摘要:利用涡旋光束作为空间光通信载波可以大大提高数据传输的容量, 因此, 研究涡旋光束在大气湍流中的传输具有重要意义. 涡旋光束在大气湍流中传输时会产生光束漂移, 进而影响通信系统的性能. 本文基于多相位屏和傅里叶变换的方法, 研究了带有彗差和球差的涡旋光束在大气湍流中传输时的光束漂移特性. 结果表明, 涡旋光束在大气湍流中传输时, 随着传输距离的增大, 彗差和球差对光束漂移特性的影响均明显增强. 传输天顶角及彗差系数越大, 涡旋光束的光束漂移量越大, 而球差系数的增大, 将会降低光束漂移量. 当天顶角和传输距离相同时, 涡旋光束的漂移量都会随着拓扑荷数的增大而减小. 相对而言, 彗差对涡旋光束的光束漂移特性影响比球差更大.
关键词: 彗差/
球差/
光束漂移/
涡旋

English Abstract

全文HTML

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涡旋光束由于其特有的轨道角动量特性在许多方面都有着应用潜力, 如遥感^[1], 光通信^[2-4], 医学等领域^[5,6]. 如果作为信息载体, 理论上轨道角动量可以取任意整数, 这些角动量集合可以构成无穷维希尔伯特空间^[7-9]. 因此, 与传统光通信系统的二进制编码相比, 利用涡旋光束的轨道角动量编码能够有效地提高数据传输容量. 因此, 以空间光通信为应用背景的涡旋光束传输是一个热点研究方向^[10]. 葛筱璐等^[11,12]研究了拉盖尔-高斯(LG)涡旋光束在大气湍流中传输时的光束扩展和相位奇异性的演化. Li等^[13]研究了贝塞尔涡旋光束在大气湍流中传输时的闪烁指数. 然而, 当激光在大气湍流中传输时, 由于大气湍流的影响, 光束会偏离原来的传输方向, 出现光束漂移^[14], 这将严重影响光通信系统的工作特性^[15].
对于涡旋光束在大气湍流中传输时光束漂移的研究主要有: Aksenov和 Pogutsa^[16]研究发现在水平链路传输时, 涡旋光束比高斯光束的光束漂移量小. Huang 等^[17]研究了相干涡旋阵列光束在大气湍流中水平传输时光束漂移, 得到拓扑荷数越大、相干程度越小光束漂移量越小的结论. Wu等^[18]研究了高斯谢尔涡旋光束在大气湍流中水平传输, 得到绝对值相同的正、负拓扑荷数的涡旋光束, 其光束漂移量是相同的. Xu等^[19]研究了部分相干中空高斯光束在非Kolmogorov 湍流中的传输, 得出光束阶数越高, 其光束漂移量越小的结论. 狄颢萍等^[20]研究了圆艾里高斯涡旋光在各向异性非Kolmogorov湍流大气中的传输, 发现圆艾里高斯涡旋光束的拓扑电荷值越大, 光束的漂移量越小, 轨道角动量态的稳定性就越差. 程振等^[21]报道了艾里涡旋光束在大气湍流中的漂移特性研究, 得到在传输距离比较小时, 拓扑荷数对光束漂移的影响比较弱. 当传输距离比较大时, 漂移量随着拓扑荷数的增大而减小的结论.
高能激光由于在生产过程中的热效应会带有球差和彗差^[22], 而目前, 对于带有彗差或球差的涡旋光束在大气湍流中斜程传输时, 光束漂移特性还未有文献报道. 本文利用多相位屏和傅里叶变换的模型, 系统研究了分别带有彗差和球差的涡旋光束在大气湍流中斜程传输时, 天顶角、拓扑荷数、传输距离等参数对光束漂移特性的影响.

激光在大气湍流中斜程传输时的示意图如图1所示, h为垂直海拔高度, z为传输距离, $\alpha $为天顶角, z和h之间的关系为$z = h \times \sec \alpha $. 带有彗差的高斯涡旋光束在$z = 0\;{\rm{m}}$处时的光场表达式为^[23]
图 1 激光在大气湍流中斜程传输时的示意图
Figure1. schematic diagram of laser propagation in slant atmospheric turbulence.

