基于双极性混沌序列的托普利兹块状感知矩阵

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2.双极性混沌序列及其统计特性

2.1.双极性混沌序列的产生

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2.1.双极性混沌序列的产生

回顾一个简单$ \alpha $

阶一维映射函数, 其定义为

$ z_{j+1} = \tau(z_j) = \cos( \alpha \cdot \arccos z_j ), \quad j \in \mathbb{N}, $

式中$z_j = \tau^j(z_0) \in {{I}} = [-1, 1]$

, $ z_0 $

表示初始值. 当$ 1 < \alpha \in \mathbb{N^+} $

且$-1 \leqslant z_0 \leqslant 1$

时, (5)式就是著名的切比雪夫(Chebyshev)混沌系统, 其连续不变测度为$\rho^\ast(z){\rm{d}}z = \dfrac {{\rm{d}}z} {(\pi\sqrt{1-z^2})}$

. 通过对(5)式反复迭代, 就可以产生一组切比雪夫实值混沌序列$ \{{\tau^j(z_0)}\}_{j = 0}^{\infty} $

, 即$ \{{z_j}\}_{j = 0}^{\infty} $

. 随后, 为该混沌实值序列$ \{{z_j}\}_{j = 0}^{\infty} $

引入切比雪夫对称混沌阈值函数, 即

$T\left( z \right) = \left\{ \begin{aligned}&{ + 1},\qquad{0 \leqslant{z_j} \leqslant1},\\&{ - 1},\qquad{ - 1 \leqslant {z_j} < 0},\end{aligned} \right.$

其中$ T(z) $

的互补函数为

$ \overline{T}{(z)} = 1- T{(z)}. \nonumber $

结合(5)式和(6)式, 便可得到一组双极性切比雪夫混沌序列$\{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty}$

, 也就是$ \{T({z_j})\}_{j = 0}^{\infty} $

. 在实际应用中, 通过一个比较器和一些简单的移位寄存器就可以很容易地硬件生成双极性混沌序列^[18]. 值得注意的是, 双极性混沌序列$\{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty}$

的统计均值可通过下式求得:

$ {\langle T \rangle}_{\tau} = \int_{{I}} T(z) \cdot \rho^{\ast}(z) {\rm{d}}z. $

代入双极性切比雪夫混沌系统的连续不变测度可得${\langle T \rangle}_{\tau} = 1/ 2$

.
2

2.2.双极性混沌序列的统计特性

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2.2.双极性混沌序列的统计特性

在分析双极性切比雪夫混沌序列$\{T({\tau^j} \!(z_0)\!)\}_{j = 0}^{\infty}$

统计特性前, 需先回顾1个关于Perron-Frobenius算子的引理.
引理2^[19]　Perron-Frobenius算子$ P_{\tau} $

作用于关于$ \tau(z) $

的有界变差函数$ H(z) $

时满足

$ \begin{split}\;&{P_\tau }H(z) = \\& \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}z}}\int_{{\tau ^{ - 1}}( - 1,z)} H (w){\rm{d}}w = \sum\limits_{{{i}} = 1}^\alpha | {g^{\prime}_{i}}({{z}})|{{H}}({{{g}}_{{i}}}({{z}})), \end{split}$

其中$ g_i(z) = \tau^{-1}_i(z) $

.
值得注意的是, 连续不变测度$\rho^\ast(z) {\rm{d}}z$

满足等式$ P_{\tau} \rho^\ast(z) = \rho^\ast(z) $

, 该式又被称为Perron-Frobenius等式. 结合(6)式的混沌阈值函数$ T(z) $

和引理2, 可以很容易得到

$ P_{\tau} \{T(z) \rho^\ast(z) \} = \langle T \rangle_\tau \rho^\ast(z). $

在上述基础之上, 即可分析出$ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

的高阶相关系数. 令$ \{T_i(\cdot)\}_{i = 1}^{k} $

表示k个双极性混沌阈值函数的组合. 对于k个二元变量生成事件, $t_1,\;t_2,\;\cdots,\;t_k$

$ (t_i\in \{-1, 1\}) $

在序列$ \{T_i({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

发生的概率为

$ \begin{split}&{\rm{Pro}}(t_k, t_{k-1},\cdots,t_1) \\=& {\rm{Pro}}\big\{T_k(z) = t_k,T_{k-1}(\tau^{l_{k-1}}(z)) = t_{k-1},\cdots, \\ &\quad T_1(\tau^{l_{k-1}+l_{k-2}+\cdots+l_1}(z)) = t_1\big\}, \end{split}$

