4	119.696 6	84.047 59	294.588 1	0.349 86	77.197 20	287.548 9
200.982 3	2.106 0	136.410 3	86.201 77	294.599 5	0.401 29	77.168 82	285.407 6
200.422 1	2.163 9	153.318 0	88.851 41	294.599 5	0.449 60	77.225 88	283.152 4
199.905 0	2.232 4	169.811 9	91.651 86	294.626 9	0.502 26	77.238 02	280.476 1
249.827 3	1.864 0	102.435 2	73.793 69	294.689 7	0.300 05	69.306 57	289.477 4
250.883 1	1.956 9	119.159 4	75.452 41	294.646 2	0.350 00	69.339 75	287.599 8
250.366 0	2.041 6	136.317 2	77.649 67	294.553 7	0.401 37	69.522 38	285.359 5
250.796 9	2.111 3	153.334 8	79.911 57	294.466 9	0.452 31	69.465 87	282.892 0
248.776 1	2.174 1	168.775 2	82.668 91	294.385 9	0.501 19	69.740 60	280.303 8
300.094 5	1.786 9	104.509 8	65.306 21	294.492 1	0.306 63	61.183 71	289.056 4
299.275 7	1.868 9	119.193 9	67.180 35	294.401 1	0.350 80	61.730 54	287.329 4
299.124 9	1.956 9	137.085 8	69.420 70	294.350 4	0.403 32	62.081 20	285.076 1
300.137 5	2.026 4	153.597 3	71.510 25	294.301 1	0.452 81	62.137 74	282.708 0
299.469 6	2.080 9	169.643 2	73.987 56	294.257 7	0.501 27	62.298 86	280.177 7

表选项






2.3 对数校准数学模型拟合结果及存在的问题 实验数据利用式(4)进行拟合计算过程中采用多元线性回归技术，并以矩阵形式进行计算以提高计算效率，公式如下：

(5)

式中：U为对数化的速度矩阵；C为待求的校准系数矩阵；W为对数化的输出电压、流体总压、总温数据组成的矩阵。
根据矩阵的初等变换可求得校准系数矩阵：

(6)

为评估计算出的校准系数构成的数学模型对数据点的拟合程度，可计算拟合优度：

(7)

式中：u为实验实测速度；u为实验实测速度的平均值；?为根据校准数学模型计算出的速度估计值。拟合优度R²越接近1，说明数学模型对数据的拟合程度越好。
利用式(5)~式(7)对表 1中的实验数据进行拟合计算，得到校准系数如表 2所示。
表 2 数学模型校准系数 Table 2 Calibration coefficients of mathematical model

校准系数	数值
c1	4 071.75
c2	-1 938.92
c3	-1 650.43
c4	-2 108.53
c5	785.941
c6	1 008.88
c7	854.547
c8	-408.857

表选项






可计算得到拟合优度R²=0.997 61，拟合速度平均偏差，真实速度u与拟合速度偏差Δu对比数据如表 3所示。
表 3 真实速度与拟合速度偏差对比 Table 3 Comparison of real velocity and fitting velocity deviation

u/(m·s-1)	Δu/(m·s-1)
103.563 0	0.492 1
119.608 2	-0.443 8
136.852 8	-1.867 8
152.453 6	-2.591 2
169.145 6	-2.016 8
102.981 2	-0.574 5
119.696 6	0.632 2
136.410 3	-0.135 6
153.318 0	-5.104 6
169.811 9	-4.954 2
102.435 2	0.461 4
119.159 4	0.280 0
136.317 2	0.713 4
153.334 8	0.901 3
168.775 2	2.710 0
104.509 8	0.220 0
119.193 9	0.162 0
137.085 8	0.489 4
153.597 3	0.785 0
169.643 2	-2.030 6

表选项






由拟合优度和拟合速度平均偏差可知，对数校准数学模型对实验数据拟合程度较好。但是表 3中的拟合速度偏差数据显示，存在拟合速度偏差较大的点，即求解式(5)过程中存在误差较大的点；且表 2中的数学模型校准系数数据显示，校准系数矩阵C普遍在10²~10³量级，而U和W中的数据普遍在10⁰量级，量级明显不匹配。对矩阵W的奇异性进行分析：若方程系数矩阵W奇异性过强，导致方程的解C对速度矩阵U中微小扰动过于敏感，U的微小改变会造成C的很大改变，而存在量级差异的C与W相乘则会导致U中的速度偏差。
在2范数扰动的意义下，矩阵求逆和求解线性方程组时矩阵的奇异性可认为与病态性等价，可通过矩阵的条件数来判断矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度。通常来说，矩阵的条件数越大，其病态程度越严重，但实际上并没有严格的条件来判断究竟条件数大于多少矩阵是病态的，要根据具体的应用情况来判断^[20]。利用式(8)计算矩阵W的条件数来验证以上分析：

