防空相控阵雷达的时间资源分配高效，具有灵活、快速的波束捷变和波形自适应能力，可以同时承担搜索、确认、跟踪等多种任务，但在饱和时序下，其时间资源限制^[1]突出。因此，研究饱和时序下相控阵雷达的时间分配，对于充分发挥雷达性能有着重要意义。
相控阵雷达调度模块决定着雷达任务的时序安排，其可分为两大部分：任务优先级确定和调度策略选取。在任务优先级确定方面，典型的动态优先级方法有：截止期最早最优先(Earliest Deadline First, EDF)算法^[2]、价值密度最高最优先(Highest Value Density First, HVDF)算法^[3]等。但雷达任务的优先级仅由任务的某一个参数确定是不够的。文献[4-5]利用目标的单属性信息和任务的工作方式构造了线性加权网络，以对同种工作方式任务的优先级进行细分。文献[6-11]通过将任务截止期和工作方式2种因素映射到同一层面，提出了工作方式优先级加截止期(High Priority and Earliest Deadline First, HPEDF)和截止期加工作方式优先级(Earliest Deadline and High Priority First, EDHPF)的调度算法。文献[12-15]利用模糊逻辑构建了多因素下的任务优先级模型。在调度策略中，自适应的调度策略能够最大程度上发挥相控阵雷达的综合优势。文献[16-17]提出并研究了在自适应调度中加入时间窗的方法，可将雷达波束驻留的实际执行时刻在期望执行时刻的时间窗范围内前后移动，有效提升了任务调度的成功率。文献[9-11]利用脉冲交错技术，使得雷达接收回波的等待期被充分利用，提高了时间利用率。文献[18-19]提出了基于收益的调度算法，通过构建收益函数及约束条件，运用启发式方法进行求解。但上述方法均存在以下问题：一是未充分利用目标的先验信息；二是雷达任务仍属于人为划分工作方式优先级的范畴，由此来评定实现价值率的高低，受主观因素影响较大。
为此，本文综合考虑目标的威胁程度和任务自身的截止期因素，提出一种饱和时序下雷达任务优先级的动态确定方法。首先，利用目标先验信息建立非线性的目标威胁度模型，将目标威胁与任务优先等级相联系，以克服人为划分的影响。其次，构建适当的时间、能量和处理器约束条件，使雷达的工作环境更趋近于现实情况。再次，利用执行威胁率(TRE)的概念来替换已往实现价值率的指标，用以反映调度算法对重要任务的执行情况；在此基础上，通过设计动态优先级表，综合目标威胁度、驻留时间与截止期来确定任务最终优先级。最后，给出改进算法在资源约束下的具体调度流程，并进行仿真校验。
1 基本理论建模 1.1 目标威胁度模型 目标威胁评估属于专属研究领域，而且影响目标威胁度的因素众多，为简化起见，现主要考虑以下几点：目标类型威胁，目标的运动属性威胁，即目标与雷达距离、目标速度、目标航向和目标高度。考虑到多个目标属性因素对雷达威胁度生成的非线性变化，对目标威胁度进行如下量化计算。
1)定义目标径向距离威胁函数：

(1)

式中：R为目标与雷达的径向距离；R₁为雷达制导导弹杀伤远界；R₂为雷达最远探测距离；s为常系数。其中，s值越小，威胁函数曲线随距离增大下降越为缓慢。考虑到目标处于雷达最远探测距离之外时，威胁较小，一般取s≥0.5。式(1)表明，目标距雷达越近，威胁度越大，在临近导弹杀伤远界时，威胁度迅速增大。
2)考虑目标低速时威胁较小，当速度超出一定值时，威胁迅速上升，定义“S”型速度威胁函数：

(2)

式中：v为目标速度值；a为目标速度低于雷达跟踪下限时的威胁大小，可由专家确定；b为控制函数曲率的常系数，当取b>1时，速度威胁函数曲线基本呈阶梯状分布；c为控制曲线2个拐点的常系数，c值越大，曲线拐点对应的速度值越大。
3)定义目标指向雷达水平方向矢量与目标速度矢量之间的夹角为目标航向角θ。当θ=0°时，目标径直飞向我方，对雷达威胁最大；当θ=180°时，目标径直飞离我方，威胁度最小。则目标角度威胁函数^[20]为