其中, $l_i \geqslant 0\;(1\leqslant i \leqslant k-1)$

. 因此, 对于一组$ \{T_i(\cdot)\}_{i = 1}^{k} $

, 它的高阶相关系数可以定义为$ \forall l_i \leqslant 0, $

$ \begin{split} & {\langle \mho^{(k)}(l_{k-1},l_{k-2},\cdots,l_1; T_k, T_{k-1},\cdots,T_1)\rangle}_{\tau} \\= & \int_{I} T_k(z) \cdot T_{k\!-\!1}(\tau^{l_{k\!-\!1}}(z))\! \cdot \!T_{k-2}(\tau^{l_{k-1}+l_{k-2}}(z)) \cdot \cdots \\ & \cdot T_{1}(\tau^{l_{k-1}+l_{k-2}+\cdots+l_1}(z)) \cdot \rho^{\ast}(z) {\rm{d}}z,\\& ~~({{i}} = 1,2,\cdots,{{k}}). \\[-15pt]\end{split}$

引理3　对于一组切比雪夫混沌阈值函数$ \{T_j(\cdot)\}_{j = 1}^{k} $

, 当$l_{j-1} \geqslant 1$

时, 可以得到

$ {\langle \mho^{(k)} \!(l_{k\!-\!1},l_{k\!-\!2},\cdots,l_1; T_k, T_{k-1},\cdots,T_1) \rangle}_{\tau} \!=\! \prod\limits_{j = 1}^{k} {\langle T_j \rangle}_{\tau}. $

证明1　根据引理2, 将$ P_{\tau} $

算子作用于每一个切比雪夫混沌阈值函数$ {T_j(\cdot)} $

的高阶相关系数, 并结合(7)式得到

$ \begin{split}&{\langle \mho^{(k)}(l_{k-1},l_{k-2},\cdots,l_1;\;T_k, T_{k-1},\cdots,T_1)\rangle}_{\tau} \\ &= {\langle T_k \rangle}_{\tau} \int_{I} T_{k-1} (z) \cdot T_{k-2}(\tau^{l_{k-2}}(z)) \cdot \cdots\\ &\;\;\quad \cdot T_{1}(\tau^{l_{k-2}+l_{k-3}+\cdots+l_1}(z)) \cdot \rho^{\ast}(z) {\rm{d}}z \\ &= {\langle T_k \rangle}_{\tau} \langle \mho^{(k-1)}(l_{k-2},l_{k-3},\cdots,l_1;\;T_{k-1},\\&\;\;\quad T_{k-2},\cdots,T_1)\rangle_{\tau}. \end{split} $

重复以上步骤, 得证引理3.
设$ {{W}}_k = W_0 W_1\cdots W_{k-1} $

代表一个由k位双极性变量组成的任意数字串, 其中$W_j \in \{1, -1\} ( j = {0, 1, \cdots, k-1})$

. 显然, $ {{W}}_k $

有2^k种可能性. 令${{w}}^{(h)}_k = {w}^{(h)}_0 {w}^{(h)}_1 \cdots$

$ {w}^{(h)}_{k-1} $

表示第$h$

个数字串, 其中$ w^{(h)}_j \in \{-1, 1\} $

. 对于切比雪夫混沌阈值函数, 可以引进一个二元变量

$ \varGamma_{j}(z;\;T, {{w}}^{(h)}_k) = T(z) w_j^{(h)} + \overline{T}(z) \overline{w}_j^{(h)}, $

其中$ \overline{T}(z) = 1 - {T}(z) $

和$ \overline{w}_j^{(h)} = 1- {w^{(h)}_j} $

. 因此, 事件$ {{w}}^{(h)}_k $

在双极性混沌序列$ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

中发生的概率为

$ {\rm{Pro}} ({{w}}^{(h)}_k;\;T) = \int_{I} \left\{ {\prod\limits_{j = 0}^{k-1} \varGamma_{j}({\tau^j(z)};\;T, {{w}}^{(h)}_k) } \right\}\rho^{\ast}(z) {\rm{d}}z. $

