弹性介质包围的球形液体腔中气泡和粒子的相互作用

全文HTML

--> --> -->

1.引　言

弹性介质包围的液体腔内部气泡动力学研究在地质^[1]、生物学^[2,3]等领域有比较广的应用. 气泡在液体中的非线性振动可引起空化效应, 形成局部高温高压和冲击波等极端现象, 在一定程度上可促进化学反应和物质交换等. 近年来, 许多****对超声波作用下气泡的空化现象进行了广泛而深入的研究, 发展了气泡处于无界液体中^[4,5]或液体内的界面附近^[6]等情形下的气泡动力学. 为简化分析, 在研究螺旋桨面^[7,8]、血管壁^[9,10]附近的气泡振动时近似将界面简化为无限大硬壁面后, 借助于镜像理论等研究气泡与界面间的相互作用. 在生物学中, 液体中微泡运动通常受到血管或软介质的约束, 因此, 血管内气泡的动力学行为的研究对分析空化气泡的生物学影响尤为重要. 在特定的环境中, 液体可能存在于封闭腔体内, 当液体空化时, 空化气泡的振动行为将呈现出不一样的特征. Wang^[11]和Doinikov^[12]等的理论研究表明弹性介质中一定大小的球形液体腔内气泡的共振频率随着气泡半径的增大而增大, 与在无界液体中气泡振动的自然频率的变化趋势完全相反, Vincent等^[13]通过实验得出弹性介质中气泡由于约束作用呈现快速振荡的运动趋势. 这预示着球形液体腔周围介质的特性将对气泡的动力学行为形成显著影响.
Rayleigh为解释螺旋桨的空化腐蚀现象, 最早建立了不可压缩液体内气泡动力学的理论模型, 定性地分析了空化产生的机理, 为以后的空化研究奠定了基础. 在此基础上考虑液体压缩性、黏性及表面张力后对其修正得到R-P方程, Keller等^[14]考虑声辐射、黏性、表明张力和声波的影响对气泡动力学进行了研究. 由于液体中的气泡大多以多气泡的形式存在, 人们利用牛顿力学和分析力学处理动力学问题的手段提出了两个和多个气泡间相互作用的理论模型, 如Doinikov^[15]构建了两气泡体系的拉格朗日函数并结合拉格朗日方程得到了气泡径向和平动的动力学方程, Ilinskii等^[16]研究了考虑气泡间相互作用后的耦合声辐射, 以及通过构建系统哈密顿函数结合正则方程得到气泡径向振动和平动的动力学方程. 王成会等^[17]考虑了气泡间次级声辐射的影响, 探讨了气泡的径向振动和平动规律. 为了解释冲击波碎石术中肾结石碎片和空化团簇的作用, 发展了无界液体中气泡和粒子相互作用的模型. Hay等^[18]在模型中假设气泡和粒子都可以自由移动并精确到五阶来描述气泡-粒子的相互作用. Li 等^[19]利用边界积分法和实验研究了气泡和悬浮球之间的相互作用. 超声波作用下液体中的气泡和悬浮颗粒物等均可能与附近的空泡产生相互作用并形成空化影响, 因此, 人们发展了无界液体中粒子与气泡的运动模型. 然而, 在超声萃取或者干燥等过程中, 可能存在生物组织(弹性体)包围的液体腔内的空化行为以及空化泡与粒子间的相互作用. 因此, 有必要发展受限条件下空化气泡和粒子间的相互作用的动力学模型, 为解释超声促进物质交换等奠定理论基础. 现有的理论和实验研究表明^[11,13], 负压或者声波作用下, 弹性介质包围的封闭液体腔内的气泡可生长并振荡, 其动力学行为将影响周围介质的力学性能等. 事实上, 包裹液体腔的介质也会影响腔内气泡的平动, 而密闭液体腔内的多泡体系或者粒子的存在也会影响气泡径向振动和平动行为, 为探索密闭腔内液体中气泡和粒子间的相互作用, 本文将发展气泡-粒子系统的动力学方程, 并分析气泡和粒子的平动特征.

