摘要:针对低频噪声的隔离问题, 设计了一种薄膜底面Helmholtz腔声学超材料, 该超材料由薄膜底面Helmholtz腔附加质量单元构成. 使用有限元法, 计算了超材料在20—1200 Hz频段内的传输损失曲线与各阶共振频率, 并在实验中验证了数值计算的真实性. 研究结果表明, 超材料在20—1200 Hz频段内隔声性能良好, 出现了6个隔声峰, 其中100 Hz以下的2个隔声峰传输损失分别高达44.29 dB与67.43 dB, 整个频段内的最高传递损失为90.18 dB. 相较于单一的Helmholtz腔、薄膜声学超材料或传统材料, 本超材料的隔声性能有了较大提升. 结合共振频率与隔声峰处的振动模式图, 进一步分析了超材料的隔声机理. 计算了超材料的透射系数与反射系数, 使用等效参数提取法, 得到了超材料的等效模量与等效密度, 在隔声峰处发现了负等效密度, 同时发现其等效模量接近于零, 并由能量角度进一步分析了异常等效参数的产生机理. 通过等效电路法, 得到了超材料的声阻抗, 较精确地计算了超材料的首阶共振频率, 并分析了产生误差的原因. 研究了附加偏心质量单元对超材料隔声性能的影响, 发现附加偏心质量单元可以抑制反对称共振模态的出现, 同时大大增加了超材料的隔声峰数量, 在实验中这一说法得以验证.
关键词: Helmholtz腔/
薄膜声学超材料/
有限元法/
隔声性能/
负参数

English Abstract

全文HTML

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在生产力高速发展的今天, 越来越多的大型、重型设备被运用到了生产生活中, 由此带来的噪声污染也日益严重^[1]. 由于低频噪声波长较长, 在介质中传播时难以衰减, 使得低频噪声的防治一直都是噪声防治领域的难点, 也是声学研究领域的热点. 若要使用传统隔声材料对低频噪声实施有效的控制, 材料的体积将变得十分庞大, 难以满足实际的需求^[2]. 近年来, 声学超材料和声子晶体的出现为解决低频噪声控制问题提供了新途径.
声学超材料^[3]是一种精心设计的亚波长复合材料, 一般来讲, 其等效参数是色散的, 通过对其构成材料、结构进行优化, 声学超材料可以表现出常规材料所不具备的奇异特性, 例如负质量密度^[4-9]、负等效体积模量^[10]等. 2000年, Liu等^[11]提出局域共振机制声子晶体, 实现了“小尺寸控制大波长”的功能, 同时在共振频率附近出现了负质量密度. 有许多****对声学超材料的低频性能进行了研究^[12-14], 并将此机理运用到了其设计之中^[15,16], 例如薄膜结构的声学超材料等^[17,18].
在声学超材料的设计中, 薄膜和Helmholtz腔是两类常见的结构. 2006年, Fang等^[19]设计的管道侧面带有Helmholtz腔的声学超材料在共振频率处出现了负模量. 姜久龙等^[20]采用双开口内外Helmholtz腔设计得到了较低的低频带隙. 2011年, Naify等^[21]采用仿真计算和实验的方法研究了薄膜附加质量单元结构声学超材料的传输损失; 2012年, Mei等^[22]设计的薄膜结构声学超材料在共振频率点处实现了声波的完美吸收. 但也有一些****设计了新型的结构. 2015年, Cheng等^[23]设计了一种超稀疏的声学超表面, 其低频范围出现了2个禁带, 研究表明, 其中的一个禁带由单极子共振引起并实现了负体积模量, 另一个则由偶极子共振引起并实现了负质量密度.
为了获得更好的声学性能, 许多****提出了耦合结构声学超材料. 周榕等^[24]研究了带有膜结构的Helmholtz腔的声学性能. Ahmed^[25]提出了钝化薄膜底面Helmholtz腔, 并对比了其隔声性能与传统结构的差别. Long等^[26]设计了一种模块化的多阶Helmholtz腔, 在不影响通风的前提下实现了可重构的多频带声吸收.
由于在特定频段内, Helmholtz腔和局域共振结构可分别呈现负等效模量和负等效质量. 本文提出了一种薄膜底面Helmholtz腔结构声学超材料, 使用有限元法计算了超材料20—1200 Hz的透射系数、反射系数、传输损失以及共振频率, 并在实验中验证了数值计算的正确性, 发现超材料的隔声性能良好; 使用等效参数提取法, 得到了材料在低频范围内的等效模量与等效质量密度; 构建了超材料的等效模型, 较准确地估计了超材料的首阶共振频率; 最后, 引入了偏心质量单元, 进一步提升了结构的隔声性能.

