1.International Center for Quantum Materials, School of Physics, Peking University, Beijing 100871, China 2.Collaborative Innovation Center of Quantum Matter, Beijing 100871, China 3.Beijing Academy of Quantum Information Science, Beijing 100193, China 4.CAS Center for Excellence in Topological Quantum Computation, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
Fund Project:Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11825401, 11761161003, 11921005), the Major Project of the Ministry of Science and Technology of China (Grant No. 2016 YFA0301604), and the Strategic Priority Research Program of Chinese Academy of Sciences, China (Grant No. XDB28000000)
Received Date:31 May 2020
Accepted Date:03 June 2020
Published Online:05 June 2020
Abstract:Since their prediction as fundamental particles in 1937, Majorana fermions have drawn lots of interests in particle physics and dark matter. Their counterparts in condensed matter physics, Majorana zero-Modes (MZMs), have attracted remarkable attention in condensed matter for their potential in building a fault-tolerant quantum computer. Due to the relentless effort, lots of important progress has been made in Majorana physics in the past two decades, as introduced in several excellent review articles. This review focuses on the non-Abelian statistics of MZMs and their application to quantum computation. In the first section of this work, the theoretical progress in searching for MZM is briefly reviewed and the latest experimental progresses are summarized. We next introduce the basic concepts of non-Abelian statistics of MZMs and explain how they can be applied to quantum computation. We then discuss two key experiments to implementing quantum computers in the MZM platform: MZM braiding and MZM qubit readout. In this part, several representative proposals for the Majorana braiding and MZM qubit readout are elaborated. Finally, we introduce a latest concept, the symmetry-protected non-Abelian braiding of Majorana Kramers pairs in time-reversal invariant topological superconductors. Keywords:Majorana zero-modes/ non-Abelian statistics/ topological supercondutor/ quantum computation
这个系统看起来很简单, 却有两个不同的拓扑相. 在这里我们以两组特殊的参数说明这两个不同拓扑相有完全不同的物理. 在$ \mu\neq0 $, $ \varDelta = t = 0 $时, 如图1(a)所示, (4)式只有第一项不为零, 哈密顿量简化为 图 1 Kitaev链的两个拓扑相 (a)和(b) Majorana基矢下的哈密顿量示意图. 图(a)中$\mu\neq0, \varDelta=t=0$, 只有第一项$ (1+ {\rm{i}}\gamma_{x, B}\gamma_{x, A})$不为零, 每一个格点上的两个马约拉纳算符耦合在一起, 不存在空间分离的MZM. 图(b)中$\mu=0, \varDelta=t$, 只有第二项$\gamma_{x, B}\gamma_{x+1, A}$不为零, 相邻格点的两个马约拉纳算符耦合在一起, 超导链的两端各自剩下一个MZM. (c) $\varDelta=0$时的色散关系. (d) Kitaev链的拓扑相图. 当化学势穿过能带时, 体系处在拓扑相, 由(d) 中的橙色区域描述; 反之, 体系处在平庸相, 由(d)中的白色区域描述 Figure1. Two topological phases of the Kiteaev chain. (a) Sche-matic illustration of the Hamiltonian in Majorana basis. In (a) $\mu\neq0$, $\varDelta=t=0$, only the first term $(1+ {\rm{i}}\gamma_{x, B}\gamma_{x, A})$ survives thus Majoranas couple at the same site leaving no seperate MZMs left. In (b) $\mu=0, \varDelta=t$, only the second term $\gamma_{x, B}\gamma_{x+1, A}$ survives thus Majoranas couple at adjacent sites, leaving one MZM at each end of the chain. (c) Energy dispersion for $\varDelta=0$. (d) Topological phase diagram of Kitaev chain. When the chemical potential crosses the nomal spectrum the system is in topological phase, as described by the orange region in (d); otherwise the system is trivial, as described by the white region in (d).
