1.College of Physics, Sichuan University, Chengdu 610065, China 2.Beijing Jingshan School Chaoyang Branch School, Beijing 100012, China 3.College of Physics, Taiyuan Normal University, Jinzhong, 030619, China 4.School of Physics and Electronic engineering, Sichuan Normal University, Chengdu 610101, China 5.School of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China 6.Beijing National Laboratory for Condensed Matter Physics, Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 7.School of Physical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China
Fund Project:Project supported by the NKRDP, China (Grant No. 2016YFA0301500) and the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11434015, 61835013, 11875149, 61565007)
Received Date:28 October 2019
Accepted Date:02 December 2019
Available Online:17 December 2019
Published Online:05 January 2020
Abstract:Most of the atoms that realize Bose-Einstein condensation have internal spin degree of freedom. In the optical potential trap, the internal spin of the atom is thawed, and the atom can be condensed into each hyperfine quantum state to form the spinor Bose-Einstein condensate. Flexible spin degrees of freedom become dynamic variables related to the system, which can make the system appear novel topological quantum states, such as spin domain wall, vortex, magnetic monopole, skymion, and so on. In this paper, the experimental and theoretical study of spinor Bose-Einstein condensation, the types of topological defects in spinor Bose-Einstein condensate, and the research progress of topological defects in spinor two-component and three-component Bose-Einstein condensate are reviewed. Keywords:spinor Bose - Einstein condensation/ spin domain wall/ vortex/ magnetic monopole/ skymion
这种涡旋的缠绕数满足组合(1, 0, –1). 势阱中心被ψ0组分占据, ψ1和ψ–1组分被推到外部区域. 不同于Mermin-Ho涡旋中心处的纵向磁化, 极核涡旋代表手征对称性的自发破缺. 对于涡旋而言, 相位的改变量是量子化的, 应是2π的整数倍[75]. 在两分量BEC系统中, 通过光学方法可以实现半量子化涡旋(half-quantized vortice), 描述两分量系统中, 组分一涡旋的相位改变量是2π, 组分二相位改变量为0的情况. 相对于整个系统, 每个组分的相位改变量为π, 因此称之为半量子化涡旋或Alice涡旋[76]. 2017年Liu C F和Liu W M[77]利用变分方法, 得到了自旋-轨道耦合和外磁场联合作用下自旋1BEC中无核半量子涡旋可能的稳定解. 计算表明, 各向同性自旋-轨道耦合提供了稳定无核半量子涡旋和相应的奇异半量子自旋纹理激发的局部能量最小. 各向同性自旋-轨道耦合和垂直磁场的联合约束是获得这种激发的关键因素, 研究还提供了半量子涡旋的稳定相图和最可能的尺寸. 图4为自旋1BEC中半量子涡旋近似解和相应的奇异自旋纹理. 在自旋2BEC的单轴向列相和四面体循环相中还存在非阿贝尔涡旋, 其迷向群都是阿贝尔群[78]. 非阿贝尔涡旋的特点在于其涡旋的生成元是不能互换的, 因此当两个涡旋碰撞时, 它们不能合并或者通过对方, 而是形成一个rung涡旋粘在一起. 图 4 自旋1 BEC中半量子涡旋的近似解和相应的奇异自旋纹理[77] (a)和(b)对应$\left| {F = 1, {{{m}}_{\rm F}} = 0} \right\rangle $和$\left| {F = 1, {{{m}}_{\rm F}} = - 1} \right\rangle $分量的密度; (c)和(d)是对应的相; (e)为半量子涡旋的分布; (f)|S|自旋密度; (g) |S|自旋密度分布; (h)自旋纹理; (i)拓扑荷密度$q\left( {x, y} \right)$ Figure4. Approximate half-quantum vortex solution in the spin-1 BEC and the corresponding singular spin texture: (a) and (b) are the densities of the $\left| {F = 1, {m_{\rm F}} = 0} \right\rangle $和$\left| {F = 1, {m_F} = - 1} \right\rangle $ components, respectively; (c) and (d) are the corresponding phases; (e) shows the profile of the half-quantum vortex; (f) spin density|S|; (g) the profile of the spin density|S|; (h) spin texture; (i) topological charge density $q\left( {x, y} \right)$.
