陆志国, 王世雄, 林梦磊
东北大学 机械工程学院与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2020-07-13
基金项目：国家重点研发计划项目(2018YFB1304504)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N182410007-05)。
作者简介：陆志国(1982-)，男，辽宁锦州人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：针对典型的不稳定、高阶次、多变量、强耦合、非线性的跷跷板系统, 考虑环境对跷跷板的作用, 提出了一种RBF网络干扰补偿解耦滑模控制(RBF-SMC)算法.通过解耦算法对模型进行解耦, 并使用RBF神经网络对模型受到的干扰和不确定项自适应逼近补偿, 使系统在较小的切换增益下实现较大干扰下的跷跷板平衡控制.在Matlab和Matlab/Adams联合仿真的环境下, 对该算法进行了仿真.仿真结果表明, 对比传统的SMC算法, 在不确定环境下, 通过RBF网络对外加干扰、建模误差、模型简化、外部激励、摩擦阻尼等建模不确定性因素进行学习评估, 有效地提升了系统抗干扰能力, 同时降低了系统的切换增益, 并在有限时间内实现了跷跷板的平衡控制.通过仿真实验结果的比较, 证明了本文提出算法的有效性与可行性.
关键词：跷跷板系统滑模控制RBF网络解耦算法干扰补偿
Study on Decoupling Sliding Mode Control with RBF Network for the Interference Compensation of Seesaw System
LU Zhi-guo, WANG Shi-xiong, LIN Meng-lei
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: WANG Shi-xiong, E-mail: neuwsx@126.com.

Abstract: For a typical unstable, high-order, multi-variable, strong-coupling, nonlinear seesaw system, an adaptive decoupling sliding mode control (SMC) algorithm based on RBF network(RBF-SMC) is proposed considering the effect of the environment on the seesaw. The decoupling algorithm is used to decouple the model, and the RBF neural network is used to compensate for the interference and uncertainty of the model, which realizes the seesaw balance control under large interference with small switching gain. The algorithm is simulated in Matlab and Matlab/Adams and the results indicate that compared with the existing SMC methods, using the RBF network in an uncertain environment to learn and evaluate the external interference, modeling error, model simplification, external excitation, friction damping and so on, not only improves the anti-interference ability of the system effectively, but also reduces the switching gain of the system and realizes the balance control of the seesaw in a limited time. Through the comparison of simulation results, the validity and practicality of the proposed algorithm are proved.
Key words: seesaw systemsliding mode control (SMC)RBF networkdecoupling algorithminterference compensation
跷跷板系统是典型的高阶次、多变量、强耦合的非线性系统, 可以用来验证控制算法在高阶次、非线性系统中的处理能力^[1], 其控制方法和思路在一般工业系统中同样具有普遍的适用性.
近年来, 国内外研究者针对跷跷板系统进行了多项研究.由于跷跷板系统的非线性和复杂性, 一些研究者采用非模型的策略来控制滑块的位置和跷跷板的倾斜角度.张卓等提出了一种改进模糊控制算法^[2], Lin等提出了基于模糊逻辑与模糊协调补偿的平衡方法^[3]以及神经模糊平衡控制方法^[4], Wu等采用数值方法设计了PID控制器^[5].
基于非模型的方法不需要建立动力学方程以及模型线性化^[6], 但是这些方法主要是基于经验的, 很难保证系统的稳定性, 这对系统控制提出了挑战.在被控对象数学模型已知的情况下, 通过滑模控制器, 系统输出可直接跟踪期望指令.韩江对跷跷板系统的滑模变结构控制进行了研究, 对干扰有很好的自适应能力^[7], 在控制器的许可范围内, 可以不考虑扰动.但建模不确定性需要较大切换增益, 会造成抖振, 抖振是滑模控制中难以避免的问题.
针对上述问题, Tsai等提出了一种滑模控制结合神经网络的协同控制方法来削弱系统的抖振现象^[8].Fan等^[9], Hung等^[10]提出了将滑模控制与神经网络逼近结合的控制算法, 通过更新神经网络权值对控制器差异、系统的不确定性和干扰进行补偿, 系统响应较以往系统收敛速度更快.
但是现有的跷跷板模型的建立和平衡控制研究, 对系统与环境的作用关系考虑有限, 平衡控制工作通常在底座和环境无相对运动的条件下完成, 因此现有研究主要考虑的是来自于模型建立和摩擦阻尼等误差的作用, 而系统的外加干扰通常只在一个小的范围内施加.为了使系统的控制方法具有更强的适用性, 本文考虑了跷跷板与环境的相对运动导致的不确定性因素, 并在一个较大的外部干扰条件下完成了控制系统的设计.为解决系统在大干扰下的较大切换增益导致的抖振问题, 通过神经网络对干扰和不确定因素进行评估补偿, 使系统可以以较小切换增益实现较大干扰下的跷跷板平衡控制.
相比以上研究使用的神经网络方法, RBF(径向基函数) 神经网络具有最佳逼近的性质^[11], 克服了其收敛速度慢和局部极小等局限.本文使用RBF神经网络对系统干扰及不确定性进行学习评估, 解决了系统由于环境作用及建模误差、模型简化、外部激励、摩擦阻尼等建模不确定性因素导致的较大切换增益问题.在Matlab环境和Matlab/Adams联合仿真环境下, 进行了SMC算法和RBF-SMC算法仿真.对比结果表明, RBF-SMC算法有更加优良的抗干扰能力, 可以有效地降低系统切换增益, 并在更短的时间内使跷跷板达到平衡状态.
1 跷跷板系统动力学建模跷跷板系统由滑块、跷跷板滑轨、支撑座、滑块电机和传感器组成, 系统模型如图 1所示.电机驱动滑块在跷跷板滑轨上运动, 使得跷跷板能够趋近并保持倾斜角为零的状态.
图 1(Fig. 1)

