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--> --> -->图 4 (a) 模态A (88.40 Hz)、(b) 模态B (119.06 Hz)、(c) 模态C (302.09 Hz)、(d) 模态D (533.03 Hz)、(e) 模态E (772.31 Hz)、(f) 模态F (891.44 Hz) 的薄膜振型和声场压力图
Figure4. Vibration mode of the membrane and sound pressure distribution diagrams of point A (88.40 Hz) (a), B (119.06 Hz) (b), C (302.09 Hz) (c), D (533.03 Hz) (d), E (772.31 Hz) (e), and F (891.44 Hz) (f).
从图4可以看出, 在模态A, C, E处, 结构声压场变化规律完全相同, 均为内腔声压最大, 并通过腔口空气通道逐渐过渡到外腔. 外腔左右两部分声压呈反对称分布, 其中薄膜侧为正, 腔口侧为负, 且这种差异随着带隙阶数的增大而增强, 但外腔声压和均为零. 此时声波被完全局域在内腔中, 振动与外腔无关, 与其对应于带隙下限相匹配. 而在模态B, D, F处, 结构声压场分布与前述相反, 内腔声压最小, 且为负值, 通过腔口空气通道过渡至外腔, 外腔声压最大. 此时振动与内腔外腔都有关, 声波可以在腔外传播, 对应于带隙上限.
由于膜的振动是各阶主振型叠加的结果, 通过振型图仅能推断某阶主振型占主要地位, 在后续分析中, 将占主要地位的某阶主振型称为其某阶振动. 从振型图可以看出, 随着频率的升高, 薄膜振动逐渐由低阶转向高阶, 但在带隙上下限处均没有发现反对称振型(该种振动模态下薄膜上下位移呈反对称分布, 平均位移为零)的参与.
对于出现多个平直带的原因, 与之前研究得出的结论相同[30], 是由薄膜的反对称振型造成的, 这里不再进行讨论.
另外, 对于模态A, 可以看出膜与腔口空气做同向振动, 这样实际上减小了内腔空气弹簧刚度, 导致第一带隙下限下降; 与此类似, 模态B中内腔空气弹簧刚度增大, 外腔减小, 但由于两者体积变化比例不同, 其总体刚度是减小的, 导致其第一带隙上限也会下降.
经过以上分析可看出, 对于该结构在1700 Hz以下产生的多个带隙, 其不同带隙上限或下限处声压场分布规律均是相同的, 只是薄膜振动模态不同, 但各带隙上限和下限的声压场分布规律不同.
在此对上下限分别构建等效系统, 如图5所示, 其中X1表示薄膜平均位移; X2表示腔口通道内空气质心位移; N1和N2分别为内腔、外腔对薄膜的总压力, 采用TMM与连续体振动相结合的方法进行计算.
图 5 (a) 带隙下限系统示意图; (b) 带隙上限系统示意图
Figure5. (a) System corresponding to starting frequency of band gaps; (b) system corresponding to cut-off frequency of band gaps.
将腔口通道内空气视为均质弹性杆, 其传递矩阵[31]为
对于薄膜的纵向振动, 采用Rayleigh-Ritz法[32]求解, 同时考虑张力和弹性模量的影响, 其强迫振动方程为
取基础函数为φi = 1 – cos(2πnx/l r), 这种取法计算简便, 但舍弃了反共振振型, 故不能计算出平直带的振动频率. 考虑薄膜上质量块的分布作用, 此时其等效刚度矩阵和等效质量矩阵中各元素为
振动时, 薄膜在空气的作用下, 相当于受到周期性均布激振力的作用, 设均布力为p sinωt, 则正则广义力为
通过各传递矩阵及(11)式, 可分别对带隙上下限对应的系统进行求解.
对带隙下限, 设传递顺序为内腔-腔口, 则有
同样, 对带隙上限, 设传递顺序为内腔-腔口-外腔, 则有
根据(15)与(19)式可分别计算出带隙下限与带隙上限的频率. 从这两式可以看出, 在低频范围内, 式子左端取得零值的主要因素有式中的V(ω)和其他含ω项, 其中V(ω)与薄膜的振动模态有关, 其他含ω项均来自于弹性杆传递矩阵. 这说明随着频率的增大, 每当薄膜或腔口空气的振动模态发生改变时, 都将出现一个新的带隙, 亦即产生了一种新的局域共振模态. 另外, 由于两者的耦合性及内外腔空气的作用, 带隙的上下限将不会出现在原固有频率处, 而是发生一定的偏移.