(8)

式中：cond(W)为W的条件数；||W||₂为W的2范数，即W的最大奇异值；||W^－1||₂为W^－1(当W为非方阵时用其广义逆代替，W^-1=W^T·(W·W^T)^-1)的2范数，即W的最小奇异值的倒数。
根据式(8)计算可得cond(W)=1.595×10⁸，W的条件数过大，因此C的稳定性会受到U的微小改变的影响。向速度U加入ε=1 m/s的小扰动来加以验证，则原方程式(5)变为

(9)

求解式(9)，得到加入速度小扰动后的数学模型校准系数，如表 4所示。
表 4 数学模型校准系数和相对变化量(加入速度小扰动) Table 4 Calibration coefficients of mathematical model and relative change amount (small velocity perturbation added)

校准系数	数值	相对变化量/%
c1	4 773.38	17.23
c2	-2 297.34	18.49
c3	-1 934.59	17.22
c4	-2 427.80	15.14
c5	931.113	18.47
c6	1 172.13	16.18
c7	983.852	15.13
c8	-474.975	16.17

表选项






对比表 2和表 4中的数据可知，在方程加入速度小扰动ε后，求解方程得到的校准系数矩阵C发生了较大的改变。可计算得到此时的拟合优度R²=0.379 74，拟合速度平均偏差。加入速度小扰动后的真实速度u+ε与拟合速度偏差Δu对比数据如表 5所示。
表 5 真实速度与拟合速度偏差对比(加入速度小扰动) Table 5 Comparison of real velocity and fitting velocity deviation (small velocity perturbation added)

u+ε/(m·s-1)	Δu/(m·s-1)
104.563 0	-25.46
120.608 2	-33.28
137.852 8	-43.04
153.453 6	-53.48
170.145 6	-63.85
103.981 2	-33.50
120.696 6	-39.39
137.410 3	-46.44
154.318 0	-57.26
170.811 9	-64.61
103.435 2	-27.77
120.159 4	-33.78
137.317 2	-41.07
154.334 8	-49.21
169.775 2	-56.78
105.509 8	-27.63
120.193 9	-33.90
138.085 8	-40.76
154.597 3	-47.71
170.643 2	-57.32

表选项






根据校准系数矩阵C(各系数相对变化量均大于15%)、拟合优度(远小于1)、拟合速度平均偏差可知，加入速度小扰动后，数学模型不仅校准系数求解不准确，对数据点的拟合程度也大大下降。因此，应用式(4)的对数校准数学模型对实验数据进行处理的方法存在问题。分析表 1中数据可知，流体总压、总温、速度与热线输出电压的真实数据量级存在差异，导致矩阵W性质差，奇异性过强，进而导致对实验数据拟合效果差。
3 对数校准数学模型的改进 3.1 参数无量纲化 根据以上分析，为了消除流体总压、总温、速度与热线输出电压之间的量级差异，改善系数矩阵W的性质，采用无量纲化的方法对各参数进行预处理，具体方法如下：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：p′_0i、T′_0i、u′_i、E′_i分别为流体总压、总温、速度、热线输出电压在各自区间范围内无量纲化后对应的变量，取值范围均为[0, 1]；n为热探针线校准实验数据点组数。
上述无量纲化方法虽然成功解决了各变量间量级存在差异的问题，但是由无量纲化公式可知，无量纲化变量代入式(4)中会遇到对数函数自变量为0的情况。为了避免以上情况发生，考虑在无量纲化变量基础上增加可变正向偏置s，每次校准过程中s均在(0, 1]之间选取，以保证拟合后的拟合优度R²最大的偏置为最佳正向偏置。
3.2 拟合结果分析 利用以上数据处理方法对表 1中的实验数据进行拟合计算，得到校准系数如表 6所示。
表 6 数学模型校准系数(参数无量纲化) Table 6 Calibration coefficients of mathematical model (parameters nondimensionalized)

校准系数	数值
c1	0.043 05
c2	0.307 9
c3	0.061 27
c4	0.404 8
c5	-0.200 2
c6	-0.739 0
c7	0.205 8
c8	-0.221 5

