张雪峰, 靳凯净
东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2020-07-24
作者简介：张雪峰(1966-), 男, 辽宁抚顺人，东北大学副教授。

摘要：本文主要研究了离散广义系统的容许性问题.利用离散广义系统的受限等价变换, 提出了一个新的使离散广义系统容许的充分必要条件.通过引入一个中间矩阵, 以配置系统矩阵的部分极点的方式来保证闭环系统的正则性, 并设计了一个状态反馈控制器使得闭环系统容许.利用类似方法, 对不确定离散广义系统的控制器设计问题进行了相应的讨论, 得到了不确定离散广义系统鲁棒镇定的充分条件.本文提出的所有方法是严格的线性矩阵不等式(LMI).两个数值例子验证了本文方法的有效性.
关键词：广义系统离散系统容许性鲁棒镇定性线性矩阵不等式
Admissibility and Robust Stabilization of Discrete Singular Systems Based on LMI
ZHANG Xue-feng, JIN Kai-jing
School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: ZHANG Xue-feng, E-mail: zhangxuefeng@mail.neu.edu.cn.

Abstract: The admissibility issue of discrete singular systems was mainly studied. Applying restricted equivalent transformations of the discrete singular system, a new necessary and sufficient condition was proposed to ensure discrete singular system admissible. By introducing an intermediate matrix to configure partial poles of system matrix such that the closed-loop system is regular, a state feedback controller was designed to make the closed-loop system admissible. Using similar methods, the controller design problem of uncertain discrete singular systems was discussed as well, a sufficient condition of robust stabilization for uncertain discrete singular systems was obtained. All the methods proposed in this article are strictly linear matrix inequalities(LMI). Two numerical examples verify the effectiveness of the proposed methods.
Key words: singular systemsdiscrete systemsadmissibilityrobust stabilizationlinear matrix inequality(LMI)
由于广义系统由微分方程和代数方程的混合形式表示, 所以与正常系统相比, 广义系统更一般, 能更加直接地描述物理系统. 在某种意义上, 正常系统是广义系统的一个特例, 因此, 在过去的几十年里, 广义系统已成为一个深受广大****欢迎的研究领域^[1-4]. 广义系统的应用覆盖经济、机器人技术和电路网络系统等许多领域. 容许性分析是所有广义系统最基本的研究问题, 近几十年来, 研究人员已经对广义系统的极点配置^[5]、H_∞控制^[6-7]、保成本控制^[8]、Takagi-Sugeno模糊广义系统的容许性分析^[9-10]及广义分数阶系统的反馈控制等^[11]进行了大量研究.
随着计算机和数字信号的快速发展, ****们已意识到研究离散系统的重要性和必要性^[12-14], 广义系统和离散系统在控制领域和工程领域发挥着重要作用, 科研人员对离散广义系统的鲁棒镇定^[15-17]、H_∞控制^[18-19]及观测器设计^[20]等问题进行了广泛研究. 在利用上述这些结果进行状态反馈或输出反馈控制器设计时, 它们是双线性矩阵不等式(BMI), 并非严格的线性矩阵不等式(LMI). 而BMI的求解是一个NP难题(非确定性多项式难题), 目前比较特殊的情形可以采用迭代算法求解, 没有通用的有效求解方法, 所以利用现有的BMI判据在实际应用中来研究系统的镇定性问题大多数很难求得可行解.
基于上述文献, 本文提出了离散广义系统容许的充分必要条件, 这一结果是严格的LMI, 避免了原有结果求解等式约束的困难.基于本文提出的容许性判定定理, 通过约束矩阵P的形式, 给出了状态反馈控制器的设计方法, 保证了闭环系统的容许性, 避免了利用原有方法而导致的BMI问题. 同时, 本文也研究了不确定离散广义系统的容许性, 得出的所有结果都是严格的LMI判据, 可以通过Matlab LMI工具箱进行验证. 本文提出的判据排除了奇异矩阵E的零空间, 只考虑广义系统的受限等价变换. 这一方法也适用于其他广义系统.
1 问题描述与预备知识符号说明: Rⁿ表示n维欧几里得空间, R^n×m表示由n×m维的矩阵组成的集合, I表示一个具有适当维数的单位矩阵, I_n表示一个n维单位矩阵, X>0(< 0) 表示矩阵X是正定的(负定的)，sym{Y}表示Y+Y^T, ?表示一个对称矩阵的转置部分.
考虑具有如下形式的线性不确定离散广义系统:

(1)

(2)

