摘要:量子相干理论是一类重要的量子资源理论, 其自由操作是各种类型的非相干操作. 在单体相干资源理论中, 最大相干态是最重要的量子资源态, 它被定义为在非相干操作下可以转化为任何其他纯态的量子态. 但是, 这一情形在多体系统中发生了巨大改变: 不仅在有些相干度量下不存在唯一的最大相干态, 而且在有些非相干操作下几乎所有纯的相干多体态都不可比较(非相干操作下, 量子态之间的转换几乎不可能). 为了解决这一问题, 把非相干操作的定义扩展为一种不能产生相干的量子操作, 即研究一般化的相干资源理论. 具体地说, 基于量子资源是否来源于多体相干或者真的多体相干研究两类可能的量子资源理论框架, 并且指出在这些理论框架下存在合理的偏序关系(每个纯态都可在非相干操作下转换为相干度更弱的纯态). 另外, 还证明了真的多体相干资源理论下存在唯一的最大相干态.
关键词: 量子相干/
资源理论/
多体最大相干态

English Abstract

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量子相干没有与之对应的经典量, 是量子理论的显著特征. 与纠缠资源理论^[1,2]类似, 相干资源理论^[3,4]的目的在于提供一套定量刻画相干的框架, 并且最终达到在量子技术领域完全理解相干的性能和局限的目的. 到目前为止, 单体系统上的相干资源理论^[3,5-8]比多体系统上^[9,10]发展的要完善得多. 虽然多体系统上的相干资源已经在量子密码学^[11-16], 单向量子计算^[17-19], 非平衡库下腔场演化^[20]等量子信息处理领域得到了一定的应用, 但是对多体相干态复杂结构的深刻理解可以进一步激发人们设计出量子信息科学中的新方案, 以及研究固态物理的新工具.
作为一种资源理论, 量子相干理论的广泛应用当前已经成为量子信息领域的一个研究热点^[3,21-26]. 人们从量子纠缠^[2]、 量子非局域性^[27]或者量子导引^[28,29]等不同角度研究相干的各种量子效应. 资源理论的主要任务是实现量子态集合的排序以及为资源态提供一种度量其属性的方法. 在这类任务中, 自由操作扮演着重要角色, 其中自由操作是一种映射并且它的产生可不消耗任何物理成本. 因此, 所有可经自由操作制备的态都是自由态, 而非自由态体现资源的状态. 自由操作在资源态之间建立了一种秩序: 当一个态ρ经由某种自由操作转变为态σ, 则任意可由σ完成的量子信息任务也可以由ρ完成, 从而ρ包含的量子资源不少于σ.
由于相干是带有多个叠加项的量子系统的特征, 可知在这种资源理论中自由操作的一种自然选择是非相干操作^[5,30]. 实际上, 仅把非相干操作作用于各个叠加项只能生成非相干态, 而相干态克服非相干操作施加的束缚成为一种资源. 另外, 相干性作为一种资源, 但是自由操作却并不被认为是更廉价的. 这是因为往往自由操作(比如CNOT操作)比非自由操作更难实现. 在多体相干性的资源理论中, 其参考基可以任意选取, 有时甚至可以选择Bell基作为参考基. 但是, 这种选择通常缺乏实际的物理意义, 因为Bell态相对其他单体的直积态更难制备, 需要消耗更多的物理资源. 因此探索多体的完全非相干态或者两体非相干态就非常有物理意义. 从自由操作的角度看, 完全非相干操作, 或者两体非相干操作, 类似于纠缠资源理论中的局域操作与经典通信(LOCC)比CNOT这种非相干操作更具有实际意义, 实验上实现起来也较为容易^[31]. Du等^[32]研究了纯的相干态在非相干操作下的各种转换, 从而指出非相干操作建立了一种偏序关系, 更重要的是证明了在选定的局域维数下最大相干态具有唯一性. 最近, Wu等^[31]从理论和实验的角度彻底解决了二维量子系统中态在自由操作下的转化问题. 最大相干态可以经由非相干操作转变为任何同维数的其他量子态, 但是同维数的任何其他量子态不能经由非相干操作转换为该态. 这个态也就顺理成章地成为相干度量的一个重要标准, 并且在诸如单向量子计算^[17,18]等量子信息任务中成为单体量子系统中最有用的量子态. 但是, 这一情形在多体量子系统中不复存在, 因为多体量子系统中存在不等价的相干态, 使得量子态空间被分为几个随机的非相干类, 其中同一类中的态可经由非相干操作以非零的概率相互转化, 但是不同类间的态不能经由非相干操作转化. 这一现象表明在多体量子系统中不存在唯一的最大相干态. 这一结果导致的一种极端情形是: 在至少三体系统中, 几乎所有的纯态都是孤立的, 即每个纯态都不能从具有相同维数的另一个纯态经由非相干操作转换而来. 这一结果意味着几乎所有的纯态都不能利用非相干操作进行比较, 因此非相干操作下的多体相干资源理论是平凡的.
我们相信这一现象要求对相干资源理论进行更加深入的研究, 特别是审查用来建立偏序关系的非相干操作. 实际上, 虽然非相干操作转移有明确的操作性解释, 但是它不是可以把非相干态映射为非相干态的最一般种类的非相干映射. 换句话说, 非相干操作严格地包含于至少一个子系统上的操作是非相干操作的量子操作类型中. 因此, 这类更广泛的量子操作类型原则上可以建立更有意义的序列, 解释多体相干态系统中更清晰的结构. 这也正是本文的主要目的. 文献[33,34]把LOCC操作扩展为非纠缠操作. 借助文献[33,34]的思想, 为了寻找到多体系统中非平凡的相干资源理论是否存在, 我们在至少一个子系统上的操作是非相干操作的量子操作, 这一最大可能的非相干操作类下研究相干资源理论. 由仅在某些子系统上是相干态, 可知该量子态不是完全非相干态(FiC). 进一步地, 将所有子系统都相干的的态称为真正的多体相干态(GMC). 从而, 在多体情形下, 存在两类不同形式的相干理论: 第一类中相干态是资源态, 自由操作是完全的非相干保护操作(FiCP); 另一类中GMC态是资源态, 自由操作是至少一个子系统上的非相干保护操作(OiCP). 研究结果表明两种形式的资源理论都是非平凡的, 即不存在不等价形式的相干和孤立的资源态. 我们还研究了在上述理论下是否同单体系统类似存在唯一的多体最大相干态. 在FiCP操作以及三量子比特系统上, 答案是否定的. 但是, 在OiCP操作的GMC 资源理论上, 答案是肯定的. 最大的GMC态就是广义的GHZ态.

