螺旋波等离子体中螺旋波与Trivelpiece-Gould波模式耦合及线性能量沉积特性参量分析

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1.引　言

螺旋波等离子体源(helicon plasma sources, HPS)因其高电离率产生的高等离子体密度特性, 在纳米电路刻蚀、深空电磁推进系统、卫星姿态调控、激光等离子体尾波场加速及引力波探测等领域正受到越来越多的关注^[1-3]. 自1960年 Aigrain^[4]首次使用螺旋波(helicon wave, H-mode)的概念描述高电导率介质中传播的低频电磁波, 1991年Chen^[5]首次利用螺旋波的Landau阻尼机制解释HPS中存在的高电离率现象以来, 关于HPS中的高电离率物理机制至今仍作为热点问题得到许多物理学家的研究. 1994年—1998年, Shamrai 等^[6-8]发现在螺旋波放电中存在一种静电性质的 Trivelpiece-Gould (TG)波, 其通过在等离子体柱表面附近与螺旋波进行模式耦合而将能量沉积入等离子体中, 但其无法解释在等离子体柱中心处出现的峰值密度现象. 1999年—2001年, Chen 和Blackwell^[9,10]通过测量螺旋波等离子体中电子能量分布函数, 发现在螺旋波放电中并不存在强Landau阻尼引起的高能电子分布, 从而推翻了1991年提出的螺旋波强Landau阻尼机制. 2003年, Kline和Scime^[11]认为螺旋波(泵浦波)可以通过参数不稳定性模式转换为离子声波和TG波, 而离子声湍流可在局部通过散射加热电子. 2008年, Kim和Hwang^[12]指出碰撞效应在体模式转换过程中起到重要作用, 并进一步指出模式耦合层(mode coupling surface, MCS)附近螺旋波的碰撞阻尼率足以解释等离子体柱中心密度峰值现象. 2016年, Shinohara^[3]和Isayama等^[2,13]指出, 当碰撞效应非常小时, 螺旋波与TG波之间的体模式转换将在波能量沉积过程中起到重要作用. 国内方面, 成玉国等^[14]采用线性扰动波假设, 分析了轴向静磁场对螺旋波和TG波能量沉积的影响; 平兰兰等^[15]利用Helic code^[16-18], 分析了轴向静磁场和等离子体密度对功率沉积及其分布的影响. 至今, 虽然关于螺旋波等离子体中能量沉积的全部物理机理并未完全明朗, 但越来越多的细节正在被不断揭晓, 这为我们最终彻底理解螺旋波等离子体的高电离机制提供了有力支撑.
由于考虑粒子热效应会将求解本征模色散关系过程变得异常复杂, 故至今有关求解螺旋波和TG波横向波数的研究均采用冷等离子体模型, 为研究精确、完整起见, 实际情形中粒子的热效应应当予以考虑. 故本文利用包含粒子热效应的有限温度等离子体介电张量模型, 在不同等离子体色散函数(plasma dispersion function, PDF)近似条件下, 通过理论求解螺旋波和TG波本征模色散方程, 分析了螺旋波等离子体典型参量情形下螺旋波和TG波的耦合色散特性, 并参数分析了碰撞阻尼、Landau阻尼、多普勒频移回旋阻尼及异常多普勒阻尼四种线性能量沉积机制致使的波能量沉积特性. 本文所得分析结果对揭示螺旋波等离子体高电离率物理机理具有一定的理论意义.

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2.1.等离子体区域中的电磁场分布与本征模色散关系

假定扰动电磁场的传播因子为${{\rm{e}}^{{\rm{j}}\left( {m\theta + {k_{zm}}z - \omega t} \right)}}$

, 利用${\rm{Maxwell}}$

方程组:

$\nabla \times {{E}} = - \frac{{\partial {{B}}}}{{\partial t}},$

$\nabla \times {{B}} = - \frac{{{\rm{j}}\omega }}{{{c^2}}}\epsilon \cdot {{E}},$

其中${k_{zm}}$

为第$m$

个角向模的轴向波数($m$

为角向模数); $\epsilon$

为温等离子体介电张量. 借助等价符号$\partial /\partial z = {\rm{j}}{k_z}$

, $\partial /\partial t = - {\rm{j}}\omega $

, $\partial /\partial \theta = {\rm{j}}m$

, 求得如下关于横向电磁场分量${E_z}$

和${B_z}$

满足的波动方程:

$\left( {\nabla _ \bot ^2 + k_{ \bot m,H}^2} \right)\left( {\nabla _ \bot ^2 + k_{ \bot m,TG}^2} \right)\left( {\begin{aligned}{{E_{zm}}}\\{{B_{zm}}}\end{aligned}} \right)=0,\;\;r \leqslant a,$

其中$\nabla _ \bot ^2 = \dfrac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\dfrac{\partial }{{\partial r}}} \right) + \dfrac{1}{{{r^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {\theta ^2}}}$

为横向拉普拉斯算子; ${k_{ \bot m, H}}$

和${k_{ \bot m, TG}}$

分别为螺旋波、TG横向波数, 其精确解可由以下等离子体中电磁波的一般色散关系得到^[19]:

$\begin{split} &{\epsilon_ \bot }k_ \bot ^4 + k_ \bot ^2\left[ {k_z^2\left( {{\epsilon_ \bot } + {\epsilon_\parallel }} \right) - k_0^2\left( {{\epsilon_ \bot }{\epsilon_\parallel } + RL} \right)} \right] \\ &+ {\epsilon_\parallel }\left( {k_z^2 - k_0^2R} \right)\left( {k_z^2 - k_0^2L} \right) = 0,\end{split}$

其中$R = {\epsilon_ \bot } + {\epsilon_? }$

, $L = {\epsilon_ \bot } - {\epsilon_? }$

. ${\epsilon_ \bot }$

, ${\epsilon_? }$

, ${\epsilon_\parallel }$

为温度各向同性、无漂移、零阶有限拉莫尔半径效应近似下的温等离子体介电张量元素^[20]:

$ { \epsilon} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\epsilon_ \bot }}&{ - {\rm{j}}{\epsilon_? }}&0\\ {{\rm{j}}{\epsilon_? }}&{{\epsilon_ \bot }}&0\\ 0&0&{{\epsilon_\parallel }} \end{array}} \right), $

其中张量各元素可表示为:

${\epsilon_ \bot } = 1 + \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{2\omega {k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}}}} \left[ {Z\left( {{\xi _{ - 1,\ell }}} \right) + Z\left( {{\xi _{1,\ell }}} \right)} \right],\tag{6a}$

${\epsilon_? } = \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{2\omega {k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}}}} \left[ {Z\left( {{\xi _{ - 1,\ell }}} \right) - Z\left( {{\xi _{1,\ell }}} \right)} \right],\tag{6b}$

${\epsilon_\parallel } = 1 - \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{k_z^2v_{{\rm{th}}\ell }^2 + {\rm{j}}{\nu _\ell }{k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}Z\left( {{\xi _{0\ell }}} \right)}}} Z'\left( {{\xi _{0\ell }}} \right),\tag{6c}$

其中${k_z}$

为轴向波数; ${\omega _{{\rm{p}}\ell }} = \sqrt {{n_0}{e^2}/({\epsilon_0}{m_\ell })} $

为$\ell $

粒子等离子体频率; ${\omega _{{\rm{c}}\ell }} = e{B_0}/{m_\ell }$

为$\ell $

粒子回旋频率;${\xi _{m\ell }} = (\omega + {\rm{j}}{\nu _\ell } + m{\omega _{c\ell }})/{k_z}{v_{th\ell }}$

, ${v_{{\rm{th}}\ell }} = \sqrt {2 e{T_{{\rm{eV}}, \ell }}/{m_\ell }} $

为$\ell $

粒子热速度, ${\nu _\ell }$

为$\ell $

粒子碰撞频率^[5,21,22]:

$\begin{split}& {\nu _{\rm{e}}} = {\nu _{{\rm{ei}}}} + {\nu _{{\rm{en}}}} \\=&\; 2.9 \times {10^{ - 12}}{\lambda _{{\rm{ei}}}}\frac{{{n_0}}}{{T_{{\rm{eV,e}}}^{3/2}}}\; + 1.3 \times {10^6}{p_{{\rm{Ar}}}}{T_{{\rm{eV,e}}}},\end{split}$

