摘要:光纤激光器凭借其优良特性已在众多领域中得到广泛应用, 光束质量是衡量其性能的重要指标之一. $ M^2 $因子是应用较为广泛的一种评价因子, 但已被证明并不适用于非高斯分布的光斑, 此时常用β因子来评价. 本文以光纤激光基模光束为研究对象, 理想光束选取包含LP₀₁模99%能量的圆形实心均匀光束, 理论研究了β因子与阶跃折射率光纤中LP₀₁模的各项参数之间的关系. 研究发现: 采用经典的β因子定义方法, 当归一化频率V大于1.8时, LP₀₁模的β值小于1, 远场聚焦能力优于理想光束. 此外, β因子随归一化频率V、纤芯半径a或数值孔径NA的增大而减小, 并且与M ²因子呈非线性关系.
关键词: 光纤激光/
激光光束质量/
衍射极限倍数β/
M ²因子

English Abstract

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光纤激光器具有阈值低、效率高、结构紧凑、免维护等优点, 在光纤通信、传感、工业加工、国防等多个领域中有着巨大的应用潜力^[1-4]. 随着光纤制备、半导体激光器^[5]等相关技术的快速发展, 光纤激光器的输出功率日益增长^[6-8]. 光束质量是高能激光系统的重要性能指标, 因此在追求更高的输出功率的同时, 研究人员也在不断探寻光束质量的评价方法.
目前为止, 针对不同的应用, 人们对光束质量提出了多种定义, 主要包括: 聚焦光斑尺寸、斯特列尔比、远场发散角、衍射极限倍数β因子、桶中功率 (能量)、光束参数乘积、光束传输因子和M ²因子^[9-13]. 其中, M ²因子同时考虑了近场和远场的光场分布特性, 避免了只使用远场半径或者远场发散角给光束质量的测量带来的不确定性, 被国际标准化组织(ISO)推荐为评价光束质量的重要标准^[14], 目前大多数光纤激光光束质量的评价采用了M ²因子^[15-20], 且已有通用测量设备^[21]. 但是, 当激光光斑呈现非高斯分布时, M ²因子并不能准确地反映光束质量的优劣^[22]. 如在高能激光束能量输运和激光工业制造等应用场合中, 人们更关注实际光束的远场集中度(即光束可聚焦能力)^[10]. 在此类情形中, 衍射极限倍数β因子常作为光束质量的评价标准^[23-28]. 一方面, β因子能反映光束的能量传输效率和可聚焦能力, 且比M ²因子更方便测量, 至今已有较多文献对β因子进行了研究^[27-30]; 另一方面, 光纤激光输出的光束并不是严格的高斯分布(即便是基模光束), 到目前为止, 研究光纤激光输出光束β因子的相关工作还比较欠缺^[27]. 与其他激光器不同的是, 在光纤激光器中光束被限制在纤芯中传输, 且光纤归一化频率V对光纤激光器输出光束的能量集中度和光强分布影响较大^[31], 因此, 需要详细讨论光束质量评价标准中理想光束的选取.
本文利用衍射极限倍数β因子作为光纤激光基模(LP₀₁模)的光束质量评价参数, 根据LP₀₁模光强分布的规律采取了新的理想光束定义方式, 分别研究了LP₀₁模的光束质量β因子随归一化频率V、纤芯半径a和数值孔径NA的变化. 目前高功率光纤激光器大都采用掺杂阶跃折射率光纤(SIF)作为增益介质, 不失一般性, 本文选取基于SIF的激光光束作为研究对象. 以往激光器系统常用$ M^2 $因子作为光束质量评价标准, 因此, 本文还将β因子与M²因子进行对比分析, 并对主要结论进行了合理的解释.

本节将给出光纤中LP₀₁模的光场表达式, 并对适用于光纤激光的光束质量β因子和$ M^2 $因子的计算公式进行分析讨论.
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2.1.LP₀₁模电场分布

高功率光纤激光器所用的SIF基本都能满足弱导近似, 因此, 在纤芯半径为a的SIF中, LP₀₁模的电场分布为^[32]

$ E(r) = \left\{ {\begin{aligned}&{{\rm{J}}_0}\left( {U\frac{r}{a}} \right){, }&r \leqslant a{{, }}\\&\frac{{{{\rm{J}}_0}(U)}}{{{{\rm{K}}_0}(W)}}{{\rm{K}}_0}\left( {W\frac{r}{a}} \right){{,}}& r > a{{, }}\end{aligned}}\right.$

式中, J₀和K₀分别表示0阶第一类贝塞尔函数和第二类修正贝塞尔函数. U和W的定义为

$ U = \frac{{2{\rm{\pi }}a}}{\lambda }\sqrt {n_{{\text{co}}}^2 - n_{{\text{eff}}}^2} {, } $

