磁电弹性材料中含有带四条纳米裂纹的正4<i>n</i>边形纳米孔的反平面断裂问题

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4.场强度因子和能量释放率

4.1.场强度因子

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4.1.场强度因子

定义$ z $

平面III型裂尖应力强度因子、电位移强度因子和磁感应强度因子^[2]:

$ \left[ \begin{array}{c} K_{\rm III}^{\sigma}\\ K_{\rm III}^{D}\\ K_{\rm III}^{B}\\ \end{array} \right] = \lim\limits_{z \to z_{0}} \sqrt{2{\text {π}}(z-z_{0})} \left[ \begin{array}{c} \sigma_{32} \\ D_{2} \\ B_{2} \\ \end{array} \right], $

其中$ z_0 = L_1+a $

. 共形映射将$ z $

平面$ z = z_0 $

处映射到$ \zeta $

平面的$ \zeta = R $

处, 将(24)式代入到(25)式可得

$ \begin{split}&\left[ \begin{array}{c} K_{\rm III}^{\sigma}\\ K_{\rm III}^{D}\\ K_{\rm III}^{B}\\ \end{array} \right] = \frac{\sqrt{\text {π}}\left(\sqrt{l_1^2+l_3^2}+\sqrt{l_2^2+l_3^2}\right)}{2\sqrt{\omega''(R)}}\times\! \\& \bigg[\!{{E}}\!-\!{{A}}\!\left(\frac{{{A^{\rm S}}}}{R}\!+\!{{A}}\right)^{-1}\!\left(\frac{{{A^{\rm S}}}}{R}\!-\!{{A}}\right){A}^{-1}\bigg]\! \!\left[\!\! \begin{array}{c} \tau_{32}^{\infty}\\ D_{2}^{\infty}\\ B_{2}^{\infty}\\ \end{array}\!\! \right], \! \end{split}$

假设(26)式可以表示为

$ \left[ \!\begin{array}{c} K_{\rm III}^{\sigma}\\ K_{\rm III}^{D}\\ K_{\rm III}^{B}\\ \end{array}\! \right] \!=\! \frac{\sqrt{\text {π}}\left(\sqrt{l_1^2+l_3^2}+\sqrt{l_2^2+l_3^2}\right)}{2\sqrt{\omega''(R)}} \left[\! \begin{array}{c} K_{\tau}^{*}\\ K_{D}^{*}\\ K_{B}^{*}\\ \end{array}\! \right], $

其中

$ \begin{split}&\left[ \begin{array}{c} K_{\tau}^{*}\\ K_{D}^{*}\\ K_{B}^{*}\\ \end{array} \right] = \Bigg[{{E}}- {{A}}\left(\frac{{{A^{\rm S}}}}{R}+{{A}}\right)^{-1}\\&\qquad\qquad \times\left(\frac{{{A^{\rm S}}}}{R}-{{A}}\right){A}^{-1}\Bigg] \left[ \begin{array}{c} \tau_{32}^{\infty}\\ D_{2}^{\infty}\\ B_{2}^{\infty}\\ \end{array} \right]. \end{split}$

当表面常数矩阵$ {{A^{\rm S}}} = {{0}} $

时, (27)式退化为全渗透磁电弹性材料的经典场度强因子

$ \left[ \begin{array}{c} K_{\rm III}^{\sigma}\\ K_{\rm III}^{D}\\ K_{\rm III}^{B}\\ \end{array} \right] = \sqrt{{\text {π}} L'}K \left[ \begin{array}{c} \tau_{32}^{\infty}\\ D_{2}^{\infty}\\ B_{2}^{\infty}\\ \end{array} \right], $

其中$ L' $

是等效裂纹长度, $L' = ({L_1+L_2+2 a})/{2}$

; $ K $

是无量纲场强度因子,

$ K = \Big({\sqrt{l_1^2+l_3^2}+\sqrt{l_2^2+l_3^2}}\Big)\Big/{\sqrt{L' \omega''(R)}}. $

当$ n = 1 $

时, 这一结果与文献[22]中的结果一致.
2

4.2.能量释放率

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4.2.能量释放率

根据文献[2], 假设反平面裂纹尖端的能量释放率为

$ J = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{ccc} K_{\rm III}^{\sigma}& K_{\rm III}^{D}& K_{\rm III}^{B}\\ \end{array} \right]{{A}}^{-1} \left[ \begin{array}{c} K_{\rm III}^{\sigma}\\ K_{\rm III}^{D}\\ K_{\rm III}^{B}\\ \end{array} \right]. $

将(26)式代入到(31)式, 考虑表面效应时磁电非渗透磁电弹性材料中带四条纳米裂纹的正$ 4 n $

边形纳米孔的能量释放率为

$ \begin{split}J =\;& {{\text {π}}\left(\sqrt{l_1^2+l_3^2}+\sqrt{l_2^2+l_3^2}\right)^2}\big/{8{\omega''(R)}} \\&\times\left[ \begin{array}{c} \tau_{32}^{\infty}\\ D_{2}^{\infty}\\ B_{2}^{\infty}\\ \end{array} \right]^{\rm T} {{B}} ^{\rm{T}}{{A}}^{-1}{{B}} \left[ \begin{array}{c} \tau_{32}^{\infty}\\ D_{2}^{\infty}\\ B_{2}^{\infty}\\ \end{array} \right], \end{split}$

其中${{B}} = {{E}}- {{A}}\left({{A^{\rm S}}}/{R}+{{A}}\right)^{-1}\left({{{A^{\rm S}}}}/{R}-{{A}}\right){A}^{-1}$

. 特别地, 当表面常数矩阵为零时, 将(29)式代入到(31)式, 可以得到不考虑表面效应时磁电非渗透磁电弹性材料中带四条纳米裂纹的正$ 4 n $

边形纳米孔的能量释放率,

$ J = \frac{{\text {π}}(\sqrt{l_1^2+l_3^2}+\sqrt{l_2^2+l_3^2})^2}{2{\omega''(R){\rm{det}}A}}\varLambda. $

当$ n = 1 $

时, 这一结果与文献[22]中的结果一致, 其中

$ \begin{split}\varLambda =\;& (\varepsilon_{11}\mu_{11}-\beta_{11}^2)(\tau_{32}^\infty)^2-(h_{15}^2+c_{44}\mu_{11})(D_{2}^\infty)^2\\&-(e_{15}^2+c_{44}\mu_{11})(B_{2}^\infty)^2+2(e_{15}\mu_{11}\\&-h_{15}\beta_{11})\tau_{32}^\infty D_{2}^\infty+2(\kappa_{11}h_{15}-\beta_{11}e_{15})\tau_{32}^\infty B_{2}^\infty\\&+2(c_{44}\beta_{11}+e_{15}h_{15})D_{2}^\infty B_{2}^\infty.\\[-10pt] \end{split} $