定理1　对于一组切比雪夫混沌阈值函数$ \{T_j(\cdot)\}_{j = 1}^{k} $

, 其生成的双极性混沌序列满足

$ \forall~ h, ~ {\rm {Pro}}({{w}}^{(h)}_k;\; T) = 1/{2^k}. $

证明2　根据引理3可知

$ \begin{split} {\rm{Pro}}({{w}}^{(h)}_k; \;T)=\;& \left\langle { \mho^{(k)}\left( {\underbrace{1,1,\cdots,1}_{k-1};\; \varGamma_{0}(T, {{w}}^{(h)}_k), \varGamma_{1}(T, {{w}}^{(h)}_k), \cdots,\varGamma_{k-1}(T, {{w}}^{(h)}_k)} \right) } \right\rangle _{\tau} \\ =\;& \prod\limits_{j = 0}^{k-1} \varGamma_{j}(T, {{w}}^{(h)}_k) = {\langle T \rangle}_{\tau}^\beta(1-{\langle T \rangle}_{\tau})^{k-\beta}, \end{split}$

式中$ \beta $

代表$ \{w_j^{(h)}\}_{j = 0}^{k-1} $

中元素1的总个数. 将$\langle T \rangle_{\tau} = 1/2$

代入(9)式中, 可以得到$ {\rm{Pro}}({{w}}^{(h)}_k;\; T) = 1/{2^k}. $

定理1验证了双极性切比雪夫混沌序列$ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

是一个独立同分布的Rademacher序列(若一个序列的元素是按概率$1/2$

取值$ \pm 1 $

, 那么该序列被称为Rademacher序列). 更多关于双极性混沌序列的特性可参见文献[18, 20]及相关资料.

3.双极性托普利兹块状混沌感知矩阵

3.1.Bi-TpCM的构造

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3.1.Bi-TpCM的构造

利用双极性切比雪夫混沌序列$ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

可以构造出双极性托普利兹块状混沌感知矩阵(bipolar Toeplitz-block chaotic sensing matrix, Bi-TpCM). 具体来说, 它由b个大小为$ m \times d $

的托普利兹混沌矩阵构成, 即${{A}}\! =\! [{{A}}^{(1)} \; {{A}}^{(2)} \; \cdots \; {{A}}^{(b)}] \in \mathbb{R}^{m \times n}$

, 式中$ {{A}}^{(1)} $

为

$ {{{A}}^{(1)}} = \frac{1}{{\sqrt m }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{T({z_{d - 1}})}&{T({z_{d - 2}})}& \cdots &{T({z_1})}&{T({z_0})}\\{T({z_d})}&{T({z_{d - 1}})}& \cdots &{T({z_2})}&{T({z_1})}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{T({z_{m + d - 2}})}&{T({z_{m + d - 3}})}& \cdots &{T({z_{m - 2}})}&{T({z_{m - 1}})}\end{array}} \right).$

$ {{A}}^{(i)}(i = 2, \cdots, b) $

的定义与(10)式类似, 即$ {{A}}^{(i)} $

的元素为双极性混沌序列$ \{T{(z_j)}\}_{j = {(m+d-1)\times{(i-1)}}}^{(m+d-2)i+(i-1)} $

确定. 这里将$ {{A}}^{(i)} $

的元素简记为$ \{a^{i}_j\}_{j = 0}^{m+d-2} $

. 显然, 只需要长度为$ b(m+d-1) $

的双极性切比雪夫混沌序列$ \{T{(z_j)}\}_{j = 0}^{(m+d-2)b+(b-1)} $

便可完全确定Bi-TpCM. (10)式中标量$1/ {\sqrt{m}}$

用于归一化A的列, 以保证降维过程$ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $

中原信号x与测量样本数据y的能量保持一致.
值得注意的是, 通过形如(10)式的构造方式不仅可以构造出托普利兹块状矩阵, 还能派生出Hankel块、循环块以及堆积块矩阵, 进而推动将压缩感知应用到更多LTI系统的压缩测量问题中. 由于分析这些矩阵性能的方法与托普利兹块状矩阵类似且后者对应于多输入-单输出LTI系统的压缩感知测量问题, 故本文仅分析托普利兹块状感知矩阵.
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3.2.Bi-TpCM的性能分析

