摘要:从一种受控混沌系统生成另一混沌系统可增强保密通信的安全性, 具备潜在应用前景. 研究了如何通过状态变换以及单输入反馈, 驱使受控Shimizu-Morioka系统与受控Finance系统生成Lorenz混沌动态. 主要方法是运用微分几何理论, 将上述三种系统等价转换为下三角形式, 并尽量简化和一致化其方程形式, 使得上述三种不同的3阶系统的前两个方程形式相同, 然后对受控Shimizu-Morioka系统与受控Finance系统设计单输入反馈控制第三个方程的形式, 以便达到生成Lorenz混沌的目的. 运用该方法, 设计了受控Shimizu-Morioka系统通过状态变换和单输入状态反馈, 混沌反控制生成Lorenz混沌的控制策略; 也设计了受控Finance系统通过状态变换和单输入状态反馈, 广义同步到Lorenz混沌的控制策略. 最后, 借助数值仿真验证了上述混沌反控制和广义同步的有效性.
关键词: 混沌/
Lorenz吸引子/
状态变换/
反馈

English Abstract

全文HTML

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近五十年来, 混沌理论研究迅速兴起, 并在保密通信、物理、生物医学、化工、经济金融、图像、神经网络等领域出现众多成功应用的案例^[1-5]. 以保密通信为例, 其功能的实现依赖于通信系统发送端以及接收端可生成一致的混沌信号, 若能生成可变的混沌信号, 必将提高其保密能力^[3]. 为此, 本文关注从一种动态系统精确或者近似生成另一特定混沌动态的问题.
混沌反控制和广义同步均属生成混沌的方法. 混沌反控制通常指受控系统经状态变换和状态反馈等价转换为某混沌系统^[6-8]. 广义同步的一种定义为受控系统从任何初值开始的轨迹, 经过状态变换以及可调整的状态反馈输入, 渐进跟踪某混沌系统从任何初值开始的轨迹, 或者该轨迹经某状态变换后得到的新轨迹^[9-13]. 可见二者在方法上存在颇多共性, 只是广义同步考虑了初值不匹配的问题, 因此我们综合讨论两种方法的相关文献. 近年来, 混沌反控制和广义同步的研究取得了一系列精彩的成果, 大致上可分为三类. 第一类, 为了简化状态变换的构建, 通常选取线性变换, 并采用多输入状态反馈以生成给定的混沌动态^[6,14-16]. 第二类方法的策略是为混沌系统加入合适控制量, 若经运用非线性控制理论中的反馈线性化方法可以将其转换为线性能控系统, 那么采用其逆过程, 线性能控系统通过状态变换和状态反馈将生成该混沌系统, 该方法所得状态变换一般为非线性的^[17-19]. 第三种方法不考虑状态变换, 仅施加适当的反馈, 调节系统的李亚普诺夫指数, 从而生成混沌动态^[20-22].
基于保密通信等领域的应用前景, 试图利用受控Shimizu-Morioka混沌系统^[23]和受控Finance混沌系统^[24]生成Lorenz混沌^[25]. 相较上述第一类和第三类文献, 本文将构造非线性状态变换和单输入反馈实现上述两系统生成Lorenz混沌, 目前未见类似报道. 囿于Lorenz系统的特点, 也无法采用第二类文献中的反馈线性化方法, 故转而寻求转换系统为下三角形式, 并设计一种新型转换方式以尽可能简化其下三角形式. 主要策略为运用微分几何方法, 对三种系统方程做下三角化, 并尽量简化和一致化其形式, 最终此三种不同3阶系统各具有两个同形式的方程, 两受控系统的余下一个方程由单输入反馈调整其形式, 从而生成Lorenz系统. 首先考虑Lorenz系统是否可能转换为下三角形式, 为Lorenz混沌系统配置了一个带参数的线性输入向量场形成受控系统, 反复操作李导数证明该受控Lorenz系统可等价转换为下三角系统, 因此Lorenz混沌系统本身也可转换为下三角形式. 其次, 利用多向量场三角化的方法, 避免了求解偏微分方程组, 构造非线性状态变换, 求得等价于Lorenz混沌系统的下三角系统. 进一步, 通过局部状态变换和参数选择等方法简化与Lorenz系统等价的下三角形式. 然后, 对受控Shimizu-Morioka混沌系统以及受控Finance混沌系统做类似的下三角化处理, 结论是此三个3阶动态系统各自下三角形式的前两个方程一致, 表明三种不同混沌内在具有一定的相似性. 最后, 利用上述相似性, 实现了受控Shimizu-Morioka系统生成Lorenz混沌, 以及受控Finance系统与Lorenz混沌的广义同步. 本文讨论的异构混沌系统生成Lorenz混沌的技术在保密通信系统中可能会有两种潜在应用. 一种在通信系统发送端应用混沌反控制技术, 使其能够生成两种甚至多种混沌信号, 提高灵活性. 另一种, 发送端利用电路实现Lorenz系统并调制信号, 而在接收端则实现受控Shimizu-Morioka系统或者受控Finance系统, 并应用广义同步技术解调信号, 由于发送端和接收端异构, 当其中一端失密时, 另一端仍具备一定保密性, 较自同步技术更为安全, 具体调制解调方法可参见文献[3].
本文余下部分安排如下: 第2节给出本文讨论主要问题的数学描述; 第3节在一定范围内讨论了Lorenz系统等价转换为下三角形式的各种可能, 并选择了其中的最简形式; 第4节设计并仿真了单输入受控Shimizu-Morioka系统通过状态变换和反馈混沌反控制生成Lorenz混沌, 以及单输入受控Finance系统与Lorenz混沌的广义同步; 第5节总结全文.

