周炳海¹, 侍雨¹, 张于贤²
1. 同济大学 机械与能源工程学院, 上海 201804;
2. 桂林电子科技大学 商学院, 广西 桂林 541004
收稿日期：2020-09-14
基金项目：国家自然科学基金资助项目(71471135)。
作者简介：周炳海(1965-), 男, 浙江浦江人, 同济大学教授, 博士生导师。

摘要：为了减少系统非计划停机时间, 控制产品质量, 提出了以设备可用性为中心的多机维护策略.首先定义三种维护方式, 研究其对设备状态的影响机理, 从而建立可靠性模型.在对系统进行马尔科夫状态分析的基础上, 建立产品质量与系统退化状态之间的关系, 构建包含质量损失成本的总成本模型.从实际应用的角度出发, 综合考虑设备的可靠性和维护性, 以可用性为中心、以总成本最小为目标规划系统的预防性维护策略.实验表明, 提出的维护策略可有效地应用于多部件生产系统, 且多操作预防性维护方式的效果优于单一操作.
关键词：退化系统可用性预防性维护马尔科夫状态分析质量控制
Availability-centered Maintenance Policies for Degrading Manufacturing Systems Considering Product Quality
ZHOU Bing-hai¹, SHI Yu¹, ZHANG Yu-xian²
1. School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China;
2. School of Business, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China
Corresponding author: ZHOU Bing-hai, E-mail: bhzhou@tongji.edu.cn.