${\nu _{\rm{i}}} = 4.8 \times {10^{ - 14}}{\lambda _{{\rm{ei}}}}\frac{{{n_0}}}{{\sqrt \varLambda T_{{\rm{eV,i}}}^{3/2}}},$

其中等离子体密度${n_0}$

的单位为${{\rm{m}}^{{\rm{ - 3}}}}$

, 氩气气压${p_{{\rm{Ar}}}}$

的单位为mTorr (1 mTorr≈0.133 Pa), 电子温度${T_{{\rm{eV, e}}}}$

与离子温度${T_{{\rm{eV, i}}}}$

的单位为eV, ${\lambda _{{\rm{ei}}}} = 23 - 0.5 {\rm{ln}}({{10}^{ - 6}}{n_0}/ T_{{\rm{eV, e}}}^3)$

为电子-离子库仑对数^[23], $\varLambda = 40$

为氩元素原子量, ${m_\ell }$

为$\ell $

粒子质量, $e = 1.602 \times {10^{ - 19}}\;{\rm{C}}$

为电子电量, $\omega $

为波频率, ${k_0} = \omega /c$

为自由空间波数, $c$

为光速; $Z(\xi )$

为等离子体色散函数^[24]:

$Z(\xi ) = \frac{1}{{\sqrt {\text{π}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{\rm{e}}^{ - {\tau ^2}}}}}{{\tau - \xi }}} \;{\rm{d}}\tau, \;{\rm{Im}} \left\{ \xi \right\} > 0,$

$Z'(\xi ) = - 2\left[ {1 + \xi \cdot Z(\xi )} \right].$

在螺旋波等离子体频率范围内, ${\omega _{{\rm{ci}}}} \ll \omega < {\omega _{{\rm{ce}}}} \ll {\omega _{{\rm{pe}}}}$

, (4)式可化简为^[25]

$\frac{{{c^2}{k^2}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{{\omega _{{\rm{pe}}}}^2}}{{\omega \left[ {{\omega _{{\rm{ce}}}}\cos \theta - \omega \left( {1 + {\rm{j}}{\gamma _{\rm{e}}}} \right)} \right]}},$

其中${\gamma _{\rm{e}}} = {\nu _{\rm{e}}}/\omega $

, $k$

为总波数, $\cos \theta = {k_z}/k$

. 求解(11)式, 得到关于总波数$k$

的两个解:

${k_{{\rm{H,TG}}}} = \frac{{{k_z}}}{{2{\zeta _{\rm{e}}}}}\left[ {1 \mp \sqrt {1 - 4{{\left( {\frac{{{\zeta _{\rm{e}}}}}{{{k_z}{\delta _0}}}} \right)}^2}} }\; \right],$

其中${\zeta _{\rm{e}}} = \left( {\omega + {\rm{j}}{\nu _{\rm{e}}}} \right)/{\omega _{{\rm{ce}}}}$

, ${\delta _0} = c/{\omega _{{\rm{pe}}}}$

为等离子体趋肤深度. 至此, 可根据(12)式、波数间关系得到横向波数${k_{ \bot m, {\rm{H}}}}$

和${k_{ \bot m, {\rm{TG}}}}$

的具体数值.
求解波动方程(3)式, 得到等离子体区域磁场分量分布^[15]:

$\begin{split}{B_{zm}} =\;& {B_{zm,{\rm{H}}}} + {B_{zm,{\rm{TG}}}} \\ =\;& - 2{\rm{j}}[{f_m}{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}{{\rm{J}}_m}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}r} \right) \\ & + {g_m}{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}{{\rm{J}}_m}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}r} \right)],\qquad \quad \end{split}$

$\begin{split} {B_{\theta m}} =\; & {B_{\theta m,{\rm{H}}}} + {B_{\theta m,{\rm{TG}}}} \\=\; & {\rm{j}}{f_m}[\left( {{k_{\rm{H}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}r} \right) \\ &- \left( {{k_{\rm{H}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}r} \right)] \\ & + {\rm{j}}{g_m}[\left( {{k_{{\rm{TG}}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}r} \right) \\ &- \left( {{k_{{\rm{TG}}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}r} \right)],\end{split} $