Lorenz系统是经典混沌系统, 具体形式为^[25]

$\begin{split}& {{\dot x}_1} = - a{x_1} + a{x_2}, \\& {{\dot x}_2} = c{x_1} - {x_2} - {x_1}{x_3}, \\& {{\dot x}_3} = {x_1}{x_2} - b{x_3},\end{split} $

其中${{x}} = {({x_1}, {x_2}, {x_3})^{\rm{T}}}$是状态变量; a, b和c是已知的正实参数, 选取适当参数时系统具有混沌特性, 本文要求$2 a - b \ne 0$. 为该系统增加线性控制向量场成为单输入受控Lorenz系统

$\begin{split}& {{\dot x}_1} = - a{x_1} + a{x_2} + {k_1}v, \\& {{\dot x}_2} = c{x_1} - {x_2} - {x_1}{x_3} + {k_2}v, \\& {{\dot x}_3} = {x_1}{x_2} - b{x_3} + {k_3}v,\end{split} $

其中v为标量输入; ${k_1}$, ${k_2}$和${k_3}$均为实数并且不全为0. 由于系统(2)无法在全局等价转换为线性能控系统(第3节说明原因), 将考察其能否等价转换为下三角形式的非线性仿射系统^[26]

$\begin{split}& {{\dot z}_1} = {f_1}({z_1},{z_2}), \\& {{\dot z}_2} = {f_2}({z_1},{z_2},{z_3}), \\& {{\dot z}_3} = {f_3}({z_1},{z_2},{z_3}) + {g_3}({z_1},{z_2},{z_3}){v_0},\end{split} $

其中${{z}} = {({z_1}, {z_2}, {z_3})^{\rm{T}}}$是状态变量; ${v_0}$为标量输入; ${f_1}$, ${f_2}$, ${f_3}$和${g_3}$均为光滑函数. 转换系统(2), 使其符合下三角形式(3)的一种直接的方法是取${z_1} = {x_1}$, ${z_2} = {x_2}$, ${z_3} = {x_3}$, ${k_1} = {k_2} = 0$和${k_3} \ne 0$, 但无益于简化系统(2)也无明显实用性. 设置参数${k_1}$, ${k_2}$和${k_3}$的主要目的是搜寻一种形式简单, 并且等价于系统(2)的下三角系统. 尤其考虑系统(2)是否可能等价转换为如下特殊的下三角形式, 也是一种特殊的部分线性化形式^[26,27]

$\begin{split}& {{\dot z}_1} = z_2^2 - \rho {z_1}, \\& {{\dot z}_2} = {z_3}, \\& {{\dot z}_3} = {v_0},\end{split} $

这里$\rho $为实数, ${v_0}$为标量输入, 因为两种重要的受控混沌系统, 受控Shimizu-Morioka系统和受控Finance系统, 均可经简单处理(下文给出)等价转换为此形式. 如果系统(2)也可等价转换为系统(4), 意味着此二受控系统可生成Lorenz混沌, 实现混沌系统的转换.
所谓系统(2)等价转换为系统(3)或系统(4), 是指系统(2)选取合适参数${k_1}$, ${k_2}$ 和${k_3}$, 再经光滑状态变换

${{z}} = {{T}}({{x}}),$

以及单输入状态反馈

$v = \alpha ({{z}}) + \beta ({{z}}){v_0},$

其中$\alpha ({{z}})$和$\beta ({{z}})$为光滑函数, 转换为系统(3)或系统(4). 上述定义表明等价转换具有对称性, 因此若系统(2)能等价转换为系统(4), 则系统(4)也可等价转换为系统(2), 进而取v为0得到系统, 即生成了Lorenz混沌.

本节工作按如下两步骤进行: 第一, 讨论系统(2)等价转换为下三角系统(3)的可行性; 第二, 构造状态变换和反馈实现等价转换, 并在此过程中调整参数, 最终转换为系统(4).
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3.1.等价转换的可行性

记系统(2)的漂移向量场为

$\begin{split}{{F}} =\, & ( - a{x_1} + a{x_2})\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} + (c{x_1} - {x_2} - {x_1}{x_3})\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} \\ &+ ({x_1}{x_2} - b{x_3})\frac{\partial }{{\partial {x_3}}},\\[-18pt]\end{split}$

以及输入向量场为

${{G}} = {k_1}\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} + {k_2}\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} + {k_3}\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}.$

设${{X}}$和${{Y}}$为光滑向量场, ${\rm{a}}{{\rm{d}}_{{X}}}{{Y}} = [{{X}}, {{Y}}]$为此二向量场的李导数^[28]. 令${{{X}}_{{0}}} = {{G}}$, ${{{X}}_{{1}}} = {\rm{a}}{{\rm{d}}_{{{{X}}_{{0}}}}}{{F}}$, ${{{X}}_{{2}}} = $${\rm{a}}{{\rm{d}}_{{{{X}}_{{1}}}}}{{F}} $, 系统(2)能等价转换为下三角系统(3)的充要条件是此三向量场张成的分布${\rm{span}}\!\left\{ {{{{X}}_{\rm{0}}},\! {\kern 1 pt} {{{X}}_{\rm{1}}},\! {\kern 1 pt} {{{X}}_{\rm{2}}}} \right\}$在原点的某个邻域内几乎处处(除一个零测度集外)满秩并且${\rm{span}}\left\{ {{{{X}}_{\rm{0}}}, {\kern 1 pt} {{{X}}_{\rm{1}}}} \right\}$在原点的某个邻域内几乎处处(除一个零测度集外)对合^[26]. 如果${\rm{span}}\left\{ {{{{X}}_{\rm{0}}}, {\kern 1 pt} {{{X}}_{\rm{1}}}} \right\}$在原点的某个邻域内正则对合, 则可以转换为部分线性化形式^[26,27], 但是否可等价转换为系统(4), 仍需在转换实现过程中进一步考察. 本小节依据上述条件检验受控Lorenz系统(2)并做参数分析.
计算如下向量场李导数

