杨冬梅, 李达
东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2021-01-14
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673100)。
作者简介：杨冬梅(1966-), 女, 辽宁沈阳人, 东北大学教授。

摘要：研究了一类在Takagi-Sugeno模糊规则下的连续时间非线性广义Markov跳变系统的严格异步耗散控制问题.首先, 通过构造保守性较小的模态独立Lyapunov函数, 推广到相应的广义系统并给出随机稳定且严格耗散的充分条件.然后, 引入在实际中应用广泛的隐Markov模型, 通过将状态转移概率与隐Markov模型的相关的条件概率相结合, 并通过Schur变换, 设计了可以与原系统异步运行的模糊状态反馈控制器, 以保证闭环系统的随机稳定和严格耗散.最后, 数值仿真使用Matlab中线性矩阵不等式(LMI)的工具箱来验证, 说明结论的有效性.
关键词：异步控制模糊规则广义Markov跳变系统严格耗散随机稳定
Asynchronous Dissipative Control for Nonlinear Generalized Markov Jump Systems
YANG Dong-mei, LI Da
School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YANG Dong-mei, E-mail: 1105496954@qq.com.

Abstract: The problem of strictly asynchronous dissipative control for a class of continuous time nonlinear generalized Markov jump systems under Takagi-Sugeno fuzzy rules is studied. Firstly, by constructing a less conservative mode independent Lyapunov function, the sufficient conditions for stochastic stability and strict dissipation of generalized system are discussed. Then, the hidden Markov model that is widely used in practice is introduced. By combining the state transition probability with the conditional probability of the hidden Markov process, and through Schur transformation, a fuzzy state feedback controller is designed, which can operate asynchronously with the original system, so as to ensure the stochastic stability and strict dissipation of the closed-loop system. Finally, numerical simulation using Matlab linear matrix inequality(LMI) toolbox is applied to verify the effectiveness of the conclusion.
Key words: asynchronous controlfuzzy rulesgeneralized Markov jump systemsstrict dissipativestochastic stability
近年来, Markov跳变理论在描述随机系统时应用广泛, 其实际应用存在于诸多领域中^[1].关于广义Markov跳变系统的相关理论也在不断发展, 从广义Markov跳变系统容许的LMI条件^[2]到广义Markov跳变系统的随机稳定且耗散问题^[3], 再到文献[4]通过巧妙的矩阵变换方法得到了广义Markov跳变系统的动态输出反馈的线性矩阵不等式条件, 体现广义Markov跳变系统的重要性.文献[5]通过运用凸组合方法和设计并行分布补偿器(PDC)得到了时滞T-S模糊正常系统的动态输出反馈控制器设计.文献[6]基于模糊规则对带有Markov跳变的连续时间的正常系统给出了相关的线性矩阵不等式的条件.在此基础上, 文献[7]将耗散的概念延伸到扩展耗散中, 研究了基于扩展耗散的且带有Markov跳变的正常系统异步静态输出反馈控制问题.文献[8]给出了隐Markov跳变系统的随机无源的三个等价充分条件以及相应的异步控制器.文献[9]给出了一类具有时滞的在T-S模糊规则下的Markov跳变系统的无源性相关控制器设计.综合来看, 不仅系统的无源性和H_∞性能可以看作是耗散的特殊情况, 而且广义Markov跳变系统在耗散性能的形式上应用更为广泛^[10], 基于T-S模糊规则下的广义Markov跳变系统的相关的异步控制器的设计尚未研究.所以本文将文献[6]的正常系统的条件结合相关的引理和方法后, 拓展到广义系统中, 不仅给出了在T-S模糊规则下的广义Markov跳变系统稳定的充分条件, 而且设计模态独立的模糊异步控制器, 使闭环系统随机稳定且严格耗散, 仿真算例验证了结论的可行性和有效性.
1 问题描述考虑T-S模糊广义Markov跳变系统:
模糊规则i: 如果ζ₁(t)为ξ)_i1, ζ₂(t为ξ_i2, …, ζ_p(t)为ξ_ip, 则

(1)

其中: x(t)∈Rⁿ, u(t)∈R^m, z (t)∈R^p, ω(t)∈ L^q[0, +∞), v(t)分别为系统状态、控制输入、可控输出、外部输入和系统噪声且独立于{r(t), t≥0}的一维标准布朗运动; A_r(t)i, B_1r(t)i, B_2r(t)i, C_r(t)i, D_1r(t)i, D_2r(t)i和J_r(t)是已知的适当维数的矩阵.系统(1)有个模糊规则, i表示第i个规则.ζ_j(t)(j∈{1, 2, …, p})为前件变量; ξ_ij是模糊集.变量r(t)∈ ={1, 2, …, L}代表时间齐次的Markov跳变右连续轨迹.状态转移概率r(t)可以用Π =[λ_kl]表示:

(2)

这里Δt>0且满足, 并且λ_kl表示在t时刻模态为k到t+Δt时刻模态为l的跳变概率, 其中, λ_kl>0, k≠l且.
通过T-S模糊方法, 本文得到规范化模糊权重函数:
其中:ζ(t)=[ζ₁(t), ζ₂(t), …, ζ_p(t)]; ξ_ij(ζ_j(t))是前件变量ζ_j(t)在模糊规则ξ_ij(t)的隶属度函数.
假定, 并且可以得到h_i(ζ(t))≥0和.
为分析方便, 本文用h_i来表示h_i(ζ(t)).
因此, 当r(t)=k时系统(1)可以写为

(3)

式中:
通过PDC方法设计异步控制器如下:
控制规则i: 如果ζ₁(t)为ξ_i1, ζ₂(t)为ξ_i2, …, ζ_p(t)为ξ_ip, 则

(4)

其中: K_ψ(t)i∈R^m×n是第i个模糊控制器; ψ(t)用来描述隐Markov过程, 服从且满足条件概率矩阵Ψ=[φ_ks].