$ W = \frac{{2{\rm{\pi }}a}}{\lambda }\sqrt {n_{{\text{eff}}}^2 - n_{{\text{cl}}}^2} {, } $

式中, λ表示波长, n_co和n_cl分别表示纤芯和包层折射率, n_eff为LP₀₁模的等效折射率, 归一化频率V可表示为$V^2 = {U^2} + {W^2}$, 数值孔径NA可表示为$ NA = \sqrt {n_{{\text{co}}}^2 - n_{{\text{cl}}}^2} $. 同时, U和W满足特征方程^[33]:

$ U\frac{{\text{J}}_{1}(U)}{{\text{J}}_{\text{0}}(U)}=W\frac{{\text{K}}_{1}(W)}{{\text{K}}_{\text{0}}(W)} . $

值得说明的是, 当LP₀₁模的V < 1.5时, 波导结构不能有效地将光能量约束在纤芯内, 导致大部分光场分布在包层中, 而使光场偏离了高斯分布^[31], 且V < 1.5的光纤纤芯尺寸很小, 不适用于高功率激光的产生. 为了抑制非线性效应、热透镜效应等效应的产生, 高功率光纤激光器的纤芯尺寸可能较大, 此时光纤已不再是单模, 即V > 2.405. 为了满足光纤传输、工业加工等应用的需求, 可以通过模式控制手段或者采用特种光纤, 在多模光纤中实现等效单模输出^[34,35]. 综上所述, 本文中归一化频率V的取值范围在1.5—20.0, 将多模光纤所支持的基模情况考虑在内.
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2.2.衍射极限倍数β因子

衍射极限倍数β因子定义为^[36]

$ \beta = {\theta }/{{{\theta _{\text{0}}}}} {, } $

式中, θ和θ₀分别表示实际光束和理想光束的远场发散角(半角). 一般情况下, β > 1, β越小, 实际光束远场能量集中度越高, 光束质量越好. 然而, 采用不同的理想光束选取标准时, 会得到β < 1的结果^[27]. 文献[27]分别选取纤芯半径为圆形实心均匀光束和高斯光束的半径作为理想光束, 对两种计算方式得到的β因子进行对比. 分析指出, LP₀₁模的束腰比纤芯半径小, 将高斯光束作为理想光束计算得到的β值并不能准确反映LP₀₁模的光束质量. 因此, 在实际测量中, 作者提出以LP₀₁模作为理想光束, 计算不同光纤参数下光纤激光器的β因子. 实际上, LP₀₁模取不同归一化频率V时其远场聚焦能力是不同的. 根据LP₀₁模的光强分布变化规律, 本文采用圆形实心均匀光束作为理想光束(其半径为包含LP₀₁模99%能量的环围半径(r₉₉)), 对LP₀₁模的光束质量β因子进行了研究. 归一化频率V取不同值时, 纤芯半径a和r₉₉的变化如图1所示. 由图可知, 当V < 2时, LP₀₁模的较大部分能量分布在纤芯外, r₉₉是纤芯半径的一倍以上, 特别地, 当V = 1.5时, 圆形实心均匀光束的半径约为纤芯半径的3.7倍; 当V > 6时, 圆形实心均匀光束的半径约等于纤芯半径. 半径为r₉₉的圆形实心均匀光束对应的远场发散角为$ {\theta _{\text{0}}}{{ = 0}}{\text{.61}}\lambda {{/}}{r_{99}} $^[10], 实际光束远场发散角θ的定义为$ \theta = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \dfrac{{w(z)}}{z} $, 实测时通常用近场方法测量远场发散角^[26]. 也就是说, 将光束用焦距为f的无像差聚焦光学系统进行聚焦, 在像方焦平面测得聚焦光斑半径w_f, 则远场发散角为$ \theta {{ = }}{w_f}/f $. 因此, 只要在焦平面测出光斑半径w_f便能求得β因子的值.
图 1 不同归一化频率V下, 纤芯半径(洋红色实线)和包含LP₀₁模99%能量的环围半径(黄色虚线)示意图
Figure1. Schematic of core radius (magenta solid line) and the radius containing 99% of the energy of LP₀₁ mode (yellow dotted line) for different values of normalized frequency V.