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3.2.Bi-TpCM的性能分析

根据2.2节的分析, $ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

是一个由元素$ \pm 1 $

组成的独立同分布Rademacher序列. 因此, 可推出关于它构造的Bi-TpCM的自相关系数和约束等距条件.
定理2　当$b \geqslant 2$

时, 大小为$m \times n\; (n = bd)$

的双极性托普利兹块状混沌感知矩阵A的自相关系数$ \mu({{{A}}}) $

将以超过$\left(1-{{4}/{n}}\right)$

的概率满足

$ \mu({{{A}}}) = \sqrt { \frac {12\log n}{m}}. $

证明3　由定义2可知, Bi-TpCM的自相关系数是由其托普利兹子块矩阵决定的, 也就是说

$ \begin{split}\mu({{{A}}}) = \;&\max \left\{ \mathop {\max }\limits_{i = 1, \cdots,\;b} \mu({{{A}}^{(i)}}),\right.\\&\left.\mathop {\max }\limits_{i,k = 1, \cdots ,\;b;\;i \ne k} \parallel {{{A}}^{(i)}}^{\rm T} {{A}}^{(k)} \parallel_{\max} \right\}, \end{split}$

式中$ \mu({{{A}}^{(i)}}) $

表示$ {{A}}^{(i)} $

的自相关系数, $ \parallel \cdot \parallel_{\max} $

代表矩阵的最大范数. 根据文献[12]的定理4, 可以推出双极性托普利兹子块矩阵$ {{A}}^{(i)} $

满足

$ {\rm{Pro}}( \mu({{{A}}^{(i)}}) \geqslant\xi ) \leqslant 2 d (d-1)\exp\left( {-\frac{m \xi^2}{4}} \right), $

式中$ \xi \in (0, 1) $

. 因此可以推出

$ {\rm{Pro}}\left( {\mathop {\max }\limits_{i = 1, \cdots ,\;b} \mu({{{A}}^{(i)}}) \geqslant \xi } \right) \leqslant 2 b d (d-1)\exp\left( {-\frac{m \xi^2}{4}} \right). $

为求出$\mathop {\max }\limits_{i,k = 1, \cdots ,\;b;\;i \ne k} \parallel {{{A}}^{(i)}}^{\rm T} {{A}}^{(k)} \parallel_{\max}$

的边界, 令${{Q}}^{i, k} = {{{A}}^{(i)}}^{\rm T} {{A}}^{(k)}(i \neq k)$

. 因此它的第$ (v, l) $

个元素可表示为

$ {{Q}}^{i,k}_{v,l} = \sum\limits_{q = 1}^{m} a^{i}_{d+q-v} a^{k}_{d+q-l} = \sum\limits_{q = 1}^{m} \tilde{a}_q, $

式中$\tilde{a}_q \!=\! a^{i}_{d+q-v} a^{k}_{d+q-l}$

. 由于$ {{A}}^{(i)} $

的元素$ \{a^{i}_j\}_{j = 0}^{m+d-2} $

实际上是独立同分布的Rademacher序列, 因此, 可以将Hoeffding不等式引入(14)式, 进而得到

$ {\rm{Pro}}( \mid {{Q}}^{i,k}_{v,l} \mid \geqslant \xi ) \leqslant 2 \exp \left( {-\frac{m \xi^2}{2}} \right). $

结合$ {{Q}}^{i, k} $

有$ d^2 $

个不同的元素, 且$\parallel {{{A}}^{(i)}}^{\rm T} {{A}}^{(k)} \parallel_{\max}$

存在$\dfrac{b(b-1)}{2}$

个组合方式, 故有

$ \begin{split}&{\rm{Pro}}\left( { \mathop {\max }\limits_{i,\;k = 1, \cdots ,\;b;\;i \ne k} \parallel {{{A}}^{(i)}}^{\rm T} {{A}}^{(k)} \parallel_{\max} \geqslant \xi } \right)\\&\leqslant b (b-1)d^2 \exp \left( {-\frac{m \xi^2}{2}} \right). \end{split}$

根据(13)式和(15)式且$ b\geqslant2 $

, 可知

$ {\rm{Pro}}( \mu({{{A}}}) \geqslant \xi) \leqslant 4 b (b-1)d^2 \exp \left( {-\frac{m \xi^2}{4}} \right). $