2.理论推导

为探究弹性介质包围的液体腔内气泡和粒子的动力学行为, 从气泡、粒子及液体腔三者的速度势分布函数出发, 借助坐标变换得到速度分布及系统的动能和势能表达式, 进一步基于拉格朗日方程导出气泡和粒子的动力学方程.
2

2.1.速度势函数

-->

2.1.速度势函数

如图1所示, 气泡和粒子位于由弹性介质包裹的球形液腔内. 为简化分析, 假定二者在运动过程中始终保持球形, 且二者球心均位于直径z轴上, 相对位置坐标为${z_j}$

(j = 1, 2); 以球腔中心为坐标原点, 建立球坐标系$(r, \theta, \varphi )$

; 分别以气泡和粒子中心为坐标原点建立局部球坐标系$({r_j}, {\theta _j}, {\varphi _j})$

. 若腔内充满理想液体, 则其运动将满足拉普拉斯方程$\Delta \varphi = 0$

, 其中$\varphi $

为标量速度势.

图 1 充满液体的空腔中的气泡和粒子
Figure1. The bubble and particle in a liquid-filled cavity.

液体速度势可表示为

${\varphi _{\rm{l}}} = {\varphi _1} + {\varphi _2} + {\varphi _{\rm{c}}},$

式中, ${\varphi _1}$

和${\varphi _2}$

分别为与气泡和粒子运动相关的液体速度势, ${\varphi _{\rm{c}}}$

为腔内壁面运动相关的液体速度势; 求解拉普拉斯方程, 有

$\begin{split} {\varphi _j} =\;& \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n^{(j)}} (t){\left( {\frac{{{R_j}}}{{{r_j}}}} \right)^{n + 1}}{P_n}(\cos {\theta _j}),{{ }} \\ =\;& \sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n^{(j)}} (t){\left( {\frac{{{r_{3 - j}}}}{d}} \right)^n}{P_n}(\cos {\theta _{3 - j}}),~j = 1,2, \end{split} $

${\varphi _{\rm{c}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{A_n}} (t){\left( {\frac{r}{{{R_{{\rm{c}}0}}}}} \right)^n}{P_n}(\cos \theta ),$

式中, ${R_j}$

是为瞬时气泡(粒子)半径, ${R_{{\rm c}0}}$

是静止时空腔的半径, ${P_n}$

是n阶勒让德多项式, $b_n^{(j)}(t)$

是与时间相关的函数, $b_n^{(j)}$

可表示为^[20]

$b_n^{(j)} = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^n}(n + m)!}}{{n!m!}}} \xi _j^{m + 1}a_m^{(j)}, $

式中${\xi _j} = {R_j}/d$

, $d(t) = {z_2}(t) - {z_1}(t)$

是气泡与粒子中心的距离 .
为在气泡、粒子及球腔表面应用边界条件, 需将速度势${\varphi _j}$

及${\varphi _{\rm{c}}}$

的表达式进行坐标变换. 在球腔中心为坐标原点的球坐标系中, 速度势${\varphi _j}$

为^[20]

${\varphi _j} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n^{(j)}} (t){\left( {\frac{{{R_{{\rm{c0}}}}}}{r}} \right)^{n + 1}}{P_n}(\cos \theta ),$

式中

$c_n^{(j)} = \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{n!z_j^{n - m}R_j^{m + 1}}}{{m!(n - m)!R_{{\rm{c}}0}^{n + 1}}}} a_m^{(j)}.$

在以气泡和粒子中心为坐标原点的局部坐标系中, 速度势${\varphi _{\rm{c}}}$

表示为^[20]

${\varphi _{\rm{c}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {A_n^{(j)}} (t){\left( {\frac{{{r_j}}}{{{R_j}}}} \right)^n}{P_n}(\cos {\theta _j}),$

式中

$A_n^{(j)} = \sum\limits_{\begin{subarray}{l} m = 1 \\ m \geqslant n \end{subarray}} ^\infty {\frac{{m!z_j^{m - n}R_j^n}}{{n!(m - n)!R_{{\rm{c}}0}^m}}} {A_m}.$

气泡和粒子表面法向速度对应的边界条件为

$\frac{{\partial {\varphi _{\rm{l}}}}}{{\partial {r_j}}} = {\dot R_j} + {\dot z_j}\cos {\theta _j}\;\;\;( {r_1} = {R_1}),$

$\frac{{\partial {\varphi _{\rm{l}}}}}{{\partial {r_j}}} = {\dot z_j}\cos {\theta _j}\;\;\;( {r_2} = {R_2}),$

${\dot R_j}$

和${\dot z_j}$

为运动速度. 将(2)式代入(9)式、(10)式, 得

$a_n^{(1)} = - {R_1}{\dot R_1}{\delta _{n0}} - \frac{1}{2}{R_1}{\dot z_1}{\delta _{n1}} + \frac{n}{{n\! +\! 1}}\left(\xi _1^nb_n^{(2)} \!+\! A_n^{(1)}\right),$

