石墨烯增强半导体态二氧化钒近场热辐射

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1.引　言

辐射体之间的换热间距接近特征波长时, 热传递不再受普朗克定律的限制, 此时辐射体的表面等离激元(surface plasmon polaritons, SPP)、表面声子极化子(surface phonon polaritons, SPhP)以及光子隧穿效应等使热传递得到显著增强, 这使得近场热辐射的相关研究被广泛关注, 越来越多的研究表明科研人员可通过改进辐射换热结构和选取更优性能的材料来达到调控近场热辐射的目的^[1,2].
石墨烯SPP的频率覆盖了从太赫兹到近红外范围且具有可调节特性, 这使得石墨烯及其复合结构非常适合用于近场热辐射研究. 近些年来, 以石墨烯为基础的近场热辐射被广泛深入的研究, 如对单层石墨烯^[3,4]的研究, 基于石墨烯的各种超材料^[5]的研究, 石墨烯与氮化硼^[6]、掺杂硅^[7]等材料的近场热辐射研究. 二氧化钒(VO₂)是一种相变材料, 在接近温度点68 ℃时会发生从半导体态到金属态的相变, 同时光学性质也会发生突变^[8], 这种特性使得VO₂受到广泛的关注, 出现了许多关于VO₂的研究, 其中包括相变温度以及性能研究、VO₂智能窗超材料等^[9,10].
在1996年Choi等^[11]的研究中发现处在介质态的VO₂可能支持表面声子模式, 这促进了VO₂在近场热辐射领域内的研究. van Zwol等^[12]于2011年研究了VO₂的相变特性和声子共振极化作用对近场热辐射热流的调控作用, 并在2012年的文章中证明了介质态VO₂的SPhP可以增强近场热传输^[13]. 在目前的研究成果中, 对VO₂本身以及覆盖石墨烯的VO₂结构的热辐射特性研究较少, 对VO₂薄膜厚度和石墨烯化学势等物性参数对近场热辐射的影响缺少全面系统的研究. 为此, 本文基于麦克斯韦方程组和波动电动力学的基础上, 对石墨烯覆盖的VO₂结构间的近场热辐射进行了研究, 建立了计算模型, 对比分析了三种不同结构的近场热辐射特性, 为更加深入研究VO₂与石墨烯之间的热辐射特性以及以后的相关实验和工程实际应用提供了理论基础.

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2.1.介质态VO₂介电常数

介质态VO₂介电函数公式为:

$ \varepsilon (\omega )={\varepsilon }_{\infty }+{\sum\limits_{j\rm=1}^{N}\frac{{S}_{j}{\omega }_{j}^{2}}{{\omega }_{j}^{2}-{\rm i}{\gamma }_{j}\omega -{\omega }^{2}}}, $

该公式是一个经典的振荡器模型, 对其详细描述来自2007年 Zhang^[14]的著作. 2013年, Yang等^[15]的论文里同样使用了此公式. 其中${\varepsilon _\infty }$

为高频常数, $\omega $

为角频率, ${\omega _j}$

为共振频率, ${\gamma _j}$

为散射率, i表示虚数单位, ${S_j}$

表示振荡强度. VO₂在介质态下为晶体结构, 入射光分解为平行于光轴和垂直于光轴两部分. 1966年 Barker等^[16]的实验测量结果表明平行于光轴共有8个共振模式, 垂直于光轴有9个共振模式, 并给出了对应的参数数值, 在本文计算中我们也使用其给出的参数数值来表示介质态VO₂的介电函数.
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2.2.石墨烯电导率

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2.2.石墨烯电导率

石墨烯电导率的研究已经比较成熟, 在 Riccardo 等^[17]的文章中有对石墨烯电导率的详细描述, 分别用下面的公式表示, 其中${\sigma _{\rm{1}}}$

表示带内贡献, ${\sigma _{\rm{2}}}$

表示带间贡献, 两者相加即为石墨烯电导率$\sigma = {\sigma _1} + {\sigma _2}$

${\sigma _1} = \frac{{2{\rm{i}}{e^2}{k_{\rm{B}}}T\ln \left[ {2\cosh \left( {\mu /\left( {2{k_{\rm{B}}}T} \right)} \right)} \right]}}{{(\omega + {\rm{i}}/\tau ){\rm{\pi }}{\hbar ^2}}},$

${\sigma _{\rm{2}}} = \frac{{{e^2}}}{{4\hbar }}\left[ {E\left( {\frac{{\hbar \omega }}{2}} \right) + \frac{{{\rm{i}}4\hbar \omega }}{{\rm{\pi }}}I} \right],$

其中

$E(\delta ) = 1/\left[ {\frac{{\cosh \left( {\mu /\left( {{k_{\rm{B}}}T} \right)} \right)}}{{\sinh \left( {\delta /\left( {{k_{\rm{B}}}T} \right)} \right)}} + \coth \left( {\delta /\left( {{k_{\rm{B}}}T} \right)} \right)} \right],$

$I = \int_0^\infty {\left[ {E(\delta ) - E\left( {\frac{{\hbar \omega }}{2}} \right)} \right]} \bigg/\left[ {{{\left( {\hbar \omega } \right)}^2} - 4{\delta ^2}} \right]{\rm{d}}\delta ,$

在本文中$\mu $

表示石墨烯化学势, 可以在$\mu $

= 0.1—0.6 eV内调节, 取弛豫时间$\tau $

= 10^–13 s, $\omega $

表示角频率, 绝对温度T为设置的T₁ = 300 K, T₂ = 298 K, e表示电子电荷数, k_B为玻尔兹曼常数, i表示虚数单位, $\hbar $

表示狄拉克常数.
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2.3.半无限大平板结构的近场热辐射热流