23.3.磁单极子 -->
3.3.磁单极子
磁单极子可由二阶同伦群${{\text{π}} _2}\left( {\cal R} \right)$表征, 描述从实空间一个球到序参量流形的映射, 为二维skyrmion结构, 常见的两种二维skyrmions构型如图5. 在铁磁BEC系统中可以产生狄拉克磁单极子, 其铁磁相的序参量为 图 5 两种常见的二维skyrmions的矢量场构型[79] (a) 豪猪型skyrmion; (b) 螺旋型skyrmion Figure5. Two common vector field configurations of two-dimensional skyrmions: (a) The hedgehog type skyrmion; (b) the spiral type skyrmion.
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\psi _1}}\\{{\psi _0}}\\{{\psi _{ - 1}}}\end{array}} \right) = \left( \begin{array}{c}{\left( {\cos \dfrac{{f\left( r \right)n}}{2} - {\rm{i}}\cos \theta \sin \dfrac{{f\left( r \right)n}}{2}} \right)^2} \\ - \sqrt 2 {\rm{i}}\left( {\cos \dfrac{{f\left( r \right)n}}{2} - {\rm{i}}\cos \theta \sin \dfrac{{f\left( r \right)n}}{2}} \right)\sin \dfrac{{f\left( r \right)n}}{2}\sin \theta {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\phi }}\\ - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\dfrac{{f\left( r \right)n}}{2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta {{\rm{e}}^{2{\rm{i}}\phi }}\end{array} \right),$
其中$\hat f = \left( {{{\hat f}_{{x}}}, {{\hat f}_{{y}}}, {{\hat f}_{{z}}}} \right)$, ($r, \theta, \phi $)是位置r处的极坐标. Skyrmion在凝聚态的许多体系中发挥了作用, 例如液氦、量子霍尔体系、液晶以及螺旋铁磁系统, 目前在旋量BEC中的skyrimon已经成为研究热点. 图6是研究者在两分量BEC中通过非阿贝尔规范场诱导观察到的三维skyrmions[82,83]. 图 6 稳定的三维skyrmions在x-y和z-x平面的空间分布[83] (a)中的箭头和颜色分别表示贋自旋方向和OP的U(1)相分布. 彩图(b)和(c)分别表示$\left| {{\varPsi _ \uparrow }\left( {\rm{r}} \right)} \right|$和$\left| {{\Psi _ \downarrow }\left( {\rm{r}} \right)} \right|$的振幅 Figure6. The spatial profile of the stable 3D skyrmions in the x-y and z-x planes: The arrows and their colors in (a) indicate the pseudospin direction and the U(1) phase of the OP, respectively; the color maps of (b) and (c) give the amplitudes $\left| {{\varPsi _ \uparrow }\left( {\rm{r}} \right)} \right|$ and $\left| {{\varPsi _ \downarrow }\left( {\rm{r}} \right)} \right|$, respectively.
23.5.扭 结 -->
3.5.扭 结
扭结也可由三阶同伦群${{\text{π}} _3}\left( {\cal R} \right)$表征, 表现为一个闭合回路互相嵌套的结构, 描述从三维球空间S3到S2的映射. 不同于其他拓扑缺陷, 如涡旋、磁单极子和三维skyrmion通过缠绕数来描述, 扭结是通过连接数或Hopf不变量来描述. Hopf映射是从S3到S2, 在S2中一个点的原像会形成一个无结的回路. 假设在BEC系统中给定一个闭合路径C1, 自旋矢量固定在一个给定的方向, 另一个回路C2沿着自旋不同的方向. 如果两个回路C1和C2连接一次, 那么连接数就为1. 连接数可正可负, 决定于两个回路的相对取向. 扭结自Faddeev和Niemi提出在三维经典场论中可以稳定孤子的形式存在以来, 引起了物理学家极大的研究兴趣. 与三维skyrmion的情况一样, S3域是通过设置一个边界条件来给定的, 即在空间无穷大的各个方向上, 序参量的值是相同的. 考虑自旋1的极性相, 序参量流形为${\cal{R}^{{\rm{ploar}}}} \cong \left( {S_r^2 \times U{{\left( 1 \right)}_\phi }} \right)/{\left( {{\mathbb{Z}_2}} \right)_{r, \phi }}$, 这里U(1)和${\mathbb{Z}_2}$对一维空间以上的同伦群无对称贡献, 因此, 得到${{\text{π}} _3}{{\cal R}^{{\rm{ploar}}}} \cong {{\text{π}} _3}\left( {{S^2}} \right) \cong \mathbb{Z}$. 对应的拓扑荷, 也即Hopf荷${\cal Q} \in \mathbb{Z}$[84]. 通过操纵外部磁场, 可以在自旋1BEC中形成扭结. 在外部磁场存在时, 线性塞曼效应引起${{\hat d}}$的拉莫尔进动, 而二次塞曼效应${{\hat d}}$往往平行与磁场. 假设一个处于光势阱的BEC, 其${{\hat d}}$ = (0 0 1)T, 在z方向施加均匀磁场, 然后突然关闭均匀磁场, 打开四极场, 由于线性塞曼效应, ${{\hat d}}$开始围绕磁场旋转. 此时${{\hat d}}$作为时间的函数运动, 从而导致扭结的形成. 图7显示了四极场作用下球形光势阱中扭结产生的动力学过程. 图 7 四极场作用下球形光势阱中扭结产生的动力学过程[85]. 上一行表示${{\hat d}} = {\left( {0, 0, - 1} \right)^{\rm{T}}}$和${{\hat d}}$ = (1, 0, 0)T的图像快照, 下一行表示x-y平面上m = –1分量的密度截面 Figure7. Dynamics of the creation of knots in a spherical optical trap under a quadrupole magnetic field. Snapshots of the preimages of ${{\hat d}}$ = (0, 0, –1)T and ${{\hat d}}$ = (1, 0, 0)T(top), and the cross sections of the density for the m = –1 components on the x–y plane (bottom).
