杨冬梅, 鹿笛
东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2020-03-18
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673100)。
作者简介：杨冬梅(1966-), 女, 辽宁沈阳人, 东北大学教授。

摘要：研究了一类带有一般不确定转移速率的非线性广义时滞马尔科夫跳变系统的H_∞-自适应变结构控制问题.首先, 针对系统中的非线性未知参数设计由线性控制器和自适应控制器组成的混合控制器, 构建Lyapunov泛函, 使得系统的轨迹趋近于状态空间曲面且闭环系统随机容许, 满足H_∞性能γ.进而考虑一般不确定转移速率矩阵的特性, 构造严格线性矩阵不等式, 使结论更具一般性.最后, 通过数值算例及图像仿真验证了这类控制方法的有效性和可行性.
关键词：马尔科夫跳变系统广义系统自适应变结构控制H_∞性能
H_∞-Adaptive Variable Structure Control Based on Markov Jump Systems
YANG Dong-mei, LU Di
School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: LU Di, E-mail: ludishimadou@163.com.

Abstract: The control problem for a class of nonlinear generalized delay Markov jump systems with generally uncertain transition rate is studied. First, a hybrid controller composed of a linear controller and an adaptive controller is designed for the unknown nonlinear parameters in the system, and a Lyapunov functional is constructed to make the trajectory of the system approach to the state space surface and the closed-loop system is admissible, satisfying H_∞criteria γ. Furthermore, considering the characteristics of the generally uncertain transition rates matrices, a strict linear matrix inequality is constructed to make the conclusion more general. Finally, the effectiveness and feasibility of this control method are verified by numerical examples and image simulation.
Key words: Markov jump systemsingular systemadaptive variable structure controlH_∞performance
广义系统在多领域中有广泛的应用^[1-2], 而在实际工程中系统受到外界影响或自发性故障导致结构改变时, 可以利用广义马尔科夫跳变系统进行建模; 因此, 对马尔科夫跳变系统的控制性能、稳定性等问题展开研究.文献[3]研究了转移概率全部已知的连续和离散马尔科夫跳变系统的稳定性问题, 文献[4]讨论部分未知转移速率的马尔科夫跳变系统的稳定性.然而, 由于实际控制系统的复杂性, 很难获得准确的转移速率, 所以针对带有一般不确定转移速率的马尔科夫跳变系统的研究是十分必要的.
实际系统中往往存在不确定性, 自适应控制方法的提出有效提升系统的鲁棒性能; 通过设计自适应控制器的参数, 使得系统在受到内部不确定性和外界干扰时能够自动调节以达到预期的特性^[5-6].考虑将自适应控制方法与变结构控制策略相结合以解决不确定非线性系统的控制问题: 利用自适应控制参数的不断自动调节能力, 提高非线性动态系统在预先设计的状态空间曲面的收敛性, 优化变结构控制性能.文献[7]研究广义半马尔科夫跳变系统的滑模控制问题.文献[8]研究了带有部分未知转移速率的线性离散时间马尔科夫跳变系统的H_∞滤波问题.H_∞控制围绕扰动衰减水平γ进行研究, 而自适应控制器可以有效地提高系统控制器的反应速率^[9-10].所以本文考虑将H_∞控制和自适应控制结合起来以达到更好的系统性能目标.
本文首先提出广义马尔科夫跳变系统的混合自适应变结构控制器, 依据系统性能构建Lyapunov泛函, 使得闭环系统达到H_∞随机容许.再针对一般不确定转移速率进行说明, 使结论更具一般性, 最后通过仿真验证控制方法的可行性.
1 问题描述考虑下列带有一般不确定转移速率的不确定时滞广义马尔科夫跳变系统：

(1)

式中: x(t)∈Rⁿ, z(t)∈R^p分别为系统的状态向量、控制输出; d(t)为时变时滞, d, d为给定常数, 且为未知外界干扰; r(t)(t≥0)为在有限状态空间N={1, 2, …, s}取值的右连续马尔科夫链, 从t时刻模态i到t+Δ时刻模态j的转移概率如下:
其中: , 且π_ij≥0, (i, j∈N, i≠j); 对于.基于模态r(t), u(r(t))∈R^l为控制输入, 对r(t)=i∈N的全部可能值, u(r(t))=u_i; A(r(t))=A_i, A_d(r(t))=A_di, B(r(t))=B_i, C(r(t))=C_i, H(r(t))=H_i为具有适当维数的常矩阵; ΔA(r(t))=ΔA_i, ΔA_d(r(t))=ΔA_di代表不确定性; f(x(t), x(t－d(t)), r(t))=f(x(t), x(t－d(t)), i)为连续非线性函数.
针对一般不确定转移速率, 具有s操作模态的转移速率矩阵为

(2)

其中: 分别表示π_ij的估计值和估计误差, 已知; ?为完全未知转移速率.对于?i∈N, 集合Θⁱ=Θ_kⁱ∪Θ_ukⁱ, 其中已知, 未知, j∈N}.特别地, 当, 其中k_miⁱ∈N⁺表示矩阵Π的第i行中序号为k_miⁱ的第m个元素.
对系统(1)提出如下假设:
假设1??ΔA_i, ΔA_di具有未知时变不确定性, 且. 其中: M_i, M_di, N_i, N_di是具有适当维数的已知常矩阵, 对于.
假设2??f(x(t), x(t－d(t)), i) 满足条件f(x(t), x(t－d(t)), i)=B_if(x(t), x(t－d(t)), t), 则

(3)