$\begin{split} {{{X}}_{\rm{1}}} =\, & {\rm{a}}{{\rm{d}}_{{{{X}}_{\rm{0}}}}}{{F}} = ( - a{k_1} + a{k_2})\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} \\ & + (c{k_1} - {k_2} - {k_3}{x_1} - {k_1}{x_3})\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} \\ &+ ( - b{k_3} + {k_2}{x_1} + {k_1}{x_2})\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}. \end{split} $

考察${{{X}}_{\rm{0}}}$与${{{X}}_{\rm{1}}}$的对合特性,

$[{{{X}}_{\rm{0}}},{{{X}}_{\rm{1}}}] = - 2{k_1}{k_3}\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} + 2{k_1}{k_2}\frac{\partial }{{\partial {x_3}}},$

对合条件要求

$[{{{X}}_{\rm{0}}},{{{X}}_{\rm{1}}}] = {a_0}({{x}}){{{X}}_{\rm{0}}} + {a_1}({{x}}){{{X}}_{\rm{1}}},$

其中${a_0}({{x}})$和${a_1}({{x}})$为光滑函数. 注意到仅当如下等式满足时(11)式才在全局成立,

${a_0}({{x}}) = 0,{\kern 1pt} {a_1}({{x}}) = 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} [{{{X}}_{\rm{0}}},{{{X}}_{\rm{1}}}] = {{0}}.$

如此限制了${k_1}$, ${k_2}$和${k_3}$的选择, 只有两种可能: 一种可能为

${k_1} = 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_2} \ne 0;$

另一种可能为

${k_1} \ne 0,{\kern 1pt} {k_2} = 0,{\kern 1pt} {k_3} = 0.$

第一种可能中排除了${k_1} = 0$并且${k_2} = 0$的情况, 否则${{{X}}_{\rm{0}}} = {k_3}\dfrac{\partial }{{\partial {x_3}}}$以及${{{X}}_{\rm{1}}} = - {k_3}{x_1}\dfrac{\partial }{{\partial {x_2}}} - b{k_3}\dfrac{\partial }{{\partial {x_3}}}$, 当${x_1} = 0$时${\rm{span}}\{ {{{X}}_{\rm{0}}}, {{{X}}_{\rm{1}}}\} $秩为1, 说明在原点的任何邻域内不可能实现部分反馈线性化^[27,28], 更不可能反馈等价转换为系统(4).
考察第一种可能, 此时

$\begin{split} {{{X}}_{\rm{0}}} =\, & {k_2}\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} + {k_3}\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}, \\ {{{X}}_{\rm{1}}} = \, &a{k_2}\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} - ({k_2} + {k_3}{x_1})\frac{\partial }{{\partial {x_2}}}\\ &+ ({k_2}{x_1} - b{k_3})\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}. \end{split} $

依据反馈线性化的要求, 进一步计算李导数

$\begin{split} {{{X}}_{\rm{2}}} =\, & {\rm{a}}{{\rm{d}}_{{{{X}}_{\rm{1}}}}}{{F}} = - ({a^2}{k_2} + a{k_2} + a{k_3}{x_1})\frac{\partial }{{\partial {x_1}}} \\ & + \left[(ac + 1){k_2} + (b - a + 1){k_3}{x_1}\right. \\ & -\left. {k_2}x_1^2 + a{k_3}{x_2} - a{k_2}{x_3}\right]\frac{\partial }{{\partial {x_2}}} \\ & + \left[ {{b^2}{k_3} + (a - b - 1){k_2}{x_1} - {k_3}x_1^2} \right]\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}.\end{split} $

由${{{X}}_{\rm{0}}}, {{{X}}_{\rm{1}}}$和${{{X}}_{\rm{2}}}$构成的如下行列式

$\begin{split} & {\rm{Det}}({{{X}}_{\rm{0}}},{{{X}}_{\rm{1}}},{{{X}}_{\rm{2}}})\\ = \,& a(ab + ac - a - {b^2} + b)k_2^2{k_3} \\&+ a\left[ {(b - 2a)k_2^3 + (2b - 2a - 1){k_2}k_3^2} \right]{x_1} \\&- a(k_2^2{k_3} + k_3^3)x_1^2 + {a^2}{k_2}k_3^2{x_2} - {a^2}k_2^2{k_3}{x_3}\end{split} $

可知${{x}}$状态空间中存在曲面满足${\rm{Det}}({{{X}}_{\rm{0}}}, {{{X}}_{\rm{1}}}, {{{X}}_{\rm{2}}}) =$ 0, 这是由于向量场${{{X}}_2}$存在奇异性, 造成无法实现全局范围的状态反馈线性化.
由于${\rm{span}}\!\{ {{{X}}_{\rm{0}}},\! {{{X}}_{\rm{1}}}\} $满秩并对合, ${\rm{span}}\!\{ {{{X}}_{\rm{0}}},\!{{{X}}_{\rm{1}}},\! {{{X}}_{\rm{2}}}\} $几乎处处(除零测度集即曲面${\rm{Det}}({{{X}}_{\rm{0}}}, {{{X}}_{\rm{1}}}, {{{X}}_{\rm{2}}}) = 0$以外)满秩, 确保了系统(2)可等价转换为系统(3).
对于(14)式表示的第二种可能, 做类似分析计算(过程略), 在原点的任何邻域中都无法等价转换为系统(4)的形式, 故不做进一步讨论.
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3.2.等价转换的实现