从上文理论计算可发现, 薄膜受到张力T、重物质量及分布、薄膜长度l r等因素会并且只会影响薄膜相关的函数V(ω), 在此首先选取了重物长度l s作为变量进行分析, 结果如表1所列. 同时, 作为比较, 采用FEM计算了同条件下附加金属片薄膜的纵向振动固有频率(不含反共振频率), 结果如表2所列. 从表1和表2可以看出, 增大l s, 薄膜一阶固有频率下降, 二阶固有频率增大, 而结构第二、第三带隙变化趋势与之完全相同, 变化幅度也很接近, 而结构第一带隙向低频方向移动, 但变化幅度较小. 该现象说明此结构在1700 Hz以下新出现的第二、三带隙分别是由于薄膜出现了前两阶振动模态引起的. 而第一带隙由于仍然对应于腔口空气的振动, 通过增大l s的方式增加等效质量是一种间接的调控方式, 对于该带隙的优化效果并不理想.
l s/10–3 m | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
1阶固有频率 | 252.4 | 237.9 | 226.8 | 218.2 | 211.6 | 206.6 |
2阶固有频率 | 751.3 | 782.8 | 794.0 | 814.8 | 843.4 | 879.1 |
表2薄膜附加金属片长度l s对薄膜固有频率的影响
Table2.Effect of the parameter l s on natural frequency of membrane.
ls/10–3 m | 第一带隙下限 | 第一带隙上限 | 第二带隙下限 | 第二带隙上限 | 第三带隙下限 | 第三带隙上限 | |||||||||||
FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | ||||||
4 | 89.2 | 3.7 | 121.4 | 4.4 | 314.2 | 2.8 | 557.7 | 0.6 | 790.7 | 2.2 | 900.3 | 1.6 | |||||
92.5 | 126.7 | 323.0 | 561.2 | 808.3 | 914.7 | ||||||||||||
6 | 88.9 | 3.6 | 120.1 | 4.2 | 297.7 | 1.8 | 526.8 | –0.8 | 789.1 | 0.4 | 905.2 | 0.8 | |||||
92.2 | 125.1 | 303.1 | 522.8 | 792.4 | 912.2 | ||||||||||||
8 | 88.7 | 3.5 | 118.9 | 3.9 | 285.1 | 0.9 | 508.3 | –2.1 | 795.6 | –1.1 | 916.1 | –0.5 | |||||
91.9 | 123.5 | 287.6 | 497.5 | 786.8 | 912.0 | ||||||||||||
10 | 88.6 | 3.4 | 117.9 | 3.5 | 275.6 | –0.1 | 497.9 | –3.5 | 815.9 | –3.7 | 932.5 | –2.3 | |||||
91.6 | 122.0 | 275.4 | 480.5 | 786.0 | 910.8 | ||||||||||||
12 | 88.5 | 3.1 | 117.2 | 3.0 | 268.4 | –1.0 | 492.6 | –4.8 | 843.8 | –6.9 | 953.9 | –5.2 | |||||
91.3 | 120.7 | 265.6 | 469.1 | 785.3 | 904.4 | ||||||||||||
14 | 88.5 | 2.8 | 116.7 | 2.3 | 262.9 | –2.0 | 490.5 | –5.9 | 878.5 | –11 | 966.3 | –8.2 | |||||
91.0 | 119.4 | 257.6 | 461.5 | 779.9 | 887.3 |
表1薄膜附加金属片长度l s对低频带隙的影响
Table1.Effect of the parameter l s on low-frequency band gaps.
另外, 当l s较小时, 两种计算结果接近, 但当l s > 10 × 10–3 m后, 误差开始显著增大, 这是由于在用Rayleigh-Ritz法对薄膜进行处理时, 仅通过(6)式对分布质量进行了处理, 而忽略了附加金属片对薄膜等效刚度的影响. 随着l s增大, 这种影响逐渐增大, 导致了误差不断增大.
表3显示的是薄膜张力对带隙的影响, 可以看出, 随着薄膜张力的增大, 其各带隙上下限均有增大的趋势, 但第二、三带隙的增长幅度大于第一带隙, 这与上文中所得出第二、三带隙对应于薄膜的振动模态产生和改变相一致. 对于第一带隙, 由于其对应的是腔口空气的振动模态, 可在分析时忽略薄膜质量的影响, 此时随着张力增大, 结构趋向于刚性壁, 其带隙上下限逐渐与无薄膜结构接近. 当张力增大到108 N/m2后, 其第一带隙上下限已基本与无薄膜结构一致, 且1700 Hz以下已无其他完整带隙.