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2.3.半无限大平板结构的近场热辐射热流

用来求解真空距为d的两个半无限大平板结构的近场辐射热流Q ^[18]的表达式为

$\begin{split}Q =\; & \frac{1}{{4{{\rm{\pi }}^2}}}\int_{\rm{0}}^\infty {\left[ {\varTheta \left( {\omega,{T_1}} \right) - \varTheta \left( {\omega,{T_2}} \right)} \right]{\rm{d}}\omega } \\ & \times\int_{\rm{0}}^\infty {{\xi _{j = {\rm s},{\rm p}}}\left( {\omega,\beta } \right)\beta {\rm{d}}\beta },\end{split}$

其中$\beta $

为波矢的横向分量; ${\xi _{j = {\rm s}, {\rm p}}}\left( {\omega, \beta } \right)$

为光子隧穿概率, 包括横向电波（s极化）和横向磁波（p 极化）的贡献; $ \varTheta \left(\omega, T\right)$

为普朗克谐振子的平均能量, 可以表示为

$\varTheta \left(\omega, T\right)=\frac{\hslash \omega }{\exp\left[\hslash \omega /({k}_{\rm{B}}T)\right]-1},$

其中$\hbar $

表示狄拉克常数.
用来计算$ {\xi _{j = {\rm{s, p}}}}\left( {\omega, \beta } \right) = {\xi _{\rm{s}}}\left( {\omega, \beta } \right) + {\xi _{\rm{p}}}\left( {\omega, \beta } \right) $

的表达式为^[7]

$ {\xi _{j = {\rm{s,p}}}}(\omega ,\beta ) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{{\big( {1 - {{\left| {{r_{j,{\rm{E}}}}} \right|}^2}} \big)\big( {1 - {{\left| {{r_{j,{\rm{R}}}}} \right|}^2}} \big)}}{{{{\Big| {1 - {r_{j,{\rm{E}}}}{r_{j,{\rm{R}}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_{\rm{z}}^{\left( 0 \right)}d}}} \Big|}^2}}},\;\beta < {k_0},\\ & \frac{{4{\rm{Im}} ({r_{j,{\rm{E}}}}){\rm{Im}} ({r_{j,{\rm{R}}}}){{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_{\rm{z}}^{\left( 0 \right)}d}}}}{{{{\Big| {1 - {r_{j,{\rm{E}}}}{r_{j,{\rm{R}}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_{\rm{z}}^{\left( 0 \right)}d}}} \Big|}^2}}},\;\beta > {k_0}, \end{aligned} \right. $

其中${r_{j, {\rm{E}}}}$

和${r_{j, {\rm{R}}}}$

分别代表发射端和接收端的菲涅耳反射系数. $ {k}_{z}^{(0)}={({k}_{0}^{2}-{\beta }^{2})}^{1/2}$

为真空中波矢Z方向上的分量, 此公式中${k_0} = \omega /{c_0}$

表示真空中波矢, ${c_0}$

表示真空中的光速.
两个被石墨烯覆盖的半无限大介质间的菲涅耳反射系数可以用(6)式和(7)式表示^[19], 而没有石墨烯覆盖的两半无限大介质之间的菲涅耳反射系数只需要将(6)式和(7)式中含有石墨烯电导率的部分变为0即可^[20]. 当石墨烯覆盖有厚度的两介质时, 菲涅耳反射系数计算公式变为(8)式和(9)式^[2,21].

$ {r_{\rm s}} = \frac{{k_z^{({\rm{0s}})} - k_z^{({\rm{1s}})} - \sigma \mu_0 \omega }}{{k_z^{({\rm{0s}})} + k_z^{({\rm{1s}})} + \sigma \mu_0 \omega }}, $

${r_{\rm p}} = \frac{{k_z^{({\rm{0p}})}\varepsilon _ \bot ^{({\rm{1}})} - k_z^{\rm {(1p)}}\varepsilon _ \bot ^{(0)} + \frac{{\sigma k_z^{({\rm{0p}})}k_z^{({\rm{1p}})}}}{{{\varepsilon _0}\omega }}}}{{k_z^{({\rm{0p}})}\varepsilon _ \bot ^{({\rm{1}})} + k_z^{({\rm{1p}})}\varepsilon _ \bot ^{(0)} + \frac{{\sigma k_z^{({\rm{0p}})}k_z^{({\rm{1p}})}}}{{{\varepsilon _0}\omega }}}},$

${r_{\rm {s}}} = \frac{{{r_{\rm {s01}}} + {r_{\rm {s12}}}(1 + {r_{\rm {s01}}} + {r_{\rm {s10}}}){{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_z^{\rm {(1s)}}d_{\rm{h}}}}}}{{1 - {r_{\rm {s10}}}{r_{\rm {s12}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_z^{(1s)}d_{\rm{h}}}}}},$

${r_{\rm p}} = \frac{{{r_{\rm {p01}}} + {r_{\rm {p12}}}(1 - {r_{\rm {p01}}} - {r_{\rm {p10}}}){{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_z^{\left( \rm{1p} \right)}{d_{\rm{h}}}}}}}{{1 - {r_{\rm{p10}}}{r_{\rm{p12}}}{{\rm{e}}^{2{\rm{i}}k_z^{\left( {\rm{1p}} \right)}{d_{\rm{h}}}}}}}$

其中在上述公式中, $k_z^{(n{\rm p})} = \sqrt {\varepsilon _ \bot ^{(n)}k_0^2 - \varepsilon _ \bot ^{(n)}{\beta ^2}/\varepsilon _{/\!/} ^{(n)}}$