图1所示为薄膜底面Helmholtz腔声学超材料, 其中, A为圆柱体质量单元, 其高a = 3 mm, 直径?₂ = 20 mm; B为薄膜, 其厚度b = 0.2 mm, 直径Φ₁ = 90 mm, 四周固定于内腔壁, 在X, Y方向的张力均为0.66 MPa; C为Helmholtz腔, 其长度 d = 110 mm, 外径Φ₂ = 100 mm, 内径与膜的边界相重合; Helmholtz腔开孔直径${\phi _1}$ = 6 mm, 高e = 10 mm. 质量单元的材质为钨, 薄膜材质为硅橡胶, Helmholtz腔材质为钢, 表1为所涉及到的材料参数.
图 1 材料结构　(a)结构示意图; (b)结构参数
Figure1. Material structure: (a) Structural sketch; (b) structure parameter.

Material	ρ/kg·m–3	E/1010 Pa	Possion rate
Tungsten	19100	35.41	0.35
Silastic	1300	1.175 × 10–5	0.469
Steel	7780	21.06	0.3

表1材料参数
Table1.Material parameters.

材料中膜的振动方程为

${\nabla ^{\rm{2}}}\eta =\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}\eta }}{{\partial {t^2}}},$

其中, $c = \sqrt {{T}/{\sigma }} $, T为薄膜张力, σ为薄膜面密度; ${\nabla ^2} = {{{\partial ^2}}}/{{\partial {x^2}}} + {{{\partial ^2}}}/{{\partial {y^2}}}$为二维直角坐标拉普拉斯算符.
对于一般的Helmholtz腔来说, 当其腔体开孔处受到声压为$p = {p_a}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}wt}}$的声波作用时, 可以将其简化为一个进行阻尼受迫振动的弹簧-振子系统, 其中振子为开孔处的气体, 弹簧为腔内气体, 其振动方程可以表示为

$\left\{ \begin{aligned}& {M_{\rm{a}}}\frac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{\rm{a}}}U + \frac{1}{{{C_{\rm{a}}}}}\int {U{\rm{d}}t} = {p_{\rm{a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}wt}}, \\& U = vS,\end{aligned} \right. $

其中, M_a为声质量, R_a为声阻, C_a为声容, v为开孔处空气速度, S为开孔面积, U定义为体积速度.
在使用有限元法计算超材料反射系数T、透射系数R以及传输损失TL时, 构建如图2所示的圆柱形腔体结构, 在圆柱形腔体两侧边界S1和S2设置声波完美吸收层, 并在S1边界设置平面波入射.
图 2 腔体结构
Figure2. Cavity structure.

声波从S1边界入射之后, 首先受到10 mm穿孔钢板的阻挡, 由于四周固定的10 mm钢板隔声量极大, 将对超材料整体隔声量的计算造成极大的影响, 故此将圆柱形腔体的直径设置为104 mm, 略大于Helmholtz腔直径. 需要说明的是, 由于开孔较浅, 不可将其视为“长管”, 且空气也并非黏性流体, 故此在仿真中并未引入“狭窄区域声学”模块, 这样减少了数值模拟的计算量, 许多研究者也在其研究中进行了类似的简化^[20,27].
反射系数R与透射系数L的定义分别为

$ \begin{aligned}& R =\frac{{\displaystyle\int_{{\rm{S1}}} {{p_{{\rm{r}}0}}{\rm{d}}S} }}{{\displaystyle\int_{{\rm{S1}}} {{p_{{\rm{i0}}}}{\rm{d}}S} }}, ~~ T = \frac{{\displaystyle\int_{{\rm{S2}}} {{p_{{\rm{t0}}}}{\rm{d}}S} }}{{\displaystyle\int_{{\rm{S1}}} {{p_{{\rm{i0}}}}{\rm{d}}S} }},\end{aligned}$