$\begin{split} {E_0} =& \exp \left( - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{w^2}}} - \frac{{{\rm{i}}k{C_3} \times x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{w^3}}}\right) \\ & \times \exp ({\rm i}n\theta ), \end{split}$

带有球差的高斯涡旋光束在$z = 0\;{\rm{m}}$处时的光场表达式为^[24]

${E_0} = \exp \left( { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{w^2}}} + \frac{{{\rm{i}}k{C_4}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{w^4}}}} \right) \times \exp \left( {{\rm i}n\theta } \right),$

其中$w$是激光的束腰半径, $n$是拓扑荷数, $\theta $是方位角, $k$为波数, $k{C_3}$和 $k{C_4}$分别为彗差和球差系数. 光束在大气中传输, 光路中大气湍流的强弱变化将对光束特性产生不同的影响, 大气湍流的强弱可用大气湍流结构常数来表征. 由于大气湍流在不同海拔高度具有不同的结构, 因此本文采用2001年国际电信联盟推荐的与高度有关的结构常数^[25]

$ \begin{split} C_n^2\left( h \right) =\, & 8.148 \times {10^{ - 56}}{V^2}{h^{10}}\exp \left( { - h/1000} \right) \\ &+ 2.7 \times {10^{ - 16}}\exp \left( { - h/1500} \right) \\ & + {C_0}\exp \left( { - h/100} \right) \end{split} $

其中$V = {\left( {v_{\rm{g}}^2 + 30.69{v_{\rm{g}}} + 348.91} \right)^{1/2}}$是垂直方向风速, ${v_{\rm{g}}}$是地面风速, ${C_0}$是地面处的湍流典型值(${C_0} = 1.7 \times {10^{ - 14}}\;{{\rm{m}}^{ - 2/3}}$).
在计算光束在大气湍流中的传输特性时, 采用多相位屏法来模拟湍流对光束波前的动态调制. 由于湍流结构常数是与高度有关的, 相位屏不能如水平传输那样设置为等间距. 考虑到对不同折射率起伏区域的充分采样, 根据随机介质折射率起伏的积分效应, 使用等Rytov指数间隔的相位屏(ERPS)是最合理的设置方法^[26], 并由下式计算出相邻相位屏间的距离:

$\beta _0^2\left( {\Delta {z_i}} \right) = 1.23C_n^2\left( {{z_{i - 1}}} \right){k^{7/6}}{\left( {\Delta {z_i}} \right)^{11/6}} = {c_1},$

其中$k ={{2{\text{π}}}}/{\lambda }$为波数, 光束在大气湍流中斜程上行传输时的控制方程可以写成(5)式和(6)式:

$\begin{split}{E_{{z_i} + \Delta {z_i}}} = \, & {{\rm F}^{ - 1}}\Bigg\{{\rm F}\left[ {{E_{{z_i} + \frac{{\Delta {z_i}}}{2}}} \times \exp \left( {{\rm i}\varGamma } \right)} \right]\Bigg.\\ & \times \Bigg.\exp \left( {\frac{{ - {\rm i} \left( {\kappa _x^2 + \kappa _y^2} \right) \times \Delta {z_i}/2}}{{2k}}} \right)\Bigg\},\end{split} $

$\begin{split} & {E_{{z_i} + \frac{{\Delta {z_i}}}{2}}} =\\ & {{\rm F}^{ - 1}}\Bigg[{\rm F}\left( {{E_{{z_i}}}} \right) \Bigg. \times\Bigg. \exp \left( {\frac{{ - {\rm i}\left( {\kappa _x^2 + \kappa _y^2} \right) \times \left( {\Delta {z_i}/2} \right)}}{{2k}}} \right) \Bigg], \end{split}$

其中${\rm F}$代表傅里叶变换, $\rm{F^{ - 1}}$代表傅里叶逆变换. $\varGamma $为大气湍流引起的相位扰动, 其采用功率谱反演法得到^[27]

$\begin{split} \varGamma \left( {x,y} \right) =\;& \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm d}{k_x}} {{\rm e}^{{\rm i}{k_x}x}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm d}{k_y}{{\rm e}^{{\rm i}{k_y}y}}} \times{a(k_x,k_y)}\\& \times \sqrt {{\varPhi _\phi}\left( {{k_x},{k_y}} \right)}, \\[-17pt] \end{split} $

其中$ {\varPhi _\phi}\left( {{k_x}, {k_y}} \right) $是随机相位功率谱函数, $ a\left( {{k_x}, {k_y}} \right) $表示复高斯随机数矩阵，这里采用修正的Von Karman 折射率功率谱密度函数^[28]:

${\varPhi _n}\left( \kappa \right) = 0.033C_n^2\frac{{\exp \left( { - {\kappa ^2}/\left( {\kappa _{\rm{m}}^2} \right)} \right)}}{{{{\left( {{\kappa ^2} + \kappa _0^2} \right)}^{11/6}}}},$