在远场平面处, 本文将分别采用环围功率(能量)桶半径定义和二阶矩束宽定义^[36]对β因子的计算进行比较分析. 环围功率也叫作桶中功率(power in the bucket, PIB), 用来表征光束的能量集中度, 它反映了激光束的远场聚焦能力. 其定义为给定“桶”半径b内的激光功率占总功率的百分比^[13]:

$ {\text{PIB}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\int_{ - b}^b {\displaystyle\int_{ - b}^b {{{\left| {E(x,y)} \right|}^2}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } }}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| {E(x,y)} \right|}^2}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } }} {, } $

对于任意电场分布E(x, y), “桶”半径b称为其环围功率桶半径, 常用的PIB = 86.5%, 83.8%. 圆形实心均匀光束远场发散角$ {\theta _{\text{0}}}{{ = 0}}{\text{.61}}\lambda {{/}}a $内所占能量比为83.8%^[10], 因此本文以83.8%环围功率桶半径作为聚焦光斑半径w_f .
光束重心位置$\overline j $和二阶矩束宽w_j分别定义为^[37]

$ \overline j = \displaystyle\frac{{\displaystyle\iint {j{{\left| {E(x,y)} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y}}}{{\displaystyle\iint {{{\left| {E(x,y)} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y}}} {, } $

$ w_j^2 = \frac{{4\displaystyle\iint {{{(j - \bar j)}^2}{{\left| {E(x,y)} \right|}^{\text{2}}}{\text{d}}x{\text{d}}y}}}{{\displaystyle\iint {{{\left| {E(x,y)} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y}}} {, } $

式中j = x, y, $ \bar x $和$ \bar y $分别代表x和y方向光束重心位置, w_x和w_y分别代表x和y方向光束二阶矩束宽.
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2.3.$ M^2 $因子

$ M^2 $因子的定义为^[38]

${M^2} = \frac{{实际光束束腰宽度 \times 远场发散角}}{{理想高斯光束束腰宽度 \times 远场发散角}}. $

该定义要求光束束腰宽度按照(8)式所示二阶矩定义进行计算. 对于理想基模高斯光束, 其束腰宽度和远场发散角的乘积为λ/π. 通常情况下, 实际光束$ M^2 > 1, ~M^2 $值越大, 实际光束越偏离理想基模高斯光束分布, 光束质量越差.

图2为不同归一化频率V下, LP₀₁模和理想光束在初始平面和焦平面的归一化一维光强分布. 为了方便对比焦平面处的光斑大小, 计算中出射面的均匀平面波和LP₀₁模的总能量相同, 焦平面的光强分布以均匀平面波的最大光强进行归一化. 由图可知, 当归一化频率V增大时, 初始平面处均匀平面波的半径减小, 也就是说, LP₀₁模的光强分布集中度增大(见图2(a1)—(a4)). 图2(b1)—(b4)中竖直蓝色实线和洋红色虚线分别表示LP₀₁模和理想光束的环围桶功率半径位置, 从图中可看出, 与理想光束相比, LP₀₁模的环围功率桶半径在V较小时略大于理想光束, 随着LP₀₁模归一化频率V增大, 其环围功率桶半径逐渐小于理想光束, 远场能量集中度逐渐大于理想光束.
图 2 不同归一化频率V下, LP₀₁模(蓝色实线)和理想光束(洋红色虚线)在出射面 ((a1)—(a4))和焦平面((b1)—(b4))的一维光强分布
Figure2. For different values of normalized frequency V, 1D intensity distributions of LP₀₁ mode (blue solid line) and ideal beam (magenta dotted line) in the initial plane ((a1)?(a4)) and focal plane((b1)?(b4)).

当远场半径采用不同定义方式时, β因子随归一化频率V的变化曲线图如图3所示. 由图3可知, 当理想光束选取包含LP₀₁模99%能量的圆形实心均匀光束时, LP₀₁模的β值随着V的增大而减小, 当到达极小值后β值又缓慢增大. 该变化趋势说明随着归一化频率的增大, LP₀₁模的远场聚焦能力迅速提高, 后以微小的幅度逐渐减弱, 当V > 5时, LP₀₁模的光场分布被限制在纤芯中并趋于稳定. 图3中β取最小值的位置(V = 7.6)已用实心圆点标识出来, 该点处LP₀₁模的远场聚焦能力最强, 当以二阶矩束宽定义远场半径时β_min = 0.7439; 当以环围功率半径定义远场半径时β_min = 0.7119. 在V > 5时LP₀₁模有着较好的远场聚焦能力, 并且此时的β值变化幅度较小, 在二阶矩束宽和环围功率半径定义下的β值分别处在0.75和0.72附近. 此外, 以二阶矩束宽定义的β值略大于环围功率半径定义的β值, 实际测量中, 可以根据测量方法和误差大小选取合适的远场光斑光束半径定义方式. 特别地, 当V > 1.8时, β值小于1(见图3绿色区域), 结合图1可知, 当V小于1时, 表示LP₀₁模的远场能量集中度大于理想光束, 随着归一化频率V的增大, LP₀₁模β值减小, 远场能量集中度增大, 光束质量越好. 值得说明的是, 本文中LP₀₁模小于1时并不是超衍射的情形, 该结果是由于理想光束选取标准的不同所造成的. Yan等^[27]曾分析了双包层光纤在理想光束分别以均匀平面波和高斯光束定义下的光束质量因子β取值, 两种不同的定义方式其光束质量β值差别较大, 在均匀平面波作为理想光束时其β值小于1, 这是由于高斯光束与平面波传输特性的不同造成的.
图 3 不同半径定义下β因子随归一化频率V的变化关系
Figure3. β factor versus normalized frequency V for different definitions of radius.