其中, p_i0为S1平面入射声压, p_r0为S1平面反射声压, p_t0为S2平面透射声压.
传输损失TL的定义如下:

$\left\{ \begin{aligned}& {W_{{\rm{in}}}} = \displaystyle\int_{{\rm{S1}}} {\frac{{p_{{\rm{i0}}}^{\rm{2}}}}{{2{\rho _0}{c_0}}}{\rm{d}}S}, \\& {W_{{\rm{out}}}} = \displaystyle\int_{{\rm{S}}2} {\frac{{p_{{\rm{t0}}}^{\rm{2}}}}{{2{\rho _0}{c_0}}}{\rm{d}}S}, \\& TL = 10\log \left(\frac{{{W_{{\rm{in}}}}}}{{{W_{{\rm{out}}}}}}\right) ,\end{aligned} \right.$

其中W_in与W_out分别为入射声能与出射声能, TL单位为分贝.

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3.1.计算结果

超材料在对数坐标系下的传输损失曲线如图3中黑线所示.
图 3 传输损失曲线
Figure3. Transmission loss curves.

计算结果表明, 材料在20—1200 Hz隔声性能良好, 尤其是在100 Hz以下的低频范围内. 第1隔声峰出现在25.10 Hz, 传输损失高达44.29 dB, 第2隔声峰出现在67.43 Hz, 传输损失为66.74 dB; 在更高频范围内, 在451.49 Hz处出现第3隔声峰, 传输损失为90.18 dB; 在626.30 Hz出现第4隔声峰, 传输损失为47.05 dB; 在952.81 Hz出现第5隔声峰, 隔声量为39.74 dB; 在1080.08 Hz出现第6隔声峰, 隔声量为56.39 dB.
设置3个对照组, 分别计算在相同条件下, 刚性底面Helmholtz腔、薄膜附加质量单元结构和传统材料的传输损失曲线, 如图3中蓝线、红线、黑色划线所示, 其中传统材料为实心钢柱. 虽然在70—399 Hz, 刚性底面Helmholtz腔的隔声性能略好于超材料. 但总体上, 超材料性能明显优于2个对照组.
接下来, 计算了超材料的共振模态. 由前文可知, 超材料由无底面Helmholtz腔与薄膜附加质量单元结构构成, 其中Helmholtz腔材质为钢, 可看作刚体, 不考虑其振动, 故用薄膜俯视方向的位移图和总声压场垂直膜面切面图表征超材料的振动模态.
由于薄膜结构的加入, 超材料具有非常丰富的共振模态, 但存在两类共振模态, 因其不会影响超材料的隔声性能, 本文对其不加考虑. 这两类模态分别为:
1)不考虑未被激起的共振模态. 本文仅研究声波垂直方向入射的情况, 由于许多模态难以与这一方向的行波耦合, 故未能被激起. 本文以0.01 Hz步长计算了超材料的传输损失以及相应的振动模式, 通过对比振动模式图与共振模态, 可判别其是否被激起, 且在实验过程中, 对入射波频率的监测精度往往不能达到0.01 Hz, 故此认为这一方法是有效的. 例如图4(a)所示为69.44 Hz共振频率处对应的模态, 其表现为质量单元平行于膜面的扭转振动, 故不能被垂直膜面方向入射的声波所激起.
图 4 共振模态(颜色条表示位移的取值, 单位为mm, 其余图同)　(a) 69.44 Hz; (b) 325.40 Hz
Figure4. Resonance mode (color bar represents the displacement values, unit: mm): (a) 69.44 Hz; (b) 325.40 Hz.

2)不考虑薄膜反对称振动模式下的共振模态. 从文献[27]可知, 在薄膜反对称振动时, Helmholtz腔声场的变化也是反对称的, 其总的等效声压为零. 此时, 薄膜振动并不能激发腔体开孔处空气的振动, 从而无法将声压传导至腔外, 开孔处的阻抗并未发生作用, 故对超材料的声学性能没有影响. 例如图4(b)所示为传输损失曲线中325.40 Hz处超材料的振动模式, 对应328 Hz共振频率, 在共振频率附近, 相应的振动模态被激起, 但并未出现传输损失的显著变化.
在去除上述两类模态后, 超材料在20—1200 Hz的共振频率及其对应模态如图5所示.
图 5 共振模态　(a) 25.05 Hz; (b) 68.53 Hz; (c) 420.72 Hz; (d) 622.76 Hz; (e) 944.71 Hz; (f) 1075.80 Hz
Figure5. Resonance mode: (a) 25.05 Hz; (b) 68.53 Hz; (c) 420.72 Hz; (d) 622.76 Hz; (e) 944.71 Hz; (f) 1075.80 Hz.