至此, 仍需讨论系统(2)如何转换为系统(3), 以及是否可转换为系统(4). 在已计算${{{X}}_{\rm{0}}}, {{{X}}_{\rm{1}}}$和${{{X}}_{\rm{2}}}$的前提下, 为获取状态变换${{h}}({{x}}) \!=\! \left( {{h_1}({{x}}), {h_2}({{x}}), {h_3}({{x}})} \right)$以实现等价转换, 通常是需要解偏微分方程组$\left\langle {{\rm{d}}{h_1}({{x}}), {{{X}}_{\rm{0}}}} \right\rangle = 0$, $\left\langle {{\rm{d}}{h_1}({{x}}), {{{X}}_{\rm{1}}}} \right\rangle \!=\! 0$和$\left\langle {{\rm{d}}{h_1}({{x}}), {{{X}}_{\rm{2}}}} \right\rangle \!\ne\! $0以及偏微分方程组$\left\langle {{\rm{d}}{h_2}({{x}}), {{{X}}_{\rm{0}}}} \right\rangle \!=\! 0$, $\left\langle {{\rm{d}}{h_2}({{x}}), {{{X}}_{\rm{1}}}} \right\rangle \!\!\ne $0^[26,27], 以选取${h_1}({{x}})$和${h_2}({{x}})$, 并另选任一与此二者独立的函数${h_3}({{x}})$组成完整的状态变换, ${\rm{d}}{h_1}({{x}})$, ${\rm{d}}{h_2}({{x}})$和${\rm{d}}{h_3}({{x}})$均为光滑的正则1-形式^[28], 尽管Frobenius定理保证了方程组的可解性^[28], 但是较为遗憾的是求解颇为不易, 采用Maple 18和Mathematica 11两种符号计算工具求解上述偏微分方程组均没有成功. 因此, 就本系统而言, 上述方法理论上可行, 实际较难达成. 本小节将利用微分几何技巧, 交替推进状态变换和正交化, 避免了求解偏微分方程组, 实现系统下三角化.
首先, 做状态变换${{x}} = {({\hat x_1}, {\hat x_2}, {\hat x_3})^{\rm{T}}} = {{\psi }}({{x}})$,

$\begin{split}& {{\hat x}_1} = {x_1},~~ {{\hat x}_2} = {k_3}{x_2} - {k_2}{x_3}, ~~ {{\hat x}_3} = {x_2},\end{split} $

在该变换${{\psi }}$诱导的切映射${{{\psi }}_ * }$作用下^[28],

$\begin{split} {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{\rm{0}}}) =\, & {k_2}\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_3}}}, \\ {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{\rm{1}}}) =\,& a{k_2}\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_1}}} + \left[ {(b - 1){k_2}{k_3} - (k_2^2 + k_3^2){{\hat x}_1}} \right]\\ &\times \frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_2}}} - ({k_2} - {k_3}{{\hat x}_1})\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_3}}}, \end{split} $

$\begin{split} {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{\rm{2}}}) =\, & - \left[ {a\left( {1 + a} \right){k_2} + a{k_3}{{\hat x}_1}} \right]\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_1}}} \\& + \left[(1 - {b^2} + ac){k_2}{k_3} + \left( {1 - a + b} \right)\right.\\ & \times \left.(k_2^2 + k_3^2){{\hat x}_1} + a{k_3}{{\hat x}_2}\right]\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_2}}} \\& + \left[(1 + ac){k_2} + (1 - a + b){k_3}{{\hat x}_1}\right.\\ & -\left. {k_2}\hat x_1^2 + a{{\hat x}_2} \right]\frac{\partial }{{\partial {{\hat x}_3}}}.\\[-10pt]\end{split} $

按如下方式定义一组向量场

$\begin{split} {{{{\hat X}}}_{{0}}} =\, & {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{{0}}}),{\kern 1pt} \\ {{{{\hat X}}}_{{1}}} =\, & {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{{1}}}) + \frac{{{k_2} - {k_3}{{\hat x}_1}}}{{{k_2}}}{{{\psi }} _ * }({X_0}), \\ {{{{\hat X}}}_{{2}}} =\, & {{{\psi }}_ * }({{{X}}_{{2}}}) \\ & - \frac{{(1 + ac){k_2} + (1 - a + b){k_3}{{\hat x}_1} - {k_2}\hat x_1^2 + a{{\hat x}_2}}}{{{k_2}}}\\ & \times{{{\psi }} _ * }({X_0}),\\[-10pt]\end{split} $

再做状态变换${{y}} = {({\hat y_1}, {\hat y_2}, {\hat y_3})^{\rm{T}}} = {{\varphi }}({{\hat x}})$,

$\begin{split} {{\hat y}_1} =\, & (b - 1){k_2}{k_3}{{\hat x}_1} - \frac{1}{2}(k_2^2 + k_3^2)\hat x_1^2 - a{k_2}{{\hat x}_2}, \\ {{\hat y}_2} =\, & {{\hat x}_1}, \\ {{\hat y}_3} =\, & {{\hat x}_3}.\end{split} $