(5)

这里.
当ψ(t)=s时, 有

(6)

并且.
注1 由于实际过程中的复杂性^[8], 系统的控制器和原系统并不匹配.在本文中, 一个随机过程采用式(5)中ψ(t)作为控制器的模态.根据文献[6], 可以用集合(r(t), ψ(t), Π, Ψ)来表示隐Markov过程.此外, 当时, 就可以建立一个模态独立的控制器.也就是说, 在 的这种特殊情况下, 式(6)可以退化为同步控制器.
根据式(3)和式(6)得到新的闭环系统表达式:

(7)

其中:
基于耗散理论, 系统(7)的能量供给函数为

(8)

这里的供给率r(z (t), ω(t))为
其中, Q, S, R为已知实数矩阵, 满足Q=Q^T < 0, R=R^T, 其中.
定义1 对于给定的标量α>0, 任意的T>0, 在零初始状态下, 满足下面的不等式
则系统(7)为(Q, S, R)-α严格耗散的, 并且α称为耗散性能的边界值.
引理1^[4] 下列两个式子等价, 其中X, Λ非奇异,
引理2^[3] 当rank E= r, 存在矩阵满足E_R∈R^n×(n-r), E_L∈R^n×(n-r), U∈R^(n-r)×n且V∈R^n×(n-r), 满足 E_L E_R^T= E, UE=0, EV=0.
存在P为对称矩阵, 满足E _L^TPE_L>0并且Λ为非奇异的.即PE+U^TΛV^T为非奇异的, 且此逆矩阵为
其中: 是对称的; 是非奇异的, 并且下列式子成立,
本文的目的是设计严格耗散的异步控制器并且满足下面两个条件:
1) 系统(7)随机稳定, 当 ω(t)≡0时，
2) 在零初始条件下, 系统(7)是严格耗散的.
2 主要结论在给出控制器(4)的设计之前先给出系统(7)的随机稳定和严格耗散的充分条件.
2.1 系统稳定性分析定理1 对于给定的标量α>0, 如果存在着矩阵P_k, 对于任意的, 满足:

(9)

(10)

(11)

其中,

(12)

式中:
若He(X)=X+X^T, 则系统(7)是随机稳定且严格耗散的.
证明 将条件(10)和条件(11)应用在系统(7)中, 有

(13)

其中,

(14)

式中:
取Lyapunov函数为

(15)

由引理1可知, 式(9)等价E^TP_k= P_k^TE≥0, 为随机过程{x(t), r(t)}的弱无穷小算子，

(16)

当ω(t)=0时, 结合式(5)和式(7), 得

(17)

由(13)可知, 有, 得

(18)

这里μ_min表示矩阵的最小特征值且μ=μ_min(-θ_kh¹¹).式(18)从t=0到∞积分, 得所以得到系统(7)是随机稳定的.
另一方面,
其中η(t)=[x^T(t) ω^T(t)]^T.
对式(13)运用Schur补引理, 得到
根据
在零初始条件下的积分变换后, 得
由于 V(T)>0, 结合式(8), 有
由定义1知系统(7)严格耗散的.证毕.
2.2 异步控制器的设计基于定理1的稳定性条件并结合引理2, 得到如下定理:
定理2 如果存在矩阵Y_k, W_si, , P_k和常数α>0, 对于所有的满足下列LMIs,

(19)

(20)

(21)

其中,

(22)

式中:
则系统(7)是随机稳定的且严格耗散的.此外, 控制器可表示为

(23)

证明 由引理1可知式(19)等价E^TP_k= P_k^TE≥0.将控制器(6)代入系统(3)中得到闭环系统(7), 通过定理1, 可知闭环系统(7)是随机稳定且严格耗散的.
根据引理2, 令
对式(12)左乘diag{ Y_k^T, I, I} 和右乘diag{ Y_k, I, I}, 得到

(24)

式中:
对于θ′_kij¹¹中的非线性项, 由引理2得到

(25)

另一部分

(26)

结合式(25)和式(26)并通过Schur补引理, 式(20)和式(10)等价, 式(21)和式(11)等价, 证毕.
3 数值仿真系统(3)的相关参数如下:
考虑双模态的Markov跳变过程, 其状态转移概率矩阵和隐Markov过程的条件概率分别为
令α=1.241 6, 通过LMI工具箱得
K₁₁=[-0.372 2 -0.291 0],
K₁₂=[-0.239 5 -0.466 3],
K₂₁=[-0.177 3 -0.123 6],
K₂₂=[-0.339 6 -0.673 2].
在初始状态x(0)=[1 -3]^T并施加扰动ω(t)=e^-0.5t情况下, 系统状态轨迹图见图 1.
图 1(Fig. 1)

图 1 系统的状态轨迹Fig.1 State trajectories of the system

4 结语本文主要研究了T-S模糊广义Markov跳变系统的异步耗散控制问题, 通过设计PDC控制器的方法, 结合隐Markov构建的异步控制, 并且基于模态独立的Lyapunov方法, 设计了模糊异步控制器, 使闭环系统是随机稳定且严格耗散的.最后通过算例验证定理的有效性.
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