$\begin{split} H =\;& \int {\rm{d}} x \psi^{\dagger}\left(-\frac{\partial_{x}^{2}}{2m}-\mu- {\rm{i}} \lambda\sigma_{y}\partial_{x}+h\sigma_{z}\right)\psi\\ &+ \varDelta\psi_{\uparrow}\psi_{\downarrow}+{{\rm{h}}.{\rm{c}}.}, \end{split}$
其中$ \psi = (\psi_{\uparrow}, \psi_{\downarrow})^{\rm{T}}$, m是电子的有效质量, $ \mu $是化学势, $ \lambda $是SOC的强度, h是外加塞曼场的强度, 由外加磁场强度和材料的朗德因子g决定, $ \varDelta $是s波超导体通过近邻效应在纳米线中诱导出的超导强度. 如图2所示, 由于存在SOC, 自旋和动量关系被锁定. 再加上塞曼场在$ k = 0 $处打开能隙, 使得当费米能量处于此能隙中时, 费米面上只有一个能带, 系统的低能物理等效于“无自旋”费米子. 此时由超导近邻效应在纳米线中诱导的费米点附近$ \pm k $动量之间s配对, 再写到自旋本征态上, 等效成为一维p波超导, 因而此时体系的低能物理由Kitaev模型描述. (9)式的哈密顿量和Kitaev链的拓扑性质由同一个拓扑不变量描述. 通过对(9)式进行能谱分析, 可以得到体系的拓扑非平凡相区域为$ h^{2} > \varDelta^{2}+\mu^{2} $, 由图2(c)给出[44-46]. 很快, Delft实验组[27]在2012年首先报道, 把InSb纳米线放在超导体的表面, 在一定外加磁场的条件下初步观测到了由末端MZM诱导的零偏压电导峰(Zero-Bias Conductance Peak, ZBCP). 类似观测也被其他实验组看到[47-50]. 零压隧穿电导峰是MZM的间接证据之一. 特别地, 由于MZM的自共轭特性, 在零温下由MZM诱导的隧穿谱ZBCP应该是高度为$2{{e}}^{2}/h$的量子化电导[51-54], 并在有限温度下会降低[55]. 此外, Yazdani研究组[28]在有SOC的铅衬底上生长的铁原子链两端也测到了ZBCP, 分析可能是MZM存在的迹象. 把图2(a)中的一维SOC纳米线换成二维拓扑绝缘体[56,57]的边缘态形成二维拓扑绝缘体边缘/s波超导体异质结, 在外加铁磁体的情况下同样可以实现等效Kitaev模型[20,58]. 图 2 在一维SOC纳米线中实现马约拉纳零模激发[8] (a)装置简图; (b)一维SOC纳米线的色散关系. 在无外加塞曼场时, 系统具有时间反演对称性, 体系有偶数个费米面(红色和蓝色曲线); 在外加塞曼场时, 时间反演对称性被破坏, $k=0$处被打开能隙(黑色曲线). 若化学势位于能隙中间, 该体系只有一个费米面, 其低能哈密顿量等效为Kitaev链. (c)体系的拓扑相图, 其中相边界由$h^{2}= \varDelta^{2}+\mu^{2}$给出, 橙色(白色)表示拓扑(平庸)区 Figure2. Realizing MZMs in a 1D SOC nanowire[8]. (a) Sketch of the basic setup. (b) Energy dispersion for the 1D SOC nanowire. When Zeeman field is absent, the system is time-reversal symmetric(TRS) and possesses even number of Fermi surfaces (red and blue curves); when Zeeman field is introduced, TRS is broken and a gap is opened at $k=0$(black curves). Given that the chemical potential lies within gap, the system possesses only one Fermi surface, and the low-energy Hamilitonian is equivalent to that of the Kitaev chain. (c) Topological phase diagram of the system with the phase boundary given by $h^{2}= \varDelta^{2}+ \mu^{2}$. Orange (white) denotes topological (trivial) region.