可以发现, 共振频率与传输损失曲线基本吻合, 每个隔声峰都对应一阶共振频率. 在100 Hz以下, 共振模态表现为质量单元与薄膜耦合振动, 100 Hz以上则展现出丰富的薄膜振动模态. 下一节会结合传输损失曲线和共振模态, 进一步探究超材料的隔声机理.
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3.2.隔声机理分析

为进一步分析结构的隔声机理, 计算了结构在各隔声峰处的振动模式图, 如图6所示.
图 6 隔声峰处振动模式图　(a) 25.10 Hz; (b) 67.43 Hz; (c) 415.49 Hz; (d) 626.30 Hz; (e) 952.81 Hz; (f) 1080.08 Hz
Figure6. Vibration mode diagrams at sound insulation peak: (a) 25.10 Hz; (b) 67.43 Hz; (c) 415.49 Hz; (d) 626.30 Hz; (e) 952.81 Hz; (f) 1080.08 Hz.

综合分析在隔声峰处的振动模式图和共振模态图可以发现, 隔声峰总是出现在共振频率附近, 这是由于入射波频率接近共振频率时, 会激发超材料的共振模态, 此时薄膜附加质量单元结构与腔体内的空气发生耦合共振.
在入射波激励下, 开孔处的空气会发生强烈振动, 此时腔体内的空气将起类似于弹簧的作用, 为开孔处的空气提供回复力. 一方面, 入射波的能量局域在开孔处, 同时振动的空气与孔壁发生摩擦, 将被局域化的能量消耗掉; 另一方面, 开孔处空气振动时将向外辐射声波, 造成能量的耗散. 同时, 薄膜附加质量单元结构也会发生强烈共振, 将入射波的能量局域化在结构中并耗散掉.
由图6可知, 第1, 2隔声峰是100 Hz以下的超低频隔声峰, 其振动模式表现为薄膜与质量单元的耦合振动, 在薄膜上附加质量单元可以增加超材料的等效质量, 使其共振频率变低, 从而增强了结构的低频隔声性能. 第3—6隔声峰的振动模式表现为薄膜的各阶对称振动, 相较于刚性底面Helmholtz腔, 薄膜底面的加入使得超材料的共振模态更加丰富, 超材料拥有更多的隔声峰.
值得关注的是第6隔声峰, 它对应1075.80 Hz共振模态, 由模态图可知, 此共振模态中薄膜的振动几乎是平行于膜面的, 但实际上薄膜仍有轻微的垂直膜面振动, 故其仍可与入射波耦合, 但是由于耦合作用较弱, 第6隔声峰的频带很窄, 仅0.02 Hz.

材料在100 Hz以下出现的超低频隔声峰是本材料的重要特征. 从前文可知, 材料的共振频率极大地影响着其性能, 尤其是材料的首阶共振频率, 决定其超低频隔声峰的位置. 为了进一步揭示材料的工作机理, 在此构建其等效模型. 使用等效模型可以便捷地估算结构的共振频率, 具有十分重要的理论意义.
对于一般的Helmholtz腔, 如图7所示, 其腔体为刚性材质, 开孔处横截面积为S, 腔口长度为l, 腔体体积为V.
图 7 Helmholtz腔(a)及其等价电路模型(b)
Figure7. Helmholtz cavity (a) and its equivalent circuit model

由于声振系统与电振荡具有相同的微分方程, 可以将Helmholtz腔转化为等效电路模型, 其中R_a为声阻, M_a为声质量, C_a为声容, 可知结构的共振频率f_a为

${f_{\rm{a}}} = \frac{1}{{2{\text{π}}}}\sqrt {\frac{1}{{{M_{\rm{a}}}{C_{\rm{a}}}}}} .$

由(5)式可知, f_a仅由M_a与C_a决定, 所以在此仅关注M_a, C_a, 两者的值分别为

$\left\{ \begin{aligned} & {M_{\rm{a}}} = \frac{{{\rho _0}l}}{S}, \\& {C_{\rm{a}}} = \frac{V}{{{\rho _0}{c_0}^2}}.\end{aligned} \right.$