图 1 跷跷板系统模型图Fig.1 Seesaw system model diagram

模型的简化图如图 2所示.其中x′oy′为系统基坐标系, xoy为跷跷板滑轨坐标系.取滑块位移x和跷跷板倾斜角θ为系统的两个广义坐标.本文使用拉格朗日方法建立系统的动力学模型.
图 2(Fig. 2)

图 2 跷跷板系统简化模型Fig.2 Simplified model of seesaw system

取滑块重心(x_s, y_s)和跷跷板滑轨重心(x_b, y_b)：

(1)

得到滑块速度和跷跷板滑轨速度:

(2)

(3)

故系统动能T:

(4)

式中，J_b, J_s为转动惯量.
定义平衡状态为零势能点, 则系统势能V:

(5)

拉格朗日算子L=T－V, 则

(6)

系统阻尼D:

(7)

拉格朗日函数:

(8)

故可以得到系统的动力学方程:

(9)

取A₁=J_b+J_s+(Δx²+l²)m_b+m_sx², 则跷跷板系统动力学方程可以写为

(10)

2 跷跷板系统模型解耦2.1 模型解耦跷跷板系统是典型的强耦合系统, 滑块的控制力同时作用于滑块的运动及跷跷板的倾斜, 本文使用解耦算法^[12]将模型解耦.
取, g_n(x), n=1, 2, 其中:

(11)

使得系统运动方程可写为

(12)

取, 且u=F, 则系统状态方程：

(13)

取x=[x₁ ?x₂ ?x₃ ?x₄]^T, 有

(14)

运用解耦算法, 本质为消去式中u的作用, 系统解耦后为

(15)

其中, .
式(15)代入式(14)得到

(16)

因x和的存在, 解耦后模型无法写成只含有x_n的形式(其中n=1, 2, 3, 4), 由于q₃=x₃, q₄=x₄, 且, 取A₂=J_b+J_s+(Δx²+l²)m_b, 由式(16)可得到

(17)

式(17)代入式(15)得到解耦后的关于x_n的方程,

(18)

2.2 模型简化为了简化系统模型, 对模型进行处理: ①忽略摩擦力, 即c_b=0, c_s=0;②平衡点附近线性化, 即cosx₃=1, sinx₃=x₃.简化后模型为

(19)