T/106 N·m–1 | 第一带隙下限 | 第一带隙上限 | 第二带隙下限 | 第二带隙上限 | 第三带隙下限 | 第三带隙上限 | |||||||||||
FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | ||||||
0.5 | 74.3 | 3.4 | 89.3 | 2.8 | 259.2 | 0.7 | 440.3 | –1.2 | 574.1 | 0.1 | 770.1 | 0.5 | |||||
76.8 | 91.8 | 261.0 | 434.9 | 574.4 | 774.3 | ||||||||||||
1.5 | 96.3 | 3.4 | 143.1 | 4.6 | 345.5 | 3.2 | 589.6 | 0.2 | 952.1 | 2.2 | 1035.1 | 1.7 | |||||
99.6 | 149.7 | 356.7 | 591.0 | 973.0 | 1053.1 | ||||||||||||
2.5 | 103.3 | 2.9 | 174.6 | 4.6 | 415.0 | 4.2 | 648.0 | 0.7 | 1217.4 | 2.8 | 1274.1 | 2.3 | |||||
106.4 | 182.7 | 432.6 | 652.4 | 1251.0 | 1303.2 | ||||||||||||
3.5 | 106.8 | 2.7 | 196.4 | 4.4 | 474.9 | 4.8 | 691.4 | 1.1 | 1434.1 | 3.0 | 1478.6 | 2.5 | |||||
109.6 | 205.0 | 497.6 | 698.8 | 1477.6 | 1516.1 | ||||||||||||
4.5 | 108.8 | 2.5 | 212.5 | 4.1 | 528.2 | 5.1 | 729.6 | 1.4 | 1621.6 | 3.2 | 1642.5 | 3.3 | |||||
111.5 | 221.3 | 555.2 | 740.1 | 1673.4 | 1696.5 | ||||||||||||
10 | 113.0 | 2.1 | 257.8 | 3.0 | 757.3 | 5.9 | 907.9 | 2.7 | 1645.9 | 5.8 | 1741.8 | 3.1 | |||||
115.3 | 265.6 | 801.7 | 932.8 | 1740.6 | 1796.2 | ||||||||||||
100 | 116.2 | 1.8 | 311.0 | 1.2 | 1654.1 | 5.2 | 1737.3 | 3.1 | 2270.8 | 9.0 | 2375.3 | 6.1 | |||||
118.3 | 314.9 | 1740.4 | 1791.6 | 2475.7 | 2520.3 |
表3薄膜张力T对低频带隙的影响
Table3.Effect of the parameter T on low-frequency band gaps.
腔口空气通道长度l1对低频带隙的影响如表4所列, 可以看出, 随着l1的增大, 第一带隙上下限均向低频方向移动, 而第二带隙下限变化不大, 这与上文提出的对应关系相符合.
l1/mm | 第一带隙下限 | 第一带隙上限 | 第二带隙下限 | 第二带隙上限 | 第三带隙下限 | 第三带隙上限 | |||||||||||
FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | ||||||
99 | 88.4 | 4.4 | 119.1 | 5.7 | 302.1 | 3.4 | 533.0 | 1.3 | 772.3 | 3.4 | 891.4 | 2.4 | |||||
92.3 | 125.9 | 312.5 | 540.0 | 798.6 | 912.9 | ||||||||||||
148 | 74.5 | 3.4 | 101.5 | 5.1 | 301.2 | 3.5 | 513.3 | 1.1 | 772.6 | 3.4 | 873.7 | 2.4 | |||||
77.1 | 106.7 | 311.7 | 519.1 | 798.9 | 894.4 | ||||||||||||
197 | 66.0 | 2.9 | 89.9 | 4.7 | 301.9 | 3.5 | 500.0 | 1.1 | 772.4 | 3.3 | 836.0 | 1.9 | |||||
67.9 | 94.1 | 312.5 | 505.3 | 798.2 | 851.8 | ||||||||||||
246 | 60.1 | 2.6 | 81.4 | 4.5 | 303.2 | 3.5 | 488.5 | 1.0 | 697.6 | 1.2 | 734.1 | 0.9 | |||||
61.7 | 85.1 | 313.7 | 493.3 | 705.9 | 740.6 | ||||||||||||
295 | 55.8 | 2.5 | 75.0 | 4.3 | 304.7 | 3.4 | 475.7 | 0.9 | 587.8 | 0.7 | 637.5 | 0.7 | |||||
57.2 | 78.2 | 315.2 | 479.9 | 591.9 | 642.3 | ||||||||||||
344 | 52.5 | 2.4 | 69.8 | 4.2 | 306.3 | 3.4 | 458.4 | 0.7 | 507.5 | 0.6 | 558.9 | 3.1 | |||||
53.7 | 72.7 | 316.6 | 461.5 | 510.8 | 576.4 |
表4腔口空气通道长度l1对低频带隙的影响
Table4.Effect of the parameter l1 on low-frequency band gaps.