图8(a)是底面为附加质量薄膜结构的Helmholtz腔, 附加质量为M_add, 薄膜质量为m, 薄膜面积为S_m. 在等效电路中, 其相当于在C_a两端再并联一条支路(图8(b)). 其中C_m, M_m分别为薄膜附加质量单元结构的声容与声质量.
图 8 薄膜底面Helmholtz腔(a)及其等价电路模型(b)
Figure8. Helmholtz cavity with thin film bottom (a) and its equivalent circuit model.

普通圆膜的首阶共振频率为

${f_{\rm{m}}} = \frac{\mu }{{2{\text{π}}r}}\sqrt {\frac{T}{\sigma }} ,$

其中, T为膜表面张力, σ为膜面密度, r为膜半径, $\mu = 2.405$. 可知其等效力学质量M_F为

${M_{\rm{F}}} = m{\rm{J}}_1^2(\mu ),$

其中J₁为一阶贝塞尔函数.
由第3节分析可知, 膜结构的首阶共振模态为对称振动, 可以将其视为“弹簧-振子”系统, 设其等效刚度为K_F. 此系统的共振频率${f_{\rm{m}}} = \dfrac{1}{2{\text{π}}}\sqrt {{{{K_{\rm{F}}}}}/{{{M_{\rm{F}}}}}} $, 设${\omega _{\rm{m}}} = 2{\text{π}}{f_{\rm{m}}}$, 可得

${K_{\rm{F}}} = {\omega _{\rm{m}}}^2m{\rm{J}}_1^2(\mu ).$

在原膜中心附加质量为M_add的质量单元之后, 模型的等效质量M_F变为

${M_{\rm{F}}} = m{\rm{J}}_1^2(\mu ) + {M_{{\rm{add}}}}.$

假设膜面所受压力均匀, 由于薄膜四周固定, 故此力声变量器等效面积为$ {A_{{\rm{eff}}}}={{\rm{1}}}{{\rm{3}}}/{S_{\rm{m}}}$, 于是有

$\left\{ \begin{aligned}& {C_{\rm{m}}} = \frac{{S_{\rm{m}}^2}}{{9{\omega _{\rm{m}}}^2m{\rm{J}}_1^2\left( \mu \right)}}, \\& {M_{\rm{m}}} = \frac{{9m{\rm{J}}_1^2(\mu )}}{{S_{\rm{m}}^{\rm{2}}}}.\end{aligned} \right.$

设共振频率为f, 其圆频率$\omega = 2{\text{π}}f$, 则图8(b)所示电路的总阻抗为

$Z = {R_{\rm{a}}} + {\rm{j}}\omega {M_{\rm{a}}} - {\rm{j}}\frac{{\omega {M_{\rm{m}}} - 1}}{{{\omega ^3}{M_{\rm{m}}}{C_{\rm{a}}}{C_{\rm{m}}} - \omega {C_{\rm{a}}} - \omega {C_{\rm{m}}}}}.$

当$\omega {M_{\rm{a}}} = \dfrac{{\omega {M_{\rm{m}}} - 1}}{{{\omega ^3}{M_{\rm{m}}}{C_{\rm{a}}}{C_{\rm{m}}} - \omega {C_{\rm{a}}} - \omega {C_{\rm{m}}}}}$时, 电路的阻抗最小, 解此方程, 即可得到电路的共振频率, 即图8(a)结构的共振频率.
分别使用有限元法与等效模型方法, 计算了超材料的首阶共振频率, 取附加质量单元的密度为1000—5000 kg/m², 结果如图9所示.
图 9 首阶共振频率
Figure9. First resonance frequency.

等效模型方法所得结果存在一定误差, 其主要原因是将附加质量单元薄膜的等效刚度等效为未附加质量单元薄膜的等效刚度. 但实际上, 质量单元底面会固定一部分薄膜, 使等效模量发生改变, 从而使C_m${C_m}$的计算存在一定的误差. 同时, 为简化建模流程, 在等效模型中忽略了空气阻力的影响, 也造成了一定的误差.
但如图9所示, 两结果基本吻合, 且二者的变化趋势相同, 可以认为等效模型是合理的, 有一定的理论价值.