记M是$ \{1, 2, \cdots, n\} $的子集且$ \overline{M} $是M的补集, 对于Hilbert空间

$ H = H_{1}\otimes H_{2}\otimes \cdots \otimes H_{n} = ({{\mathbb{C}}}^{d})^{\otimes n}, $

定义$ H_{M} $与$ H_{\overline{M}} $分别是M与$ \overline{M} $对应的Hilbert空间的张量积. 令第i个子空间$ H_{i} $的维数是d,

$ \{|k_{1}^{i}\rangle, |k_{2}^{i}\rangle, \cdots, |k_{d}^{i}\rangle\} $

是该空间的一组基.
当n体纯态

$ |\psi\rangle = |\psi_{1}\rangle\otimes |\psi_{2}\rangle \otimes \cdots |\psi_{n}\rangle, $

且$ |\psi_{i}\rangle\in H_{i} $总是基$ |k^{i}\rangle $上的非相干态时, 称其为FiC, 否则是相干态; 对于任意的$ M\subset \{1, 2, \cdots, n\} $, 如果总存在$ |\psi_{M}\rangle\in H_{M} $和$ |\psi_{\overline{M}}\rangle\in H_{\overline{M}} $, 使得$ |\psi_{M}\rangle $在任意选定的$ H_{M} $的一组基$ \{|k_{1}^{M}\rangle, |k_{2}^{M}\rangle, \cdots, |k_{Md}^{M}\rangle\} $上是非相干的, $ |\psi_{\overline{M}}\rangle $在任意选定的$ H_{\overline{M}} $的一组基$ \{|k_{1}^{\overline{M}}\rangle, |k_{2}^{\overline{M}}\rangle, \cdots, |k_{\overline{M}d}^{\overline{M}}\rangle\} $上是非相干的, 并且