在该变换${{\varphi }}$诱导的切映射${{{\varphi }}_ * }$作用下,

$\begin{split} {{{\varphi }}_ * }({{{{\hat X}}}_{{0}}}) = \,& {k_2}\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_3}}}, \\ {{{\varphi }}_ * }({{{{\hat X}}}_{{1}}}) = \,& a{k_2}\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_2}}}, \\ {{{\varphi }}_ * }({{{{\hat X}}}_{{2}}}) = \,& a{k_3}\left\{ {\left[ { - b + {b^2} - a( - 1 + b + c)} \right]k_2^2 + {{\hat y}_1}} \right\} \\& \times\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_1}}}+ a{k_2}\left[ {(2a - b)k_2^2 + (2 + 2a - 3b)k_3^2} \right]\\&\times{{\hat y}_2}\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_1}}} + \frac{3}{2}a{k_3}(k_2^2 + k_3^2)\hat y_2^2\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_1}}} \\& - a\left[ {(1 + a){k_2} + {k_3}{{\hat y}_2}} \right]\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_2}}}.\\[-18pt]\end{split} $

根据(19), (20)和(22)式,

$\begin{split} & {{{\varphi }}_ * }\left( {{{{\psi }}_ * }{\rm{(span}}\{ {{{X}}_{\rm{0}}}\} )} \right) = {\rm{span}}\left\{ {\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_3}}}} \right\}, \\ & {{{\varphi }}_ * }\left( {{{{\psi }}_ * }{\rm{(span}}\{ {{{X}}_{\rm{0}}},{{{X}}_{\rm{1}}}\} )} \right) = {\rm{span}}\left\{ {\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_3}}},\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_{\rm{2}}}}}} \right\}, \\ & {{{\varphi }}_ * }\left( {{{{\psi }}_ * }{\rm{(span}}\{ {{{X}}_0},{{{X}}_{\rm{1}}},{{{X}}_{\rm{2}}}\} )} \right)\mathop = \limits^{{\rm{a}}{\rm{.e}}{\rm{.}}} \!{\rm{span}}\!\left\{\!{\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_3}}},\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_{\rm{2}}}}},\frac{\partial }{{\partial {{\hat y}_1}}}}\!\right\},\end{split} $

其中第三个式子表示左边几乎处处等于右边, 只有一个零测度集除外, 因为左边的分布不是处处正则的. (23)式表明利用坐标${{y}}$写出的系统必有下三角形式^[26],

$\begin{split} {{{\dot{\hat{y}}}}_{1}}=\, & \frac{1}{2}\left( {{k}_{2}}{{k}_{3}}+\frac{k_{3}^{3}}{{{k}_{2}}} \right)\hat{y}_{2}^{3}\\ &+ \frac{1}{2}\left[ (2a-b)k_{2}^{2}+(2+2a-3b)k_{3}^{2} \right]\hat{y}_{2}^{2} \\&+\frac{{{k}_{3}}}{{{k}_{2}}}{{{\hat{y}}}_{1}}{{{\hat{y}}}_{2}}+(a-b-ab+{{b}^{2}}-ac){{k}_{2}}{{k}_{3}}{{{\hat{y}}}_{2}}-b{{{\hat{y}}}_{1}}, \\{{{\dot{\hat{y}}}}_{2}}=\,& -a{{{\hat{y}}}_{2}}+a{{{\hat{y}}}_{3}}, \\ {{{\dot{\hat{y}}}}_{3}}=\,& c{{{\hat{y}}}_{2}}\\ &-\frac{2{{{\hat{y}}}_{1}}{{{\hat{y}}}_{2}}\!+\!(k_{2}^{2}\!+\! k_{3}^{2})\hat{y}_{2}^{3}\!+\!2{{k}_{2}}{{k}_{3}}\left( {{{\hat{y}}}_{2}}\!-\!b{{{\hat{y}}}_{2}}\!+\! a{{{\hat{y}}}_{3}} \right){{{\hat{y}}}_{2}}}{2ak_{2}^{2}}\\ &-{{{\hat{y}}}_{3}}+{{k}_{2}}v.\\[-10pt] \end{split}$

为转变其为系统(4)的部分线性化形式, 再做状态变换${{y}} = {({y_1}, {y_2}, {y_3})^{\rm{T}}} = {{\sigma }}({{\hat y}})$,

$\begin{split}& {y_1} = {{\hat y}_1}, \\ & {y_2} = {{\hat y}_2}, \\& {y_3} = - a{{\hat y}_2} + a{{\hat y}_3}.\end{split} $

该坐标下的系统方程为

$\begin{split} {{\dot y}_1} =\,& \frac{1}{2}\left( {{k_2}{k_3} + \frac{{k_3^3}}{{{k_2}}}} \right)y_2^3 \\&+ \frac{1}{2}\left[ {(2a - b)k_2^2 + (2 + 2a - 3b)k_3^2} \right]y_2^2 \\&+ \frac{{{k_3}}}{{{k_2}}}{y_1}{y_2} + (a - b - ab + {b^2} - ac){k_2}{k_3}{y_2} - b{y_1}, \\ {{\dot y}_2} =\,& {y_3}, \\ {{\dot y}_3} =\,& a(c - 1){y_2} \\& -\!\frac{{2{y_1}{y_2} \!+\!\!(k_2^2 \!+\! k_3^2)y_2^3 \!+ \!2{k_2}{k_3}\!\left(\!{{y_2} \! - \!b{y_2} \!+\! a{y_2}\!+\!{y_3}}\!\right)\!{y_2}}}{{2k_2^2}} \\ &- \!(a + 1){y_3} + a{k_2}v. \\[-10pt]\end{split} $