(3)

式中：d为控制航向威胁函数的常系数。其中，d值越大，函数拐点对应θ值越小，曲线下降越剧烈。当d≥0.05时，曲线基本呈“L”型分布，故一般取d∈[0, 0.05)；θ∈[0°, 180°]。
4)考虑目标低空突防的威胁，定义高度威胁函数^[21]为

(4)

式中：h为目标高度；e为常系数，其值越大，函数减小越快，一般取e∈[0.01, 0.05]；H为临界高度，可由专家确定。
5)目标类型中考虑以下几种典型情况：战术导弹、战斗机、轰炸机、直升机和干扰机，定义目标类型威胁值为p_TY，可由专家确定。
基于上述函数，构造目标威胁度函数：

(5)

式中：λ_i为权重，且满足。
1.2 雷达任务模型 典型的相控阵雷达任务可分为4类：确认、跟踪、失跟处理和搜索。任务的请求顺序一般为：搜索-确认-跟踪(-失跟处理-跟踪维持)。跟踪任务可具体分为精跟、普跟和监视3种。在确认目标存在后，雷达将依据目标的威胁程度划分跟踪方式：目标威胁由高到低依次对应精跟、普跟和监视任务。第k个相控阵雷达任务模型可描述为

(6)

式中：P_k为任务类型；t_ak为任务到达时刻；t_xk为发射期持续时间；t_wk为等待期；t_rk为接收期持续时间；P_tk为任务执行完毕消耗功率；t_dwk为任务驻留时间；w_k为任务时间窗；t_dk为任务截止期；Δt_k为任务采样间隔；N_k为任务执行次数；在搜索、确认任务中，I_nk可视为由上级提供的空情信息，在跟踪任务中，I_nk为滤波算法预测所得的目标信息，失跟处理任务中，I_nk为上一次成功执行对该目标跟踪任务后所得到的目标信息。其中，驻留时间满足：

(7)

式中：t_dwk值由目标距离决定。截止期满足：

(8)

任务间请求时刻关系为

(9)

式中：t_{e (k-1)}为上一次任务成功执行时刻。
I_n可详细表示为

(10)

式中：T_Y为目标类型。
式(10)中变量均满足式(5)。
1.3 雷达任务约束 1)时间资源约束
雷达调度任务是以调度间隔(SI)为基础的。在一个调度间隔内，雷达要处理前一个调度间隔内的回波信号，同时要决定下一调度间隔内任务的执行情况^[8]。一个调度间隔内成功调度的N个任务必须满足：

(11)

式中：t_SI为调度间隔时长。若任务不满足执行要求，则会被延时执行或删除。
2)能量资源约束
许多调度算法^[4-8]忽略了能量的约束条件。实际中，由于散热性能的限制，雷达发射机必须实时满足暂态约束条件^[22]：

式中：P_τmax为雷达瞬时消耗功率上限；P_τ(t)为t时刻雷达消耗的功率，可具体表示为

(12)

式中：p(x)为雷达的功率函数；τ为回退参数，其表征了雷达的散热性能。在此，忽略接收期消耗能量。若令P_τ(t+t_c+t_x)=P_τmax，则可得到冷却时间t_c的表达式：

(13)

3)处理器资源约束
在相控阵雷达中，跟踪任务占用处理器资源最多，可采用跟踪通道矩阵X=(x_ij)作为限定条件：

(14)

式中：N_TY为跟踪任务类型数量；N_chi为第i类跟踪任务对应的跟踪通道数量；x_ij为跟踪通道中是否存在目标，用0、1表示；M_imax为第i类跟踪任务对应目标数量上限；M_max为总的跟踪目标上限。同时，跟踪通道矩阵中还应存有对应目标的最新信息。
2 改进算法描述 2.1 评估指标 综上所述，本文选取以下指标，用以评判调度算法性能：
1)时间利用率，即成功执行的所有任务所用时间与可用时间的比值，可表示为

(15)

式中：N_suc为成功调度任务总数；T_tot为总的可用时间。饱和时序下，时间资源限制更加突出，算法应充分利用有限时间资源对任务进行调度。因此，时间利用率越高，算法性能越佳。不妨设第i类任务的时间利用率为