表选项






可计算得到拟合优度R²=0.998 95，拟合速度平均偏差，真实速度u与拟合速度偏差Δu对比数据如表 7所示。
表 7 真实速度与拟合速度偏差对比(参数无量纲化) Table 7 Comparison of real velocity and fitting velocity deviation (parameters nondimensionalized)

u/(m·s-1)	Δu/(m·s-1)
103.563 0	0.286 1
119.608 2	-0.260 6
136.852 8	-0.904 5
152.453 6	-0.998 3
169.145 6	1.589 7
102.981 2	0.142 7
119.696 6	-0.527 6
136.410 3	-1.106 7
153.318 0	-5.074 4
169.811 9	-1.972 7
102.435 2	0.352 9
119.159 4	-0.032 5
136.317 2	0.505 6
153.334 8	1.292 8
168.775 2	4.826 3
104.509 8	-0.442 3
119.193 9	0.180 5
137.085 8	1.038 1
153.597 3	1.746 4
169.643 2	-0.783 9

表选项






由拟合优度和拟合速度平均偏差可知，对数校准数学模型对实验数据拟合程度较好。表 7、表 3中的拟合速度偏差数据绝对值对比如图 2(a)所示。可知，速度偏差较大的点有所减少且速度偏差幅度有所降低，即无量纲化对数校准数学模型对实验数据的拟合精度略有提升。可求解此时矩阵W的条件数cond(W)=3.655×10²，远小于无量纲化处理前矩阵W的条件数，因此方程求解稳定性明显提升，且由于无量纲化方法选择适当，此时速度U将不受速度小扰动ε的影响，即方程的求解过程不受速度小扰动影响。表 7、表 5中的拟合速度偏差数据绝对值对比如图 2(b)所示。可知，无量纲化对数校准数学模型对实验数据的拟合稳定性有极大的提升。

图 2 拟合速度偏差对比 Fig. 2 Comparison of fitting velocity deviation

图选项

3.3 不确定度分析 在风洞试验中，流体速度u并不是直接测量量，而是由传感器测量出的总压p₀、静压p、总温T₀数据根据式(14)~式(16)计算得到的：

(14)

(15)

(16)

式中：k为气体比热比；R为气体常数。
可根据式(14)~式(16)分析由总压、静压、总温的测量不确定度导致的速度不确定度，与无量纲化拟合速度偏差数据进行对比，来验证无量纲化拟合方法的可靠性。由式(14)~式(16)顺序推导出的马赫数Ma不确定度、静温T不确定度、速度u不确定度分别由式(17)~式(19)计算得到：

(17)

(18)

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

(23)

综合分析式(17)~式(23)可知，随着流体总压增大、马赫数提高，马赫数不确定度U_Ma、静温不确定度U_T、速度不确定度U_u应有所减小。可根据表 1数据计算得到速度不确定度，如表 8所示。
表 8 真实速度与速度不确定度对比(参数无量纲化) Table 8 Comparison of real velocity and velocity uncertainty (parameters nondimensionalized)

u/(m·s-1)	Uu/(m·s-1)
103.563 0	3.652 0
119.608 2	3.137 2
136.852 8	2.756 6
152.453 6	2.496 2
169.145 6	2.261 4
102.981 2	3.979 6
119.696 6	3.457 8
136.410 3	3.014 0
153.318 0	2.716 2
169.811 9	2.430 8
102.435 2	4.459 6
119.159 4	3.827 6
136.317 2	3.339 8
153.334 8	2.981 4
168.775 2	2.683 0
104.509 8	4.936 6
119.193 9	4.280 0
137.085 8	3.724 2
153.597 3	3.329 0
169.643 2	3.015 6

表选项






对比分析表 7、表 8中的数据，无量纲化拟合速度偏差绝对值与速度不确定度对比如图 3所示。

图 3 无量纲化拟合速度偏差与速度不确定度对比 Fig. 3 Comparison of nondimensionalized fitting velocity deviation and velocity uncertainty

图选项

由图 3可知，在不同引射压力(流体密度)条件下，除去极少数偶然粗大误差点外，无量纲化拟合速度偏差均明显小于对应的速度不确定度，即应用无量纲化拟合方法计算得到的拟合速度可真实反映流体速度。可计算得到速度平均不确定度，而无量纲化拟合速度平均偏差，无量纲化拟合速度平均偏差明显小于速度平均不确定度，说明无量纲化对数校准数学模型对实验数据的拟合效果基本满足要求。
4 结论 热线探针校准是热线测速前必不可少的环节，本文通过研究对数校准数学模型并对其做出无量纲化改进，主要得到以下结论：
1) 对数校准数学模型能较好地对热线探针校准实验数据进行拟合，但求解校准系数稳定性差，容易受到速度小扰动的影响。
2) 无量纲化对数校准数学模型也能较好地对热线探针校准实验数据进行拟合，求解校准系数稳定性好，且不受速度小扰动的影响，拟合速度平均偏差明显小于流体速度平均不确定度，验证了无量纲化对数校准数学模型能够较为准确地对热线探针校准实验数据进行拟合。

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