$a_n^{(2)} = - \frac{1}{2}{R_2}{\dot z_2}{\delta _{n1}} + \frac{n}{{n + 1}}\left(\xi _2^nb_n^{(1)} + A_n^{(2)}\right),$

由于腔体外侧弹性介质层仅发生微小形变, 故腔内表面法向速度关系近似为

$\frac{{\partial {\varphi _{\rm{l}}}}}{{\partial r}} = {\dot R_{\rm{c}}}{{ ( }}r = {R_{{\rm{c0}}}}),$

式中${R_{\rm{c}}}(t)$

是空腔的瞬时半径. 将(3)式和(7)式代入(13)式, 得

$c_n^{(1)} + c_n^{(2)} = - {R_{{\rm{c}}0}}{\dot R_{\rm{c}}}{\delta _{n0}} + \frac{n}{{n + 1}}{A_n},$

将(8)式代入(14)式中, 得

$\begin{split} &- {R_{{\rm{c}}0}}{{\dot R}_{\rm{c}}}{\delta _{n0}} + \frac{n}{{n + 1}}{A_n} \\=\; & \frac{{n!}}{{R_{{\rm{c}}0}^{n + 1}}}\sum\limits_{m = 0}^n {\frac{{R_1^{m + 1}z_1^{n - m}a_m^{(1)} + R_2^{m + 1}z_2^{n - m}a_m^{(2)}}}{{m!(n - m)!}}} . \end{split} $

由于液体具有不可压缩性, 故液体体积守恒, 有

$R_{{\rm{c}}0}^2{\dot R_{\rm{c}}} = R_1^2{\dot R_1}.$

基于速度势分布以及边界条件可得到气泡周围介质中速度分布, 进而可以求气泡径向振动和平动过程中引起的系统动能变化, 其推导过程参见附录.
2

2.2.气泡和粒子的运动方程

-->

2.2.气泡和粒子的运动方程

基于拉格朗日方程可以求得径向振动气泡和粒子平动动力学方程. 系统拉格朗日函数$L = T - U$

, 其中T和U是系统的动能和势能. 系统动能包括: 腔内液体动能T_l、刚性粒子平动动能T_p和弹性介质层动能T_s, 即T = T_l + T_p + T_s. 由附录知腔体内液体动能可近似表示为

$\begin{split} {T_{\rm{l}}} =\;& 2\pi {\rho _{\rm{l}}}\left[ R_{{\rm{c}}0}^3\dot R_{{\rm{c}}0}^2 + R_1^3\left( {\dot R_1^2 + \frac{{\dot z_1^2}}{6}} \right) + R_2^3\frac{{\dot z_2^2}}{6}\right. \\ &+ 2\pi {\rho _{\rm{l}}}\left[ {\frac{{ - R_1^2R_2^2{R_2}{{\dot R}_1}{{\dot z}_2}}}{{{d^2}}} - \frac{{R_1^3R_2^3{{\dot z}_1}{{\dot z}_2}}}{{{d^3}}}} \right] \\ & + \frac{{{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{l}}}}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}(4R_1^4\dot R_1^2z_1^2 + 4R_1^5{{\dot R}_1}{z_1}{{\dot z}_1} + R_1^6\dot z_1^2 + R_2^6\dot z_2^2)\\ &+ \frac{{2{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{l}}}R_1^2R_2^2}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}(2{R_2}{{\dot R}_1}{z_1}{{\dot z}_2} + {R_1}{R_2}{{\dot z}_1}{{\dot z}_2}), \\[-18pt]\end{split} $

粒子的动能为^[21]

${T_{\rm{p}}} = \frac{1}{2}{m_2}\dot z_2^2 = \frac{{2{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{p}}}R_2^3\dot z_2^2}}{3},$

式中, ${\rho _{\rm{l}}}$

为液体的密度, ${V_{\rm{l}}}$

为液体所占体积, ${\rho _{\rm{p}}}$

为粒子的密度.
空腔外分布有球壳状弹性介质层, 其壳层内外半径分布为${R_{{\rm{c}}0}}$

和${R_{\rm{s}}}$

. 由于液体不可压缩, 空腔内气泡的径向体积脉动必然引起弹性壳层的运动, 其动能可以表示为^[20]