Abstract: In order to reduce system unplanned downtime and control product quality, an availability-centered preventive maintenance strategy of the multi-component production system is proposed. Firstly, three preventive maintenance methods are defined, whose influence on the equipment state is studied so as to establish a reliability model. On the basis of Markov state analysis of the system, the relationship between product quality and system degradation state is established, and the total cost model including quality loss cost is constructed. From the perspective of practical application, the reliability and maintainability of equipment are taken into consideration. Thus, an availability-centered preventive maintenance strategy of the system is planned when the goal is to minimize the total cost. Results indicate that the maintenance strategy proposed can be effectively applied to the multi-component production system, and the effect of the multi-operation preventive maintenance method is better than that of single operation.
Key words: degradation systemavailabilitypreventive maintenanceMarkov state analysisquality control
在竞争性市场环境下, 不断提高产品质量、削减成本是企业的生存之道^[1].因此, 在生产、维护等各个环节, 都应该关注产品质量, 降低成本.生产系统中设备状态退化不可忽视, 其通常会影响产品的质量.有效的预防性维护策略对于减少系统非计划停机时间、控制产品质量有着重要意义^[2].
Lu等^[3]建立了单机制造系统的质量相关的可靠性模型, 并将质量损失纳入总成本, 建立系统的预防性维护计划.He等^[4]分析了制造阶段产品可靠性下降的机理, 提出了集成的设备维护和过程质量控制策略.Zhou等^[5]使用了看板控制策略, 研究退化两阶段拉式生产系统, 并给出包含检查率、看板数量和预防性维护阈值的最优生产控制和维护策略.Azadeh等^[6]研究了两设备一缓冲系统, 使用田口方法确定缓冲库存, 建立以单位平均总成本为目标的质量、维护、生产联合优化问题.Fatahani等^[7]提出了一种新的混合整数非线性规划模型, 通过预防性维护和质量控制的集成优化, 大大降低了制造成本.周炳海等^[8]基于返修点将串行系统分为两部分, 为保证产出率的同时有效降低系统运作成本, 提出了考虑产品质量及返修的生产系统预防性维护决策模型.
分析上述文献, 对设备维护策略的研究中往往以总维护成本为优化目标, 或计算了产品质量产生的经济损失, 但忽略了维护操作对产品质量的直接影响.为此, 本文以包含质量损失的总成本最小为目标, 并采用多种预防性维护(preventive maintenance, 简称PM)操作, 对不可靠设备组成的生产系统建立预防性维护策略.
1 问题描述本文的研究对象为不可靠设备组成的生产系统, 相关符号说明和相关假设如下：
i??????设备的退化状态
j??????三种PM操作之一
k??????设备预防性维护阶段
R_k(t)??????设备第k阶段的可靠性
h_k(t)??????设备第k阶段的故障率
ω(i, k)??????设备在退化状态i时的废品率
t_{j, k}??????设备第k次维护的时长
t_p??????预防性维护时间间隔
C_{j, t}^s??????单台设备采用PM操作j的总成本
1) 各设备的故障分布相互独立；2)设备为串联系统, 系统以瓶颈设备的产出速率产出, 任何设备的维护均会造成系统停机；3)系统运行过程中, 若设备发生故障, 则采取最小维修措施, 小修不改变设备劣化过程, 仅恢复设备功能；4)当对设备进行预防性维护时有3种选择：(A1)保养，对未失效设备进行保养会改善外部状态(恶化的环境), 使设备可以调整到一个更好的状态; (A2)维修，执行较低廉的维修, 使设备状态一定程度上恢复; (B)更换，为设备更换新的部件或子系统, 使设备状态恢复到初始状态, 同时废品率回到初始状态，更换操作常用于重点设备, 避免严重损坏发生.此外, 当设备经历了几次(A1)和(A2)操作, 或已无法正常使用后, 可同样采取更换操作; 5)系统存在退化, 具体包括：①自然老化过程, 设备状态由于自然磨损等原因而退化；②更差维修, 设备状态由于误操作而退化, 表现在维修后的设备状态差于维修前.
2 数学模型2.1 可靠性分析在制定PM计划前, 首先定义不同PM操作对可靠性的影响.(A1)保养由于改善了设备的工作环境, 虽然不改变设备当前状态, 但可以减缓设备可靠性衰退的速度.由于(A2)维修和(B)更换可以不同程度地消除设备的累积损伤, 因此执行后直接改善设备, 即提高设备可靠性.其中(B)更换直接使设备可靠性恢复到全新状态.
对不同维护操作后的设备可靠度进行求解^[9].维护计划对设备可靠性的改善主要分两种：①对失效的设备采取小修的方式, 仅恢复设备的工作状态, 并不改变设备可靠性；②对未失效的设备采取3种PM方式中的一种, 使设备可靠性恢复, 改善设备状态.对设备进行第k次维护操作后, 设备进入第k+1阶段.第k阶段设备的可靠性为

(1)

其中: R_{0, k}是设备第k阶段的初始可靠性; r_k(t)是该阶段仍可用部件的可靠性.若PM维护时间间隔为t_p且设备原始的可靠性分布为R(t), 则可用部件的可靠性为

(2)

其中, i₁(0 < i₁≤1)是改善因子, 可以看作是剩余寿命与原始寿命之比.当i₁=1, 表明部件已经执行“修复如新”的(B)操作.
为了对PM后设备的可靠性建模, 需要评估不同操作对R_{0, k}和r_k(t)的影响.
(A1) 保养：可以改善退化的环境从而减慢设备退化速度.可用部件执行(A1)后可靠性如下：

(3)

其中, R_{f, k-1}为设备第k-1阶段结束时可靠性.
(A2) 维修：不仅可以改善可用部件还可以恢复失效部件.对失效部件的修复程度可以用改善因子i₂(0 < i₂≤1)表示.因此执行(A2)操作对设备可靠性的影响如下：

(4)

其中, R_{0, k}为执行(A2)操作后设备的初始可靠性, R₀为设备初始可靠性, 其值为1.
(B) 更换：可以使设备恢复原始最新状态, 即将两个改善因子i₁, i₂设置为1.因此, 执行该操作后的设备初始可靠性为R_{0, k}=R₀, 且可用部件的可靠性为r_k(t)=R(t-(k-1)t_p).
若设备失效服从威布尔分布, 设备可靠性为