(16)

式中：N_suci为成功调度的第i类任务总数。
2)执行威胁率。由于任务的重要性是随目标威胁程度而变化的，并不依赖于人为划分，本文引入执行威胁率的概念，用以代替原有的实现价值率^[8]。执行威胁率即为调度成功的任务所具有的目标威胁度总和与请求任务目标威胁度总和之比(在此默认调度成功的任务具有的目标威胁度与相应请求任务具有的目标威胁度相等)，用以反映调度算法对重要任务的调度性能，其表达式为

(17)

式中:N_tot为请求任务总数。
从式(17)可以看出，调度过程中，应优先考虑对高威胁目标的相应任务进行调度，因此，执行威胁率越高，算法性能越佳。
3)发现目标数目，它能够反映饱和时序情况下雷达的搜索性能。饱和时序下，时间资源限制突出，雷达发现目标数量越多，越能够从中选出威胁程度较大的目标进行跟踪，提升对高威胁目标的处理能力。
2.2 优先级规划 任务调度的基本原则为：①重要的任务优先调度；②紧急的任务优先调度。过载情况下，若仅考虑任务单属性的优先级确定方式，价值密度最高最优先算法性能最佳^[2]。本文将目标威胁度视做任务价值，通过设计二维动态优先级表，将目标威胁度与任务截止期映射到同一层面，即在一个调度间隔内，将所有请求任务分别按照目标威胁密度p_thdk(目标威胁度与任务驻留时长的比值)由大到小和截止期d_k由小到大进行排序，记第k个任务在2个序列中的位置分别为i、j。目标威胁密度可表示为

(18)

构建任务综合优先级函数：

(19)

式中：f为倾向威胁密度的加权系数；g为(j-2)/f向0取整。其中，p_k值越小，任务优先等级越高。为设计简单，一般取f为1~5。图 1(a)和图 1(b)分别给出了f=1与f=2时的优先级表设计方案。当取f→∞时，任务综合优先级主要由目标威胁密度确定。当目标威胁密度相同时，截止期越小，任务优先等级越高。

图 1 优先级表设计 Fig. 1 Design of priority table

图选项

通过动态二维优先级表，可以将雷达任务中包含的目标威胁度与任务本身的截止期相结合，来确定任务的优先等级。这不仅消除了二者量纲上的差异，而且保证了每一个任务对应优先级的唯一性^[23]。
2.3 调度策略 为对时间资源进行充分利用，借鉴时间指针调度算法^[6]的思想，在一个调度间隔内按综合优先级大小依次安排请求任务，在满足约束的条件下，使得任务间空闲时间最小。具体步骤如下。
步骤1??获取该调度间隔的初始参数：申请队列长度N_re，时间指针t_p, 初始功率P_t0，调度间隔结束时间t_end，令i=0。
步骤2 ??设申请任务队列中共有M个截止期小于t_p的任务，将它们删除，则i=i+M。
步骤3 ??从申请任务队列中取出最早可执行时间小于等于t_p的任务，计算它们的综合优先级，选出最大优先级的任务T_k。
步骤4 ??将任务T_k中目标与已跟踪目标进行威胁度排序，并验证是否满足约束条件。若满足，则送入执行链表，更新参数为t_p=t_p+t_dw，P_t0=[P_t0e^-t_x/τ+P_t(1-e^-t_x/τ)]e^{-(t_w+t_r)/τ}，更新跟踪矩阵X，并将任务T_k从申请队列中删除。若不满足，则计算冷却时间t_c，送入执行链表，更新参数为t_p=t_p+t_c+t_dw，P_t0=P_τmaxe^{-(t_w+t_r)/τ}，更新跟踪矩阵X。令i=i+1。
步骤5??当t_p≥t_end或i≥N_re时，转到步骤6；反之，转到步骤2。
步骤6??遍历剩余请求任务，若满足延时任务条件，则送入延时任务队列，更新参数t_ak=t_end，t_wk=t_wk-(t_end-t_ak)；反之，送入删除队列。
步骤7??调度间隔结束，得到执行链表、延时任务链表和删除链表，参数t_p和P_t0。
调度流程如图 2所示。

