Fund Project:Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11874166) and the Young Scientists Fund of the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11604109).
Received Date:27 March 2019
Accepted Date:25 April 2019
Available Online:01 July 2019
Published Online:20 July 2019
Abstract:Surface plasmons in metallic nanostructures can confine the optical field within the region of subwavelength, even nanometer scale, and thus enhance the light-matter interaction and other physical processes, which will lead the plasmon optics to possess attractive applications in many areas. However, the " mode volume” often used to characterize field confinement in plasmonic structures is only defined phe-nomenologically and suffers ambiguity when applied to complex structures. In this work, we develop a theoretical method to characterize the field confinement based on quasi-normal mode analysis. We recognize the fact that a plasmonic resonance may result from many eigen-modes, which together contribute to the observed field confinement. An effective mode volume is introduced for quasi-normal modes and used to characterize the field confinement when the plasmonic resonance is dominated by a single quasi-normal mode. Two typical kinds of plasmonic structures are systematically examined, and the field confinement on the order of 10 nm3–100 nm3 is confirmed. In pursuit of the ultimate field confinement, we revisit the so-called " pico-cavity” formed by an atomistic protrusion in the nano gap of the particle-on-mirror configuration. The apparent hot spot is shown to have contributions from several quasi-normal modes. The dominant one exhibits a further squeezed mode volume compared with the scenario without the protrusion, but is still well above 10 nm3. Keywords:localization of optical fields/ surface plasmon/ quasinormal mode analysis/ body of revolution
此处m为方位角阶数, 在实际有限元计算时电磁场的ρ, z分量与?分量需使用不同的离散基函数[46,47], 这是方程(3)和(4)成功求解的关键. 为方便后文讨论, 我们首先将旋转对称体系准正则模式分析方法用于单个半径rs = 40 nm的金球(色散模型参见附录A)作为示例. 图1展示了旋转对称结构准正则模式分析的建模方法和计算结果. 如图1(a)所示, 模式求解只需考虑三维结构沿对称轴的某一剖面, 索末菲辐射边界条件由外围完美匹配层(perfectly matched layer, PML)替代. 设定不同的方位角阶数m, 可解出不同系列的模式, 与米氏散射理论解析结果(参见附录B)相对照, 可将每一系列模式根据极角指标l由低到高排列, 得到图1(b)所示图谱. 多数情况下, 我们考虑轴向偏振光照射旋转对称表面等离激元结构, 在轴上产生轴向偏振的强烈电场局域效应. 由于对称性限制, 如图1(b)所示, 只有m = 0的模式有非零的轴向电场, 因此我们只需计算m = 0的模式. 后文所有结果都只包括m = 0的模式. 指标l相同的模式本征频率简并, 本征频率分布如图1(c)所示. 从519 nm处偶极模式(l = 1)出发, 随着l增加模式分布出现聚集效应, 趋于金-空气界面表面等离激元波矢发散条件ε(ω) + 1 = 0[30]. 为验证以上数值方法的正确性, 我们进一步用准正则模式重建方法(参见2.2节)计算了距金纳米球表面10 nm处沿轴向的Purcell因子. 如图1(d)所示, 其结果与全波模拟和解析计算(参见附录B)结果完美符合. 这表明, 我们在前人工作基础上发展的旋转对称体系准正则模式计算方法是正确有效的. 图 1 半径40 nm金球的准正则模式分析 (a)旋转对称结构建模示意; (b)按指标l, m排列的归一化准正则模场分布, 中心线左右两侧分别为Er和Eθ的实部; (c)准正则模式谱分布, 蓝色叉为模式聚点; (d)用全波仿真(full wave)、解析公式(analytical)和准正则模式重建(QNM)三种方法得到的距金纳米球表面10 nm处沿轴向的Purcell因子 Figure1. 2D axisymmetric quasinormal mode (QNM) analysis for a spherical gold nanoparticle with rs = 40 nm: (a) Schematic of 2D axisymmetric modeling; (b) shows a table of normalized QNM profiles arranged according to indices l and m, where on the left and right side of the axis shows the real part of Er and Eθ, respectively; (c) spectral distribution of QNMs with an accumulation point indicated by the blue cross; (d) at a position 10 nm away from the metal surface, Purcell factor in radial direction is calculated with full wave simulation, analytical methods and QNM reconstruction.