3 模型的滑模算法设计为增加控制方法的鲁棒性以及同时具有更强的适用性, 考虑跷跷板与环境的相对运动导致的不确定性因素, 在一个较大的外部干扰条件下完成系统的滑模控制算法设计.
通过算法实现自由度与控制量之间的解耦, 并通过RBF网络对环境作用、建模误差、模型简化、外部激励、摩擦阻尼等因素造成的较大不确定干扰进行学习评估, 从而降低滑模控制算法的切换增益, 使系统可以以较小切换增益实现较大干扰下的跷跷板平衡控制.跷跷板的控制系统原理图如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 跷跷板控制系统原理图Fig.3 Schematic diagram of seesaw control system

3.1 RBF神经网络干扰自适应RBF神经网络结构简单, 是一种高效的前馈型神经网络, 有良好的泛化能力^[13], 可以在任意精度下适应非线性函数, 它与其他前向网络相比, 独具最佳逼近和全局最优的特点^[14], 同时其拓扑结构紧凑, 参数可分离学习, 有更快的收敛速度.
本文以解耦后的变量x₁, x₂, x₃, x₄作为输入, 使用RBF神经网络^[15-18]逼近跷跷板系统的干扰f, 神经网络算法为

(20)

其中: x为网络输入; j为网络隐含层第j节点; h=[h_j]^T为网络高斯基函数输出; W为网络理想权值; ε为网络逼近误差, 且ε < ε_N.网络输入取x=[x₁? x₂? x₃ ?x₄]^T, 则网络输出为

(21)

3.2 滑模控制算法设计式(19)可以写为欠驱动模型标准形式:

(22)

其中: f为系统干扰，f为干扰上界, 且|f|≤f.令x_i→0, i=1, 2, 3, 4, 取误差方程：

(23)

其中假设.

(24)

已知,

(25)

因此可得

(26)

取滑模函数为s=c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄, 其中, c_i>0, i=1, 2, 3, 因此，

(27)

定义变量η：

(28)

将式(24)、式(28)代入式(27)，有

(29)

应用RBF网络算法, 由式(20)、式(21)可得

(30)

其中, .取=0, 即

(31)

式中：u_eq为等效控制律；取u_sw为切换控制律, 可以得到

(32)

其中：λ>0；M为.
定义u为系统控制律, 且u=u_eq+u_sw, 则

(33)

将式(30)、式(33)代入式(29)，有

(34)

3.3 Lyapunov稳定性分析定义Lyapunov函数^[11]为

(35)

将式(34)代入式(35)得到

(36)

取, 得到自适应律:

(37)

由于, 故, 即≤0.此时Lyapunov函数正定, 并且其导数半负定, 因此跷跷板系统是稳定的.
4 系统的控制算法仿真4.1 Matlab控制仿真及分析为了验证跷跷板模型的准确性以及控制算法的切实性, 在Matlab/Simulink环境下, 分别进行了本文提出RBF-SMC算法和SMC算法的仿真.
系统初始参数如表 1所示, 在相同的外部干扰条件下, 初始状态为q=[0 ?0 ?－5 ?0]^T, 取Δx=0.
表 1(Table 1)

表 1 模型参数表Table 1 Model parameters table 长度/m 质量/kg 转动惯量/(kg·m-2) l h mb ms Jb Js 0.05 0.11 2.43 6 0.02 0.24

表 1 模型参数表 Table 1 Model parameters table

当SMC控制器的边界层参数d=15时, 状态变量的仿真曲线如图 4所示, 由仿真曲线可以看到, SMC曲线和RBF-SMC曲线呈现相似的收敛趋势, 但SMC仿真曲线在2s至4s区间偏离了平衡位置, 与相同区间下的较大外部干扰对应, 如图 5所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 Matlab环境下的跷跷板平衡控制仿真曲线Fig.4 The seesaw balance control simulation curves under Matlab environment (a)—滑块位移；(b)—滑块速度；(c)—倾斜角度；(d)—倾斜角速度.