$ |\psi\rangle = |\psi_{M}\rangle\otimes |\psi_{\overline{M}}\rangle, $

则称其为BiC, 否则是GMC. 利用凸运算, 上述概念可以扩展到混合态: 所有完全相干态记为

$ {\cal F}i{\cal C} = {\rm conv}\{\psi:\; |\psi\rangle \; {\rm is}\; {\rm FiC}\}, $

所有两体非相干态记为

$ {\cal B}i{\cal C} = {\rm conv}\{\psi:\; |\psi\rangle\; {\rm is}\; {\rm BiC} \}, $

其中$ \psi = |\psi\rangle\langle\psi| $.
量子理论中的变换Λ是完全正的保迹映射(CPTP). 对于任意的$ \rho\in {\cal F}i{\cal C} $, 当映射Λ满足$ \varLambda(\rho)\in {\cal F}i{\cal C} $时, 称其为FiCP; 对于任意的$ \rho\in {\cal B}i{\cal C} $, 当映射Λ满足$ \varLambda(\rho)\in {\cal B}i{\cal C} $时, 称其为OiCP. 设f是一个将H上的算子映射为非负实数的函数, 如果对于任意的量子态ρ和FiCP(OiCP)映射Λ, 恒有$ f[\varLambda(\rho)]\leqslant f(\rho) $, 则称f是FiCP度量(OiCP度量). 这一要求完全类似于纠缠度量: LOCC映射下纠缠度量不增. 尽管非相干操作是FiCP映射和OiCP映射的严格子集, 一些已知的相干度量仍然是FiCP度量或者OiCP度量. 比如, 对于任意的CPTP映射Λ, 当距离测度$ f(\rho||\sigma) $满足量子运算不增$ f(\varLambda(\rho)||\varLambda(\sigma))\leqslant f(\rho||\sigma) $的性质时, 形如$ f_{\varPhi}(\rho) = $$\inf_{\sigma\in \varPhi}f_{\varPhi}(\rho||\sigma) $的度量具有类似的单调性, 其中$ \varPhi\in \{{\cal F}i{\cal C}, \; {\cal B}i{\cal C}\} $. 这包括相对熵相干^[5]

$ f(\rho||\sigma) = C_{r}(\rho) = \min\limits_{\sigma\in {\cal I}}S(\rho||\sigma), $

其中$ S(\rho||\sigma) = {\rm Tr}[\rho\log_{2}\rho]-{\rm Tr}[\rho\log_{2}\sigma] $是量子相对熵; 鲁棒相干^[35]

$ f(\rho||\sigma) = C_{R}(\rho) = \min\limits_{\sigma}\min\limits_{s} \left\{ {s\geqslant 0:\; \frac{\rho+s\sigma}{1+s}\in {\cal I}} \right\}. $

这里的$ {\cal I} $都是空间H中基$ \{|k_{j}\rangle\} $上的集合$ {\cal F}i{\cal C} $或者$ {\cal B}i{\cal C} $.
在单体系统中, 广义的非相干映射(如FiCP, OiCP)下不是所有的基于非相干操作的相干度量均单调. 这是因为广义的非相干映射下的态转移, 非相干操作下可能不会实现. 为了后续理解广义的非相干映射下资源诱导的偏序, 首先约定若存在自由操作Λ使得$ \varLambda(\psi) = \varphi $, 则称量子态ψ与φ之间存在偏序关系且ψ优于φ; 若同时存在另一个自由操作$ \varLambda^{\prime} $满足$ \varLambda^{\prime}(\varphi) = \psi $, 则称两个态ψ和φ在相应的资源理论下是等价的. 然后研究在FiCP和OiCP下哪些纯态之间的转移可以实现. 因此, 尽管我们研究的是量子态的特征, 这实际上也是建立等价类的过程. 本文还将证明在OiCP和GMC的资源理论下等价类的范围比现有的非相干资源理论下的更大.

