多模光纤中基于压缩传感的光谱探测

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1.引　言

近些年来, 光导纤维被广泛研究和应用在非线性光学^[1-5]、通信传输^[6-8]、环境传感^[9-13]以及光谱探测^[14-17]等方面. 在光谱探测方面, 商用光谱仪主要通过光栅、棱镜等色散组件将不同频谱分量导向已标定好的探测器阵列, 通过绘制光子数与波长值(空间位置)的函数关系达到光谱探测的功能, 但具有昂贵、庞大和笨拙等缺点. 随着光学器件的多样性和集成化发展, 具有微纳尺寸的高性能光谱计受到越来越多的关注. 高性能光谱计大致可分为波导耦合型光谱计和空间耦合型光谱计两种类型, 前者主要将不同光谱成分引导至标定位置的谐振腔中, 通过不同位置的强度值获得待测光谱信息; 后者是将不同光谱成分产生的强度图案集与待测信号图案进行矩阵运算处理, 得到的一维向量即为待测光谱信息, 该类光谱计利用相关处理算法换取了更加优异的性能指标. Redding等^[15]通过探测多模光纤输出端干涉散斑图像, 在4 cm长度的光纤上实现了350 nm的探测带宽和1 nm的光谱分辨率, 但该器件容易受到外界干扰, 性能也不够理想. Hornig等^[17]采用拉锥空心光纤中产生的辐射流和截止点进行波长标定, 在近100 nm探测带宽内实现了10 pm的光谱分辨率, 工作原理决定了该器件易受耦合条件和偏振状态的影响.
本文设计并制作了基于锥形多模光纤的光谱计, 通过探测器阵列收集锥形光纤辐射且具有波长依赖特性的模式干涉图案, 可以实现对任意形状光源谱线的重建. 在强度干涉图案上进行空间通道的优化采样后, 再对单波长校样矩阵和待测光源产生的强度图案进行压缩传感算法处理, 在430—630 nm的可见光范围内实现20 pm光谱分辨率的同时, 得到最优光谱重建误差为0.02. 该研究成果不仅为高性能、低成本和便携式光谱计的设计提供参考借鉴, 也为多功能“片上实验室”系统的构架带来了可能途径.

2.基于压缩传感算法的光谱重建模型

2.1.理论模型

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2.1.理论模型

当具有单一频率f的光信号进入多模光纤后, 会激发出众多相互干涉的传输模式, 它们的传播常数β(m, n)取决于各模式阶数m和n, 即

${\beta _{m,n}} = {n_1}{k_0}{[1 - 2{(m + 2n)^2}\varDelta /N]^{1/2}},$

其中, ${k_0} = 2{\text{π}}f/c$

是自由空间的波数, f和c分别为相应的频率和波长; m和n为模式指数; N为所能支持的最大模式数; $\varDelta = ({n_1} - {n_2})/{n_1}$

, n₁和n₂分别为纤芯和包层的折射率. 因此, m和n的所有组合数量即为N值, 它们相互干涉构成与波长λ(或频率f)相对应的特征强度分布图案, 即

$\begin{split} & I(f,x,y,t) = {\left| {E(f,x,y,t)} \right|^2} \\ =\; & {\left| {\sum\limits_{m,n} {{A_{m,n}}(x,y)\cos (2{\text{π}}ft - {\beta _{m,n}}z + {\phi _{m,n}}(x,y))} } \right|^2},\end{split}$

其中${A_{m, n}}(x, y)$

和${\phi _{m, n}}(x, y)$

分别为入射光在位置点$(x, y)$

的初始振幅和相位. 在光谱计的探测带宽内对Y个波长数值(频谱通道)进行扫描后, 可以得到与波长值对应的强度分布图案集. 在每个图案空间选取X个采样位置(空间通道), 组成维度为$X \times Y$

的二维矩阵, 即校样矩阵C. 为了选取最优的空间通道, 将所有列向量进行内积运算得到相关函数曲线, 以其信噪比为目标函数, 通过采样点局部优化算法, 可以确定X的最优数值和空间通道间距. 校样矩阵包含了每个波长值下多模干涉产生的空间信息, 同时也表征着不同器件和测量系统的特性.
当一束包含众多频率分量$({f_1}, {f_2}, ..., {f_X})$

的待测信号进入多模光纤时, 将产生总的强度分布图案. 根据电磁场理论可知, 不同频率分量产生的传播模式之间相互独立, 且当频率间隔足够小时, 所有频率处功率和趋向于总功率P. 在该图案中选取相应的X个空间通道${({P_1}, {P_2}, ..., {P_X})^{ - 1}}$

, 它与校样矩阵C具有如下关系:

${P_x} = \sum\limits_{x = 1}^X {{C_{xy}}P({\lambda _y})} ,$

即

$\left[\! {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_1}}\\{{P_2}}\\ \vdots \\{{P_X}}\end{array}}\! \right] \!=\! \left( \!{\begin{array}{*{20}{c}}{{C_{11}}}&{{C_{12}}}& \cdots &{{C_{1Y}}}\\{{C_{21}}}&{{C_{22}}}& \cdots &{{C_{2Y}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{C_{X1}}}&{{C_{X2}}}& \cdots &{{C_{XY}}}\end{array}} \!\right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{P({\lambda _1})}\\{P({\lambda _2})}\\ \vdots \\{P({\lambda _Y})}\end{array}} \right],$

这里${C_{xy}}(y = 1, 2, ..., Y)$

是第y个波长的第x个空间通道的校样权值, $P({\lambda _y})$

为第y个波长对应的幅度值. 对上式进行基于奇异值分解的Moore-Penrose伪逆矩阵运算, 信号低于某一阈值的矩阵元素(视为噪声)重置为零($C_{yx}^ + $

), 得到最小二乘方解$P({\lambda _y}) = C_{yx}^ + {P_x}$

. 实验中$P = \{ {P_x}\} $

由探测器获得, $P(\lambda ) = \{ P({\lambda _y})\} $

可通过设置激光器进行自动扫描. 在原始解${P_0}(\lambda )$

的基础上, 需要多次重复非线性优化步骤来求解最小的能量函数^[18-20]

$E \!=\! ||CP(\lambda ) - P|{|_2} \!=\! \sum\limits_x {{{\left| {\sum\nolimits_y {{C_{yx}}P({\lambda _y})} \!-\! {P_x}} \right|}^2}} .$

为了衡量光谱重建效果, 定义重建误差对该光谱计和商用光谱计的探测结果进行对比:

$\mu \!=\! {{\sqrt {\frac{1}{M}\sum\limits_y {{{[{P'}(\lambda ) - P(\lambda )]}^2}} } } \bigg/ {\left[ {\frac{1}{M}\sum\limits_y {{P'}(\lambda )} } \right]}},$

$M = \frac{{\Delta \lambda }}{{{\rm{\delta }}\lambda }},$

其中, ${P'}(\lambda )$

为商用光谱仪的测量结果, $P(\lambda )$

为该光谱计测量结果, M为频谱通道数目, $\Delta \lambda $

为探测带宽, ${\rm{\delta }}\lambda $

为频谱通道间隔. 当优化$\mu $

值达到最小时, 即可完成光谱重建(探测)过程.
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2.2.实验系统

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2.2.实验系统

基于多模光纤的光谱探测系统如图1(a)所示. 各种类型的光源(用于校样的窄带光源和待测的宽谱光源)通过光学透镜组合(入射端${H_{\rm{i}}}$

)将光信号耦合进入锥形多模光纤中, 众多模式相互干涉后形成多模干涉图案并由光纤侧面泄漏出来(g). 信号通过放大倍数为17×、数值孔径为0.4的显微物镜(接收端${H_{\rm{c}}}$

)后由可见光相机(型号Photometrics CoolSNAP K4, 像素数为2048 × 2048, 尺寸为7.4 μm × 7.4 μm, 积分时间设置为5 ms)单次拍摄成像. 这里得到的干涉图案${g'} = {H_{\rm{i}}} \cdot g \cdot {H_{\rm{c}}}$

由测量系统本身和器件共同决定. 多模光纤采用Thorlabs公司AFS105/125y型号的裸光纤, 在氢气焰流技术下拉制成长度1 mm、直径30—80 μm的锥形结构, 固定封装后供测量使用. 当用窄带激光脉冲进行波长扫描时, 可以观察到多模干涉图案无规律、流动性的闪烁现象, 图1(b)所示为窄带激光器分别设置波长为635.0, 635.5, 636.0和636.5 nm时得到的模式干涉图像, 具有明显的波长依赖特性. 为了获取校样矩阵C, 可以设置激光器在探测带宽内以特定的波长间隔进行扫描, 通过计算不同波长下干涉图像的内积来优化选择空间通道. 由于模式干涉图案与耦合条件、偏振状态等高度相关, 可以通过存储不同情况下的多个校样矩阵或自动优化装置参数下的一个校样矩阵来降低光谱的重建误差.

图 1 (a)基于多模光纤的光谱探测系统示意图; (b)不同波长下得到的模式干涉图案
Figure1. (a) The structural diagram of spectroscopy detection based on the multimode fiber; (b) the multimode interference patterns at different wavelengths.

实验系统测量得到校样矩阵和待测信号图案后, 可以利用图2所示的压缩传感网络进行处理: 将Y个频谱通道下的每个图案选取内积优化后的X个空间通道, 得到$X \times Y$