(5)

根据可靠性与故障率函数的关系, 故障率函数表示为

(6)

因此, 设备在第k个阶段的故障率可表示为

(7)

2.2 马尔科夫状态分析对生产系统进行马尔科夫状态分析.图 1中, 设备状态的转变主要有4种：经济维护过程(A)、彻底检修过程(B)、离散化的设备自然老化过程(C)以及失效过程(D).A：设备进行经济维护, 设备状态和相应反映产品质量的不合格率有所改变.B：进行费用更高的彻底检修, 设备状态和产品不合格率恢复到初始状态.C：设备状态呈离散化地老化, 且废品率相应降低.D：设备会产生随机失效, 且失效可能发生在设备的任何状态；此时设备采取小修, 小修使设备恢复运行且不改变设备可靠性状态.
图 1(Fig. 1)

图 1 系统状态转移图Fig.1 Transition diagram of the system

假设设备状态为随机过程集合ξ(t), 则设备在t时刻所有可能的状态为

(8)

设备在规划期内可能随机地处于任何状态.失效/退化/维护过程可以由半马尔科夫链来描述, 由状态s向状态s′的转移率为λ_ss′，φ(·)表示不同PM操作间的比率.因此, 转移率矩阵定义如下：

(9)

其中: λ_{1, 2}^N-1表示在第N-1次维护后, 设备从初始的工作状态第一次自然退化的概率; λ_{M1, 1}φ₁表示设备第一次维护后恢复到初始最新状态的概率.
2.3 成本分析对于制造企业, 生产的成本以及产出产品的质量永远是核心问题.本文从设备维护的角度出发, 研究生产系统生产的主要成本组成.
1) 持有/缺货成本.生产系统在工作状态W_iⁿ时的生产能力约束：

(10)

其中: U_max为生产系统的最大生产能力；u(·)为W_iⁿ时的生产率.定义变量x(t)为系统当前成品的库存水平, 则系统的库存积累速率与产出速度的关系为

(11)

其中: x₀为给定的系统初始库存水平; d为需求率; ω(i, k)为废品率.
因此, 在长度为T的时间段内库存成本为

(12)

整理可得T时间内的库存/惩罚成本以及单位时间成本：

(13)

其中, c_in和c_d分别为单位成品库存和缺货成本.
2) 维护成本.系统的维护成本主要包含在预防性维护时由于保养/维修/更换产生的成本.

(14)

其中: φ_n={0, 1};c_A为单位时间保养/维修成本, 其值为两种维护方式成本的加权平均, 即c_A=(1-γ)c_A1+γc_A2; c_B为单位时间更换成本.
3) 小修成本.

(15)

其中, c_cm为单次小修成本, 其值定义为三种维护方式的平均成本^[9], 即c_cm=(c_A1+c_A2+c_B)/3.
4) 质量损失成本.假设产品质量与设备状态的退化相关联, 且由于老化过程和维修中可能存在的人为因素废品率ω(i, k)将会提升：

(16)

其中: i表示设备当前所处的自然退化过程中的状态, 且满足1≤i≤S；k为当前预防性维护次数；p(k)为人为操作对废品率的影响；q(i)为老化过程对废品率的影响.参考文献[10], 对于任意一个工作状态W_i^k, 其废品率为

(17)

其中: q(i)表示在老化过程的给定阶段i时, 废品率增加的百分比；d_b为初始条件下的废品率，接近于0的常数；b_b为基础百分比.对于任何两个相邻的老化状态W_i^k和W_i+1^k, 废品率的增量为

(18)

当维修全为更差维修时, p(k)为增函数且随着维修次数增加而增加.

