基于光前置放大器的量子密钥分发融合经典通信方案

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2.基于前置放大器的量子密钥分发融合经典通信方案

2.1.方案描述

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2.1.方案描述

如图1所示, Alice对自己产生的相干光脉冲先后进行经典BPSK/QPSK调制和量子高斯调制, 同时将经典信息比特和量子信息编码到单个相干态$ \left| ({{x}_{\rm A}}+{{\rm e}^{-{\rm i}{{m}_{\rm A}}\pi }}\alpha )+{\rm i}({{p}_{\rm A}}+{{\rm e}^{-{\rm i}{{n}_{\rm A}}\pi }}\alpha ) \right\rangle $

上. $ x_{\rm A} $

和$ p_{\rm A} $

为用于CVQKD的高斯调制信息, $ m_{\rm A} $

和$ n_{\rm A} $

为她编码的经典信息比特, $ \alpha $

为经典调制的相空间位移. 对于BPSK, ${{m}_{\rm A}} = {{n}_{\rm A}}\in \{0, 1\}$

, 而对于QPSK, ${{m}_{\rm A}}, {{n}_{\rm A}}\in \{0, 1\}$

. Alice将调制的相干态衰减到适当的强度并与参考脉冲(强本振光或者弱相位参考脉冲)时分偏振复用后一起通过量子信道传输给Bob. 接收端Bob收到信号后先通过偏振控制器调整信号偏振态, 然后利用OPA放大信号并将其解复用后进行零差或者外差探测来同时获得经典和量子信息. 注意, 当经典调制为BPSK调制而接收端测量为外差测量时, Alice只需要对单个正则分量($x_{\rm A}$

或$p_{\rm A}$

)进行经典信息调制. 如果Bob的正则分量测量结果分别为$x_{\rm R}$

($p_{\rm R}$

), 那么可以通过如下关系得到经典比特和高斯量子信息^[21]:

图 1 基于前置光放大器的SQCC方案示意图. GM, 高斯调制; VOA, 可调光衰减器; SMF, 单模光纤; PC, 偏振控制器; OPA, 光前置放大器; Hom, 零差探测; Het, 外差探测
Figure1. Schematic of the OPA-based SQCC scheme. GM, Gaussian modulation; VOA, variable optical attenuator; SMF, single-mode fiber; PC, polarization controller; OPA, optical preamplifier; Hom, homodyne detection; Het, heterodyne detection.

$ x_{\rm B} = \sqrt{\frac{\delta}{Tg\eta}}x_{\rm R} + (2m_{\rm B} - 1)\alpha, $

$ p_{\rm B} = \sqrt{\frac{\delta}{Tg\eta}}p_{\rm R} + (2n_{\rm B} - 1)\alpha, $

这里$x_{\rm B}$

($p_{\rm B}$

)为Bob得到的用于后续密钥生成的原始高斯数据, 当$x_{\rm R}$

($p_{\rm R}$

) > 0时, $m_{\rm B}$

($ n_{\rm B} $

)等于0, 反之等于1, T为信道透射率, $ \eta $

为探测器的量子效率, g 为放大器增益, $ \delta = 1 (2) $

代表零差(外差)探测. 注意, 本文考虑的OPA主要有两类: 理想的相敏感放大器(phase-sensitive amplifier, PSA)和实际的相不敏感放大器(phase-insensitive amplifier, PIA). 为了简便和不失一般性, 本文主要考虑基于PSA的零差探测且经典调制为BPSK和基于PIA的外差探测且经典调制为QPSK的两种情况.
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2.2.噪声分析

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2.2.噪声分析

基于OPA的SQCC方案的噪声来源主要有6个方面: 1)真空噪声; 2)原始CVQKD系统中不依赖于信号的过噪声$ \xi_0 $

; 3)探测器电噪声$ \xi_{\rm {ele}} $

; 4)经典通信比特误码率引入的过噪声$ \xi_{\rm {BER}} $

; 5)参考脉冲光子泄露造成的过噪声$ \xi_{\rm {leak}} $

; 6)相位噪声$ \xi_{\rm {phase}} $

^[22]. 经典通信存在一定的误码率, 会给CVQKD带来过噪声, 其大小为^[22]

$ \xi_{\rm {BER}} = \frac{4\alpha^2}{N_0}C_{\rm {BER}}, $

其中$ C_{\rm {BER}} $

为比特误码率, $ N_0 = 1/4 $

为散粒噪声方差. 参考脉冲会产生泄露噪声主要是由于有限的振幅调制和偏振复用消光比. 对于TLO方案, 该噪声可以估计为^[13]

