井元伟, 白云
东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2020-09-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61773108)。
作者简介：井元伟(1956-)，男，辽宁西丰人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：针对存在不确定参数和UDP流干扰的TCP网络拥塞问题, 提出了一种基于事件触发的TCP网络滑模控制策略.通过利用全局滑模控制方法, 使整个系统的响应过程都具有鲁棒性, 在此基础上引入事件触发机制, 在保证系统状态稳定的同时, 节约了网络资源.通过李雅普诺夫理论证明了TCP网络闭环系统里的所有信号是有界的, 同时也有效地避免了Zeno现象.仿真结果表明了所提控制方法的有效性.
关键词：TCP网络拥塞控制主动队列管理事件触发滑模控制
Sliding Mode Control of TCP Network Based on Event-Triggered
JING Yuan-wei, BAI Yun
School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: JING Yuan-wei, E-mail: ywjjing@mail.neu.edu.cn.

Abstract: Aiming at the TCP network congestion problem with uncertain parameters and UDP flow interference, an event-triggered TCP network sliding mode control strategy was proposed. The global sliding mode control method was used to make the response process of the entire system robust. On this basis, an event-triggered mechanism was introduced to ensure the stability of the system while saving network resources. The Lyapunov theory proves that all signals in the TCP network closed-loop system are bounded, and the Zeno phenomenon is also effectively avoided. Simulation results show the effectiveness of the proposed control method.
Key words: TCP networkcongestion controlAQM(active queue management)event-triggeredsliding mode control
随着网络技术的发展, 利用传输控制协议(transmission control protocol, TCP)的通信网络有了很快的发展, 然而, TCP网络拥塞问题也变得日趋严重, 导致网络的服务质量下降, 用户体验感变差.因此, 设计有效算法来降低网络拥塞, 提高网络利用率.对于维持端到端的数据传输队列长度收敛到期望值以及对网络拥塞的控制, 主动队列管理(active queue management, AQM)算法^[1]已成为研究热点之一.文献[2]是最早的一种AQM算法, 即随机早期检测(random early detection, RED), 通过实时计算路由器的平均队列长度, 对这个平均队列长度进行维护, 使其维持在一个合理的范围内, 从而达到对网络性能的维持.该算法对网络环境比较敏感^[3], 对一些复杂的网络环境很难适应, 所以, 许多****^[4-6]在此基础上提出了一些改进算法.
随着TCP网络建模技术的发展, Misra等对TCP网络进行了建模, 得出了一个非线性动态模型^[7], 之后有很多AQM算法被提出, 其中包括基于比例积分^[8]和比例积分微分的AQM算法^[9]、基于滑模变结构的AQM算法^[10-11]、基于非线性控制的AQM算法^[12]、基于智能控制的AQM算法等^[13-16].这些控制算法在控制理论的支撑下对于网络拥塞的控制都有了很好的成效.但随大数据时代的到来, 网络传输的数据量也越来越大, 传统的拥塞控制系统在稳定时仍周期地执行控制任务, 这种方式在一定程序上浪费了网络资源.若设置的周期较短, 将会采样到冗余的信息, 反而还容易加剧网络拥塞^[17].现有的AQM算法很少考虑网络资源节约的问题.从网络资源利用的角度来看, 通过降低控制信号的更新频率, 可降低网络中的数据传输量, 减少了网络中的负载, 进而提高控制系统的性能.事件触发机制可以有效减少控制器的更新次数, 达到减少网络资源利用的目的, 所以, 把事件触发控制策略引入到对网络拥塞控制中是可行的.
事件触发控制就是当执行的控制任务不满足事先设定的触发条件时, 控制器进行更新.相比于传统的时间触发控制在一定程度上减少了控制器的更新次数, 节约了网络资源.文献[18]针对线性TCP网络模型, 设计了事件触发条件及状态反馈控制律, 实现了控制系统的稳定, 使网络资源得到了有效节约.考虑了系统的时延, 文献[19]将网络化控制系统和通信网络系统结合在一起, 在线性矩阵不等式(linear matrix inequality, LMI)和Lyapunov-Krasovski泛函的理论支撑下, 设计了基于事件触发的控制器.文献[20]首次尝试用事件触发策略分析滑模控制的性能, 针对线性系统, 提出了一种基于事件控制的采样线性定常系统鲁棒镇定方法, 采用线性滑模控制来实现系统的鲁棒性.文献[21]将事件触发和滑模联合的方法用到了飞行器的轨迹跟踪问题上, 针对姿态子系统存在时变有界扰动及通信受限, 设计滑模事件驱动控制律, 在抑制干扰的同时实现对虚拟姿态跟踪指令的跟踪.
在考虑TCP网络系统存在参数不确定性和用户数据报协议(user datagram protocol, UDP)流干扰的情况下, 针对不确定的线性TCP网络模型, 提出了基于事件触发的TCP网络滑模控制算法, 将事件触发机制和滑模控制方法联合起来设计控制器, 在不影响整个系统性能的情况下, 可减少网络中的数据传输量、节约网络资源.
1 问题描述Misra等提出的TCP网络模型能够准确描述TCP协议拥塞窗口的动态特性和路由器队列动态变化的情况^[7]:

(1)

式中: W(t)为窗口大小; q(t)为瞬时队列长度; N(t)为TCP会话数; T_p为传播时延; R(t)为往返时延; C(t)为链路带宽; p(t)为分组丢弃标记概率, 为TCP网络拥塞AQM控制器的输入, 其范围为0≤p(t)≤1.
对式(1)进行局部线性化处理^[8]: 将(W(t), q(t))作为状态变量, p(t)作为输入变量.在任意给定的控制输入p₀下, 通过和可求得式(1)的平衡点(W₀, q₀):

(2)

式中, .
假设N(t)=N, R(t)=R, C(t)=C分别是N(t), R(t), C(t)的正常数值.在该假设的前提下对系统(1)在平衡点处进行线性化处理, 其动态方程为

(3)

式中：

(4)

令x₁=δq(t), x₂= , u(t)=δp(t), 可得系统(3)的状态空间方程为

(5)

式中：
考虑UDP流带来的干扰, 为了使系统模型更加贴合实际网络, 现将这些不确定因素引入到系统模型中去, 可得

(6)

式中: G∈R^2×2是给定的系数矩阵; w(t)为UDP流带来的扰动.
2 主要结论与讨论2.1 全局滑模控制器的设计为使系统在全过程都具有鲁棒性, 现设计以下全局滑模面:

(7)

初值条件:

(8)

(9)

则

(10)

故, 滑模面为

(11)

令K=[k??1], Q=x(0)e^-λt, 则滑模面表示为

(12)

设计一个使系统状态轨迹沿着滑动模面运动的控制器, 对滑模面s(t)求导:

(13)

全局滑模控制律为

(14)

在给出相关结论之前, 引入假设1.
假设1??设计参数κ满足κ> ‖KGw(t)‖+η+α, 其中, η>0, α>0.
定理1??如果假设1成立, 那么系统(6)在控制律(14)的控制下是渐近稳定的.
证明: 选取Lyapunov函数:

(15)

对V求导可得
由假设1可知, κ-‖KGw(t)‖>0, 故

(16)

所以, 系统状态在全局滑模控制律(14)的作用下一直处在滑动模面上, 系统(6)是渐近稳定的.
2.2 基于事件触发的滑模控制器设计为了减少对网络资源的浪费, 在控制律(14)的基础上引入事件触发控制机制.事件触发控制机制的主要思想就是在保证系统一定性能(本文是保证TCP网络拥塞控制系统稳定)的前提下, 如果事先设定好的事件触发条件不满足, 控制任务将会被执行, 也就是说, 事件触发机制会将当前采样到的数据与上一次得到的满足事件触发条件的数据进行求差运算, 若当前采样到的数据满足预先设定好的触发条件, 则该数据将会被传输下去, 否则将会舍弃, 有效地减少了不必要数据的传输, 使网络资源得到更高效的利用.事件触发控制机制一般分为3种, 分别是连续事件触发、周期事件触发和自触发.对于本文的TCP网络系统(6)引入的连续事件触发控制机制, 其控制原理图如图 1所示.图中实线部分表示连续信号, 虚线部分表示离散信号.
图 1(Fig. 1)

图 1 连续事件触发控制Fig.1 Continuous event-triggered control

首先, 对当前采样到的系统状态x(t)与上一次得到的满足事件触发条件的系统状态x(t_i)进行求差运算, 得到两者之间的差值e(t); 其次, 根据得到的差值e(t)设计事件触发条件; 最后, 判断当前采样到的数据是否满足设定好的触发条件, 如果满足, 则x(t)将成为最新的x(t_i), 此时x(t)=x(t_i), 系统状态得到更新, 进而控制律(14)也进行了更新.控制律变换为

(17)

式中, ?t∈[t_i, t_i+1).
定义状态误差:

(18)

式中, t_i为触发时刻.
设计事件触发条件为

(19)

在给出相关结论之前, 引入假设2.
假设2??对于UDP流带来的扰动, 满足如下约束:

(20)

定理2??针对系统(6), 如果假设1和假设2成立, 那么在控制律(17)以及事件触发条件(19)的作用下, 系统状态是有界的, 并且系统状态能够稳定到s(t)=0附近的一个邻域内, 邻域边界为

(21)

证明: 选取式(15)所示的Lyapunov函数, 对V求导:
当t=t_i时, 显然有.
而当t∈[t_i, t_i+1)时, 有
由于

(22)

(23)

则

(24)

当‖s(t_i)‖>α‖A‖^-1时, 更新控制律, 最后稳定到邻域边界{x(t)∈Rⁿ: |s(t_i)|≤α‖A‖^-1}.为避免出现Zeno现象, 考虑如下:
令
所以

(25)

当初始条件e(t_i)=x(t_i)-x(t_i)=0时，

(26)

令T_i=t_i+1-t_i, 则

(27)