图 5(Fig. 5)

图 5 系统干扰及神经网络逼近曲线Fig.5 System interference and neural network approximation curves

如图 5所示，系统外部干扰曲线和RBF神经网络干扰逼近曲线, 逼近曲线虽有微小的延后, 但整体上与系统干扰保持了相同的趋势, 体现了RBF神经网络对系统干扰的良好的学习与适应能力.
图 6为SMC仿真和RBF-SMC仿真的控制量输出对比曲线.使用RBF网络对干扰逼近的RBF-SMC算法有更低的控制增益, 一定程度解决了滑模控制算法在大干扰下的较大增益问题.
图 6(Fig. 6)

图 6 控制器输出曲线对比Fig.6 Output curves comparison of controllers

同时, 进行了不同边界层参数d下的SMC仿真, 结果与RBF-SMC仿真做差后的位移误差曲线如图 7a所示, 角度误差曲线如图 7b所示.通过仿真曲线可以看到, 随着d的增大, SMC仿真在2 s后偏离平衡位置的幅值减小, 但即使d增加到一个较大的值时, 误差仍然存在，证明了RBF-SMC算法相比SMC算法有更强的抗干扰能力.
图 7(Fig. 7)

图 7 不同边界层参数的误差对比曲线Fig.7 Error comparison curves of different boundary layer parameters (a)—位移误差曲线；(b)—角度误差曲线.

4.2 Matlab/Adams联合仿真及分析在解耦滑模算法的基础上, 增加RBF网络对干扰的自适应, 在Matlab/Adams环境中, 进行了跷跷板系统的解耦滑模算法(SMC)和RBF网络解耦滑模算法(RBF-SMC)的联合仿真, 系统初始条件为q=[0.03 ?0 ?－5 ?0]^T, 模型参数如表 1所示.图 8为仿真过程的系统干扰曲线和RBF网络干扰逼近曲线, 图 9为Matlab/Adams环境下的联合仿真曲线.
图 8(Fig. 8)

图 8 系统干扰及神经网络逼近曲线Fig.8 System interference and neural network approximation curves

图 9(Fig. 9)

图 9 Matlab/Adams环境下的跷跷板平衡控制仿真曲线Fig.9 The seesaw balance control simulation curves under Matlab/Adams environment (a)—滑块位移；(b)—滑块速度；(c)—倾斜角度；(d)—倾斜角速度.

如图 8所示的RBF网络干扰逼近曲线相比系统干扰曲线存在一定的误差, 推测可能的因素为Adams模型摩擦和阻尼的添加以及仿真模型和数学模型之间的误差.
图 9所示的仿真曲线，增加干扰自适应的RBF-SMC仿真曲线相比SMC仿真曲线以更快的速度收敛(收敛时间缩短约30%)，虽然在0~4.3 s两种算法受到外部干扰时均偏离了平衡位置，但RBF-SMC仿真曲线的偏离幅值及波动情况均小于SMC仿真曲线.仿真显示了良好的收敛速度和抗干扰能力，证明了本文提出的通过RBF网络对系统不确定性因素进行学习评估的算法的可行性.
5 结论1) 本文考虑了跷跷板系统与环境作用时产生的大范围不确定干扰, 验证了RBF神经网络干扰自适应的解耦滑模控制(RBF-SMC) 算法应用于跷跷板系统平衡控制的有效性.针对跷跷板系统的多变量和强耦合性质, 使用解耦算法实现控制量与耦合项之间的解耦; 针对滑模控制算法的控制增益与系统振荡问题, 使用RBF神经网络对系统干扰和建模不确定性因素进行学习自适应, 来降低系统的控制增益.
2) 在Matlab/Simulink环境及Matlab/ Adams环境下, 进行了RBF-SMC和传统SMC算法的仿真和联合仿真, 以验证系统模型的准确性以及控制算法的可行性.经仿真验证, 本文所提的RBF-SMC算法可以很好地对外部干扰等不确定因素学习逼近, 有更加优良的抗干扰能力.与传统的SMC算法相比, RBF-SMC算法可以有效降低系统的控制增益, 减少系统的振荡及抖振, 并且可以在更短的时间内达到平衡状态.此外, 本文提出的控制算法在类跷跷板系统的平衡控制中也可以得到应用.
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