此形式的第一和第三个方程仍相当繁复, 引入标量输入v为

$\begin{split} v =\, &\frac{{ - 1}}{{a{k_2}}}\left[a(c - 1){y_2} - \frac{{2{y_1}{y_2} + (k_2^2 + k_3^2)y_2^3}}{{2k_2^2}}\right.\\ &- \frac{{2{k_2}{k_3}\left( {{y_2} - b{y_2} + a{y_2} + {y_3}} \right){y_2}}}{{2k_2^2}} \\& \bigg.- (a + 1){y_3} - {v_0}\bigg],\end{split}$

同时选取${k_3} = 0$, 系统(26)简化为

$\begin{split}& {{\dot y}_1} = \frac{1}{2}(2a - b)k_2^2y_2^2 - b{y_1}, \\ & {{\dot y}_2} = {y_3}, \\ & {{\dot y}_3} = {v_0}.\end{split} $

为符合系统(4)的形式要求, 再取状态变换z = ${({z_1}, {z_2}, {z_3})^{\rm{T}}} = {{\omega }}({{y}})$,

$\begin{split}& {z_1} = \frac{{2{y_1}}}{{(2a - b)k_2^2}}, \\& {z_2} = {y_2}, \\& {z_3} = {y_3}, \\\end{split} $

系统成为

$\begin{split}& {{\dot z}_1} = z_2^2 - b{z_1}, \\& {{\dot z}_2} = {z_3}, \\& {{\dot z}_3} = {v_0},\end{split} $

满足了系统(4)的形式. 可验证至此所作的状态变换均为微分同胚变换, 综合上述变换以及${k_3} = 0$, 由原始状态${{x}}$表示的状态变换${{z}} = {{T}}({{x}})$如下:

$\begin{split}& {z_1} = \frac{{2a{x_3} - x_1^2}}{{2a - b}}, \\& {z_2} = {x_1}, \\& {z_3} = - a{x_1} + a{x_2},\end{split} $

逆变换${{x}} = {{{T}}^{ - 1}}({{z}})$为

$\begin{split}& {x_1} = {z_2}, \\& {x_2} = {z_2} + \frac{{{z_3}}}{a}, \\& {x_3} = \frac{{(2a - b){z_1} + z_2^2}}{{2a}}.\end{split} $

Lorenz系统(1)在状态z下表示为

$\begin{split} {{\dot z}_1}\,& = z_2^2 - b{z_1}, \\ {{\dot z}_2}\,& = {z_3}, \\ {{\dot z}_3}\,& = a(c - 1){z_2} - (a + 1){z_3} - \frac{{({\rm{2}}a - b)}}{2}{z_1}{z_2} - \frac{{\rm{1}}}{2}z_2^3 \\& = a(a + c){x_1} - a(a + 1){x_2} - a{x_1}{x_3}.\\[-13pt]\end{split} $

Shimizu-Morioka系统是Shimizu和Morioka于1980年提出的著名混沌系统^[23], Finance系统则是反映了金融政策与经济增长之间关系的混沌系统. 本节对受控Shimizu-Morioka系统和Finance系统, 设计状态变换和单输入反馈, 分别实现混沌反控制生成Lorenz混沌和广义同步到Lorenz混沌.
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4.1.Shimizu-Morioka系统生成Lorenz混沌

受控Shimizu-Morioka系统的形式如下^[23]:

$\begin{split}& {{\dot \zeta }_1} = {\zeta _2}, ~~ {{\dot \zeta }_2} = (1 - {\zeta _3}){\zeta _1} - \alpha {\zeta _2} + u, \\& {{\dot \zeta }_3} = \zeta _1^2 - \beta {\zeta _3},\end{split} $

其中${{\zeta }} = {({\zeta _1}, {\zeta _2}, {\zeta _3})^{\rm{T}}}$是系统状态, $\alpha $和$\beta $为参数, 要求$\beta $与系统中的b相等, 即$\beta = b$, u是标量输入.
系统(34)做线性状态变换$ {{\theta }} = {({\theta _1}, {\theta _2}, {\theta _3})^{\rm{T}}} =$$ {{\tau }}({{\zeta }})$,

${\theta _1} = {\zeta _3},\;\; {\theta _{\rm{2}}} = {\zeta _{\rm{1}}},\;\; {\theta _{\rm{3}}} = {\zeta _{\rm{2}}}.$

以${{\theta }}$为状态, 系统方程表示为

$\begin{split}& {{\dot \theta }_1} = \theta _2^2 - \beta {\theta _1}, ~ {{\dot \theta }_2} = {\theta _3}, ~ {{\dot \theta }_3} = (1 - {\theta _1}){\theta _2} - \alpha {\theta _3} + u,\end{split} $

再做状态反馈

$\begin{split} u\,& = - (1 - {\theta _1}){\theta _2} + \alpha {\theta _3} + {u_0}, \\ {u_0}\, & = a(c - 1){\theta _2} - (a + 1){\theta _3} - \frac{{({\rm{2}}a - b)}}{2}{\theta _1}{\theta _2} - \frac{{\rm{1}}}{2}\theta _2^3 \\& = a(c - 1){\zeta _{\rm{1}}} - (a + 1){\zeta _{\rm{2}}} - \frac{{({\rm{2}}a - b)}}{2}{\zeta _{\rm{1}}}{\zeta _{\rm{3}}} - \frac{{\rm{1}}}{2}\zeta _{\rm{1}}^3.\end{split} $

同时考虑到$\beta = b$, 系统方程成为

$\begin{array}{l} {{\dot \theta }_1} = \theta _2^2 - b{\theta _1}, ~~ {{\dot \theta }_2} = {\theta _3}, \\ {{\dot \theta }_3} = a(c - 1){\theta _2} - (a + 1){\theta _3} - \dfrac{{({\rm{2}}a - b)}}{2}{\theta _1}{\theta _2} - \dfrac{{\rm{1}}}{2}\theta _2^3, \end{array} $