图 2 调度流程 Fig. 2 Flowchart of scheduling

图选项

3 仿真校验 3.1 参数设定 目标威胁模型中，取s=3；R₁=100 km；R₂=250 km；a=0.15；b=0.05；c=200；d=0.01；e=0.03；H=0.5 km，p_TY值和λ_i值分别依据专家经验和层次分析法得出。调度间隔取50 ms，能量约束模型中，取P_τmax=1.2 kW，τ=200；处理器约束中，取精跟目标上限为20批，普跟目标上限为30批。任务优先级规划中，取权系数f=2。仿真时长25 s (500个调度间隔)。目标数量50~150批，具有先验信息与无先验信息目标数目之比为1:4，随机选取。每增加10批，进行100次仿真实验。
仿真中，分别对比本文算法与传统算法：EDF算法^[2]、HPEDF算法^[4]，选取任务参数设置^[8-9]如表 1所示。
表 1 任务参数 Table 1 Parameters of tasks

任务	驻留参数 tx, tw, tr/ms	功率/kW	时间窗/ms	采样间隔/ms
确认	1, -, 5	5	50	150
精跟	0.5, -, 0.5	4	50	100~200
失跟处理	1, -, 5	5	100	-
普跟	0.5, -, 0.5	3	200	250~500
监视	0.5, -, 0.5	3	500	1 000
搜索	1, -, 5	5	-	10

表选项






雷达任务参数解释如下：①在传统算法中，由确认到搜索，工作方式优先级为6-1，重要性由大到小排列。②对某批目标的跟踪次数≤2次时，若跟踪任务被删除，则不产生失跟处理请求；当雷达对某批目标的稳定跟踪任务(跟踪次数>3次)的数据率不满足相应要求时，则产生失跟处理请求。③设置搜索任务为常驻任务，依编排好的波位进行，在仿真开始后按更新率产生。
3.2 仿真结果及分析 仿真结果如图 3~图 5所示。

图 3 改进算法与传统算法调度序列对比 Fig. 3 Comparison of scheduling sequences between proposed and traditional algorithms

图选项

图 4 改进算法与传统算法各类任务时间利用率对比 Fig. 4 Comparison of time utilization ratio in different tasks between proposed and traditional algorithms

图选项

图 5 改进算法和传统算法性能对比 Fig. 5 Comparison of performance between proposed and traditional algorithms