将$\xi = \sqrt {\dfrac {12\log {(bd)}}{m}}$

代入(16)式, 定理2得证.
当$ b = 1 $

时, Bi-TpCM将完全退化为一个双极性托普利兹感知矩阵, 文献[12]已分析了这类感知矩阵的性能, 这里不再赘述. 从定理2可知, Bi-TpCM的自相关系数$ \mu({{{A}}}) $

的上限为$\mathcal{O}\Big(\sqrt {\dfrac {\log{n}}{m}}\Big)$

, 这与感知矩阵自相关系数的Welch界只差一个标量$ \log n $

. 定理2也证实了Bi-TpCM在自相关性方面接近于最优理论保证. 结合引理1和定理2, 可以推出Bi-TpCM满足约束等距条件, 其约束等距常数$ \delta_s $

不超过$\sqrt { \dfrac {12 \log{n}}{m}} (s-1)$

. 除此之外, 由于双极性托普利兹块状混沌感知矩阵本质上是一个Rademacher矩阵, 因此它必然满足度量集中(concentration of measure)不等式. 结合Richard等^[21]关于RIP的工作, 可以有以下推论.
推论1　对于一个大小为$ m \times n $

的双极性托普利兹块状混沌感知矩阵A, 当$m \geqslant c_ {0} s \log\left( {{n}/{s}} \right)$

时, 它将以超过$ 1-2 \exp^{-c_1 m} $

的概率满足RIP, 其中$ c_0 $

和$ c_1 $

为两个常数.
推论1证实了提出的Bi-TpCM在约束等距条件下均具有良好的理论保证. 为节约篇幅, 这里省略了推论1的详细证明过程. 读者可以根据文献[21]的工作, 推出相应的证明步骤. 在此基础上, 可以将以上结论推广至所有混沌系统.
推论2　任意能够产生混沌Rademacher序列的混沌系统均能够构造出Bi-TpCM, 并且构建的Bi-TpCM的自相关系数为$\mu({{{A}}}) = \sqrt { \dfrac {12 \log{n}}{m}}$

, 且它能够以接近于 1 的概率满足约束等距条件.
根据以上分析可知, 本文提出的构造框架不仅适用于切比雪夫混沌系统, 还可以推广至不同的混沌系统, 如Logistic或Cat混沌系统, 并且它们对应的Bi-TpCM的采样效率能够接近于最优. 实际上, 将Ger?hgorin圆盘定理应用于Bi-TpCM的格拉姆(Gram)矩阵, 可以得出以下推论.
推论3　对于一个大小为$ m \times n $

的Bi-TpCM, 令$ G = {{A}}^{\rm T}{{A}}$

, 其中${{A}}^{\rm T}$

表示A的转置, 即$ G $

为A的格拉姆矩阵. 若存在两个正常数$ \delta_d $

和$ \delta_o $

, $\delta_d + \delta_o = \delta_s \in (0, 1)$

, 使得$ G $

的每一个对角元素$ G_{i, i} $

满足$ |G_{i, i}-1 | < \delta_d $

, 且非负对角元素满足$ G_{i, k} (i \neq k) $

满足$|G_{i, k}| < {\delta_o}/{s}$

, 那么该矩阵满足$ (s, \delta_s) $

-RIP.
推论3表明了可以通过数值实验来验证构造的Bi-TpCM是否满足约束等距条件. 在仿真分析的小节中, 会证实Bi-TpCM的确具有RIP.
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3.3.Bi-TpCM vs. 传统感知矩阵

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3.3.Bi-TpCM vs. 传统感知矩阵

为了更好地评估Bi-TpCM性能, 表1将Bi-TpCM和其他常用感知矩阵做了一个全面比较. 传统的常用感知矩阵包括Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad和Cir-CaM. 其中, Den-RgM和Den-Bol分别代表高斯和伯努利感知矩阵; Den-CbM是Gan等^[14]利用Chebyshev实值混沌序列直接构造出的混沌感知矩阵; Top-Rad代表随机双极性序列构建的双极性托普利兹随机感知矩阵^[12]; Cir-CaM是Guo等^[15]开发的Cat混沌循环感知矩阵.