其中σ, ρ为未知正数.
定义1??当u(t)=0, ω(t)=0时, 有定义如下:
1) 对?i∈N, det(sE－A_i)≠0, 则称系统(1)为正则的;
2) 对?i∈N, deg(det(sE－A_i))=rank(E), 则称系统(1)无脉冲;
3) 对于任意初始值?(θ)∈Rⁿ, 模态r₀∈N, 存在K>0满足
则称系统(1)随机稳定;
4) 若系统正则, 无脉冲且随机稳定, 则称系统随机容许.
定义2??对任意ω(t)∈L₂[0, ∞), ω(t)≠0, 给定常数γ>0, 在零初始条件即?=0下满足
则称系统随机可容许, 且满足H_∞性能指标γ.
定义3??定义系统(1)的Lyapunov函数为V(x(t), i), 其无穷小算子为
引理1??对具有适当维数的矩阵R=R^T, M, N, Q=Q^T>0, 有, 且满足F^T(t)F(t)≤I, 则存在正数ε>0, 使得
引理2??对于正定矩阵C∈R^n×n, B∈R^n×m, 任意矩阵A∈R^m×m, 如果A>B^TC^－1B, 则有
2 主要结论本文通过设计自适应控制器u_i(t), 使系统(1)在一般不确定转移速率(3)的作用下是随机容许的.其中上界σ, ρ未知.
定理1??一般不确定转移速率下的闭环不确定时滞广义马尔科夫系统(1)是H_∞随机容许的, 如果存在正定矩阵∈, 正常量ε_i1, ε_i2, 使得下列不等式成立:

(4)

式中:
根据假设, 通过滑模面, 设计自适应控制器如下:

(5)

其中: 自适应律为(t)=c_ρ‖s_i(t)‖·‖x(t－d(t))‖, c_σ, c_ρ是给出的正实数, 参数ε>0为极小数, 参数σ, ρ的估计误差分别为.
证明??考虑构造Lyapunov-Krasovskii函数如下:

(6)

式中:
根据定义3, 得到无穷小算子如下:
由于
由假设1及引理1可得

(7)

同理

(8)

根据假设2, 代入自适应律作用下的自适应控制器(5), 有

(9)

结合式(7)~式(9), 以及, 得
根据一般不确定转移速率的定义, 讨论如下:
当, 存在, 使得, 作如下定义:

(10)

易得

(11)

由引理1, 可以得到

(12)

根据式(10)~式(12), 得

(13)

因此, Φ_i < 0的条件如下:

(14)

由引理2和式(14), 得到ΓV(x)≤γ²ω^T(t)ω(t)－z^T(t)z(t), 则称系统(1)在H_∞扰动抑制水平γ的作用下随机容许.
实际上, 当状态变量x(t)不可测时, 无法通过x(t)来设计切换函数.本文使用可测的输入向量y(t)=D(r(t))x(t), 且存在G(r(t))满足B(r(t))P(r(t))=G(r(t))D(r(t)), 由此得到如下推论.
推论1??如果存在ε_i1, ε_i2>0, 正定矩阵P_i=使得式(4)成立, 根据假设1和假设2, 切换面函数ζ_i(t)=G_i^T(t)y(t), 设计自适应控制器

(15)

其中=, 则称系统(1)H_∞随机容许.
类似地, 若系统(1)中不涉及马尔科夫切换模态, 则得到:
推论2??式(4)中正常数ε_i1, ε_i2, 矩阵P_i=P_i^T>0, Q>0, R>0存在, 根据假设1和假设2, 滑膜面, 以及自适应律：
, 设计自适应控制器

(16)

则系统(1)H_∞随机容许.
3 数值仿真针对系统状态方程, 考虑具有一般不确定转移速率的两个模态的数值算例系统, 参数如下:
ω(t)=sin(0.5πt), 初始系统状态为x₀=[－2 1.5]^T, 变时滞d(t)=0.1+0.05sin(t), 则d=0.15, d=0.05, 于是系统参数满足假设条件. 由定理1, 给出如下参数: ε₁₁=ε₂₁=ε₁₂=ε₂₂=1, γ=0.1, δ₁₁=δ₁₂=δ₂₁=δ₂₂=1, c_σ=c_ρ=0.1, ; 则无控制器的开环系统的状态如图 1所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 无控制器作用下状态变量x1, x2运行轨迹Fig.1 Trajectory of state variables x1, x2 without controller action

假设系统(1)的转移速率矩阵表述如下:
其中: Δ₁₁∈[－0.1 0.1], Δ₁₂∈[－0.06 0.06], Δ₂₂∈[－0.04 0.04]. 则系统(1)的模态变化如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 系统模态r(t)Fig.2 System mode r(t)

通过Matlab中LMI工具箱, 根据式(4)可以得到如下一组满足条件的解:
因此, 滑膜切换面
根据式(5), 自适应变结构控制器设计如下:
在仿真过程中将sgn(s_i(t))表示为, 得到系统的图像仿真结果如图 3、图 4所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 系统状态变量x1, x2的时间响应Fig.3 Time response of system state variables x1, x2

图 4(Fig. 4)

图 4 自适应增益Fig.4 Adaptive gains

4 结语本文针对一系列带有一般不确定速率的不确定非线性广义马尔科夫跳变系统的H_∞性能展开研究.首先, 针对系统特性设计Lyapunov-Krasovskii泛函, 构造自适应复合控制器, 由线性矩阵不等式和自适应变结构控制方法, 使得闭环系统达到H_∞控制性能.最后用Matlab进行数值和图像仿真, 证明了控制系统的可行性.
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