在相干资源理论中, 当自由操作是FiCP或 OiCP映射时均有如下结论.
定理1　对于任意的两个资源纯态ψ和φ, 总存在完全正的迹不增的FiCP(OiCP)映射Λ使得$ \varLambda(\psi) = p\varphi $, 其中$ p\in (0, \; 1] $.
证明　对于纯态ψ, 它的几何相干^[36]表示为

$ C_{g}(\psi) = 1-\max\limits_{\varphi\in {\rm FiC}({\rm OiC})}|\langle \varphi|\psi\rangle|^{2}. $

由定义可知, $ C_{R}(\varphi) > 0 $, $ 1 > C_{g}(\psi) > 0 $. 从而总存在$ p\in (0, \; 1] $, 满足

$ p\leqslant \frac{C_{g}(\psi)}{C_{R}(\varphi)(1-C_{g}(\psi))}. $

选取完全正的迹不增的映射^[37]Λ使得

$ \varLambda(*) = p {\texttt{tr}}(\psi*)\varphi+{\texttt{tr}}[(I-\psi)*]\ddot{\varphi}, $

其中$ \ddot{\varphi} $满足$ C_{R}(\varphi) = f(\varphi||\ddot{\varphi}) $. 从而$ \varLambda(\psi) = p\varphi $.
任取$ \sigma\in {\cal F}i{\cal C}({\cal O}i{\cal C}) $, 则

$ \varLambda(\sigma) = p{\texttt{tr}}(\psi\sigma) \left( {\varphi+\frac{1-{\texttt{tr}}(\psi\sigma)}{p{\texttt{tr}} (\psi\sigma)}\ddot{\varphi}} \right), $

从而$ \varLambda(\sigma)/{\texttt{tr}}[\varLambda(\sigma)]\in {\cal F}i{\cal C}({\cal O}i{\cal C}) $的充要条件是$ 1-{\texttt{tr}}(\psi\sigma)\geqslant p{\texttt{tr}}(\psi\sigma)C_{R}(\varphi) $. 再结合(10)式以及$ {\texttt{tr}}(\psi\sigma)\leqslant 1-C_{g}(\psi) $可知定理1成立.
这个结论表明: 在FiCP(OiCP)的相干资源理论中, 不存在等价形式的相干态. 这与IO相干资源理论中态空间总可以分成有限个等价类完全不同. 作为定理1的推论, 不难得到以下推论.
推论1　每个资源态都不是孤立的, 即对于空间H内的任一个资源纯态ψ, 在H内总存在一个不等价的资源纯态φ和CPTP的FiCP(OiCP)映射Λ使得$ \varLambda(\psi) = \varphi $.
证明　由鲁棒度量是输入态的连续函数^[38]可知, 存在资源纯态$ \tilde{\varphi} $, 使得当$ \varphi\rightarrow\tilde{\varphi} $时, $ C_{R}(\varphi)\rightarrow 0 $. 从而, 对于任意的量子态ψ, 恒有$ C_{g}(\psi) > C_{R}(\tilde{\varphi})(1-C_{g}(\psi)) $. 利用ψ的任意性, 总可以给出一个$ \tilde{\psi} $使得$ C_{R}(\tilde{\psi})\neq C_{R}(\tilde{\varphi}) $, 从而$ \tilde{\psi}\neq \tilde{\varphi} $; 由(10)式可知我们能够取得$ p = 1 $. 从而(11)式中的映射可以表示为

$ \varLambda(*) = {\texttt{tr}}(\tilde{\psi}*)\tilde{\varphi} + {\texttt{tr}}[(I-\tilde{\psi})*]\ddot{\varphi}, $

其中$ \ddot{\varphi} $满足$ C_{R}(\varphi) = f(\varphi||\ddot{\varphi}) $. 它是一个CPTP映射^[37], 并且$ \varLambda(\tilde{\psi}) = \tilde{\varphi} $.
该推论表明(13)式的自由操作类能够建立相干资源纯态之间的偏序关系, 即每个资源纯态都可以被映射为一个包含较少相干资源的纯态. 在LOCC纠缠资源理论中, 包括真的多体纠缠子集(GME)在内的几乎所有的量子态都是孤立的^[39,40]. 但是, Contreras-Tejada等^[34]指出即使在上述限制下推论1仍然成立, 即保护完全可分的自由操作以及保护两体可分的自由操作都可以把任一最大多体纠缠态映射为同类型的不相等的量子态.