图选项

图 3为某次仿真中12.00~12.20 s期间本文算法与传统算法的调度序列对比。图中每一个方框代表一个雷达驻留任务。从中可以看出，时序饱和情况下，不同算法对于任务优先级的判定不同：传统算法中，EDF算法选取任务截止期作为评判任务优先级的唯一标准，HPEDF算法将任务的重要性与紧迫性进行折中考虑，但2种算法均未考虑任务重要程度的可变性，因此，2种算法主要依据任务截止期的改变来改变任务的综合优先级。而改进算法根据目标威胁密度与截止期共同调度任务，将任务的重要性与紧迫性同时置于动态优先级中，因此可以调度更加重要和紧迫的任务。
图 4为本文算法与传统算法各类任务时间利用率对比。从中可以看出，改进算法和传统算法各类任务时间利用率均有不同，其中失跟处理和搜索任务差异最为明显。随着目标数目的增加，雷达时序逐渐饱和，调度器会优先对高优先级任务进行调度执行，延时或删除低优先级任务。结合图 3和图 4(f)可以看出，传统算法中，搜索任务固定于最低优先级，过载情况下将被最先删除，导致搜索任务时间利用率呈直线下降趋势；而改进算法中，在具有目标先验信息条件下，搜索任务具有动态优先级，甚至可以抢占跟踪任务，因此，搜索任务时间利用率呈缓慢下降趋势，维持了较好的搜索和发现性能。
雷达时序饱和后，继续增加目标数目会使失跟处理任务数量迅速增加。结合图 3和图 4(c)中可以看出，由于传统算法将失跟处理任务固定于第4工作方式优先级，在系统产生失跟处理请求时，大部分将得到调度。但过载情况下，失跟处理的调度执行意味着后续跟踪请求任务的增加，将会使系统负载进一步加大，进一步降低系统搜索能力。而改进算法依据前一次跟踪目标所得到的目标威胁程度进行优先级判定，将失跟处理置于动态优先级中。这样，既可以对原有低威胁度目标的失跟处理任务进行舍弃，避免后续的跟踪请求，以减轻雷达负载，又可以对新的低威胁目标的确认、跟踪任务进行抢占，以维持雷达对高威胁度目标的跟踪和对新目标的捕获性能。因此，改进算法中失跟处理任务的时间利用率低于传统算法。
图 5为本文算法与传统算法的性能对比。结合图 4(a)、图 4(b)、图 4(f)和图 5可以看出，由于改进算法赋予任务动态优先级，维持了较好的搜索性能，能够发现更多的目标(在150批目标的情况下，改进算法可以发现所有目标，HPEDF算法可以发现115批左右，而EDF算法仅能够发现105批左右)，且对新发现的高威胁目标转入精跟，因此，当目标数目>100批时，改进算法的确认和精跟任务时间利用率均超过了传统算法。在时间负载逐渐饱和与过载情况下，本文算法3种评估指标均优于HPEDF算法和EDF算法。相比于EDF算法，本文算法提高了时间利用率，搜索性能提高了43%，执行威胁率提高了52%。
4 结论 本文充分利用目标的先验信息，提出了基于目标威胁密度与截止期共同确定雷达任务优先级的调度算法。
1)构建目标威胁度模型的过程中，突出了多种目标属性对雷达威胁的非线性变化。
2)通过设计二维动态优先级表，赋予任务动态优先级，克服了人为划分任务重要性的影响；并给出了算法在资源约束条件下的调度流程。
3)提出执行威胁率这一性能评估指标，以显示调度算法对重要任务的调度情况。
4)与传统算法进行对比，仿真结果表明，本文算法相比于传统的截止期最早最优先算法，提高了时间利用率，搜索性能方面提高了43%，执行威胁率提高了52%。