接下来, 分别研究纤芯半径a和数值孔径NA对β因子的影响. 图4(a), (b)分别为β因子随纤芯半径a和数值孔径NA变化曲线图. 由图4(a)可知, 固定数值孔径NA不变时, β因子随纤芯半径a增大先减小后缓慢增大. 当纤芯半径a小于20 μm时, 纤芯半径的变化对β因子的影响较大. 由图4(b)可知, 固定纤芯半径a不变时, β因子随数值孔径NA的增大而减小. 纤芯半径a越小, 数值孔径NA的变化对β因子的影响越大. 事实上, 归一化频率V与纤芯半径和数值孔径成正比, 纤芯半径或数值孔径的增大都会造成归一化频率V的增大, 因此β因子随纤芯半径和数值孔径的变化趋势和β因子随归一化频率V的变化趋势一致.
图 4 β因子随纤芯半径a (a)和数值孔径NA (b)的变化关系图
Figure4. β factor versus core radius a (a) and numerical aperture NA (b).

从β因子评价角度来看, 以上计算结果表明光纤激光LP₀₁模的光束质量β因子随着归一化频率V先减小后缓慢增大, 当V > 1.8时β值小于1, 并且在V > 5时基本保持不变; 从M ²因子评价角度看, LP₀₁模的M ²因子始终大于1(图5(a)), 并且M ²因子随着归一化频率V的增大先减小后增大, 与文献[32, 39]的结果一致. 这就表明当选用不同的理想光束和光束质量评价标准时, 得到了不同的结论. 将图5(a)中同一归一化频率V所对应的M ²和β值表示在图5(b)中, 得到β因子随M ²因子的变化关系图, 由图可知LP₀₁模的β因子和M ²因子的变化关系图呈非线性关系, 也就是说, M ²因子和β因子并无一一对应关系.
图 5 (a) 光束质量因子随归一化频率V和(b) β因子随$ M^2 $因子的变化关系图
Figure5. (a) Beam quality factor versus normalized frequency V and (b) β factor versus $ M^2 $ factor.

众所周知,$ M^2 $因子是以基模高斯光束作为理想光束评判实际光束的光束质量, $ M^2 $因子越接近1, 光束的传输特性越接近基模高斯光束, 一般认为其光束质量越好. 而β因子是评价光束能量集中度的物理量, 其远场发散角越小, 认为其光束质量越好. 因此, 对于非基模高斯光束来说, 两种评价标准无绝对的联系, 具体应采用哪种评价标准评价光束质量需结合实际应用需求进行讨论. 对于高功率激光能量输运、对靶目标进行损伤、惯性约束核聚变驱动器、工业材料激光加工等应用场合中, 考虑采用β因子作为光束质量评价标准; 对于激光通信、光束经过望远镜系统等应用中, 考虑采用M²因子作为光束质量评价标准.

本文研究了阶跃折射率光纤中LP₀₁模的光束质量β因子变化规律. 结果表明: 当理想光束选取包含LP₀₁模99%能量的圆形实心均匀光束时, 随着归一化频率V的增大, LP₀₁模的β值先减小后缓慢增大, 能量集中度增大. 特别地, 当V > 1.8时, LP₀₁模的β值小于1, 其光束质量要优于理想光束; 当V > 5时, β值基本保持不变. 固定数值孔径NA不变时, β因子随纤芯半径a增大而减小, 并且在纤芯半径a小于20 μm时, 纤芯半径的变化对β因子的影响较大; 固定纤芯半径a不变时, β因子随数值孔径NA增大而减小, 纤芯半径a越小, 数值孔径NA的变化对β因子的影响越大. 此外, 本文研究了LP₀₁模β因子和M ²因子之间的关系, 结果显示β因子和M ²因子呈非线性关系, 即LP₀₁模的β因子和M ²因子并无一一对应的关系. 以上结果可为高能光纤激光系统设计提供重要参考.