$ \xi_{\rm {leak}}^{\rm {TLO}} = \frac{2\langle n_{\rm {ref}}^{\rm B}\rangle}{T}10^{-\eta_{\rm A}}10^{-\eta_{\rm P}}, $

这里$ \langle n_{\rm {ref}}^{\rm B}\rangle $

为Bob端参考脉冲的平均光子数, $ \eta_{\rm A} $

为振幅调制器的消光率, $ \eta_{\rm P} $

为偏振消光率, $T = 10^{-\chi L/10}$

为信道透射率, $ \chi $

为光纤衰减系数, L为光纤长度. 对于LLO方案, 该噪声可以估计为^[22]

$ \xi_{\rm {leak}}^{\rm {LLO}} = \frac{\langle n_{\rm {ref}}^{\rm B}\rangle\Delta t}{TN_0\tau_{\rm c}}10^{-\eta_{\rm A}}10^{-\eta_{\rm P}}, $

其中$ \Delta t $

为参考脉冲与信号脉冲的时域时延, $ \tau_{\rm c} $

为Alice端信号激光器的相干时间. 由于在高斯调制的基础上对信号叠加了一个经典调制, 信号强度增大的同时对相位噪声也进行了放大, 因此SQCC方案中相位噪声是一个重要的噪声来源. 对于TLO方案, 相位噪声主要来源于信号和LO之间的相位噪声以及其他调制误差带来的相位噪声, 其引入的过噪声大小为^[21]

$ \xi_{\rm {phase}}^{\rm {TLO}} = \frac{\alpha^2\sigma_{\varphi}}{N_0}, $

其中$ \sigma_{\varphi} $

为相位噪声方差. 对于LLO方案, 其相位噪声$ \sigma_{\varphi} $

主要来源于两部分, 一个是不平衡干涉仪结构带来的路径不平衡引入的相位噪声$\sigma_{\rm I}$

; 另一个是由于散粒噪声引起的相位参考脉冲相位测量浮动噪声$ \sigma_{\rm B} $

, 它与参考脉冲强度成负相关, 根据文献[22]中的实验结果, 参考脉冲强度提升10倍, 相位噪声将约为原来的$ 1/3 $

, 故为了使我们的数值仿真更接近实际的情况, 本文假定加了OPA后, 由于弱相位参考信号的散粒噪声引入的相位噪声$ \sigma_{\rm B} = \sigma_{{\rm B}_0}/3^{{\lg{{g}}}} $

. 因此, 总的相位噪声可以表示为^[22]

$ \begin{split}\xi_{\rm {phase}}^{\rm {LLO}} =\;& \left( {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{N_0}}} + {V_{\rm A}}} \right)\sigma_{\varphi} = \left( {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{N_0}}} + {V_{\rm A}}} \right)(\sigma_{\rm I} + \sigma_{\rm B}) \\=\;& \xi_{\rm I} + \xi_{\rm B}, \\[-10pt]\end{split}$

$ \xi_{\rm I} = \left( {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{N_0}}} + {V_{\rm A}}} \right)\sigma_{\rm I}, $

$ \xi_{\rm B} = \left( {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{N_0}}} + {V_{\rm A}}} \right)\sigma_{\rm B} = \left( {\frac{{{\alpha ^2}}}{{{N_0}}} + {V_{\rm A}}} \right)\frac{\sigma_{{\rm B}_0}}{3^{{\lg{{g}}}}}, $

其中$ V_{\rm A} $

为Alice的高斯调制方差, $ \sigma_{{\rm B}_0} $

为原始方案中由于散粒噪声所引起的参考脉冲相位测量浮动噪声.
因此, 现在可以估计全部信道增加的噪声χ_line和探测器增加的噪声χ_det了. 对于零差和外差探测, 归一化到Bob输入端的探测器增加的噪声分别为$\chi_{\rm {hom}} = (1 - \eta + \xi_{\rm {ele}} + T\eta\xi_{\rm B})/(g\eta)$

和$\chi_{\rm {het}} = [2 - \eta + 2\xi_{\rm {ele}} + T\eta\xi_{\rm B} + \eta N(g - 1)]/(g\eta)$