感知矩阵	特征性质
感知矩阵	RIP	普适性	元素性	内存消耗	支持快速计算	对应测量系统
Den-RgM	满足	Yes	随机	${\cal{O}}(B \times mn)$/次	No	—
Den-Bol	满足	Yes	随机	${\cal{O}}(mn)$/次	No	—
Den-CbM	满足	Yes	确定	${\cal{O}}(B \times mn)$	No	—
Top-Rad	满足	Yes	随机	${\cal{O}}(m+n-1)$/次	支持	单输入单输出LTI
Cir-CaM	满足	Yes	确定	${\cal{O}}(B \times n)$	支持	单输入单输出LTI
Bi-TpCM	满足	Yes	确定	${\cal{O}}(b(m+d-1))$	支持	多输入单输出LTI
注1: 表中设定存储一位十进制数需消耗B位内存, 存储元素$\pm1$需一位内存.

表1不同感知矩阵的性能比较
Table1.Performance comparisons of different sensing matrices.

由表1可知, Bi-TpCM不仅具有随机感知矩阵的信息感知能力和普适性, 而且也继承了托普利兹矩阵支持快速计算和对硬件友好的优势, 同时还引入了双极性混沌序列易于存储、计算复杂度低等天然优点. 特别地, 相比于已存在的混沌感知矩阵, 本文提出的构造方法只需要利用生成的双极性混沌序列直接构造Bi-TpCM, 毋须对实值混沌序列进行抽样操作. 除此之外, 构造的托普利兹块状感知矩阵特别适用于多输入-单输出LTI系统的压缩感知测量问题.

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4.1.约束等距现象

首先, 根据3.1节构造出一个Bi-TpCM$ \in \mathbb R^{100 \times 256} $

, 构造参数为$ \alpha = 6 $

, $ z_0 = 0.17 $

, $ b = 4 $

及$ d = 64 $

. 忽略标量$1/{\sqrt{m}}$

, 图1(a)给出了构造的Bi-TpCM的元素分布. 可以看出, 双极性托普利兹块状混沌感知矩阵的元素–1与+1的数量基本相同, 这也从侧面验证了用于构造该感知矩阵的双极性混沌序列$ \{T({\tau^j(z_0)})\}_{j = 0}^{\infty} $

是Rademacher序列.

图 1 忽略标量${1}/{\sqrt{m}}$

的Bi-TpCM及其对应的Gram矩阵展示图　(a) Bi-TpCM; (b) Gram矩阵的三维渲染图; (c) Gram矩阵的等高图
Figure1. Bi-TpCM without the factor ${1}/{\sqrt{m}}$

and its Gram matrix: (a) Bi-TpCM; (b) three dimensional rendering of its Gram matrix; (c) contour map of its Gram matrix.

图1(b)和图1(c)分别给出了Bi-TpCM对应的格拉姆矩阵. 可以看出, Bi-TpCM的Gram矩阵的对角元素$ {G_{i, i}} $

均收敛于1, 而非对角元素均在0附近浮动. 根据推论3可知, Bi-TpCM的确具有约束等距性, 正如标准的随机感知矩阵一样.
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4.2.一维稀疏信号

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4.2.一维稀疏信号

先生成一个稀疏度为s的一维信号${{x}}\in \mathbb{R}^{256}$

作为待采样信号, 其非零元素服从高斯分布$ {\cal{N}}(0, 1/2) $

. 为恢复信号和评估重建质量, 欠定重构算法将使用文献[7]提出的基追踪算法; 重构质量标准则使用信噪比(signal-to-noise ratio, SNR), 其定义为

$ {\rm{SNR}}({{x}}) = 10\lg \left( {\frac {\|{{x}}\|^2} {\|{{x}}-{\hat{{x}}} \|^2}} \right) \ {\rm{dB}}, $

式中$ {\hat{ {x}}} $

表示重构信号. 特别地, 对于一个时域稀疏信号x, 若重构时${\rm{SNR}}({{x}}) \geqslant 100 \;{\rm{dB}}$

, 那么称该信号被完美重构(perfect recovery).
在这些参数设置下, 图2给出了利用Bi-TpCM$ \in \mathbb{R}^{100 \times 256} $

分别对稀疏度为20和30的一维稀疏信号$ {{x}} \in \mathbb{R}^{256} $

进行压缩测量的具体表现. 具体地, 图2第一列对应的恢复误差(定义为${\|{{x}}-} {{\hat{ {x}}} \|^2}$

)和重构SNR分别是3.58 × 10^–13和124.45 dB, 第二列的恢复误差和重构SNR分别是1.26 × 10^–12和118.99 dB. 由图2可知, 一维稀疏信号x能够以极小的误差(恢复误差的数量级是10^–12)被重构出来, 这也说明了本文新建的Bi-TpCM具有优良的测量效率.