式中: x(k)∈Rⁿ表示状态; u(k)∈Rⁿ表示控制输入; y(k)∈R^q表示输出; E∈R^n×n是一个奇异矩阵. 假设矩阵E的秩为m, 记rank(E)=m < n.矩阵A和B的形式为
式中: A∈R^n×n, B∈R^n×p, C∈R^q×n是3个已知的常数矩阵; ΔA和ΔB为具有以下不确定性形式的时不变矩阵:
式中: U, V₁和V₂是已知的常数矩阵; 不确定矩阵F(σ)满足F^T(σ)F(σ)≤I; σ∈Ω, Ω是一个定义在R上的紧集.
基于状态反馈控制器u(k)=Kx(k)的闭环系统为

(3)

定义1^[1]??对自治的离散广义系统Ex(k+1)=Ax(k)有:
1) ?如果det(sE-A)不恒等于0, 则称该系统是正则的;
2) ?如果deg(det(sE-A))=rank(E), 则称该系统是因果的;
3) ?如果ρ(E, A) < 1, 则称该系统是稳定的, 其中ρ(E, A): = |λ|, 为广义谱半径;
如果系统是正则的、因果的和稳定的, 则称该系统是容许的.
引理1^[1]??当F(σ)=0, u(k)=0时, 式(1)是容许的, 当且仅当存在一个非奇异矩阵P=P^T满足

(4)

(5)

引理2 ^[1]??对于给定的正则系统, Ex(k+1)=Ax(k), 若存在两个非奇异矩阵M, N满足
正则系统Ex(k+1)=Ax(k)是因果的, 当且仅当A₄是非奇异的.
M和N满足
式中: A₁∈R^m×m；J∈R^(n-m)×(n-m)是幂零矩阵.
正则系统Ex(k+1)=Ax(k)是因果的当且仅当J=0.
引理3 ^[21]??对于两个给定的实矩阵H和E, F(σ)满足F^T(σ)F(σ)≤I, 有
当且仅当存在一个实数ε>0，使得
引理4^[11]?(舒尔补) 对于任意给定的实矩阵P₁ < 0, P₂, P₃, 有P₁+P₂P₃^-1P₂^T < 0，当且仅当.
2 主要结果2.1 离散广义系统的容许性分析与控制器设计定理1??以下命题是等价的:
i) ?满足F(σ)=0的自治式(1)是容许的.
ii) ?存在矩阵P₁₁∈R^m×m, P₁₂∈R^m×(n-m)和P₂₂∈R^(n-m)×(n-m), 使得

(6)

(7)

式中: M, N∈R^n×n是两个任意的非奇异矩阵, 满足：
iii) ?存在矩阵P₁₁∈R^m×m, P₁₂∈R^m×(n-m)，P₂₂∈R^(n-m)×(n-m)，使得

(8)

(9)

式中，M, N∈R^n×n是两个任意的非奇异矩阵, 满足
证明??首先证明式(1)的容许性等价于i).
充分性: 对于式(1)选择两个非奇异矩阵M和N使得MEN= .
假设不等式(6), (7)成立, 令
, 然后, 根据引理1中的式(4)和式(5), 可得

(10)

(11)

式(10)和式(11)表明矩阵P满足式(4)和式(5), 表明式(1)是容许的.
必要性: 对于一个容许的式(1), 由引理2可知, 存在两个非奇异矩阵M和N, 使得
式中: ∈R^m×m; < 1.应用李雅普诺夫稳定性定理可得正定矩阵P₁₁>0, 满足
令, 可得
因此, 非奇异矩阵P₁₁和P分别满足式(6)和式(7), 证明了式(1)的容许性等价于i).
下面证明i)和ii)的等价性. 由于
det(sE-A)=det(sE-A)^T=det(sE^T-A^T), deg(det(sE-A))=deg(det(sE-A)^T), 这表明(E, A)是正则的、因果的和稳定的, 当且仅当矩阵对(E^T, A^T)是正则的、因果的和稳定的. 因此, 矩阵对(E, A)和(E^T, A^T)的容许性是等价的. 证毕.
注1??利用定理1的判定方法设计状态反馈控制器u(k)=Kx(k), 使闭环系统稳定时, 定理1中的式(7), 式(9)将分别包含非线性项K^TB^TM^TPMBK和KNPN^TK^T. 这会增加使用一般软件进行仿真的难度. 为了避免这一问题, 提出一个基于严格LMI的新定理.
定理2??如果存在矩阵P₁₁∈R^m×m, P₂₂∈R^(n-m)×(n-m), Q₁₂∈R^m×(n-m), Q₂₂∈R^(n-m)×(n-m), H₁∈R^p×m, 使得下列LMI成立, 则表明式(3)在不确定矩阵F(σ)=0情况下是容许的:

(12)