^[33], 其中N为PIA内部闲波模的噪声方差. 对于TLO和LLO方案, 归一化到信道输入端的信道增加的噪声分别为$ \chi_{\rm {line}}^{\rm {TLO}} = (1 - T)/T + \xi_{\rm {phase}}^{\rm {TLO}} + \xi_0 + \xi_{\rm {leak}}^{\rm {TLO}} $

和$\chi_{\rm {line}}^{\rm {LLO}} = (1 - T)/T + \xi_{\rm I} + \xi_0 + \xi_{\rm {BER}} + \xi_{\rm {leak}}^{\rm {LLO}}$

. 这样, 归一化到信道输入端的总噪声就等于$\chi_{\rm {tot}} = \chi_{\rm {line}} + \chi_{\rm {det}}/T$

. 注意, 零差探测时$\chi_{\rm {det}} = \chi_{\rm {hom}}$

, 外差探测时$\chi_{\rm {det}} = \chi_{\rm {het}}$

.
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2.3.方案特点

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2.3.方案特点

相比于原方案, OPA的引入对SQCC系统有几个方面的益处. 首先, 它对信号放大的同时能够补偿探测器的不完美, 这在文献[24,25,33]中已经证明了这一点. 其次, 之前研究已经表明SQCC方案中经典调制对量子系统的影响是限制该方案的主要因素. 本文提出的方案放大了接收端的经典调制信号, 使得相同BER下对发送端的经典调制振幅大小的要求可以降低, 这将减少经典调制对CVQKD系统的噪声影响. 根据文献[21,22]中的结果和放大器对探测器的补偿作用^[33], 加了放大器之后发送端经典调制相空间位移将变为

$ \alpha = w\sqrt{fN_0}\frac{\sqrt{gT\eta(V_{\rm A} + \xi_{{\rm leak}} + \xi_0) + \delta(1 + \xi_{{\rm ele}}) + (\delta - 1)\eta N(g - 1)}}{\sqrt{gT\eta(\delta - fw^2\sigma_{\varphi})}}, $

其中$w = {\rm{erf}}^{-1}(1 - 2 C_{{\rm {BER}}})$

, $ f = 2(4) $

对应经典BPSK(QPSK)调制. 根据(10)式, 图2给出了$ \alpha $

与距离之间函数关系的数值仿真结果, 其中$ g = 1 $

代表不加放大器. 从图2可以很明显地看到两种情况下都有$ \alpha $

随着增益g的增加而变小. 这说明加了OPA之后误码率带来的噪声以及相位噪声都能得到一定的缓解, 尤其是基于PSA零差探测的情形. 由于实际的PIA会引入一定的噪声, 因此基于PIA外差探测情形下的$ \alpha $

降低程度要小一些. 再次, 对于LLO方案, OPA同样能够放大弱相位参考信号, 从而降低由于弱相位参考信号的散粒噪声引入的相位噪声. 因此, 相比于原方案, 基于OPA的SQCC方案能够在相等的BER下具有更好的系统鲁棒性和稳定性, 系统的安全密钥率和传输距离都能够得到提升.

图 2 BER达到$10^{-9}$

所需要的相空间位移$\alpha$

与距离的函数关系　(a) 基于PSA的零差探测情况下的结果; (b) 基于PIA的外差探测情况下的结果. 仿真参数设定如下: $V_{\rm A}= 4$

, $\gamma$

= 0.2 dB/km, $\eta$

= 0.5, $\xi_{\rm {ele}} = 0.1$

, $\Delta t = 10^{-9}$

s, $\tau_{\rm c} = 1$

μs, $\xi_0 = 0.01$

, $N = 1.5$

; 对于TLO方案, $\eta_{\rm A} = 65$

dB, $\eta_{\rm P} = 35$

dB, $n_{\rm {ref}}^{\rm B} = 10^6$

, $\sigma_{\varphi} = 10^{-4}$

rad²; 对于LLO方案, $\eta_{\rm A} = 30$

dB, $\eta_{\rm P} = 30$

dB, $n_{\rm {ref}}^{\rm B} = 10^3$

, $\sigma_{\rm I} = 10^{-4}$

rad², $\sigma_{{\rm B}_0} = 2\times10^{-3}$

rad²
Figure2. The needed phase space displacement $\alpha'$

as a function of transmission distance while BER = $10^{-9}$

: (a) The results under the case of homodyne detection based on PSA; (b) the results under the case of heterodyne detection based on PIA. Simulation parameters are set as follows:$V_{\rm A}=4$