其中${\kappa _0} = {{2{\text{π}}}}/{{{L_0}}}$, ${\kappa _{\rm{m}}} =5.92/{l_0}$, ${l_0}$和${L_0}$分别为大气湍流内、外尺度. 随机相位功率谱函数与折射率功率谱密度函数之间的关系可表示为(9)式：

${\varPhi_\phi}({{k_x},{k_y}}) = 2\text{π} {k^2}\Delta z{\varPhi_n}( {{k_x},{k_y}}),$

相位屏设置在每段传输距离的中间位置, 激光先在自由空间传输$\Delta z/2$到达第一个相位屏, 然后将大气湍流扰动相位叠加到复振幅的相位项上, 激光再在自由空间传输$\Delta z$. 经过多次传输, 激光经过第N个相位屏, 最后再在自由空间传输$\Delta z/2$完成整个传输链路.

为了直观反映涡旋光束在传输中受到湍流、像差的影响, 我们进行了具体的数值计算, 计算中使用的主要参数有: 激光波长$\lambda = 1550 \times {10^{ - 9}}\;{\rm{m}}$, 束腰半径 $w = 0.05\;{\rm{m}}$, Roytov 指数${c_1} = 5 \times {10^{ - 4}}$.
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3.1.光强和相位分布变化

本文中光强和相位都是800次计算结果的平均. 首先分析传输过程中光强的变化规律, 当天顶角$\alpha = 80^\circ $, 彗差系数$k{C_3} = 0.5$, 拓扑荷数$n = 1$和2时, 带有彗差的涡旋光束在大气湍流中传输不同距离时的二维光强分布如图2所示. 从整体上看, 随着传输距离的增大, 光斑逐渐增大, 而涡旋光束中心光强为零的区域则逐渐减小.
图 2 含彗差涡旋光束在大气湍流中不同传输距离时的光强分布.　(a1)?(a3) $n = 1$; (b1)?(b3) $n = 2$
Figure2. Two-dimensional intensity distribution of Gaussian vortex beam with coma in slant atmospheric turbulence at different propagation distance:　(a1)?(a3) $n = 1$; (b1)?(b3) $n = 2$

为了更直观地显示出光强变化的情况, 图3给出了对应的归一化一维光强分布. 对比图2和图3, 当拓扑荷数$n = 1$时, 随着传输距离的增大, 涡旋光束的涡旋特性逐渐减弱, 当传输距离$z = 3639\;{\rm{m}}$时, 涡旋光束中心下凹的区域很小. 随着传输距离的进一步增大, 当传输距离$z = 5458\;{\rm{m}}$时, 光强分布已经退化成高斯型. 当拓扑荷数$n = 2$时, 随着传输距离的增大, 光斑逐渐增大, 涡旋光束中心下凹的程度逐渐减小. 对比图3(a)和图3(b), 当传输距离相同时, 拓扑荷数$n = 2$时的光束中心下凹的程度比$n = 1$时的大. 当传输距离$z = 5458\;{\rm{m}}$时, 拓扑荷数$n = 2$时的涡旋光束中心还是下凹的, 还保持着涡旋特性. 而$n = 1$时的涡旋光束已经退化为高斯光束.
图 3 拓扑荷数　(a) $n = 1$和(b) $n = 2$时带有彗差的涡旋光束在大气湍流中不同传输距离的归一化光强分布
Figure3. Normalized intensity distribution of Gaussian vortex beam with coma when the propagation distance is different. Topological charge (a) $n = 1$, (b) $n = 2$.

图4为传输距离z = 3639 m, 拓扑荷数不同时, 无像差、带有彗差和球差系数分别为kC₃ = 0.5和 kC₄ = 0.5的涡旋光束在大气湍流中传输时的相位分布. 从图中可以看出, 三种光束都随着拓扑荷数的增大, 相位的跃变处, 即“每一扇页片”的分界处模糊和变形. 尤其是拓扑荷数较大时(n = 5), 相位的畸变程度更大. 分别带有彗差和球差的涡旋光束比无像差的涡旋光束相位畸变更严重.
图 4 拓扑荷数不同时, 无像差、带有彗差和带有球差的涡旋光束在大气湍流中传输时相位变化. 传输距离z = 3639 m (a1)?(a3)无像差; (b1)?(b3)带有彗差kC₃ = 0.5; (c1)?(c3)带有球差kC₄ = 0.5. 相位对应黑色(–π)-白色(${\text{π}}$)
Figure4. The phase change of the vortex beam with no aberration, with coma and with spherical aberration propagated in atmospheric turbulence when the topological charges are different. Distance z = 3639 m: (a1)?(a3) with no aberration; (b1)?(b3) with coma kC₃ = 0.5; (c1)?(c3) with spherical aberration kC₄ = 0.5. Phase responding to black (–π)-white (π).