$\begin{split}\;& {T_{\rm{s}}} = \frac{{{\rho _{\rm{s}}}}}{2}\int\nolimits_{{V_{\rm{s}}}} {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}^2}} {\rm{d}}{V_{\rm{s}}} = 2{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{s}}}R_{{\rm{c}}0}^3\!\left(\! {1\! -\! \frac{{{R_{{\rm{c}}0}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}} \!\right)\! \\ \;&\qquad \times\!\left[ {\dot R_{\rm{c}}^2 \!-\! \frac{{{{\dot R}_{\rm{c}}}{{\dddot R}_{\rm{c}}}{R_{{\rm{c}}0}}{R_{\rm{s}}}}}{{c_{\rm{s}}^2}}\!\left( {1\!-\! \frac{{{R_{{\rm{c}}0}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}} \!\right)}\! \right]\!. \end{split} $

式中${\rho _{\rm{s}}}$

为固体的密度. 系统势能包括气泡体积势能和腔壁外层介质弹性势能, 即$U = {U_1} + {U_2}$

, 其中${U_1}$

可表示为^[21]

${U_1} = \frac{{4{\rm{\pi }}}}{3}R_1^3{P_1}(t) + {z_1}{F_{{\rm{D}}1}} + {z_2}{F_{{\rm{D}}2}},$

式中${P_1}(t)$

是气泡表面的压力, ${F_{{\rm{D}}j}}$

是气泡和粒子所受的黏性阻力, 在液体势能表达式中加入气泡和粒子在平动时受到黏性阻力相关的项; 声压${P_1}$

和黏滞力可以表示为^[21]:

${P_1} \!=\! {P_{{\rm{g}}1}}\!{\left( {\frac{{{R_{10}}}}{{{R_1}}}} \right)^{3\gamma }}\!\!\left(\! {1 \!-\! \frac{{3\gamma {{\dot R}_1}}}{{{c_{\rm{l}}}}}}\! \right) - \frac{{4{\eta _l}{{\dot R}_1}}}{{{R_1}}} - \frac{{2{\sigma _l}}}{{{R_1}}} - {P_0} - {P_{{\rm{ac}}}},$

${F_{Dj}} = - 12{\rm{\pi }}\eta {R_j}\left( {{{\dot x}_j} - {\upsilon _{3 - j}}} \right),$

${P_{{\rm{ac}}}}\left( t \right) = {P_{\rm{a}}}\sin \left( {2{\rm{\pi }}ft} \right){{\rm{e}}^{ - {{\left( {2ft/N} \right)}^4}}},$

式中${P_{{\rm{g}}1}} = {P_0} + 2{{{\sigma _{\rm{l}}}} / {{R_{10}}}}$

是气泡内部的平衡蒸气压; ${R_{10}}$

是气泡1的平衡半径; ${c_{\rm{l}}}$

是液体中的声速; $\gamma $

是液体的比热; ${\sigma _{\rm{l}}}$

是表面张力; ${\eta _{\rm{l}}}$

是液体的黏度; ${P_0}$

是液体中的静态压力; ${P_{{\rm{ac}}}}$

是驱动声压; f 是声波频率; N是循环数, 其取值决定高斯波的作用时间; ${\upsilon _j}$

表示气泡(粒子)所在位置与彼此相互作用有关的液体体元振速, 其表达式为^[15]

${\upsilon _j} = - \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^j}R_j^2{{\dot R}_j}}}{{{d^2}}} + \dfrac{{R_j^3{{\dot x}_j}}}{{{d^3}}},$

需要特别说明的是, 对粒子(j = 2), 在 (23)式中有${\dot R_2} = 0$

.
空腔外弹性介质层的势能${U_{\rm{s}}}$

可表示为^[20]

$\begin{split}{U_{\rm{s}}} =\;& 8{\rm{\pi }}\mu {R_{{\rm{c}}0}}\left( {{R_{\rm{c}}} - {R_{{\rm{c0}}}}} \right)\Bigg[ \left( {{R_{\rm{c}}} - {R_{{\rm{c0}}}}} \right)\left( {1 - \frac{{R_{{\rm{c}}0}^3}}{{R_{\rm{s}}^3}}} \right) \\&+ \frac{{R_{{\rm{c}}0}^3{{\ddot R}_{\rm{c}}}}}{{c_{\rm{s}}^2{R_{\rm{s}}}}}\left( {1 - \frac{{R_{{\rm{c}}0}^2}}{{R_{\rm{s}}^2}}} \right) \Bigg],\\[-18pt]\end{split}$