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4.1.两分量旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的拓扑缺陷研究
对于两分量BEC[86], 由于组分内相互作用与组分间相互作用两者的竞争导致体系出现丰富而有趣的拓扑结构, 如上文介绍的涡旋、skyrmion、磁单极子和量子扭结等, 现已成为实验研究的理想平台. 实验方面, 1999年Matthews等[87]在两分量BEC中产生了量子涡旋. 2001年Anderson等[88]采用两束正交的探测光观察到双组分的BEC中暗孤子受动力学不稳定的影响衰变为涡旋环. 2016年Hall等[89]演示了在旋量BEC中扭结孤子的实验创建和检测, 所观察到的扭结纹理对应于三阶同伦群, 如图8. 图 8 扭结孤子的结构及其产生方法[89] (a)和(b)为扭结形成之前和形成过程中磁感应线的示意图, 绿色椭圆为对应的凝聚体; (c)和(d)显示扭结形成时, 最初的z方向的向列相矢量(黑色箭头)沿着局部磁场(青色线)的方向进动, 以实现最终的结构(彩色箭头). 灰色虚线表示dz = 0, 白线表示孤子核(dz = –1), 深灰色线表示体积V (dz = 1)的边界; (e)表示实空间中扭结孤子的构型及其与S2中向列矢量${{\hat d}}$的关系 Figure8. Structure of the knot soliton and the method of its creation: Schematic magnetic field lines before (a) and during (b) the knot formation, with respect to the condensate (green ellipse); (c), (d) as the knot is tied, the initially z-pointing nematic vector (black arrows) precesses about the direction of the local magnetic field (cyan lines) to achieve the final configuration (coloured arrows); the dashed grey line shows where dz = 0, the white line indicates the soliton core (dz = –1), and the dark grey line defines the boundary of the volume V (dz= 1); (e) the knot soliton configuration in real space and its relation to the nematic vector ${{\hat d}}$ in S2 (inset).