该系统与经状态变换${{z}} = {{T}}({{x}})$的Lorenz系统(33)具有相同形式. 所以, 对受控Shimizu-Morioka系统(34), 利用反馈(37)和状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$将生成Lorenz混沌.
图1给出了Lorenz系统(1)的轨迹, 参数为$a = 10$, $b = {8 / 3}$, $c = 30$, 初值选取x₁(t₀) = 2, x₂(t₀) = 2, x₃(t₀) = 2. 图2给出了受控Shimizu-Morioka系统(34)在反馈(37)作用下的轨迹, 参数为$\alpha = 0.75$, $\beta = {8 / 3}$, 初值由Lorenz系统的初值计算得到, 即${{\zeta }}({t_0}) = $$ {{{\tau }}^{ - 1}}\!\left( {{{T}}\!\left( {{{x}}({t_0})} \right)} \right)$, 实际上${\zeta _1}({t_0})\! =\! 2$, ${\zeta _2}({t_0}) \!=\! 0$, ${\zeta _3}({t_0}) \!= 2.076923076923$. 图3为受控Shimizu-Morioka系统标量输入u的曲线. 图4对图2所示受控Shimizu-Morioka系统轨迹做了状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$, 生成的轨迹与图1一致, 表明混沌反控制生成了Lorenz混沌.
图 1 Lorenz系统轨迹
Figure1. Trajectory of the Lorenz system.

图 2 受控Shimizu-Morioka系统轨迹
Figure2. Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system

图 3 受控Shimizu-Morioka系统的标量控制输入
Figure3. Scale control input for the controlled Shimizu-Morioka system.

图 4 经状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$受控Shimizu-Morioka系统轨迹
Figure4. Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system via the state transformation ${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$.

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4.2.Finance系统生成Lorenz混沌

Finance系统具有可相互等价转换的两种系统方程形式, 本文选取的形式如下^[24]:

$\begin{split}& {{\dot \zeta }_1} = \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2} + {\zeta _3}, \\& {{\dot \zeta }_2} = - \zeta _1^2 - \beta {\zeta _2}, ~~ {{\dot \zeta }_3} = - {\zeta _1} - \gamma {\zeta _3} + u,\end{split} $

其中${{\zeta }} = {({\zeta _1}, {\zeta _2}, {\zeta _3})^{\rm{T}}}$是状态变量; $\alpha $, $\beta $和$\gamma $为参数, 要求$\beta $与系统中的b等值; u是标量输入.
受控Finance系统到Lorenz混沌的广义同步定义为: 设Lorenz系统(1)与系统(39)在初始时刻${t_0}$状态分别为${{x}}({t_0})$和${{\zeta }}({t_0})$, 对系统(39)施加状态反馈

$u = u({{x}},{{\zeta }},t),$

其中t为时间, ${{\zeta }}$和${{x}}$状态分别做变换

${{\theta }} = {{\tau }}({{\zeta }}),\;\; {{z}} = {{T}}({{x}}),$

使得系统(39)与系统(1)的轨迹, 按下式的意义渐进地趋于一致

$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\tau }}({{\zeta }}(t)) - {{T}}({{x}}(t))} \right\| = 0,$

这里$\left\| \cdot \right\|$表示了欧氏空间中向量的2-范数.
受控Finance系统做状态变换${{\theta }} \!=\!{({\theta _1}, {\theta _2}, {\theta _3})^{\rm{T}}} \!= $${{\tau }}({{\zeta }}) $,

$\begin{split}& {\theta _1} = - {\zeta _2},~~ {\theta _2} = {\zeta _1}, \\& {\theta _3} = \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2} + {\zeta _3}, \end{split} $

对应的逆变换为${{\zeta }} = {{{\tau }}^{ - 1}}({{\theta }})$, 即

$\begin{split}& {\zeta _1} = {\theta _2}, ~~ {\zeta _2} = - {\theta _1}, \\& {\zeta _3} = {\theta _3} - \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\theta _2} + {\theta _1}{\theta _2} .\end{split} $

${{\theta }}$状态下系统方程组为

$ \begin{split} {{\dot \theta }_1} =\, & \theta _2^2 - \beta {\theta _1}, ~~{{\dot \theta }_2} = {\theta _3}, \\ {{\dot \theta }_3} =\, & \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha - \gamma } \right){\theta _3} + \left( {\frac{\gamma }{\beta } - \alpha \gamma - 1} \right){\theta _2}\\& + (\beta - \gamma ){\theta _1}{\theta _2} - {\theta _1}{\theta _3} - \theta _2^3 + u \\ =\, & \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha - \gamma } \right)\left[ {\left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2} + {\zeta _3}} \right] \\& + \left( {\frac{\gamma }{\beta } - \alpha \gamma - 1} \right){\zeta _1} -(\beta - \gamma ){\zeta _1}{\zeta _2} \\& + \left[ {\left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2} + {\zeta _3}} \right]{\zeta _2} - \zeta _1^3 + u, \\ \end{split} $

设计反馈

$ \begin{split} u =\, & - \left( {\frac{1}{\beta } - \alpha - \gamma } \right)\left[ {\left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2} + {\zeta _3}} \right] \\ & - \left( {\frac{\gamma }{\beta } - \alpha \gamma - 1} \right){\zeta _1}+(\beta - \gamma ){\zeta _1}{\zeta _2}\\ & - \left[ {\left( {\frac{1}{\beta } - \alpha } \right){\zeta _1} + {\zeta _1}{\zeta _2}+ {\zeta _3}} \right]{\zeta _2} + \zeta _1^3 + {u_0}, \end{split} $