$\begin{split} {B_{rm}} =\;& {B_{rm,{\rm{H}}}} + {B_{rm,{\rm{TG}}}} \\ =\; & \;{f_m}[\left( {{k_{\rm{H}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}r} \right) \\ &+ \left( {{k_{\rm{H}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}r} \right)] \\ & + {g_m}[\left( {{k_{{\rm{TG}}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}r} \right) \\ &+\left( {{k_{{\rm{TG}}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}r} \right)].\end{split} $

其中, J_m为m阶 Bessel函数. 利用${\rm{Maxwell}}$

方程, 得到电场分量分布:

${E_{zm}} = - {\rm{j}}\omega \delta _{\rm{0}}^{\rm{2}}\left[ {{k_{\rm{H}}}{B_{zm,{\rm{H}}}} + {k_{{\rm{TG}}}}{B_{zm,{\rm{TG}}}}} \right],$

${E_{rm}} = \frac{\omega }{{{k_{zm}}}}{B_{\theta m}} - {\rm{j}}\frac{1}{{{k_{zm}}}}\frac{{\partial {E_{zm}}}}{{\partial r}},$

${E_{\theta m}} = \frac{m}{{{k_{zm}}r}}{E_{zm}} - \frac{\omega }{{{k_{zm}}}}{B_{rm}},$

其中${f_m}$

与${g_m}$

为场幅值系数.
最后, 利用边界条件: ${E_z}$

和${E_\theta }$

在边界$r = a$

处为零, 即

${E_{zm}}\left( {r = a} \right) = 0,$

${E_{\theta m}}\left( {r = a} \right) = 0.$

将场分布代入(19)式和(20)式, 经过整理, 得到角向模数$m$

对应的径向模式色散关系如下所示:

$\begin{split} &\frac{{{k_{\rm{H}}}{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}}}{{{k_{{\rm{TG}}}}{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}}} \cdot \frac{{{{\rm{J}}_m}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}a} \right)}}{{{{\rm{J}}_m}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}a} \right)}} \\ =\; & \big[\left( {{k_{\rm{H}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}a} \right) \\&+ \left( {{k_{\rm{H}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{H}}}}a} \right)\big]\\&\times\big[\left( {{k_{{\rm{TG}}}} + {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m - 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}a} \right) \\&+ \left( {{k_{{\rm{TG}}}} - {k_{zm}}} \right){{\rm{J}}_{m + 1}}\left( {{k_{ \bot m,{\rm{TG}}}}a} \right)\big]^{-1}.\end{split}$

可以看到, (21)式是边界约束条件下波数${k_{zm}}$

, ${k_{ \bot m}}$

及$k$

($k = \sqrt {k_{zm}^2 + k_{ \bot m}^2} $

)之间关于贝塞尔函数的隐函数方程, 联立(12)式和(21)式, 可得到精确场分布.
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2.2.线性能量沉积特性

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2.2.线性能量沉积特性

在螺旋波等离子体中, 存在由碰撞阻尼(collision damping, CD)、朗道阻尼(Landau damping, LD)、多普勒频移回旋阻尼(Doppler shifted cyclotron damping, DSCD)及异常多普勒阻尼(anomalous Doppler damping, ADD)致使的螺旋波与TG波线性能量沉积机制. 四种阻尼效应通过波-粒互作用机制将电磁波的能量传递给等离子体, 从而实现电子和离子的加热. 利用复数形式坡印廷定理, 得到螺旋波与TG模第$m$

个角向模的功率沉积${P_{{\rm{abs}}}}$

为

$\begin{split}& {P_{{\rm{abs}}}}(m,r) \\ =\;& {\mathop{\rm Im}\nolimits} \bigg\{ {1 + \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{\omega {k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}}}Z\left( {{\xi _{ - 1,\ell }}} \right)} } \bigg\}{\epsilon_0}{\left| {{E_{ - m}}(r)} \right|^2} \\ & + {\mathop{\rm Im}\nolimits} \bigg\{ {1 + \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{\omega {k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}}}} Z\left( {{\xi _{1,\ell }}} \right)} \bigg\}{\epsilon_0}{\left| {{E_{ + m}}(r)} \right|^2} \\ & + {\mathop{\rm Im}\nolimits} \bigg\{ {1 - \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{k_z^2v_{th\ell }^2 + {\rm{j}}{\nu _\ell }{k_z}{v_{{\rm{th}}\ell }}Z\left( {{\xi _{0\ell }}} \right)}}} Z'\left( {{\xi _{0\ell }}} \right)} \bigg\}\\& \times {\epsilon_0}{\left| {{E_{zm}}(r)} \right|^2},\\[-12pt]\end{split}$