式中$\mu $

为固体的剪切模量.
将动能表达式(17)式—(19)式和势能表达式(20)式和(24)式代入拉格朗日方程

$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot R}_1}}} - \frac{{\partial L}}{{\partial {R_1}}} = 0,~~ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot z}_j}}} - \frac{{\partial L}}{{\partial {z_j}}} = 0,$

可得密闭球形液体腔内气泡和粒子的动力学方程分别为:

$\begin{split} &{R_1}{{\ddot R}_1}\left[ {1 + F\left( {{R_1},{z_1}} \right)} \right] + \dot R_1^2\left[ {\frac{3}{2} + 2F\left( {{R_1},{z_1}} \right)} \right] \\ &- \frac{{\dot z_1^2}}{4}\left( {1 + \frac{{R_1^3}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}} \right) - \frac{{{P_1}}}{{{\rho _{\rm{l}}}}} + \frac{{4\mu }}{{{\rho _{\rm{l}}}}}\left( {\frac{{{R_{\rm{c}}}}}{{{R_{{\rm{c}}0}}}} - 1} \right)\left( {1 - \frac{{R_{{\rm{c}}0}^3}}{{R_{\rm{s}}^3}}} \right) \\ &- \frac{H}{{c_{\rm{s}}^2}} + \frac{{R_1^3{z_1}{{\ddot z}_1}}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} - {R_2}{{\ddot z}_2}\left( {\frac{{R_2^2}}{{2{d^2}}} - \frac{{R_2^2{z_1}}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}} \right) \\& + \frac{{R_2^3{{\dot z}_2}\left( {{{\dot z}_1} \!+\! 2{{\dot z}_2}} \right)}}{{2{d^3}}} \!+\! \frac{{8R_1^2{{\dot R}_1}{z_1}{{\dot z}_1} \!-\! R_2^3{{\dot z}_1}{{\dot z}_2}}}{{2R_{{\rm{c}}0}^3}} \!=\! 0, \\[-15pt]\end{split} $

$\begin{split}& \frac{{{R_1}{{\ddot z}_1}}}{3}\left( {1 + \frac{{3R_1^3}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}} \right) + {{\dot R}_1}{{\dot z}_1}\left( {1 + \frac{{6R_1^3}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}}} \right) \\&+ \frac{{2R_1^2{z_1}\left( {{R_1}{{\ddot R}_1} + 3\dot R_1^2} \right)}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} + R_2^2\left( {{R_1}{R_2}{{\ddot z}_2} + {{\dot z}_2}{R_2}{{\dot R}_1}} \right)\\ &\times\left( {\frac{1}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} - \frac{1}{{{d^3}}}} \right) = \frac{{{F_{{\rm{D}}1}}}}{{2{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{l}}}R_1^2}},\\[-15pt]\end{split} $

$\begin{split}&\frac{{{R_2}{{\ddot z}_2}}}{3}\left( {1 + \frac{{3R_2^3}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} + \frac{{2{\rho _p}}}{{{\rho _l}}}} \right) + R_1^2\Big( {R_1}{R_2}{{\ddot z}_1} \\&+ 5{{\dot z}_2}{R_2}{{\dot R}_1} \Big)\left( {\frac{1}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} - \frac{1}{{{d^3}}}} \right) = \frac{{{F_{{\rm{D}}2}}}}{{2{\rm{\pi }}{\rho _{\rm{l}}}R_2^2}},\end{split}$

式中

$\begin{split}F\left( {{R_j},{z_j}} \right) =\;& \frac{{{R_j}}}{{{R_{{\rm{c}}0}}}}\left[ {1 + \frac{{{\rho _{\rm{s}}}}}{{{\rho _{\rm{l}}}}}\left( {1 - \frac{{{R_{{\rm{c}}0}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}} \right)} \right]\\&+ \frac{{2{R_j}z_j^2}}{{R_{{\rm{c}}0}^3}} + \frac{{2\mu {R_j}}}{{c_{\rm{s}}^2{\rho _{\rm{l}}}{R_{\rm{s}}}}}\left( {1 - \frac{{R_{{\rm{c}}0}^2}}{{R_{\rm{s}}^2}}} \right),\end{split}$

$H = \frac{{R_{{\rm{c}}0}^2{R_{\rm{s}}}{\rho _{\rm{s}}}}}{{2{\rho _{\rm{l}}}}}{\left( {1 - \frac{{{R_{{\rm{c}}0}}}}{{{R_{\rm{s}}}}}} \right)^2}\frac{{{{\rm{d}}^4}{R_{\rm{c}}}}}{{{\rm{d}}{t^4}}}.$