图5给出了在天顶角$\alpha = 80^\circ $, 传输距离z = 3639 m时, 彗差大小对光束传输的影响. 如图5(a)所示, 当彗差系数为0和0.5时, 光强分布还是明显的环状结构, 当彗差系数增大时, 光强逐步演化为类高斯分布. 而且随着彗差系数的增大, 光强分布出现畸变, 峰值光强逐渐减小. 图5(b)为拓扑荷数$n = 2$时的光强分布, 随着彗差系数的增大, 涡旋光束的一侧光强逐渐减小, 而另一侧是先增大后减小. 涡旋光束中心光强下凹的程度逐渐减小, 涡旋特性逐渐减弱. 光斑整体向$x$轴负方向移动. 此外, 彗差系数越大, 光强向x轴负方向移动得越大. 物理解释为: 因为彗差是轴外非对称像差, 其在接收面所成是一个非对称的弥散斑^[29], 在本文模型中就体现在向x轴负方向移动. 彗差系数越大, 由于彗差引起的光斑非对称性越强, 偏离子午面的距离越远^[29], 在本文中就体现在一维光强向x轴负方向移动的越大.
图 5 拓扑荷数　(a) $n = 1$和(b) $n = 2$时不同彗差系数对涡旋光束光强分布的影响
Figure5. The effects of coma aberration coefficients on the intensity distribution of Gaussian vortex beam. Topological charge (a) $n = 1$, (b) $n = 2$.

球差的大小对涡旋光束的光强分布的影响也是不同的. 图6为在天顶角$\alpha = 80^\circ $, 传输距离z = 3639 m 时, 含有球差的涡旋光束在大气湍流中传输时的一维光强分布. 可以看出, 随着球差系数的增大, 峰值光强逐渐减小, 光束扩展逐渐增大. 对比图6(a)和图6(b), 拓扑荷数越大, 光束保持涡旋特性的能力越强.
图 6 拓扑荷数　(a) $n = 1$和(b) $n = 2$时球差系数对涡旋光束光强分布的影响
Figure6. The effects of spherical aberration coefficients on the intensity distribution of Gaussian vortex beam. Topological charge (a) $n = 1$, (b) $n = 2$

图7为传输距离z = 3639 m, 拓扑荷数n = 1时, 分别带有不同彗差和球差的涡旋光束在大气湍流中传输时的相位分布. 随着彗差系数的增大, 涡旋光束的相位的跃变处变得模糊. 随着球差系数的增大, 其相位跃变处也变得模糊. 对比图4和图7, 拓扑荷数对涡旋光束相位的影响比彗差和球差更敏感.
图 7 分别带有不同彗差和球差系数的涡旋光束在湍流中传输时相位分布. 传输距离z = 3639 m, 拓扑核数n = 1　(a1)?(a3)带有彗差; (b1)?(b3)带有球差. 相位对应黑色(–π)-白色π)
Figure7. Phase change of vortex beams with different coma and spherical aberration propagated through atmospheric turbulence. Distance z = 3639 m, topological charge n = 1: (a1)?(a3) with coma; (b1)?(b3) with spherical aberration. Phase responding to black (–π)-white (π).

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3.2.涡旋光束的漂移特性

由于大尺度湍流涡旋的折射作用, 光束在大气湍流中传输时会发生光束漂移, 这会严重影响光电探测的工作性能. 光束漂移量的大小可根据下式计算^[30]

${\sigma _{\rm c}} = \sqrt {x_{\rm c}^2 + y_{\rm c}^2},$

式中${x_{\rm c}}$和${y_{\rm c}}$是在直角坐标系中, 在$x$方向和$y$方向的光束质心, 计算方式如(11)式, 这里进行800次模拟仿真, 然后求系综平均得到光束漂移.