2014年Wang等[100]研究了准二维旋转双分量BEC在改变自旋-轨道耦合和旋转频率强度的情况下呈现出的各种丰富的基态结构, 表明各向异性自旋-轨道耦合引起的不同基态相之间的转变明显不同于各向同性的情况. Fetter[101]用时间相关的拉格朗日形式和变分函数研究了自旋-轨道耦合的BEC中双组分涡旋的动力学. 2016年Sakaguchi和Umeda[102]通过数值模拟和变分方法, 研究了Rashba型自旋-轨道耦合的双组分BEC的Gross-Pitaevskii方程. 发现当不存在相互作用时, 多量子涡旋态成为谐波势中的基态. 当引力相互作用较强时, 多量子涡旋态在方位角方向呈现调制不稳定性, 出现孤子态. 当排斥相互作用较强时, 形成中心为多量子涡旋的涡旋晶格态, 且涡旋晶格态近似于多量子涡旋态的线性组合. 2017年Sakaguchi[103]通过数值分析研究了双组分BEC中自旋-轨道耦合条纹和半涡旋物质波孤子在组分间线性混合(Rabi耦合)作用下, 以耦合结构振荡和穿梭运动形式产生宏观量子效应的可能性. 研究得到在一维系统中, 本征振荡表现为条纹孤子在空间上的偶数分量和奇数分量之间的翻转, 而在二维系统中则表现为半涡旋孤子的零涡旋和涡旋分量之间的周期性跃迁. 同年, Wang等[104]研究了环形势阱中自旋-轨道耦合两分量BEC的旋涡态和自旋纹理, 系统地讨论了旋转、自旋-轨道耦合和原子间相互作用对系统基态涡旋结构和自旋纹理的影响. 特别是当旋转频率固定在临界值以上时, 各向同性自旋-轨道耦合的增强使每个分量中有一个可见的涡旋链, 在中心区域伴随着一个隐藏的巨涡旋和一个(或几个)隐藏的涡旋链. Kato等[105]研究了具有Rashba自旋-轨道耦合双组分BEC中涡旋-反涡旋对的动力学性质, 并且发现旋涡-反涡旋对的速度远小于无自旋-轨道耦合的速度且存在稳态, 而两个具有相同环流的涡旋相互移动或联合会形成一个静止状态. 2018年Shi等[106]研究了旋转非对称势阱中具有Dreselhaus自旋-轨道耦合(DSOC)的两分量BEC中的拓扑缺陷和自旋纹理. 结果表明, 对于不含自旋-轨道耦合的初始混合凝聚体, 旋转频率的增强可导致系统的结构相变. 在各向同性DSOC存在的情况下, 该系统维持涡流对、Anderson-Toulouse无核涡流、圆形涡旋片和组合涡旋结构. 特别地, 当旋转频率固定在径向势阱频率之上时, 强DSOC导致了由多层可见涡旋链、隐藏涡旋链和隐藏巨涡旋流组成的特殊拓扑结构. Li和Liu[107]利用Gross-Pitaevskii方程研究了自旋-轨道耦合作用和梯度磁场对旋转两分量BEC基态的影响. 研究结果表明, 在梯度磁场中, 随着自旋-轨道耦合强度增大, 基态结构由skyrmion格子逐渐过渡为沿着对角线方向排列的skyrmion列. 当自旋-轨道耦合强度和旋转频率都小的情况, 磁场梯度的增强可导致基态由平面波相转变为half-skyrmion; 当自旋-轨道耦合强度和旋转频率都大的情况, 梯度磁场可诱导hidden涡旋的产生. 图10为不同自旋-轨道耦合强度下梯度磁场中两分量87RbBEC基态粒子数密度分布和相位分布. 图 10 不同自旋-轨道耦合强度下梯度磁场中两分量87RbBEC基态粒子数密度分布(第1、2列)和相位分布(第3、4列)[107] (a)?(d)的${\tilde {\rm{\kappa}} }$值分别为0, 0.2, 0.8, 2 Figure10. Particle number densities (the first and second columns) and phase distributions (the third and fourth columns) of ground state of the two-component BEC of 87Rb for the different spin-orbit coupling strengths: the parameters of ${\tilde {\rm{\kappa}} }$ in (a)?(d) are 0, 0.2, 0.8, 2, respectively[107].
24.2.三分量旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的拓扑缺陷研究 -->
4.2.三分量旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的拓扑缺陷研究
对于自旋F = 1的旋量三分量BEC, 原子可能占据的塞曼态有$\left| {1, 1} \right\rangle $, $\left| {1, 0} \right\rangle $, $\left| {1, -1} \right\rangle $三种, 体系内会出现两种类型基态相——磁相和晶列相, 依赖于自旋无关相互作用和自旋相关相互作用. 实验上2001年Raghavan等[108]通过静态直流磁场在三分量旋量BEC中产生了暗孤子和涡旋结构. 2002年Ogawa等[109]采用四极磁场将自旋1BEC限制在Ioffe-Pritchard势阱中, 发现在凝聚体中产生了涡旋. 2006年Itin等[110]研究了自旋1BEC在一对载流线和偏置磁场控制的双磁阱中产生涡旋的几种机制, 图11为凝聚体快速分裂过程中涡旋的动力学形成, 显示动态涡旋存在于凝聚体的所有分量中, 在ψ–1分量中占99%以上, 在ψ0分量中动态涡旋和拓扑涡旋共存. 2014年, Ray等[80,81]在自旋1BEC中借助梯度磁场, 观察到了狄拉克磁单极子, 图12为狄拉克磁单极子的实验产生过程, 显示了凝聚体中不同自旋组分中的粒子密度随BZ, f的减小而减小. 图 11 涡旋的动力学形成[110]. 涡旋形成于凝聚体的所有分量中, 在ψ–1分量中占99%以上, 在ψ0分量中动态涡旋和拓扑涡旋共存 Figure11. Dynamical formation of vortices: vortices are formed in all components, more than 99% of total population is in ψ–1 component. In the ψ0 component, dynamical and topological vortices coexist[110].