动力学方程(27)中出现了腔壁瞬时半径${R_{\rm{c}}}$

对时间的高阶倒数$\dfrac{{{{\rm{d}}^4}{R_{\rm{c}}}}}{{{\rm{d}}{t^4}}}$

, 根据液体体积不变, 结合(16)式和(27)式, 约去高阶小量, 近似有

$R_{{\rm{c}}0}^2\frac{{{{\rm{d}}^4}{R_{\rm{c}}}}}{{{\rm{d}}{t^4}}} = {\ddot R_1}\left( {\frac{{2{P_1}}}{{{\rho _{\rm{l}}}}} - 3\dot R_1^2} \right) + \frac{1}{{{\rho _{\rm{l}}}}}(3{\dot R_1}{\dot P_1} + {R_1}{\ddot P_1}),$

式中${\dot P_1}$

和${\ddot P_1}$

的表达式可由(21)式得导出, 即

${\dot P_1} = \frac{{{{\dot R}_1}}}{{{R_1}}}\left[ {\frac{{2{\sigma _{\rm{l}}}}}{{{R_1}}} - 3\gamma {P_{{\rm{g}}1}}{{\left( {\frac{{{R_{10}}}}{{{R_1}}}} \right)}^{3\gamma }}} \right] - {\dot P_{{\rm{ac}}}},$

$\begin{split}{\ddot P_1} =\;& \frac{{{{\ddot R}_1}}}{{{R_1}}}\left[ {\frac{{2{\sigma _{\rm{l}}}}}{{{R_1}}} - 3\gamma {P_{{\rm{g}}1}}{{\left( {\frac{{{R_{10}}}}{{{R_1}}}} \right)}^{3\gamma }}} \right] \\&+ \frac{{\dot R_1^2}}{{R_1^2}}\left[ {3\gamma (3\gamma + 1){P_{{\rm{g}}1}}{{\left( {\frac{{{R_{10}}}}{{{R_1}}}} \right)}^{3\gamma }} - \frac{{4{\sigma _{\rm{l}}}}}{{{R_1}}}} \right] - {\ddot P_{{\rm{ac}}}}.\end{split}$

2.3.球腔内气泡的共振频率

-->

2.3.球腔内气泡的共振频率

为分析密闭腔内气泡相对位置对气泡共振频率的影响, 设

${R_1}{{ = }}{R_{10}}{{ + }}{x_1}(t),\;\;\;{R_{\rm{c}}} = {R_{{\rm{c}}0}} + {x_{\rm{c}}}(t),$

且有$\left| {{x_1}} \right| \leqslant {R_{10}}$

, $\left| {{x_{\rm{c}}}} \right| \leqslant {R_{{\rm{c}}0}}$

, 若腔外侧介质厚度趋于无穷, 即${R_{\rm{s}}} \gg {R_{{\rm{c}}0}}$

, 忽略(26)式展开式中的高阶小量, 可得到气泡线性振动方程, 即

${\ddot x_1} + {\delta _1}{\dot x_1} + \omega _{10}^2{x_1} = - \frac{{{P_{{\rm{ac}}}}}}{{{\rho _{\rm{l}}}{R_{10}}{\alpha _1}}},$

其中

$\omega _{10}^2 = \frac{1}{{{\rho _{\rm{l}}}R_{10}^2{\alpha _1}}}\left( {3\gamma {P_{{\rm{g}}1}} - \frac{{2{\sigma _{\rm{l}}}}}{{{R_{10}}}}} \right) + \varOmega _1^2,$

$\varOmega _1^2 = \frac{{4\mu {R_{10}}}}{{{\rho _{\rm{l}}}R_{{\rm{c}}0}^3{\alpha _1}}},\;\;\;{\delta _1} = \frac{{4{\eta _{\rm{l}}}}}{{{\rho _{\rm{l}}}R_{10}^2{\alpha _1}}},$

${\alpha _1} = 1 + \frac{{{R_{10}}}}{{{R_{c0}}}}\left( {1 + \frac{{{\rho _s}}}{{{\rho _l}}}} \right) + \frac{{2{R_{10}}z_{10}^2}}{{R_{c0}^3}}.$

由此可以看出, 球腔内气泡的共振频率与腔外介质密度、弹性、液体表面张力系数、环境压力及气泡在球腔内的位置等因素有关.