全同粒子的统计性质是量子多体物理的基本性质. 熟知的量子统计包括费米和玻色统计, 分别对应在两个粒子交换后系统波函数改变或不改变符号. 更一般情形, 对于阿贝尔任意子, 交换前后的波函数满足$|\varPhi_{\rm f}\rangle = {\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi}|\varPhi_{\rm i}\rangle$, 即相差一般化相位$ \phi $. 由于相应演化算符由阿贝尔的$ U(1) $相位($ {\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi} $)描述, 这类统计性质被称为阿贝尔统计. 当多体系统存在由准粒子带来的简并基态, 比如两个分离的MZM导致$ |0\rangle $和$ |1\rangle $的简并基态, 准粒子间的交换操作不仅带来系统波函数的相位改变, 且会发生不同简并基态之间的演化. 一般地, 有$|\varPhi_{\rm f}\rangle = U_{\rm fi}|\varPhi_{\rm i}\rangle.$ 这样准粒子交换操作由在简并基态空间内的矩阵$U_{\rm fi}$描述. 由于矩阵不可对易, 此类统计性质被称为非阿贝尔统计, 相应的全同粒子称为非阿贝尔任意子[15]. 任意子的空间-时间轨迹可以由“世界线”描述, 如图3(b)所示. 在任意子的交换的过程中, 它们的“世界线”互相缠绕如同编辫子, 每一种缠绕方式对应一种交换, 因此任意子的交换又称为编织操作. 编织操作必须满足绝热条件, 并在单次编织完成后, 系统的哈密顿量回到初始. 从绝热定理可知, 要使绝热交换粒子前后系统的量子态发生变化, 系统必定具有简并的基态. 绝热交换两个任意子, 会导致在这个基态子空间中的一个幺正变换, 数学表示为[97]: 图 3 MZM交换示意图 (a)含有4个空间分离足够远的MZM$\gamma_{1, 2, 3, 4}$的体系, 其中$\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$、$\gamma_{3}$和$\gamma_{4}$分别构成两个费米子. $\gamma_{2}$和$\gamma_{3}$顺时针交换一次, $\gamma_{2}$会跨越$\gamma_{3}$所在涡旋的相位割线获得一个负号, 而$\gamma_{3}$并未跨越$\gamma_{2}$所在涡旋的相位割线不获得负号. 因此结果是$\gamma_{2}\rightarrow-\gamma_{3}, \gamma_{3}\rightarrow\gamma_{2}$. (b)描述4个MZM的时间-空间(x; t)轨迹的世界线. $\gamma_{2}$和$\gamma_{3}$被编织一次, 因此它们的世界线缠绕一次. 系统由初态$|\varPhi_{\rm i}\rangle=|00\rangle$演化到$|\varPhi_{\rm f}\rangle=|00\rangle+ {\rm{i}}|11\rangle$ Figure3. Skecth of a MZM braiding operation. (a) A system consists of 4 MZMs far enough apart, with $\gamma_{1}$ and $\gamma_{2}$, $\gamma_{3}$ and $\gamma_{4}$ forming 2 fermions $f_{1}$ and $f_{2}$. $\gamma_{2}$ and $\gamma_{3}$ are braided once clockwise. γ2 crosses the branch cut of the votex hosting γ3 and gains a minus sign, while γ3 doesn't cross the branch cut of the votex hosting γ2 and doesn't gain a minus sign. Hence the result is given by γ2 → –γ3, γ3 → γ2. (b) Worldlines in a space-time (x; t) diagram, describing four MZMs. $\gamma_{2}$ and $\gamma_{3}$ are braided once, hence their worldlines winds each other once. The initial state $|\varPhi_{\rm i}\rangle=|00\rangle$ evolves into $|\varPhi_{\rm f}\rangle=|00\rangle+ {\rm{i}}|11\rangle$.