本文考虑的二聚体结构由两个金纳米球组成, 其中大球的半径保持为40 nm, 小球的半径及其与大球的间距设定为一系列不同的参数, 计算结果总结如图2所示. 二聚体的准正则模式来自于两个纳米球的模式杂化, 模式谱构成表现出与单个纳米球(参见图1(c))相似的特征. 同样在502 nm附近, 模式分布出现聚集效应. 从聚点出发, 模式向长波移动, 并且分布越稀疏, 最后终止于BDP模式. 纳米球相互作用强度与两球间距和尺寸比例有关. 相互作用越强, 成键模式能量越低, 红移越显著. 总体而言, 两球尺寸越相近, 间距越小, 成键模式共振波长越长. 准正则模式的谱分布还体现在Purcell因子等物理量的光谱和准正则模式重构中. 与光谱共振对应单一模式的“常识”不同, 我们发现图2中二聚体结构Purcell光谱在500 nm附近的主共振峰由多个准正则模式构成. 不过, 其中BDP模式一般占有主导地位. 随着两纳米球模式耦合增强, BDP模式红移, 最终形成一个单独的峰. 此时, 二聚体结构的光学性质才完全由单一模式, 即BDP模式刻画. 以下针对BDP模式定量分析它的光场空间局域. BDP模式模场局域由等效模式体积$\tilde V\left( {{{r}}, {{u}}} \right)$表征, 单位矢量u取为沿电场方向. 由于等效模式体积还与空间位置相关, 图2中的插图展示了间隙附近等效模式体积的空间分布, 并给出了极小值. 我们发现, BDP模式的等效模式体积主要取决于球间缝隙宽度. 在此基础上, 减小小球半径有助于进一步压缩模式体积, 提高模场局域程度. 本文所考察的二聚体结构中, BDP模式的最小等效模式体积可以达到78 nm3. 这与我们对表面等离激元结构中光场局域程度的认知基本一致. 图 2 二聚体结构准正则模式及场局域分析 二聚体由ra = 40 nm和rb = 5, 20, 40 nm的两个金纳米球组成, 间隙宽度d = 1, 5, 10 nm; 图中展示了: 准正则模式谱分布; 纳米间隙中心处轴向Purcell因子的准正则模式重建(黑色实线), 红色圆圈为全波仿真结果; 纳米间隙附近BDP模式的等效模体积分布 Figure2. QNM modal analysis for dimers and the field localization of the BDP modes. The dimers consist of two spherical gold nanoparticles with ra = 40 nm and rb = 5, 20, 40 nm. The gap size d = 1, 5, 10 nm. In the figure are illustrated: the spectral distributions of the QNMs; the QNM reconstruction (black solid lines) of the Purcell factor at the gap center and in the axial direction, the full wave simulation results are indicated by red circles; the mode volume profiles of the BDP modes in the gap region.
23.2.颗粒-镜面结构 -->
3.2.颗粒-镜面结构
颗粒-镜面PoM结构可以近似看作颗粒与其镜像构成的二聚体, 此外因其结构易于实现, 在表面增强拉曼散射、腔量子电动力学等实验[5,59]中获得了广泛应用. 对此类结构进行准正则模式分析有重要的实际意义. 在我们的计算中, PoM的金颗粒为半长轴40 nm的旋转椭球, 镜面为相同材料的无穷大半空间, 椭球半短轴及与镜面的间距取不同参数. 计算结果汇总见图3. 鉴于PoM与二聚体结构的相似性, 当椭球短长轴比例较大时, PoM的模式分布与球二聚体相似. 不同之处在于: 椭球拉长的形状使得其偶极模式较之球形时共振波长发生红移, 模式耦合相互作用也更强烈, 所以当椭球短长轴比例极小、尖端曲率极大时, 总体模式分布大幅向长波移动. 如图3(g)—(i)所示, 当椭球短长轴比例为1∶8时, BDP模式移动到了1000 nm附近, 与其他模式完全分离, 甚至更高阶模式也从主共振峰中劈裂出来. 可以看出, 不同阶准正则模之间发生耦合的相互作用强度不同, 例如偶极模式比四极模式从主共振峰劈裂出去得更远; 也正是耦合强度的差异决定了杂化劈裂出来的共振峰更可能只由单一准正则模式构成, 这一点有助于我们判断表面等离激元结构中共振的模式构成. 椭球短长轴比最小时, 即使椭球离镜面较远, 椭球尖端BDP模式的模场局域也很强烈. 从等效模体积来看, 不论是缩小颗粒与镜面的间距, 还是减小颗粒的短长轴比率, 都能使BDP模式的模场局域程度大大增加. 在本文考察的参数范围内, 可以将BDP模式的最小等效模体积压缩到25 nm3. 模式局域程度与几何构型密切相关, 较小的模式体积往往出现在狭窄且局部曲率较大的位置. 这为探索表面等离激元结构中光场局域的极限指明了方向. 图 3 PoM的准正则模式及场局域分析 PoM中金颗粒为半长轴a = 40 nm的旋转椭球, 镜面为相同材料无穷大半空间, 椭球半短轴b = 5, 20, 40 nm, 与镜面间距d = 1, 5, 10 nm; 图中展示了: 准正则模式谱分布; 纳米间隙中心处轴向Purcell因子的准正则模式重建(黑色实线), 红色圆圈为全波仿真结果; 纳米间隙附近BDP模式的等效模体积分布 Figure3. QNM modal analysis for particle-on-mirror (PoM) structures and the field localization of the BDP modes. The gold particles are ellipsoids of revolution with semi-axes a = 40 nm and b = 5, 20, 40 nm. The gap formed with gold mirrors has d = 1, 5, 10 nm. In the figure are illustrated: the spectral distributions of the QNMs; the QNM reconstruction (black solid lines) of the Purcell factor at the gap center and in the axial direction, the full wave simulation results are indicated by red circles; the mode volume profiles of the BDP modes in the gap region.