图 2 Bi-TpCM压缩测量一维信号的重构　(a) s = 20, 条形图; (b) s = 20, 细节图; (c) s = 30, 条形图; (d) s = 30, 细节图
Figure2. Reconstructions of one-dimensional signal using Bi-TpCM: (a) s = 20, stem rendering; (b) s = 20, detailed drawing; (c) s = 30, stem rendering; (d) s = 30, detailed drawing.

接下来, 利用Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad, Cir-CaM和Bi-TpCM (均$\in \mathbb{R}^{100 \!\times\! 256}$

)分别去采样稀疏度s变化的一维稀疏信号$ {{x}} \in \mathbb{R}^{256} $

. 随后, 使用BP算法去重构原信号以得到$ {\hat {{x}}} $

, 并且针对每一个稀疏度s的x重复实验100次. 最后, 通过求平均的方法便可获得这些感知矩阵的平均恢复结果. 图3(a)—(c)分别比较了这些感知矩阵的恢复误差、重构SNR和完美重构概率. 由图3可知, 采用的典型感知矩阵(包括Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad和Cir-CaM)整体呈现出了近乎一致的稀疏感知能力. 但在细节上, 实值混沌感知矩阵(Den-CbM)要略优于随机感知矩阵(Den-RgM和Den-Bol, 值得强调的是, 人们普遍认为Den-RgM具有良好的稀疏感知效率), 而它们都优于结构性感知矩阵(Top-Rad 和Cir-CaM).

图 3 分别使用不同的感知矩阵对稀疏度变化的x进行压缩测量时的重建性能比较　(a) 重建误差; (b) 信噪比 (dB); (c) 完美重建的概率
Figure3. Performance comparisons for recovering x with different sparsity using various sensing matrices, respectively: (a) Recovery error; (b) SNR (dB); (c) perfect recovery probability.

特别地, 图3清晰地展示出了Bi-TpCM的性能要明显优于这些传统的常用感知矩阵, 这也从侧面说明了Bi-TpCM比这些感知矩阵更具有接近于理论最优的采样效率. Bi-TpCM强大的稀疏感知能力为它在CS中的实际应用提供了根本性保障.
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4.3.图像信号

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4.3.图像信号

本部分将比较不同感知矩阵对图像信号进行压缩采样时的性能, 使用的感知矩阵包括Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad, Cir-CaM和Bi-TpCM. 这里选取了两张自然图像作为测试信号$ {{x}} \in \mathbb{R}^{256 \times 256} $

, 即“Lena”和“Lin”. 这两张图像分别展示在图4(a)和图4(e)中, 它们在离散小波变换域中均是可压缩的. 本文将采用经典的OMP算法作为图像重建算法, 并使用峰值信噪比(peak-signal-to-noise ratio, PSNR)作为重建图像的质量评价指标, 其定义为

图 4 原始图像和Bi-TpCM在不同采样率下的恢复图像, 其中第一行是(a) 原始“Lena”, (b) $\varpi=0.3$

, (c) $\varpi=0.6$

, (d) $\varpi=0.8$

; 第二行是(e) 原始“Lin”, (f) $\varpi=0.3$

, (g) $\varpi=0.6$

, $\varpi=0.8$

Figure4. Original and reconstructed images using Bi-TpCM at different sampling rates. The first row: (a) Original “Lena”; (b) $\varpi=0.3$

; (c) $\varpi=0.6$

; (d) $\varpi=0.8$

. The second row: (e) Original “Lin”; (f) $\varpi=0.3$

; (g) $\varpi=0.6$

; (h) $\varpi=0.8$

$ {\rm{PSNR}}({{x}}) \!=\! 10\lg \left( {\frac {(2^8-1)^2} {||{{x}}- {\hat{ {x}}} ||^2/(256\!\times\!256)}} \right) \ {\rm{dB}}, $