$ |\varPsi_{\rm{f}}(t) \rangle = {\rm{e}}^{-\tfrac{{\rm{i}}}{\hbar}\smallint {\rm{d}} t E(t)}{{B}}_0(t)|\alpha(t)\rangle, $
在严格的一维体系中, MZM不可能绕开彼此完成编织过程. 因此, Alicea等[101]提出用T型几何结构(图5)的拓扑超导体 (T-junction) 实现MZM的编织. 通过调节门(gate)电压移动拓扑相和平庸相之间的畴壁, MZM可以在T-型结上移动, 借助竖直部分避免了MZM在编织过程中相遇. 利用$ f = (\gamma_1+ {\rm{i}}\gamma_2)/2 $定义简并的多粒子基态波函数 图 5 T-型结进行编织操作以及键盘门的操作方式[101]. T- 型结由两条水平链和一条竖直链组成, 深蓝色部分为拓扑相, 浅蓝色部分为平凡相, 超导体上向上和向右的箭头分别代表$\phi= \text{π}/2$和$\phi=0$, 用向左和向下的箭头代表$\phi=\text{π}$和$\phi=3\text{π}/2$. T-型结外的箭头代表MZM运动的方向. 黑色和灰色方块分别代表局域门的关闭和打开状态, 对应平凡相和拓扑相. (a)—(d) 给出$\gamma_{1}$先运动到竖直链上, 然后$\gamma_{2}$从水平链右端运动到左端, 最后$\gamma_{1}$运动到右端的过程, 过程结束后箭头反向. (e) 中局域门的存在可以保证在不关闭能隙的前提下逐渐移动MZM Figure5. A T-junction allows for braiding process and the keyboard gates[101]. The T-junction consists of two horizontal segments and one vertical segment. Dark blue segments are in topological phase, and light blue lines trivial phase. $\phi=0$ or $\text{π}/2$ is represented with rightward or upward pointing arrows, while $\phi=\text{π}$ or $3\text{π}/2$ represents the leftward or downward pointing arrows. MZMs are transported according to the arrows around the T-junction. Black and gray blocks denote different states of tunable gates in accordance with trivial and topological phases. (a)–(d) sketch the process which $\gamma_{1}$ is transported to vertical line firstly, then $\gamma_{2}$ travels from the right end to the left end and at last $\gamma_{1}$ is transported to the right end. After this process, the arrow points to the opposite direction. Local gates in (e) ensure that the MZMs can be manipulated gradually without closing the gap.
以上介绍的两类MZM编织操作分别要求移动MZM位置和操控不同MZM间的耦合来实现. 前者要求使MZM跨过T型结点, 后者要求引入额外MZM、扩大简并空间而导致操作的复杂性. 因此这些在实验工艺上均存在大的难度, 使得MZM编织的实验实现仍是巨大挑战. 而拓扑量子计算理论指出, 对于有内禀空间的任意子, 描述它们演化的世界线应被扩展为“世界带”. 在世界带的语言中, 交换两个任意子的位置一次在拓扑上等价于两个任意子的世界带各自扭转半圈[127]. 根据这个思想, 最近提出, 通过转动MZM自旋自由度来扭转MZM世界带可以实现MZM的等效编织, 从而实现既不移动MZM位置也不引入额外辅助MZM以及它们的耦合的编织方案[128]. 该方案应用到实验上常见的超导/二维拓扑绝缘体/铁磁绝缘体(superconductor/2D topological insulator/ ferromagnetic insulator, SC/2 DTI/FI)的异质结系统中, 提出了一个可以操控MZM自旋进而实现MZM编织的实验装置. 如图6(b)所示, SC区形成一维拓扑超导, FI区为平庸绝缘体, 两区的交界出现孤立的MZM, 此时MZM的自旋方向可由平庸区的铁磁体的磁化方向操控. 在这个实验装置中, 编织两个由铁磁区连接的MZM一次(单次编织操作)需要绝热地转动相应铁磁体的铁磁方向半圈, 即转过$ {\text{π}} $角, 编织两个MZM两次(一个完整的编织操作)需要绝热地转动铁磁体的铁磁方向一整圈, 即转过$ 2{\text{π}} $角. 编织结果不受系统中的局域杂质和磁化不规则转动路径等因素的影响, 具有拓扑稳定性. 这个稳定性的物理原因在于编织操作引起的奇偶性变化和转动磁场引起的拓扑电荷泵之间的联系. 这个方案的优点一是不需要辅助MZM, 这使得编织操作只涉及最少的MZM; 二是可以在保持基态简并度(无需测量操作)同时不移动MZM位置就等效地实现MZM编织操作. 但是这个装置不能实现超导两端的MZM的编织, 在做到编织任意两个MZM上存在限制. 图 6 通过转动铁磁体的磁化方向实现铁磁体两端的MZM[128] (a)交换世界带两次在拓扑上等价于世界带各自扭转$2\text{π}$. 箭头表示MZM的自旋; 世界带的红蓝边界标记MZM的内部自由度的时间演化. (b) SC/QSH/FI异质结装置中的MZM. 黄色(红色)箭头表示MZM的局域自旋方向(铁磁磁化方向). 