为了验证本文数值计算的正确性, 在此采用实验的方法对其进行验证, 使用AWA6290 T型传递函数隔声量测量系统对所制样件在50—1000 Hz频段内的传输损失进行了测量. 由于测量系统的内径仅为100 mm, 为保证实验条件与数值计算条件一致, 这里将样件的内径设置为96 mm, 其余的结构参数与第2节所述相同, 这样可以在边缘留出同宽度的缝隙. 从文献[28]可知, 影响Helmholtz腔声学性能的因素与其外径并无显著联系, 故此可以认为样件外径的轻微改变对超材料的声学性能无影响. 在样件安装时, 在其前后两端分别对称附加2块长宽约为1 mm, 厚度为2.2 mm的硅胶垫, 由于硅胶具有一定的可压缩性, 样件便可固定在测试系统中. 因为硅胶垫的截面积仅为缝隙截面积的1.2%左右, 可忽略硅胶垫对实验的影响. 其实物图如图10所示.
图 10 实验示意图　(a), (b)样件实物图; (c)实验装置
Figure10. Experimental schematic diagrams: (a), (b) Sample structure; (c) experimental facility.

为了方便取材, 实验所用腔体与质量单元均为钢材质, 由于在此超材料中不考虑二者自身的振动, 可将其看作刚体, 故仅关注其密度参数, 实测得其密度为7748 kg/m³. 薄膜材质为硅橡胶, 密度为1030 kg/m³, 杨氏模量为1.175 × 10⁵ Pa, 泊松比为0.469, 金属和硅橡胶之间使用JL-401 AB硅胶快干胶黏合.
测得样件的传输损失如图11中红线所示, 黑线为数值计算所得对照组. 由图11可知, 数值计算结果与实验结果之间仍存在一定的误差, 这是由于样件的加工条件、实验测量误差等原因所致. 具体来讲, 误差产生的原因主要有以下3点:
图 11 实验测得的传输损失曲线与数值计算结果的对比
Figure11. Comparison between experimentally measured transmission loss curve and the results obtained by the finite element method.

1)由于在样件装配时仅仅使用了直尺等简单工具, 所以对于质量单元的定位存在些许误差, 因此导致的质量单元位置偏心使得500 Hz以上频段出现了若干新隔声峰, 相关内容将在后文中详细讨论; 2)薄膜的张力控制未能十分精确, 使实验测得的隔声峰的位置发生了偏移; 3)黏合剂的使用也会对薄膜的力学参数产生影响, 但由于在数值计算中黏合部分不参与振动, 且实验中黏合部分也较为牢固, 可认为此部分影响较小.
由上文对于超材料隔声机理的分析可知, 上述原因均不会使超材料的传输损失发生质变, 故此可以认为实验是有效的. 通过对比图11中两条曲线可得, 两种方式所得传输损失曲线的走势以及隔声峰的出现位置大致吻合. 实验结果验证了数值计算的真实性.

声学超材料所具有的一个重要特征就是具有天然材料所不具有的“负参数”特性. 当受到一定频率入射波激励时, 材料发生共振, 当共振的强度大于入射波时, 材料的“负参数”性质得以显现. 负等效体积模量意味着材料的形变与所受激励相位不匹配, 负等效密度意味着材料的加速度与所受激励相位不匹配.
从文献[29]可知, 可通过材料的透射系数T和反射系数R来计算材料的等效参数, 但这种方法仅适用于研究“薄材料”, 即当入射声波波长远大于材料的厚度时, 此时材料可看作均质的. 本文所研究材料的厚度d = 110 mm, 而已知空气中声速c₀ = 343 m/s, 故当入射声波频率高于300 Hz时, 声波波长将小于1143 mm, 不满足“薄材料”的条件. 因此, 这里仅研究材料在20—300 Hz频段内的等效参数.
首先计算材料在20—300 Hz的透射系数T、反射系数R, 分别如图12(a)和图12(b)所示.
图 12 (a)透射系数; (b)反射系数
Figure12. (a) Transmission coefficient; (b) reflection coefficient.