式中$ {\hat{ {x}}} $

代表重构后的图像. 应当指出的是, 这里在图像的压缩测量过程中引入了高斯噪声来模拟实际应用场景中的加性噪声和乘性噪声.
首先, 图像“Lena”和“Lin”分别被Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad, Cir-CaM和Bi-TpCM在不同的采样率$ \varpi $

下压缩测量和重建, 即采样率$ \varpi $

随着测量样本数据的维度增加而增加. 在重构算法OMP的作用下, 可以获得这些感知矩阵对应的重构图像和重建PSNR. 值得注意的是, 为增加随机感知矩阵(即Den-RgM, Den-Bol和Top-Rad)性能的稳定性, 这里让它们重复执行该实验100次, 后取其平均结果. 由于Den-CbM, Cir-CaM和Bi-TpCM是确定性感知矩阵, 因此它们的实验结果是稳定的, 不需要重复测试. 为了更好地视觉展示, 图4给出了使用提出的Bi-TpCM在采样率分别为$ 0.3 $

, $ 0.6 $

和$ 0.8 $

时的恢复图像, 其中图像“Lena”对应的重建PSNR分别是22.52, 29.19和32.36 dB; “Lin”的恢复PSNR分别是23.69, 30.22和33.59 dB. 由图4可知, 随着采样率$ \varpi $

(测量样本数据)的增加, 重建的图像也越来越清晰. 并且当$\varpi \geqslant 0.5$

时, 便可得到一幅较为清晰的恢复图像. 为节约篇幅, 这里省略了其他感知矩阵的恢复图像.
图5比较了在不同采样率下, Bi-TpCM和传统感知矩阵(包括Den-RgM, Den-Bol, Den-CbM, Top-Rad和Cir-CaM)重建图像“Lena”和“Lin”时的PSNR值. 从图5可知, 在低采样率($\varpi \leqslant 0.35$

)下, 提出的Bi-TpCM的性能要明显优于其他感知矩阵, 而在较高的采样率($\varpi \geqslant 0.4$

)时, 这些感知矩阵的采样性能相差不大. 但整体上, 新建的Bi-TpCM要比传统的感知矩阵做得更好.

图 5 在不同采样率下利用不同的感知矩阵对图像进行压缩测量时的重建PSNR比较　(a) “Lena”; (b) “Lin”
Figure5. Reconstructed PSNR comparisons for image compressed sensing using different sensing matrices at various sampling rates, respectively: (a) “Lena”; (b) “Lin”.

以上对一维信号和图像的测试表明, 本文的Bi-TpCM与经典感知矩阵相比在采样效率和恢复效果等方面具有明显的优势. 结合Bi-TpCM的确定性托普利兹块状结构, 同时具有双极性混沌序列的天然优点, 因此, Bi-TpCM具有更好的应用潜力.

5.结　论

本文结合双极性混沌序列的内在确定性和托普利兹矩阵的优点, 构造了基于双极性混沌序列的托普利兹块状感知矩阵. 与其他混沌感知矩阵生成方法不同的是, 构造Bi-TpCM只需要双极性混沌序列, 无须对实值混沌序列进行抽样操作. Bi-TpCM不仅直接继承了托普利兹块状感知矩阵的优势, 而且还引入了双极性混沌序列的天然优点. 理论分析表明, 构造的Bi-TpCM具有约束等距性, 且在自相关性方面接近于最优的采样保证, 此外, 它在内存开销、计算复杂度和硬件实现等方面具有明显优势. 通过对一维信号和图像进行压缩采样, 验证了本文构造的Bi-TpCM相比于其他典型感知矩阵具有更好的性能.
一方面, 本文提出的构建Bi-TpCM框架可推广至不同的混沌系统, 如Logistic和Cat混沌系统, 这样就可以建造出一大族托普利兹块状感知矩阵. 另一方面, Bi-TpCM的构造方式还能派生出Hankel块、循环块以及堆积块感知矩阵等. 读者可以利用类似本文的方法来分析这些混沌感知矩阵的性能. 除此之外, 可以将Bi-TpCM和其衍生出的感知矩阵应用于各种各样的多输入-单输出LTI系统的压缩感知测量问题, 这也是该方向未来工作的重点.