(19)

其中: k为当前最差维修次数; a_b为该式的基础百分比; ρ_k为控制第k次维修是否为更差维修的控制因子.当ρ_k=0时, 该次维修不是更差维修；当ρ_k=1时, 该次维修为更差维修.
对于任何两个相邻的更差维修状态M_k和M_k+1, 废品率的增量为

(20)

增量Δ_i与Δ_k都非定值.合并两式, 设备生产的废品率为

(21)

单位时间单位废品造成的损失为

(22)

其中, c_q为单位产品成本.
2.4 单机系统维护模型通过预防性维护计划保持设备的健康状态, 并以设备的可用性为中心规划单台设备的PM时刻.设备可用性同时取决于设备的可靠性和维护性.通过设备每个周期的平均工作时间(mean up-time, MUT)和平均宕机时间(mean down-time, MDT)来描述其可用性^[9]：

(23)

其中, MUT和MDT分别定义如下：

(24)

(25)

其中: t_j, k为预防性维护时长; t_c为小修时长.将两式代入得到设备的可用性为

(26)

通过最大化设备的可用度, 即dA/dp=0, 得到单台设备的预防性维护时间间隔t_p：

(27)

考虑到设备维护对生产的影响, 在第k阶段[t_k, t_k+t_p+t_{j, k}], 系统单台设备不同PM方式下的单位时间成本模型为

(28)

其中, 单位时间成本最小维护方式即为k阶段的维护操作.即

(29)

2.5 多机系统维护模型生产系统部件为串行, 任何一台设备的停机导致生产系统停产, 因此要考虑其他设备维护时对当前设备的影响.本文中导致生产系统停机的主要原因为PM操作, 段时间[t₁, t₂]内系统的停机时间为

(30)

因此多设备系统中设备在段时间[t₁, t₂]内不同PM方式下的单位时间成本为

(31)

可得第k阶段的小修成本为CM=(t₂-t₁-t_d^1，2)C_cm，预防性维护成本为PM=(t₂-t₁-t_d^1，2)·C_m.
维护决策为

(32)

3 实验和分析为了验证本文预防性维护策略的有效性, 给出数值实例加以分析^[9-10].设：u=5，d=3，b_b=2.2，d_b=0.01，a_b=0.815，R₀=0.999，R_min=0.8，c_in=1，c_d=200，c_q=5，T_l=5 000；c_A1=0.2c_B；c_A2=0.6c_B，可得c_cm=0.6c_B.
当相关参数取值分别为θ=5 000，β=1.8，t_{j, k}=1 500，i₁=0.8，i₂=0.4, 系统在不同维护操作后可靠性变化如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 不同PM操作下的设备可靠性变化Fig.2 The changing of reliability on different PM actions

以5台设备(M=5)组成的生产系统为例, 进行预防性维护规划, 设备的参数如表 1所示^[9].
表 1(Table 1)

表 1 各设备参数Table 1 The parameters of the machines 设备 θI βI MTBF tj, k i1 tp CB 1 1 300 1.8 1 155 761 0.8 30 200 2 2 400 2.5 2 127 1 278 0.8 50 240 3 2 600 3.2 2 326 1 408 0.9 70 400 4 3 800 3.1 3 395 2 068 0.8 60 320 5 2 000 3.1 1 787 1 066 0.8 80 260

表 1 各设备参数 Table 1 The parameters of the machines

根据表 1数据, 分别计算各设备在不同阶段选择不同维护操作的总成本, 见表 2.
表 2(Table 2)

表 2 不同PM操作下的设备成本Table 2 Cost of machines under different PM actions 阶段A 操作 设备 1 2 3 4 5 A1 427 88 119 95 97 1 A2 238 183 275 221 198 B 225 264 434 349 286 A1 427 313 653 153 347 2 A2 238 227 809 279 287 B 225 264 434 349 286 A1 427 545 119 596 97 3 A2 238 641 275 723 198 B 225 264 434 349 286 A1 427 88 653 95 347 4 A2 238 183 809 221 287 B 225 264 434 349 286 A1 427 313 119 153 97 5 A2 238 227 275 279 198 B 225 264 434 349 286 A1 427 545 653 596 347 6 A2 238 641 809 723 287 B 225 264 434 349 286