从图12可见, 透射系数T和反射系数R与传输损失基本吻合, 当T或R出现峰值或者谷值时, 相位也会出现剧烈的变化, 这是由于材料在受到频率接近其共振频率的声波激励时, 会发生不受外部声场影响的强烈共振, 从而掩盖原有的背景声压场, 导致相位的突变.
当声波从流体介质入射薄板时, 其反射系数R与透射系数T分别为

$\left\{ \begin{aligned} & R = \frac{{Z_2^2 - Z_1^2}}{{Z_1^2 + Z_2^2 + 2{\rm{i}}{Z_1}{Z_2}\cot \phi }}, \\& T = \frac{{1 + R}}{{\cot \phi - \dfrac{{{Z_2}{\rm{i}}\sin \phi }}{{{Z_1}}}}},\end{aligned} \right.$

其中, Z₁, Z₂分别为流体介质与薄板阻抗; ?为声波穿过薄板后的相位变化. 引入$ \xi = {Z_1}/{Z_2}$. 解上述方程, 可得ξ与折射率n分别为

$\left\{ \begin{aligned} & \xi = \frac{r}{{1 - 2R + {R^2} - {T^2}}}, \\& n = \frac{{ - {\rm{i}}\log x}}{{kd}}, \\ & r = \mp \sqrt {{{\left( {{R^2} - {T^2} - 1} \right)}^2} - 4{T^2}},\\& x = \frac{{\left( {1 - {R^2} + {T^2} + r} \right)}}{{2T}} ,\end{aligned} \right.$

其中, k为波矢, d为材料的厚度. 又有阻抗的定义为$Z = \rho c$, 故

$\left\{ \begin{aligned}& \frac{{{\rho _{{\rm{eff}}}}}}{{{\rho _0}}} = n\xi, \\& \frac{{{K_{{\rm{eff}}}}}}{{{K_0}}} = \frac{\xi }{n},\end{aligned} \right.$

其中, ${\rho _{{\rm{eff}}}}$, ${\rho _0}$为超材料的等效密度与流体介质的密度; ${K_{{\rm{eff}}}}$, ${K_0}$为材料的等效体积模量与流体介质的体积模量.
通过上述方法, 可以求得${\rho _{{\rm{eff}}}}/{\rho _0}$与${K_{{\rm{eff}}}}/{K_0}$, 分别如图13(a)和图13(b)所示, 其中黑色曲线为实部, 红色曲线为虚部.
图 13 等效参数　(a)等效密度; (b)等效模量
Figure13. Effective parameters: (a) Effective mass density; (b) effective modulus.

由图13可知, 本文所设计的超材料在特定频段内出现“负参数”特性, 例如在25与67 Hz隔声峰处都表现出负等效密度, 同时等效模量也出现大幅下降, 在67 Hz处${K_{{\rm{eff}}}}/{K_0}$的值为9 × 10^–4, 趋近于0.
从能量角度分析来说, 本超材料具有吸纳声能的作用, 当达到共振频率时超材料所吸纳的声能达到最大值. 储存于薄膜附加质量单元结构的声能驱使结构发生与入射波相位相反的振动, 从而实现了负质量密度. 对于刚性底面Helmholtz腔而言, 声能将大量聚集于腔内声压剧烈变化的流体中, 使其实现负弹性模量. 但由于本文所涉及Helmholtz腔底面为薄膜材质, 当腔内声压发生变化时, 将使薄膜底面发生形变, 腔内气体所吸纳的能量减少, 所以在共振频率附近, 弹性模量仅出现大幅下降, 并未出现负的弹性模量.

从上文对于共振模态的分析中可知, 虽然超材料的反对称共振模态会被激起, 但并不会在共振频率附近出现隔声峰. 在这里采用附加偏心质量单元的方法来减少这类“无用”模态的出现, 如图14所示为超材料薄膜底面俯视图, 其中薄膜圆心为O, 偏心质量单元圆心为$O'$, 二者距离为l.
图 14 结构示意图
Figure14. Structural sketch.

计算发现当l值不同时, 超材料的传输损失曲线如图15所示.
图 15 (a)偏心质量单元与中心质量单元的传输损失曲线; (b)当 l 值不同时, 超材料的传输损失曲线
Figure15. (a) Comparison of transmission loss between eccentric mass unit and central mass unit; (b) transmission loss curves when l is different.