图 12 狄拉克磁单极子的实验产生[80] (a)?(f)每一行都包含单个凝聚体的图像. 最左边的列显示了三种自旋状态$\left\{ {\left| 1 \right\rangle, \left| 0 \right\rangle, \left| { - 1} \right\rangle } \right\}$沿水平轴的柱状密度彩色图像; 最右边三列显示沿纵轴拍摄的图像 Figure12. Experimental creation of Dirac monopoles. Each row (a)?(f) contains images of an individual condensate. The leftmost column shows colour composite images of the column densities taken along the horizontal axis for the three spin states $\left\{ {\left| 1 \right\rangle, \left| 0 \right\rangle, \left| { - 1} \right\rangle } \right\}$; The rightmost three columns show images taken along the vertical axis[80].
2013年Liu等[119]利用阻尼映射Gross-Pitaevkii方程, 研究了二维体系中自旋-轨道耦合的23Na自旋1BEC中的涡旋斑图, 研究发现较弱的自旋-轨道耦合可以完全破坏不考虑自旋-轨道耦合情况下出现的周期性涡旋晶格; 在自旋-轨道耦合较强的情况下, 各自旋态的涡旋易形成涡旋组, 并绕凝聚体中心形成花瓣状涡旋斑图. 2014年Song等[120]利用精确对角化和平均场理论研究了弱相互作用的自旋-轨道耦合自旋1玻色气体在外谐波势阱中的碎裂问题, 研究发现这种碎裂倾向源于总角动量守恒, 且受自旋-轨道耦合强度和自旋相关相互作用的影响. Lovegrove等[121]将铁磁态无核涡旋通过相位植入法, 在极化态凝聚体中得到了混合态下稳定的无核涡旋. 2015年Zhao等[122]在自旋1BEC中解析得到了两种不均匀的自旋畴构型, 它们分别由正二次塞曼效应和负二次塞曼效应所致. 分析表明, 二次塞曼效应可以诱导自旋畴的动态相变, 其符号可以影响自旋模式的拓扑结构. 2016年, Gautam和Adhikari[123]对零磁化强度的自旋1和自旋2旋量BEC中的分数涡旋进行分类, 并利用精确的数值解和拉格朗日变分近似研究了准二维旋量BEC中涡旋的静力学和动力学性质. 2017年Liu等[124]通过虚实演化方法研究了具有面内四极磁场自旋1的旋量BEC的基态结构. 研究发现, 面内四极磁场和旋转双重作用可导致中央Mermin-Ho涡旋的产生; 随着磁场梯度增强, Mermin-Ho涡旋周围环绕的涡旋趋向对称化排布; 在四极磁场下, 密度相互作用和自旋交换相互作用作为体系的调控参数, 可以控制Mermin-Ho涡旋周围的涡旋数目. Li等[125]研究了铁磁自旋1BEC中由自旋-轨道耦合引起具有极核旋涡的狄拉克磁单极子, 随着自旋-轨道耦合强度的增加, 具有极核涡旋的狄拉克磁单极子可以转化为正方形晶格. 在自旋-轨道耦合确定的情况下, 增大相互作用强度可引起从具有极核涡旋的狄拉克磁单极子向具有Mermin-Ho涡旋的循环相变. 图14显示了具有Mermin-Ho涡旋的磁单极子的形成. 图 14 具有Mermin-Ho涡旋的磁单极子[125] (a)等值面的粒子数密度; (b)粒子数密度等深线段(y ≤ 0), 节点线(Dirac线)的位置用红色箭头突出显示; (c) z=0平面上的位相分布. 单涡旋(mF = 0)和双涡旋(mF = –1)具有相同的环流, 由红圈突出显示 Figure14. The monopoles with the Mermin-Ho vortex: (a) Isosurface of particle densities; (b) segments of isosurface of particle densities (y ≤ 0). the position of the nodal line (Dirac string) is highlighted by the red arrow; (c) phase distributions in the z = 0 planes. the single vortex (mF = 0) and double vortex (mF = –1) have the same circulations, as highlighted by the red circles[125].