既然定理1和推论1都表明FiCP和OiCP操作都能克服IO多体相干资源理论的局限性, 一个自然的问题是FiCP或OiCP相干资源理论是否足够强健使得系统有唯一的多体最大相干态. 如果答案是肯定的, 这个唯一的多体最大相干态就应该同单体系统中的最大相干态一样处于应用的核心地位. 为了解答这一问题, 我们首先回顾一下d维的单体系统H中最大资源态的描述性定义^[32,34]: 如果H上存在一个量子态φ, 它可经由自由操作转化为H上任意的其他量子态(并且不存在可以把H上的其他量子态转化为φ的自由操作), 则称φ是该类自由操作下资源理论的最大资源态. 我们先研究FiCP操作下相干资源理论中的情况, 研究结果表明该理论框架下不存在多体的最大相干态.
定理2　在FiCP多体相干资源理论中, 不存在$ H = ({\mathbb{C}}^{2})^{\otimes 3} $上的最大相干态.
证明　Contreras-Tejada等^[34]证明了量子资源的几何度量^[41]是一种完全可分保护的度量方式, 而W态$ |W\rangle = (|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)/\sqrt{3} $是Hilbert空间H中完全可分保护操作下唯一的最大资源态^[42]. 因此, 如果FiCP 3-qubit相干资源理论存在最大资源态, 它就只能是W态, 也就是W态可经由FiCP操作映射为该空间中任意的其他量子态.
考虑鲁棒相干度量$ C_{R}(*) $:

$ C_{R}(\rho) = \max\{0,{\texttt{tr}}(\rho {\cal W})\}, $

其中ρ是任意的量子态, $ \varDelta(*) \!=\! \Sigma_{j = 0}^{d-1}|k_{j}\rangle\langle k_{j}|*|k_{j}\rangle\langle k_{j}| $; $ {\cal W} $是使得$ {\cal W}\leqslant I $, $ \Delta({\cal W}) = 0 $成立的相干见证^[35,43].
考虑基$ \{|0\rangle, |1\rangle\}^{\otimes3} $上的完全非资源态: $ \sigma = $$(|000\rangle\langle000 |+|111\rangle\langle111 |)/2 $. 由文献[44,34]可知

$ \rho(a,b,c) = a {\rm{GHZ}}_{+}+b {\rm{GHZ}}\_+\frac{c}{6}\sum\limits_{i = 001}^{110}|i\rangle\langle i| $

是完全可分态的充要条件是$ 3 |a-b|\leqslant c $, 其中$ {\rm{GHZ}}_{\pm} = (|000\rangle\pm |111\rangle)/\sqrt{2} $, 求和指标i从001遍历到110, $ a+b+c = 1 $并且 a, b, $ c\geqslant 0 $. 显然, 完全非资源态$ \sigma = \rho(1/2, 1/2, 0) $是一个特殊的完全可分态; 所以利用相干见证^[34]$ {\cal W} = 2/3{\mathbb{I}}-8/3{\rm{GHZ}}_{+}+$$4/3{\rm{GHZ}}\_ $得到$ C_{R}({\rm{GHZ}}) = 2 $. 完全类似地可以得到, 在FiCP 3-qubit相干资源理论中, $ C_{R}(W) = 2 $.
因此, 如果W是FiCP 3-qubit相干资源理论中的最大相干态, 由$ C_{R}({\rm{GHZ}}) = C_{R}(W) = 2 $可知GHZ态也是FiCP 3-qubit相干资源理论中的最大相干态. 在此假设下, 该量子系统中就应该存在一个FiCP Λ将W态映射为GHZ态: $ \varLambda(W) = {\rm{GHZ}} $. 考虑完全非相干态