式中:
记,
KN=[K₁??K₂], 其中M和N与在定理1中的定义相似；K₂是一个中间变量, 可通过Matlab中的“place{}”命令得到. 通过配置A₂₂+B₂K₂的极点使得A₂₂+B₂K₂非奇异, 即保证闭环式(3)的正则性和因果性. 状态反馈控制器的增益矩阵为
证明??设置P= P+SQS^T, 其中P, S, Q满足, MENS=0, Q=Q^T.很显然, P满足不等式(4). 由于, 不失一般性, 选择, 那么定理1中的不等式(9)可以改写为

(13)

通过舒尔补引理, 不等式(13)等价于

(14)

式中,
令, 可得

(15)

记,
则有

(16)

相应地, 式(14)中的Φ可进一步表示为

(17)

式(14)的M(A+BK)N P可进一步表示为

(18)

因此式(14)可以进一步表示为式(12). 根据舒尔补引理, 可得式(12)和式(13)是等价的. 证毕.
2.2 不确定离散广义系统的鲁棒镇定根据定理1并考虑不确定性式(1), 提出了一个不确定离散广义系统鲁棒镇定的充分条件.
定理3??如果存在矩阵Q₁₂∈R^m×(n-m), Q₂₂∈R^(n-m)×(n-m), H₁∈R^p×m, P₁₁∈R^m×m, P₂₂∈R^(n-m)×(n-m)和两个正标量ε₁, ε₂使得下列LMI成立, 则系统(3)是鲁棒镇定的:

(19)

式中:
M, N∈R^n×n是两个任意的非奇异矩阵, 满足
K₂是一个中间变量, 可通过Matlab中的“place{}”命令得到. 通过配置A₂₂+B₂K₂的极点使得A₂₂+B₂K₂非奇异, 即保证闭环式(3)的正则性和因果性. 状态反馈控制器的增益矩阵为
证明??根据定理1中的ii)可知:

(20)

(21)

则式(3)是容许的. 类似于定理2的证明, 令P= P+SQS^T, 其中P, S, Q满足, MENS=0, Q=Q^T. 由于, 不失一般性, 选择, 则定理1中的式(9)可重新表示为

(22)

根据舒尔补引理, 式(22)等价于

(23)

式中,
令, 可得

(24)

记,
则有

(25)

由于A=A+ΔA, B=B+ΔB, 则有

(26)

式中,
对于所有满足引理3的F(σ), 存在两个正标量ε₁, ε₂>0, 使得

(27)

应用舒尔补引理可得

(28)

式中,
则式(28)中的Ψ可进一步表示为

(29)

式(28)中的M(A+BK)N P可进一步表示为

(30)

式(28)中的QS^TN^TV₁^T可进一步表示为

(31)

相似地, 式(28)中的QS^TN^TK^TV₂^T可进一步表示为

(32)

式(28)中的P^TN^TV₁^T可进一步表示为

(33)

式(28)中的P^TN^TK^T V₂^T可进一步表示为

(34)

因此, 式(28)可表示为式(19). 根据舒尔补引理, 可得式(28)和式(22)是等价的. 证毕.
3 数值例子本节给出了两个仿真实例以验证本文结果的有效性.
例1??考虑具有以下参数的离散广义系统:
选择
则有
配置A₂₂+B₂K₂的极点为0.5, 可得K₂=[2.5].通过求解定理2中的式(12), 得到可行解:
因此, 可以得到
K=[K₁??K₂]N^-1=[-0.080 0??1.390 0??2.500 0].闭环系统的状态响应如图 1所示, 在第14 s时系统状态趋于稳定, 仿真结果表明所设计的状态反馈控制器是有效的.
图 1(Fig. 1)

图 1 基于状态反馈的闭环系统的状态响应Fig.1 State responses of the closed-loop system based on state feedback

例2??考虑例1中的离散广义系统, 并选择不确定性参数:
选择与例1中相同的矩阵M和N, 通过配置A₂₂+B₂K₂的极点为0.5, 可得K₂=[2.5].通过求解定理3中的式(19), 可得以下可行解:
闭环系统的状态响应如图 2所示, 系统状态在第5 s时趋近于0, 仿真结果表明所设计的控制器使得系统的状态是稳定的.
图 2(Fig. 2)

图 2 基于状态反馈的闭环不确定系统的状态响应Fig.2 State responses of the closed-loop uncertain system based on state feedback

4 结论1) ?通过广义系统的受限等价分解, 得到了离散广义系统容许的充要条件. 通过设计状态反馈控制器, 给出了闭环系统容许的严格线性矩阵不等式条件.
2) ?对不确定离散广义系统的容许性和鲁棒镇定性进行了讨论, 得到了基于状态反馈的闭环系统容许的充分性条件. 本文采用的方法简单有效, 易于推广至其他类型的广义系统中. 在以后的工作中, 将考虑不确定离散广义系统的输出反馈控制器设计问题.
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