式中, T_i表示事件触发时间间隔.根据式(27), 一定存在一个正数m, 使得T_i≥m>0.从而避免了系统在有限的时间内进行无限次的触发即Zeno现象.所以, 本文针对TCP网络拥塞控制系统(6)设计的基于事件触发的滑模控制器(17)既可以保证系统里的信号是有界的, 还可以降低TCP网络系统对网络资源的占有率.
注1??在设计控制律时引入了不连续的符号函数, 可以通过使用饱和函数对其进行逼近, 从而达到削弱抖振的效果.
3 仿真及结果TCP网络单瓶颈链路拓扑结构如图 2所示.假设N个TCP数据流与路由器之间有着相同的往返时延，利用Matlab/Simulink针对文中所提出的基于事件触发的TCP网络滑模控制算法进行仿真研究, 以验证该算法的有效性.
图 2(Fig. 2)

图 2 哑铃型网络拓扑结构Fig.2 Dumbbell network topology

选取TCP网络参数, 取N=80, C=4 500组/s, R₀=0.05 s, q_d=100分组, x₀=[-100??0]^Τ, G= , w=[0.5??0.5]^Τ.取控制律参数K=[20??1], λ=10, κ=30, α=25.利用这些参数进行仿真, 得到如图 3所示的系统状态随时间变化的响应曲线.
图 3(Fig. 3)

图 3 状态轨迹随时间变化的响应曲线Fig.3 Response curves of state trajectory with time

图中实线代表系统状态x₁, 虚线代表系统状态x₂, 由于系统状态的初值为x₀=[-100??0]^Τ, 则x₁从-100开始, 在事件触发控制器的作用下, 系统状态x₁在0.4 s开始趋于稳定, 并在0.7 s最终稳定到有界范围内; 系统状态x₂为系统状态x₁(瞬时队列长度与期望队列长度之差)的变化率, 从图中可以看出, 系统状态x₂最终稳定到0附近范围之内, 说明瞬时队列长度几乎跟踪上了期望队列长度.图 3的仿真结果表明, 在基于事件触发的TCP网络滑模控制器作用下, 系统状态能够在较短的时间稳定到有界范围之内, 保证了系统的稳定性.
图 4为TCP网络拥塞系统在基于事件触发的状态反馈控制器的作用下的系统状态轨迹图, 从图中可以看出, 系统状态在2 s之后才达到稳定, 而本文系统状态在0.7 s就稳定到有界范围内.由此可见, 本文设计的基于事件触发的滑模控制器相比于文献[18]有更好的收敛性能.
图 4(Fig. 4)

图 4 状态反馈控制律下的系统状态响应曲线Fig.4 System state response curves under state feedback control law

图 5为在事件触发控制器的作用下, 系统的队列长度随时间变化的曲线.图中实线代表瞬时队列长度, 虚线代表期望队列长度.在0.7 s的时候瞬时队列长度就几乎跟踪上了期望队列长度, 收敛速度快且在响应过程中无超调, 说明本文所设计的算法具有良好的控制效果.
图 5(Fig. 5)

图 5 系统的队列长度响应曲线Fig.5 Queue length response curves of the system

图 6为该系统控制律u随时间变化的阶梯图.由于事件触发机制的引入, 系统状态在满足触发条件时, 控制律保持不变; 当系统状态不满足触发条件时, 控制律进行更新, 故u呈现阶梯状变化.同时控制律u从0时刻开始到系统稳定一直保持在0到0.1之间, 并且最后稳定到2.12×10^-6, 几乎接近0.可见, 在事件触发控制器的作用下, 系统的丢包率较小, 也就意味着数据传输的完整性较高.
图 6(Fig. 6)

图 6 控制律u的阶梯图Fig.6 Step diagram of the control law u

图 7为该系统的事件触发时间间隔图.图中, 横坐标表示系统的事件触发时刻, 纵坐标表示系统的事件触发时间间隔.从图中可以看出, 在系统刚开始的时候, 控制器更新的次数比较多, 随后在事件触发机制的作用下, 控制器的更新次数越来越少.仿真过程中设计的采样步长为0.001 s, 也就意味着对于传统的控制器在2 s的时间内控制器需要更新2 000次, 而本文设计的带有事件触发机制的控制器从系统初始状态到系统稳定一共触发了926次, 控制器的更新次数远远小于传统控制器的更新次数.所以, 基于事件触发的TCP网络滑模控制器对于节约网络资源有很好的成效, 充分证明了本文控制器的有效性.
图 7(Fig. 7)

图 7 系统的事件触发时间间隔Fig.7 The event-triggered time interval for the system

4 结论本文针对不确定的线性TCP网络模型, 提出了一种基于事件触发的AQM算法, 考虑到网络的不确定性及外部扰动, 结合滑模控制理论, 在Lyapunov理论的基础上设计了具有事件触发条件的控制器, 当系统满足触发条件时, 控制器进行更新.仿真结果验证了该控制器的有效性, 同时也减少了网络资源的使用.
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