其中, ${E_{\_m}} = ({E_{rm}} - {\rm{j}}{E_{\theta m}})/\sqrt 2 $

为右旋极化电场分量, ${E_{ + m}} = ({E_{rm}} + {\rm{j}}{E_{\theta m}})/\sqrt 2 $

为左旋极化电场分量. (22)式等号右侧第一项为多普勒频移回旋阻尼, 第二项为异常多普勒阻尼, 第三项为联合碰撞 - Landau阻尼. 为区分碰撞阻尼与Landau阻尼, 我们将纵向介电张量元素${\epsilon_\parallel }$

重写为如下形式^[26]:

$ \left\{ {\begin{aligned} &{{\epsilon_{{\rm{\parallel,CD}}}} \to 1 - \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{\omega \left( {\omega + {\rm{j}}{\nu _\ell }} \right)}}\;,\;\;{\text{碰撞阻尼}},} } \\ & {{\epsilon_{{\rm{\parallel,LD}}}} \to 1 \!-\! \sum\limits_{\ell = {\rm{i,e}}} {\frac{{\omega _{{\rm{p}}\ell }^2}}{{k_z^2v_{{\rm{th}}\ell }^2}}} Z'\left( {{\xi _{0\ell }}} \right)\;,\;\;{\text{朗道阻尼}}.} \end{aligned}} \right. $

本文计算中, 中性工质气体为氩气; 等离子体柱半径$a = 2.5\;{\rm{cm}}$

; 射频波频率$\omega = 2{\text{π}} \times 13.56\;{\rm{MHz}}$

; 离子温度${T_{{\rm{eV}}, {\rm{i}}}} = {T_{{\rm{eV, e}}}}/10$

; 根据宗量$\xi $

的大小, 等离子体色散函数采取以下两种渐进形式^[27]:

$\begin{split}Z(\xi ) =\; & {\rm{j}}\sqrt {\text{π}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{\rm{j}}\xi } \right)}^n}}}{{\Gamma \left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}} \\ & = {\rm{j}}\sqrt {\text{π}} {{\rm{e}}^{ - {\xi ^2}}} - 2\xi \bigg[1 - \frac{2}{3}{\xi ^2} + \frac{4}{{15}}{\xi ^4} \bigg. \\ & \bigg.+ {{\left( { - 2} \right)}^n}\frac{{{\xi ^{2n}}}}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n - 1} \right) \cdots 3 \cdot 1}} \bigg], \\ &\qquad \left| \xi \right| \ll 1,\end{split}$

$\begin{split} Z(\xi ) = \; &- \frac{1}{\xi }\sum\limits_{n = 0}^\varPi {\frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{{{\left( {2{\xi ^2}} \right)}^n}}}} = {\rm{j}}\sigma \sqrt {\text{π}} {{\rm{e}}^{ - {\xi ^2}}} \\ &- \frac{1}{\xi }\left[ {1 + \frac{1}{{2{\xi ^2}}} + \frac{3}{{4{\xi ^4}}} + \cdot \cdot \cdot \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{{{\left( {2{\xi ^2}} \right)}^n}}}} \right], \\ & \qquad \left| \xi \right| \gg 1, \\ &\sigma = \left\{ {\begin{aligned} & {0\;,\;\;\operatorname{Im} (\xi ) > 0,} \\ & {1\;,\;\;\operatorname{Im} (\xi ) = 0,} \\ & {2\;,\;\;\operatorname{Im} (\xi ) < 0,} \end{aligned}} \right.\\[-25pt]\end{split} $

其中, Π 为某一子项的值不再单调递减时对应的该子项的项序.