下方的红色箭头转$\text{π}$角, $\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$编织一次; 转$2\text{π}$角, $\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$编织两次. 逆方向转动代表逆交换. Figure6. Braiding operation via winding FI magnetization[128]. (a) The monodromy operator can be realized by either braiding two MZMs or twisting each worldribbons by $2\text{π}$. The arrows indicate the MZM spin. The blue and red edges of the ribbon denote the evolution of internal degree of freedom. (b) MZMs in the SC/QSH/FI hybrid system. The yellow (red) arrows represent the directions of local spin polari-zations for MZMs (FI magnetization). Winding the red arrow at the bottom by $\text{π}$, $\gamma_{1}$ and $\gamma_{2}$ are braided once; by $2\text{π}$ they are braided twice. A reverse rotation leads to an inverse braiding operation.
-->
5.1.分数约瑟夫森效应
MZM的分数约瑟夫森效应最早是Kitaev[7]在讨论Kitaev超导链模型的时候提出来的, 这是存在MZM的奇宇称拓扑超导系统的一个重要特性. 当两个MZM通过约瑟夫森结耦合在一起时, 通过测量穿过约瑟夫森结的零偏压的电流响应, 也就是直流(DC)约瑟夫森电流, 我们可以推出这两个MZM组成的费米子的占据状态, 也就是读出MZM量子比特. 图7(a)所示为利用约瑟夫森效应的量子比特读出装置的简示图. 约瑟夫森结两端的超导体由绝缘区微弱地耦合起来, 当结两端各自存在一个MZM时, 流过结区的无阻超导电流包含两部分$ I = I_{\rm{2 e}}+I_{\rm{e}} $. 其中第一项是库珀对隧穿贡献的传统约瑟夫森电流$ I_{2{\rm e}} $, 第二项是两个MZM耦合在一起贡献的单电子隧穿电流$ I_{\rm{e}} $. 正是通过测量$ I_{\rm{e}} $[101], 可以给出MZM耦合的量子比特的信息. 下面讨论$ I_{\rm{e}} $的形成机制和特性. 图 7 约瑟夫森结的量子比特读出装置[129] (a)为MZM约瑟夫森结的示意图. 结两端各自存在一个MZM. 蓝色区域为一维拓扑超导区, 绿色区域为绝缘体区. 拓扑区的长度足够长, 使得两个MZM通过拓扑区的耦合可以忽略. $\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$通过足够短的绝缘区耦合起来, 形成一个能量非零的费米子. 通过改变通过线圈的磁场通量$\varPhi$可以改变结两端的超导相位差$\phi$. (b) 直流分数约瑟夫森电流随$\phi$的变化关系. 其中红色虚线代表空占据态$|0\rangle$, 蓝色实线代表占据态$|1\rangle$. 和传统的以$2{\text{π}}$周期的约瑟夫森电流不同的是, 分数约瑟夫森电流关于$\phi$的变化周期是$4{\text{π}}$. 量子比特$|0\rangle$和$|1\rangle$相对应的电流方向相反, 因此通过测量直流约瑟夫森电流可以读出MZM量子比特 Figure7. Basic set-up for qubit readout using a Josephson junction(JJ)[129]. (a) The schematic of a JJ with 2 MZMs residing at the junction. The blue region denotes 1d TSC and the green denoted trivial insulator. The TSC region should be long enough so that the coupling of the MZMs through TSC is negligible. $\gamma_{1}$ and $\gamma_{2}$ couple weakly at the junction, forming a non-zero energy fermion. The phase difference $\phi$ can be varied by changing the magnetic flux $\varPhi$. (b) The d.c. fractional Josephson current flowing across the junction versus$\phi$. Instead of conventional $2{\text{π}}$-periodic JJ current induced by Cooper pair tunneling, the fractional JJ current induced by MZMs exhibits $4{\text{π}}$ periodicity. The red dashed line denotes $|0\rangle$ and the blue solid line denotes $|1\rangle$. The direction of the current is inverse for the qubit $|0\rangle$ and $|1\rangle$, which enables the readout of the qubit by measuring the direct Josephson current.