, $\gamma$

= 0.2 dB/km, $\eta$

= 0.5, $\xi_{\rm {ele}} = 0.1$

, $\Delta t = 10^{-9}$

s, $\tau_{\rm c} = 1$

μs, $\xi_0 = 0.01$

, $N = 1.5$

; for the scheme of TLO, $\eta_{\rm A} = 65$

dB, $\eta_{\rm P} = 35$

dB, $n_{\rm {ref}}^{\rm B} = 10^6$

, $\sigma_{\varphi} = 10^{-4}$

rad²; for the scheme of LLO, $\eta_{\rm A} = 30$

dB, $\eta_{\rm P} = 30$

dB, $n_{\rm {ref}}^{\rm B} = 10^3$

, $\sigma_{\rm I} = 10^{-4}$

rad², $\sigma_{{\rm B}_0} = 2\times10^{-3}$

rad².

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2.4.渐近安全性

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2.4.渐近安全性

基于OPA的CVQKD在集体攻击下的渐近密钥率可以表示为^[33]

$ R = \beta I_{\rm {AB}} - \chi_{\rm {BE}}, $

其中$I_{\rm {AB}}$

为Alice和Bob之间的香浓互信息量, $\chi_{\rm {BE}}$

为Eve和Bob之间互信息的Holevo界, $ \beta $

为反向协商效率.
对于基于PSA零差探测的情形, Alice和Bob之间的互信息为

$ I_{\rm {AB}} = \frac{1}{2}{\log_2}\frac{V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}}}{1 + \chi_{\rm {tot}}}. $

Eve和Bob之间互信息的Holevo界为

$ \chi_{\rm {BE}} = \sum\limits_{i = 1}^{2}G\left(\frac{\lambda_i - 1}{2}\right) - \sum\limits_{i = 3}^{5}G\left(\frac{\lambda_i - 1}{2}\right), $

其中$ G(x) = (x + 1){\log_2}(x + 1) - x{\log_2}x $

, 特征值$ \lambda_{1, 2} $

为

$ \lambda_{1,2}^2 = \frac{1}{2}(A\pm\sqrt{A^2-4B}), $

$ A = (V_{\rm A} + 1)^2(1 - 2T) + 2T + T^2(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {line}})^2, $

$ B = T^2[(V_{\rm A} + 1)\chi_{\rm {line}} + 1]^2; $

特征值$ \lambda_{3, 4} $

为

$ \lambda_{3,4}^2 = \frac{1}{2}\left(C_{\rm {hom}}\pm\sqrt{C_{\rm {hom}}^2-4D_{\rm {hom}}}\right), $

$ C_{\rm {hom}} = \frac{A\chi_{\rm {hom}} + (V_{\rm A} + 1)\sqrt{B} + T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {line}})}{T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}})}, $

$ D_{{\rm{hom}}} = \sqrt{B}\frac{V_{\rm A} + 1 + \sqrt{B}\chi_{\rm {hom}}}{T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}})}; $

特征值$ \lambda_{5} = 1 $

.
对于基于PIA外差探测的情形, Alice和Bob之间的互信息为

$ I_{\rm {AB}} = {\log_2}\frac{V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}}}{1 + \chi_{\rm {tot}}}. $

Eve和Bob之间互信息的Holevo界为

$ \chi_{\rm {BE}} = \sum\limits_{i = 1}^{2}G\left(\frac{\lambda_i - 1}{2}\right) - \sum\limits_{i = 3}^{7}G\left(\frac{\lambda_i - 1}{2}\right), $

特征值$ \lambda_{1, 2} $

与(14)式相同, 特征值$ \lambda_{5, 6, 7} = 1 $

, 而特征值$ \lambda_{3, 4} $

为

$ \lambda_{3,4}^2 = \frac{1}{2}\left(C_{\rm {het}}\pm\sqrt{C_{\rm {het}}^2-4D_{\rm {het}}}\right), $

$\begin{split}C_{\rm {het}} =\;& \frac{1}{\left[T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}})\right]^2}\{A(\chi_{\rm {het}})^2 \!+\! B\! +\! 1 \!+\! 2\chi_{\rm {het}} \\ &\times[(V_{\rm A} + 1)\sqrt{B} + T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {line}})] \\&+ 2T[(V_{\rm A} + 1)^2 - 1]\}, \\[-10pt]\end{split}$

$ D_{\rm {het}} = \left[\frac{V_{\rm A} + 1 + \sqrt{B}\chi_{\rm {het}}}{T(V_{\rm A} + 1 + \chi_{\rm {tot}})}\right]^2. $