但第二带隙上限也不断下降, 特别是当l1大于246 mm后, 第三带隙上下限急剧下降. 从带隙图分析发现, 腔口空气二阶振动对应的带隙(第四带隙)随着l1的增大不断向低频方向移动, 压缩了第三带隙及第二带隙上限. 直至l1 = 295 mm后, 腔口空气二阶振动对应的带隙下降到薄膜二阶振动对应带隙以下, 成为第三带隙, 如图6所示, 腔口空气表现为中间压强最大, 两端最小. 该现象说明随着l1的增大, 腔口空气在1700 Hz以下范围内的振动模态增多, 固有频率下降. 实际上, 当l1 = 344 mm时, 该结构在1700 Hz以下已有6个带隙, 其分别对应于腔口空气一阶振动、薄膜一阶振动、腔口空气二阶振动、薄膜二阶振动、腔口空气三阶振动和腔口空气四阶振动.
图 6 l1 = 295 mm时(a) 第三带隙下限和(b) 第三带隙上限的声场压力图
Figure6. Sound pressure distribution diagrams at starting frequency (a) and cutoff frequency (b) of the 3th band gap when l1 = 295 mm.
由(15)式可以看出, 外腔体积V4不影响带隙下限, 而由(19)式可以看出, 对带隙上限, 内腔体积V2与外腔体积V4的作用完全相同, 故只对内腔体积V2进行分析, 如表5所列. 从表5可以看出, 随着V2的增大, 各带隙上下限均向低频方向移动, 这是由于腔体积增加会减小其等效刚度. 另外, 在此减小V2的方式是在内腔中增加刚性填充物, 这种方法会使得内腔形状不规则, 腔内声压不均匀, 导致误差上升. 但即便刚性填充物占内腔比例达到66% (此时内腔体积为7.07 × 10–4 m3), 最大误差仍较小, 说明本文采用的理论计算方法也适用于其他较为复杂结构.
V2/10–4 m3 | 第一带隙下限 | 第一带隙上限 | 第二带隙下限 | 第二带隙上限 | 第三带隙下限 | 第三带隙上限 | |||||||||||
FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | FEM TMM | 误差/% | ||||||
7.07 | 108.5 | 6.3 | 120.5 | 5.8 | 406.9 | 1.0 | 566.2 | 1.0 | 809.9 | 1.9 | 953.1 | 1.2 | |||||
115.3 | 127.6 | 411.0 | 571.8 | 825.3 | 964.2 | ||||||||||||
10.57 | 103.3 | 4.8 | 121.1 | 4.8 | 361.4 | 1.6 | 558.3 | –0.1 | 796.5 | 1.9 | 925.4 | 1.4 | |||||
108.3 | 126.8 | 367.2 | 557.8 | 811.4 | 938.7 | ||||||||||||
14.07 | 98.0 | 4.2 | 121.0 | 4.4 | 335.0 | 1.9 | 550.0 | –0.1 | 790.9 | 1.8 | 913.1 | 1.4 | |||||
102.2 | 126.4 | 341.3 | 549.4 | 804.9 | 925.8 | ||||||||||||
17.57 | 93.3 | 3.9 | 120.9 | 4.3 | 317.7 | 2.1 | 544.4 | –0.1 | 788.3 | 1.6 | 906.5 | 1.3 | |||||
96.9 | 126.1 | 324.4 | 543.9 | 801.1 | 918.1 | ||||||||||||
19.32 | 91.1 | 3.8 | 120.8 | 4.3 | 311.1 | 2.2 | 542.3 | –0.1 | 787.4 | 1.6 | 904.1 | 1.2 | |||||
94.5 | 126.0 | 317.9 | 541.8 | 799.7 | 915.3 |
表5内腔体积V2对低频带隙的影响
Table5.Effect of the parameter V2 on low-frequency band gaps.
从整体上看, 该种带薄膜壁的Helmholtz结构可变参数很多, 且各参数对不同带隙的影响程度不尽相同. 因此, 在低频范围内, 既可以通过改变与腔口空气通道或薄膜相关的参数, 在保证其中某些带隙变化不大的情况下, 单独调整其他带隙; 也可以通过调整内外腔体积, 对所有带隙进行调控.