由于$\beta = b$, 系统成为

$\begin{split}& {{\dot \theta }_1} = \theta _2^2 - b{\theta _1}, \\& {{\dot \theta }_2} = {\theta _3}, \\& {{\dot \theta }_3} = {u_0}, \end{split} $

符合系统(4)的形式要求.
考虑同步系统(47)与系统(33), 设两系统的状态误差为${{\varepsilon }} = {{\theta }} - {{z}} = {({\varepsilon _1}, {\varepsilon _2}, {\varepsilon _3})^{\rm{T}}}$, ${{\varepsilon }}$动态为

$\begin{split}& {{\dot \varepsilon }_1} = ({\theta _2} + {z_2}){\varepsilon _2} - b{\varepsilon _1}, \\& {{\dot \varepsilon }_2} = {\varepsilon _3}, \\& {{\dot \varepsilon }_3} = {u_0} - \left[ {a(a + c){x_1} - a(a + 1){x_2} - a{x_1}{x_3}} \right], \end{split} $

做如下状态反馈

${u_0} = a(a + c){x_1} - a(a + 1){x_2} - a{x_1}{x_3} + {u_1},$

此时${{\varepsilon }}$动态为

$\begin{split}& {{\dot \varepsilon }_1} = ({\theta _2} + {z_2}){\varepsilon _2} - b{\varepsilon _1}, \\& {{\dot \varepsilon }_2} = {\varepsilon _3}, \\& {{\dot \varepsilon }_3} = {u_1}.\end{split} $

若取该系统的第二和第三个方程组成子系统

$\begin{split}& {{\dot \varepsilon }_2} = {\varepsilon _3}, ~~ {{\dot \varepsilon }_3} = {u_1},\end{split} $

若在有限时间后, 比如当时间$t > {t_1}$时镇定到${\varepsilon _2}(t) = {\varepsilon _3}(t) = 0$, 则在$t > {t_1}$时系统(50)的第一个式子简化为${\dot \varepsilon _1} = - b{\varepsilon _1}$, 对于$b > 0$的情况该式渐近稳定, 从而系统(50)渐近稳定, (42)式满足, 受控Finance系统到Lorenz混沌系统的广义同步可实现.
对系统(51)满足有限时间镇定的经典控制器为^[29]

${u_1} = - \operatorname{sgn} ({\varepsilon _2})\sqrt {\left| {{\varepsilon _2}} \right|} - \operatorname{sgn} ({\varepsilon _3})\sqrt {\left| {{\varepsilon _3}} \right|},$

这里$\operatorname{sgn} ( \cdot )$为符号函数. 利用该控制器, 做广义同步仿真. Lorenz系统参数和初值选取同前, 轨迹已见于图1. 图5给出了受控Finance系统的轨迹, 参数$\alpha = 0.001$, $\beta = 8/3$和$\gamma = 1.1$, 初值${\zeta _1}({t_0}) = $0.2, ${\zeta _2}({t_0}) \;= - 3.6$, ${\zeta _3}({t_0}) \;= 0.2$, 与Lorenz系统存在初值不匹配, 经计算误差系统初值${\varepsilon _1}({t_0}) = $ 1.523076923076923, ${\varepsilon _2}({t_0}) \!=\! -1.8$, ${\varepsilon _3}({t_0}) \!=$ –0.4452. 图6为Finance系统的标量输入u的曲线. 图7对图5所示受控Finance系统轨迹做状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$, 生成的轨迹同步于图1, 这被图8中的轨迹进一步验证, 该轨迹反映了图1与图7轨迹的误差${{\delta }}$, 其各分量均趋于0, 图8曲线不甚光滑, 其原因是控制器(52)非光滑. 仿真验证了广义同步的实现.
图 5 受控Finance系统轨迹
Figure5. Trajectory of the controlled Finance system.

图 6 受控Finance系统的标量控制输入
Figure6. Scale control input for the controlled Finance system

图 7 经状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$受控Finance系统轨迹
Figure7. Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system via the state transformation ${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$.

图 8 Lorenz系统轨迹与经状态变换${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$的受控Finance系统的误差
Figure8. Error between the trajectory of the Lorenz system and that of the controlled Finance system via the state transformation ${{{T}}^{ - 1}}({{\tau }}({{\zeta }}))$.

本文研究了如何从受控Shimizu-Morioka系统和Finance系统生成Lorenz混沌的问题, 在方法和结果上总结创新之处如下.
1)利用微分几何控制理论以及参数优选, 将Lorenz混沌系统等价转换为某种下三角形式, 使得该三阶系统中前两个方程形式较原Lorenz系统简化.
2)将单输入受控Shimizu-Morioka混沌系统以及受控Finance混沌系统等价转换为下三角形式的仿射非线性系统, 其前两个方程均与转换后的Lorenz系统的前两个方程一致, 揭示了三种不同混沌系统内在具有一定程度的相似性.
3)利用上述相似性, 采用单输入实现了两种异构受控混沌系统生成Lorenz混沌, 即单输入受控Shimizu-Morioka系统混沌反控制到Lorenz混沌以及单输入受控Finance系统到Lorenz混沌的广义同步.
此外, 单输入受控Lorenz系统混沌反控制或者广义同步到Shimizu-Morioka混沌以及Finance混沌等问题虽未涉及, 利用本文给出的策略均可方便地实现.