其中图15(a)分别为l = 0与l = 20 mm时超材料的传输损失曲线, 可知, 加入偏心质量单元设计之后, 在保留2个低频隔声峰的同时, 出现了更多的隔声峰, 为了探究其机理, 计算了偏心质量材料第1—6隔声峰的振动模式图, 见图16.
图 16 振动模式图　(a) 28.03 Hz; (b) 61.27 Hz; (c) 71.29 Hz; (d) 328.22 Hz; (e) 396.30 Hz; (f) 466.81 Hz
Figure16. Vibration mode: (a) 28.03 Hz; (b) 61.27 Hz; (c) 71.29 Hz; (d) 328.22 Hz; (e) 396.30 Hz; (f) 466.81 Hz.

从文献[30]关于薄膜声学超材料的研究可知, 质量单元的加入会对薄膜起类似于“分割”的作用, 即薄膜的不同部分表现为相对独立的振动(图16).
由图16(a)和图16(b)可知, 在低频范围内中, 质量单元仍发挥着重要的作用, 由于质量单元的存在, 超材料仍然可以保持良好的低频性能. 同时由图15(b)可得, 随着l的增长, 第1隔声峰频率升高, 其振动模式可等效为弹簧-振子系统, 随着质量单元向边界移动, 系统的等效刚度变大, 使第1隔声峰频率升高; 第2隔声峰频率降低, 此共振模态下, 质量单元将薄膜分割为质量单元附加周围薄膜与余下薄膜两部分, 随着质量单元向边界移动, 余下薄膜的面积逐渐变大, 使第2隔声峰频率降低.
相较于中心质量单元设计, 偏心质量单元设计可以将原先的一部分反对称模态转化为非反对称模态. 图17所示为中心质量单元设计时, 68.83 Hz共振频率所对应的模态, 由于其为反对称模态, 故并未出现与之相关的隔声峰, 图16(c)所示模态与之类似, 由于质量单元处于非对称位置, 抑制了反对称模态的发生, 故出现隔声峰.
图 17 中心质量单元设计时, 68.83 Hz共振频率所对应共振模态图
Figure17. Resonance modal diagram with the resonance frequency of 68.83 Hz when the mass unit is at the center.

偏心质量单元设计也激发了许多全新的振动模式, 如图16(d)—(f)所示, 这些共振模态的出现, 大大增加了超材料的隔声峰数量.
图15(b)为l = 5, 10, 15 mm时超材料的传输损失曲线. 随着l的变化, 超材料300 Hz以上隔声峰出现的位置变得杂乱无章. 由于300 Hz以上的振动表现为薄膜振动, 而l的变化使得质量单元“分割”薄膜造成的结果难以预料, 使得隔声峰出现的位置各异, 但相较于中心质量单元设计均有提升.
为验证以上说法, 通过实验手段测量了附加偏心质量单元样件的传输损失. 图18(a)为样件实物图, 图18(b)中红线与黑线分别为实验测得的偏心质量单元样件、中心质量单元样件的传输损失曲线, 其中偏心量l = 20. 由图18(b)可得, 偏心质量单元结构的确拥有更多隔声峰.
图 18 实验验证　(a)样件图; (b)传输损失曲线
Figure18. Experimental verification: (a) Sample structure; (b) transmission loss curves.

本文设计了一种薄膜底面Helmholtz腔声学超材料, 得到结论如下:
1)通过有限元法, 计算了超材料20—1200 Hz的传输损失曲线与共振模态, 发现超材料在此频段内隔声性能良好, 最高出现90.18 dB的隔声峰, 在100 Hz以下的超低频范围内出现2个40 dB以上的隔声峰, 并在实验中验证了数值计算的正确性; 综合分析超材料的传输损失曲线与共振模态, 进一步探究了超材料的隔声机理.
2)计算了超材料的透射系数与反射系数, 并通过等效参数提取法, 得到了超材料在各个频率点处的等效密度与等效模量. 发现在隔声峰处, 超材料的等效密度出现负值, 同时等效模量接近于零
3)使用等效电路法, 构建了薄膜底面Helmholtz腔声学超材料的首阶共振频率处的等效模型, 进一步揭示了本超材料的隔声机理. 通过等效模型, 可以快捷并较为准确地估算本声学超材料的首阶共振频率.
4)引入偏心质量单元, 减少了超材料的反对称共振模态, 进一步优化了超材料的隔声性能.