$ \eta = \frac{1}{3}W+\frac{2}{3}\tau, $

其中$ \tau = \dfrac16 \sigma+ \dfrac12 \overline{W}- \dfrac1{48}\displaystyle\sum\limits_{i = 001}^{110}|i\rangle(\langle i^{1}|+\langle i^{2}|) $, $ \overline{W} $表示W态的比特反转形式, $ i^{1} $与$ i^{2} $分别表示指标i中的比特向左平移1位和2位. 从而, $ \eta' = \varLambda(\eta) = \dfrac{1}{3}{\rm{GHZ}}+ \dfrac{2}{3}\varLambda(\tau) $, 并且$ \eta' $也应该是FiC的. 这与$ \varLambda(\tau) = \rho(0, 1/4, 3/4)$^[34], 所以$ \eta' $不是FiC态的事实矛盾! 因此Λ不是FiCP, 定理得证.
该no-go定理表明在$ H = ({\mathbb{C}}^{2})^{\otimes 3} $上不存在唯一的FiCP多体最大相干态, 这与IO下唯一的最大相干态为^[5,32,45]$ \;|\varphi\rangle = \dfrac14\sum\limits_{i = 000}^{111}|i\rangle $大不相同, 其中求和指标i从000遍历到111. 但是, 在OiCP相干资源理论中, 定理3证明了在指定的Hilbert空间中存在唯一的多体最大相干态.
定理3　在$ ({\mathbb{C}}^{d})^{\otimes n} $空间上的OiCP相干资源理论中, 存在唯一的最大多体相干态:

$ |{\rm{GHZ}}(n,d)\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum\limits_{i = 1}^{d}|i\rangle^{\otimes n}, $

即$ \forall\varphi\in({\mathbb{C}}^{d})^{\otimes n} $, 总存在一个OiCP映射Λ, 使得$ \varLambda[{\rm{GHZ}}(n, d)] = \varphi $.
证明　选取完全正的OiCP映射Λ使得

$ \varLambda(*) = {\rm tr}({\rm{GHZ}}(n,d)*)\varphi+ {\rm tr}[(I-{\rm{GHZ}}(n,d))*]\ddot{\varphi}, $

其中$ \ddot{\varphi} $满足$ C_{R}(\varphi) = f(\varphi||\ddot{\varphi}) $. 从而, $ \varLambda[{\rm{GHZ}}(n, d)] = \varphi $.
由定理1和定理2可知, Λ是OiCP映射的充要条件是$ C_{R}(\varphi)\leqslant C_{g}({\rm{GHZ}}(n, d))/[1-C_{g}({\rm{GHZ}} $$(n, d))] $. 利用两体的Schmidt分解方法^[34,46]可知, 广义GHZ态有最大的相干度量值为$C_{g}({\rm{GHZ}} $$ (n, d) = (d-1)/d $. 从而Λ是OiCP映射的充要条件是$ C_{R}(\varphi)\leqslant d-1 $.
记$ M|\overline{M} $两体分割的划分下, 量子态φ可以表示为$ \varphi_{M|\overline{M}} = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}^{M|\overline{M}}}|i\rangle_{M} |i\rangle_{\overline{M}} $. 从而,

$ C_{R}(\varphi)\leqslant \min\limits_{M}\left( {\sum\limits_{i}\sqrt{\lambda_{i}^{M|\overline{M}}}} \right)^{2}-1\leqslant d-1. $

因此, $ \forall\varphi\in({\mathbb{C}}^{d})^{\otimes n} $, 总存在一个OiCP映射Λ, 使得$ \varLambda[{\rm{GHZ}}(n, d)] = \varphi $.

通过将自由操作放宽为一般的不产生相干的量子操作, 本文建立了两类一般化的相干资源理论框架: FiCP相干与OiCP相干. 与已有的(*)IO(如IO, SIO, MIO, PIO等)相干资源理论不同, OiCP相干资源是具有唯一最大多体相干态的量子资源理论, 而FiCP相干资源在3-qubit系统上不存在最大相干态. 本文中两类一般化的相干资源理论为研究多体系统资源间的关系和转化提供了新的研究工具: 1) 自由操作是最大的保持非资源态的操作, 如果将其操作更细化, 分几个不同的层次, 比如可分离的局域非相干操作加上经典通讯, 将是非常有意义的; 2) 以一般相干性资源理论为基础, 研究多体系统资源间的关系和转化关系与方法也是一种新颖的手段.