其中$ E_{0}^{(j = 0, 1)} $分别对应为$ t = 0 $时整体奇宇称和偶宇称基态的能量, 与量子点和超导充电能有关; $ E_{\rm{C}} $为超导充电能; $ N_{\rm{g}} $为受电平控制的超导感应电荷. 由方程(31)可见, 当$ (t_{1}^{*}t_{2}-t_{1}t_{2}^{*})\neq0 $时, 系统在调节量子点电平开关打开t的前后的基态能量变化$ \Delta E_{{\rm{g}}.{\rm{s}}.} $受量子比特的奇偶性${\rm i}\gamma_{1}\gamma_{2}$调控. 如前所述, 这个能量的变化可以通过测量系统的能谱、量子点电荷或者微分电容等方式测出, 从而读取出量子比特. 这个装置的优点一是MZM与量子点的耦合强度可以通过量子点的宏观电平参数来调节; 二是可拓展性好, 可通过拓展U型网络构造大规模的量子线路[39,124]. 图 8 MZM和量子点耦合的装置简图[39] (a) , (b)分别是2个和4个MZM系统的装置; (c) 在调节量子点与MZM之间跃迁矩阵元的局域电平开关 Figure8. Sketch of MZMs coupled to quantum dots[39], with 2-MZM and 4-MZM system shown in (a) and (b), and in (c) the local gates controlling the coupling between MZMs and quantum dots are shown.
25.3.马约拉纳干涉仪 -->
5.3.马约拉纳干涉仪
Fu[138]提出利用MZM可以实现电子的隐态传输, 且传输相移与拓扑量子比特的宇称相关. 因此, 通过干涉装置探测传输后电子的相位变化可以得到MZM的宇称[38,133,139]. 如图9 所示考虑拓扑超导体与普通金属的连接, 线路中穿过可调节的磁通$ \varPsi $, 线路中的电流将随磁通变化而改变. 调节超导体的电容能使之小于超导能隙但是大于电子的隧穿效应, 从而抑制电子直接从金属跃迁到超导体中. 借助于空间上分隔很远的MZM, 可以存在一端电子进入超导体, 另一端电子离开超导体进入金属的过程, 且跃迁过程中保持长距离的相位相干. 跃迁的哈密顿量可以写成如下一般形式 图 9 马约拉纳干涉仪装置[38] (a)电流从上方经过两个MZM也即一个拓扑量子比特, 从下方经过相位相干长度足够长的金属, 电路中间穿过可调节的磁通. 两条路径的相位差由电子的传输相移以及穿过线路的磁通决定. (b)通过测量干涉后的电导可以得到拓扑量子比特的宇称信息. 实线和虚线分别对应宇称为1和–1的量子比特的电导信号 Figure9. Majorana inferometry[38]. (a) One path goes through two MZMs i.e. a topological qubit while the other path goes through a normal metal with a sufficiently long phase-coherence length. $\varPsi$ is the applied magnetic flux enclosed by the two paths. The phase difference of two paths is determined by the phase transition shift and the magnetic flux, which can be measured by the conductance. (b) Majorana interferometer provides a projective measurement of the fermion parity. Solid line and dotted line represent the conductance signals corresponding to qubits with parity 1 and –1 respectively.