参考文献

[1]	ZHANG B Y, LI S H, YAN W.An efficient scheduling method for phased array radars with limited time resources[C]//IET International Radar Conference 2009.Stevenage:Institution of Engineering and Technology, 2009:1-4.
[2]	JIMENEZ M I, DEL VAL L, VILLACORTA J J. Design of task scheduling process for a multifunction radar[J].IET Radar, Sonar and Navigation, 2012, 6(5): 341–347.DOI:10.1049/iet-rsn.2011.0309
[3]	BUTTAZZO G, SPURI M, SENSINI F.Value VS deadline scheduling in over-load conditions[C]//Proceedings of the 16th IEEE Real-Time Systems Symposium.Piscataway, NJ:IEEE Press, 1995:90-99.
[4]	卢建斌, 胡卫东, 郁文贤. 多功能相控阵雷达实时驻留的自适应调度算法[J].系统工程与电子技术, 2005, 27(12): 1981–1984.LU J B, HU W D, YU W X. Adaptive scheduling algorithm for real-time dwells in multifunction phased array radars[J].Systems Engineering and Electronics, 2005, 27(12): 1981–1984.(in Chinese)
[5]	赵宇, 李建勋, 曹兰英, 等. 基于二次规划的相控阵雷达任务自适应调度算法[J].系统工程与电子技术, 2012, 34(4): 698–703.ZHAO Y, LI J X, CAO L Y, et al. Adaptive scheduling algorithm based on quadratic programming for multifunction phased array radars[J].Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(4): 698–703.(in Chinese)
[6]	卢建斌, 胡卫东, 郁文贤. 多功能相控阵雷达实时任务调度研究[J].电子学报, 2006, 34(4): 732–736.LU J B, HU W D, YU W X. Research on real-time scheduling algorithm for multifunction phased array radar[J].Acta Electronica Sinica, 2006, 34(4): 732–736.(in Chinese)
[7]	LU J B, XIAO H, XI Z M, et al. Multifunction phased array radar resource management:Real-time scheduling algorithm[J].Journal of Computational Information Systems, 2011, 7(2): 385–393.
[8]	LU J B, XIAO H, XI Z M, et al. Phased array radar resource management:Task scheduling and performance evaluation[J].Journal of Computational Information Systems, 2013, 9(3): 1131–1138.
[9]	CHENG T, HE Z S, LI H Y. Adaptive dwell scheduling for digital array radar based on online pulse interleaving[J].Chinese Journal of Electronics, 2009, 18(3): 574–578.
[10]	程婷, 何子述, 李会勇. 一种数字阵列雷达自适应波束驻留调度算法[J].电子学报, 2009, 37(9): 2025–2029.CHENG T, HE Z S, LI H Y. An adaptive dwell scheduling algorithm for digital array radar[J].Acta Electronicasinica, 2009, 37(9): 2025–2029.(in Chinese)
[11]	CHENG T, HE Z S, TANG T. Novel radar dwell scheduling algorithm based on pulse interleaving[J].Journal of Systems Engineering and Electronics, 2009, 20(2): 247–253.
[12]	MADHUSUDHAN H S, KHALID NAZIM S A. A comparative study on different AI techniques towards performance evaluation in RRM (radar resource management)[J].International Journal of Advanced Research in Artificial Intelligence, 2012, 1(5): 11–15.
[13]	MIRANDA S L C, BAKER K, WOODBRIDGE K, et al. Fuzzy logic approach for prioritisation of radar tasks and sectors of surveillance in multifunction radar[J].IET Radar, Sonar and Navigation, 2007, 1(2): 131–141.DOI:10.1049/iet-rsn:20050106
[14]	MIRANDA S L C, BAKER K, WOODBRIDGE K, et al. Knowledge-based resource management for multifunction radar[J].IEEE Signal Processing Magazine, 2006, 66(1): 66–76.
[15]	MIRANDA S L C, BAKER K, WOODBRIDGE K, et al. Simulation methods for prioritizing tasks and sectors of surveillance in phased array radar[J].Journal of Simulation, 2005, 5(1-2): 18–25.
[16]	HUIZING A G, BLOEMEN A F.An efficient scheduling algorithm for a multifunction radar[C]//Proceedings of the IEEE International Symposium on Phased Array Systems and Technology.Piscataway, NJ:IEEE Press, 1996:359-364.
[17]	YING C L, WANG Y, HE J X.Study on time window of track tasks in multifunction phased array radar tasks scheduling[C]//IET International Radar Conference 2009.Stevenage:Institution of Engineering and Technology, 2009:20-22.
[18]	CHENG T, HE Z S, TANG T. Dwell scheduling algorithm for multifunction phased array radars based on the scheduling gain[J].Journal of Systems Engineering and Electronics, 2008, 19(3): 479–485.DOI:10.1016/S1004-4132(08)60110-3
[19]	CHEN J, TIAN Z, WANG L, et al. Adaptive simultaneous multi-beam dwell scheduling algorithm for multifunction phased array radars[J].Journal of Information and Computational Science, 2011, 8(14): 3051–3061.
[20]	严世华, 刘华, 涂同飞. 一种空中红外多目标威胁度排序方法[J].火力与指挥控制, 2014, 39(6): 22–25.YAN S H, LIU H, TU T F. A threat sequencing method for aerial infrared multi-target[J].Fire Control and Command Control, 2014, 39(6): 22–25.(in Chinese)
[21]	陈维义, 王少蕾, 周菲. 基于加权核主成分TOPSIS方法的舰艇防空威胁评估[J].海军工程大学学报, 2014, 26(1): 87–91.CHEN W Y, WANG S L, ZHOU F. Threat evaluation of air targets to ships in air defense based weighted KPCA-TOPSIS[J].Journal of Naval University of Engineering, 2014, 26(1): 87–91.(in Chinese)
[22]	GHOSH S, HANSEN J, RAJKUMAR R, et al.Integrated resource management and scheduling with multi-resource constraints[C]//Proceedings of the 25th IEEE International Real-Time Systems Symposium.Piscataway, NJ:IEEE Press, 2004, 12-22.
[23]	王永炎, 王强, 王宏安, 等. 基于优先级表的实时调度算法及其实现[J].软件学报, 2004, 15(3): 360–370.WANG Y Y, WANG Q, WANG H A, et al. A real-time scheduling algorithm based on priority table and its implementation[J].Journal of Software, 2004, 15(3): 360–370.(in Chinese)