表 2 不同PM操作下的设备成本 Table 2 Cost of machines under different PM actions

根据式(33)确定设备在该阶段的维护决策, 相应的最优PM操作及每阶段系统总成本见表 3.系统中各设备在预防性维护周期内可靠性变化如图 3所示.
表 3(Table 3)

表 3 最优PM操作及每阶段系统总成本Table 3 Optimum PM strategies and total cost of system k 时间/h PM操作 A PM CM 1 761 3 1 1 1 1 0.88 444 130 2 1 522 3 2 3 1 3 0.71 1 068 204 3 2 283 3 3 1 3 1 0.74 892 224 4 3 044 3 1 3 1 3 0.73 972 206 5 3 805 3 2 1 1 1 0.84 540 216 6 4 566 3 3 3 3 3 0.62 1 420 425 ??注：平均可用性A=0.76；总成本Ct=5 336+1 405=6 714.

表 3 最优PM操作及每阶段系统总成本 Table 3 Optimum PM strategies and total cost of system

图 3(Fig. 3)

图 3 设备的可靠性变化Fig.3 The reliability changing of machines

为了验证该策略的有效性, 设计对比实验1, 将设备的预防性维护时间间隔设定为500或900 h, 并重复上述实验, 所得结果见表 4.
表 4(Table 4)

表 4 系统可用性和成本Table 4 The availability and costs of the system k tp=500 h tp=900 h A PM CM A PM CM 1 0.92 191 65 0.81 716 198 2 0.77 386 193 0.76 1 082 315 3 0.71 582 208 0.77 922 420 4 0.68 603 351 0.73 1 107 480 5 0.70 581 289 0.66 1 286 531 6 0.77 367 327 7 0.68 534 369 8 0.66 588 408 9 0.72 386 599 Ct=7 029 Aavg=0.74 Ct=7 057 Aavg=0.74

表 4 系统可用性和成本 Table 4 The availability and costs of the system

对比表 4和表 3, 不论是系统平均可用性还是总成本都差于最优t_p时的结果, 验证了可靠性为中心所得的t_p的合理性.
为了验证多操作预防性维护策略的优越性, 进一步给出对比实验2, 当每一阶段的PM操作仅实施B时, 所得结果见表 5.
表 5(Table 5)

表 5 仅采用操作B时的系统总成本Table 5 The cost of system while only B action adopted k 时间/h PM操作 A PM CM 1 761 3 0 0 0 0 0.84 200 215 2 1 522 3 0 3 0 3 0.68 860 376 3 2 283 3 3 0 3 0 0.75 760 487 4 3 044 3 0 3 0 3 0.68 860 577 5 3 805 3 0 0 0 0 0.83 200 612 6 4 566 3 3 3 3 3 0.61 1 420 682 ??注：平均可用性Aavg=0.73；总成本Ct=3 700+3 049=6 749.

表 5 仅采用操作B时的系统总成本 Table 5 The cost of system while only B action adopted

表 5与表 3对比可以看出, 当系统采用多维护操作时, 设备的可用性和维护成本均优于单一操作的预防性维护计划.
4 结论1) 本文给出了退化多机生产系统可用性为中心的多操作预防性维护策略.通过最大化设备可用性得到单机的预防性维护时刻, 最小化包括质量损失成本的总成本, 得到最优的预防性维护操作.算例分析证明, 该方法能够有效得到使系统成本最低的预防性维护策略.
2) 对比实验表明, 可用性为中心的预防性维护策略是合理的, 且多操作(A1, A2和B)的预防性维护策略在设备可用性和总成本方面均优于传统单一操作预防性维护策略.
未来研究可考虑设备之间的影响, 如群组维护, 使得维护策略的制定更具广泛的应用价值.
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