$ \gamma^{\rm{L}}_i\to\gamma^{\rm{R}}_i,\; \gamma^{\rm{R}}_i\to-\gamma^{\rm{L}}_i,\quad i = 1,\cdots,N, $
其中$ \gamma_i^{\rm{L}} $代表编织前处于左边的N个MZM, $ \gamma^{\rm{R}}_i $为之前处于右边的N个MZM. 此式描述的核心含义是, 在编织过程中, 一边的任意一个MZM只能看到另一边的其中一个MZM, 而看不到其他MZM. 显然这种情况对于二维手性拓扑超导中的涡旋是无法成立的. 比如考虑左右分布且空间分离的多对涡旋, 对左右进行编织操作, 显然处于一边的MZM将受到另一边的所有MZM的影响. MZM的对称保护非阿贝尔统计最早提出于时间反演对称的拓扑超导中[155]. 如图10(a)所示, 考虑一维时间反演对称的拓扑超导体, 超导体的每一端都存在两个MZM, 它们在时间反演算符$ {\cal{T}} $作用下组成马约拉纳克拉默斯对 (Majorana Kramers pair, MKP) $ {\cal{T}}\gamma{\cal{T}}^{-1} = \tilde{\gamma}, \:{\cal{T}}\tilde{\gamma}{\cal{T}}^{-1} = -\gamma $. 对称保护统计将使得一次编织后MZM满足$ \gamma_{\rm{L}} (\tilde\gamma_{\rm{L}})\rightarrow\gamma_{\rm{R}} (\tilde\gamma_{\rm{R}}) $和$ \gamma_{\rm{R}} (\tilde\gamma_{\rm{R}})\rightarrow-\gamma_{\rm{L}} (-\tilde\gamma_{\rm{L}}) $. 然而, 对于时间反演对称保护的拓扑超导, 其MKP的非阿贝尔统计是否同样只需要哈密顿量满足时间反演对称, 这是值得探讨的问题. 事实上, 在编织过程中即使哈密顿量每个时刻满足时间反演对称, 边界的MZM与体态模的耦合仍可能诱导出MKP内部的有效耦合, 造成一端MKP的局域旋转操作, 这对上述非阿贝尔统计带来破坏[157,158]. 图 10 时间反演对称性保护的编织过程及非阿贝尔统计的结果[156] (a) 时间反演不变的拓扑超导体两wlxb 端各有一对MZM, 以T-型结的方案完成编织. (b), (c) 不同的无序强度$W_{0}$下经过完整编织后MKP的演化结果, 在不同条件下均有$\eta(t)=\langle\gamma_{1}(0)|\gamma_{1}(t)\rangle|_{t=2 T}=-1$, 满足非阿贝尔统计. 经过一个周期后$\zeta(nT)=\displaystyle\sum\limits_{j=1, 2}[|\langle\gamma_{1}(nT) |\gamma_{j}(0)\rangle|^{2} + |\langle\gamma_{1}(nT)|\tilde{\gamma}_{j}(0)\rangle|^{2}]=1$给出绝热演化的条件 Figure10. Time-reversal symmetry protected braiding process and the results of non-Abelian statistics[156]. The TSC in (a) hosts a pair of MZMs at each end, and the braiding is fulfilled by the T-junction scheme. (b), (c) The evoluation of MKPs after the full braiding in the presence of different disorder strengh $W_{0}$. The non-Abelian statistics is confirmed by $\eta(t)=\langle\gamma_{1}(0)|\gamma_{1}(t)\rangle|_{t=2 T}=-1$. The adiabatic condition is satisfied in that $\zeta(nT)= \displaystyle\sum\limits_{j=1, 2}[|\langle\gamma_{1}(nT)|\gamma_{j}(0)\rangle|^{2} + |\langle\gamma_{1}(nT)|\tilde{\gamma}_{j}(0)\rangle|^{2}]=1$.