$\begin{split} & {x_{\rm c}} = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {xI\left( {x,y,z} \right)} {\rm{d}}x{\rm{d}}y}}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {I\left( {x,y,z} \right)} {\rm{d}}x{\rm{d}}y}}, \\ & {y_{\rm c}} = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {yI\left( {x,y,z} \right)} {\rm{d}}x{\rm{d}}y}}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {I\left( {x,y,z} \right)} {\rm{d}}x{\rm{d}}y}}. \end{split}$

图8(a)为天顶角$\alpha = 60^\circ $, 拓扑荷数$n = 1$时, 光束漂移量随着传输距离和彗差系数的变化. 图8(b)为彗差系数 $kC{}_3 = 0.5$时, 涡旋光束的光束漂移量随着传输距离和拓扑荷数的变化曲线. 如图所示, 随着传输距离的增大, 光束漂移量逐渐增大. 当传输距离相同时, 随着彗差系数的增大, 光束漂移量越大. 这说明当彗差系数越大时, 其光束在大气湍流中传输时受到的影响越大. 如图6(b)所示, 当传输距离小于大约1500 m 时, 不同拓扑荷数的涡旋光束其光束漂移量几乎是重合的. 当传输距离超过1500 m 时, 不同拓扑荷数的涡旋光束其光束漂移量之间的差异随着传输距离的增大而增大. 传输距离相同时, 拓扑荷数越大, 光束漂移量越小.
图 8 彗差系数(a)以及拓扑荷数(b)对涡旋光束的光束漂移影响
Figure8. The effects of coma coefficients (a) and topological charges (b) on the beam drift.

图9为彗差系数$k{C_3} = 0.5$, 拓扑荷数取1和2时, 光束漂移量随着传输距离和天顶角变化的对比图. 从图中可以看出, 天顶角越大, 不同拓扑荷数之间光束漂移量的差异越大. 这说明, 天顶角越大, 大气湍流越强. 当天顶角相同时, $n = 2$时的光束漂移量比$n = 1$时的光束漂移量要小.
图 9 光束漂移量随着传输距离、天顶角和拓扑荷数的变化曲线. 实线: 拓扑荷数 $n = 1$, 虚线: 拓扑荷数$n = 2$
Figure9. Curves of beam drift with different transmission distance, zenith angles and topological charges. The solid line: $n = 1$, the dash line: $n = 2$.

图10(a)为球差系数$k{C_4} = 0.5$时, 带有球差的涡旋光束其光束漂移量随着天顶角和拓扑荷数的变化曲线. 随着传输距离的增大, 光束漂移量增大. 拓扑荷数$n = 2$时的光束漂移量始终比拓扑荷数$n = 1$时的小, 并且天顶角越大, 这种差异就越大. 图10(b)为天顶角$\alpha = 60^\circ $, 拓扑荷数$n = 1$时, 带有不同球差系数的涡旋光束漂移随传输距离的变化. 随着传输距离的增大, 光束漂移量逐渐增大. 并且球差系数越大, 光束漂移量越小.
图 10 天顶角、拓扑荷数(a)以及球差系数(b)对光束漂移的影响
Figure10. The effects of zenith angles, topological charges (a) and spherical aberration coefficients (b) on beam drift of vortex beam.

图11显示的是当拓扑荷数$n = 1$, $k{C_3} = 0.5$, $k{C_4} = 0.5$时, 分别带有彗差和球差的涡旋光束在不同传输距离和不同天顶角时的光束漂移量对比. 随着传输距离的增大, 两种涡旋光束的光束漂移量都增大. 两种涡旋光束的光束漂移量都随着天顶角的增大而增大. 当天顶角相同传输距离相同时, 带有彗差的涡旋光束其光束漂移量比带有球差的涡旋光束的光束漂移量大. 此外, 天顶角$\alpha = 0^\circ $时两种涡旋光束的光束漂移量之间的差异比天顶角$\alpha = 60^\circ $和$\alpha = 80^\circ $时的大.
图 11 分别带有彗差和球差的涡旋光束在不同传输距离不同天顶角时的光束漂移量对比
Figure11. Comparison of beam drift of Gaussian vortex beams with coma and spherical aberration at different zenith angles and different transmission distances.

本文利用多相位屏模型模拟计算了带有彗差和球差的高斯涡旋光束在大气湍流中的传输特性, 重点讨论了传输距离、天顶角、拓扑荷数、彗差系数以及球差系数等关键参数对涡旋光束在大气湍流中斜程传输时光束漂移特性的影响. 结果表明: 随着传输距离的增大, 带有彗差和球差的涡旋光束在大气湍流中传输时光束漂移量都增大. 随着天顶角的增大, 两种涡旋光束的光束漂移量都增大. 相同条件下, 拓扑荷数越大的涡旋光束其光束漂移量越小. 当其他条件都相同时, 彗差对涡旋光束的光束漂移特性的影响比球差大.