许光映, 王晋宝, 薛大文^,2)浙江海洋大学港航与交通运输学院, 浙江舟山316022

INVESTIGATIONS ON THE THERMAL BEHAVIOR AND ASSOCIATED THERMAL STRESSES OF THE FRACTIONAL HEAT CONDUCTION FOR SHORT PULSE LASER HEATING ¹⁾

Xu Guangyin, Wang Jinbao, Xue Dawen^,2)School of Port and Transportation Engineering, Zhejiang Ocean University, Zhoushan 316022, Zhejiang, China

通讯作者: 2)薛大文,讲师, 研究方向: 流体力学及非常规热弹性. E-mail:xuedw@zjou.edu.cn.

收稿日期:2019-11-26接受日期:2020-02-9网络出版日期:2020-03-18

基金资助:

1)国家自然科学基金项目.11372281 浙江省自然科学基金项目.Q18E09007 舟山市科技项目.2016C41009 舟山市科技项目.2017C41002

Received:2019-11-26Accepted:2020-02-9Online:2020-03-18
作者简介 About authors


摘要
短脉冲激光加热引起材料内部复杂的传热过程及热变形,现有的以Fourier定律或Cattaneo-Vernotte松弛方程结合弹性理论为框架建立起来热应力理论在刻画其热物理过程存在严重缺陷. 本文基于分数阶微积分理论, 以半空间为研究对象, 建立了分数阶Cattaneo热传导方程和相应的热应力方程, 给出了问题的初始条件和边界条件, 采用拉普拉斯变换方法, 给出了非高斯时间分布激光热源辐射下温度场和热应力场的解析解, 研究了短脉冲激光加热的温度场及热应力场的热物理行为. 数值计算中, 首先对理论解进行数值验证, 然后取分数阶变量$p=0.5$研究温度场和热应力场的变化特点及激光参数对温度和热应力的影响,最后数值计算分数阶参数对温度和热应力场的影响. 计算结果表明, 分数阶Cattaneo传热方程和热应力方程描述的温度和热应力任然具有波动特性,与经典的Fourier传热模型和标准的Cattaneo传热模型相比, 分数阶阶次越大, 热波波速越小, 热波波动性越明显; 反之, 则热波波速越大, 热扩散性越强.激光加热和冷却的速度越快, 温度上升和下降的速度越快, 压应力和拉应力交替变化越快, 温度变化幅值越小, 热应力幅值影响不明显.
关键词： 分数阶微积分;非傅里叶导热;Cattaneo模型;热波动;热应力

Abstract
For complex heat transfer process and related thermal stress in materials subjected to short pulse laser heating, the existing thermal stress theory based on Fourier law or Cattaneo-Vernotte relaxation equation combined with elastic theory has serious defects in describing its thermophysical process.In this paper, based on the fractional calculus theory, the fractional Cattaneo type heat conduction equation and the corresponding thermal stress equation with appropriate initial and boundary conditions are established for a semi-infinite space irradiated by non-Gaussian lase. The analytical solutions of the temperature field and the thermal stress field are obtained via Laplace transform method, and the thermophysical behaviors are illustrated. Firstly, the theoretical solution is verified, then the variations of temperature field and thermal stress field are studied under the fractional order $p=0.5$, and the influence of laser parameters on temperature and thermal stress field are also researched. Finally, the effects of fractional order parameters on temperature and thermal stress field are calculated. The calculation results show that the temperature and thermal stress fields described by the fractional Cattaneo type heat transfer equation and thermal stress equation have wave diffusion the characteristics. Compared with the classical Fourier heat transfer model and the standard Cattaneo type heat transfer model, the larger the fractional order is, the smaller the thermal wave velocity is, the more significant the thermal wave dynamics is. On the contrary, the larger the thermal wave velocity is, the stronger the thermal diffusivity is. The faster the laser heating and cooling rate is, the faster the temperature rises and falls, the faster the alternating change of compressive stress and tensile stress is, the smaller the temperature change amplitude is, and the variations of thermal stress amplitude is not obvious
Keywords：fractional calculus;non-Fourier heat conduction;Cattaneo model;thermal wave;thermal stress


PDF (4481KB)元数据多维度评价相关文章导出EndNote|Ris|Bibtex收藏本文
本文引用格式
许光映, 王晋宝, 薛大文. 短脉冲激光加热分数阶导热及其热应力研究 ¹⁾. 力学学报[J], 2020, 52(2): 491-502 DOI:10.6052/0459-1879-19-331
Xu Guangyin, Wang Jinbao, Xue Dawen. INVESTIGATIONS ON THE THERMAL BEHAVIOR AND ASSOCIATED THERMAL STRESSES OF THE FRACTIONAL HEAT CONDUCTION FOR SHORT PULSE LASER HEATING ¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2020, 52(2): 491-502 DOI:10.6052/0459-1879-19-331

引言

随着激光技术的日益发展, 其应用领域从激光的材料加工到激光医学不断拓展, 最近又探索应用降低超声速波阻方面^[1],其中在激光加工材料过程中材料内部温度场的不均匀性会导致材料内部形成极大的温度梯度,从而产生很高的热应力. 因而, 准确预测并描述激光加热传导过程温度响应,对于揭示脉冲激光与材料相互作用的物理机制、促进激光技术在现代加工制造业和现代医学中的应用具有重要意义.

通常描述宏观热传导的模型是基于经典Fourier定律. 然而, 研究^[2-4]表明,Fourier热传导模型不能描述诸如脉冲激光加热之类较大热流、快速加热的情况,因为Fourier模型隐含着无限大的热传播速度, 显然这有悖于物理事实. 事实上,对于短脉冲激光, 其脉冲持续时间短, 一般在纳秒甚至飞秒量级,同时具有高强度热流功率. 在这种情况下,短激光束会产生很大的热梯度和较高的加热速率.自从Peshkov^[5]在实验中观察到了热波效应, 人们普遍认为,在极端低温和快速加热等情况下, 热波信号以有限速度传输.因此需要对Fourier模型进行修正以描述此类瞬态热传导过程. 在众多的修正模型中,最为广泛接受的是考虑时滞效应的Cattaneo-Vernotte(C-V)模型^[6-7].大量研究^[8-10]已经证明了热传播过程中具有波动特性,并表明C-V模型所描述的热行为能够反映时滞现象,相对于Fourier模型具有更快的热上升速率.

然而, 同时也有一些研究表明, 实验测得温度分布与C-V模型预测的温度分布存在偏差,C-V模型自身也存在局限性^[11-14]. 还有一些研究表明,C-V模型甚至可能引入一些不符合物理现实的现象,如局部温度低于绝对零度^[15], 违反热力学第二定律^[16]等.

实际上, 对经典Fourier定律修正的C-V模型所描述的上述热物理过程是一种超常规的极端过程^[17], 也是典型的反常扩散过程. 从宏观上看,大量粒子在反常扩散过程中的运动不符合标准的统计分布,粒子的均方位移与标准线性行为不符. 过去几十年来,数学和物理学界一致认为描述反常扩散过程有效的工具是分数阶微积分.众多研究^[18-20]指出, 分数阶微积分算子与反常扩散之间存在着内在联系.众所周知, 整数阶微分算子是局部算子, 而分数阶微分算子是非局部算子.反常扩散所具有的历史依赖与全域相关的特征恰好可以由分数阶导数来描述,这也是分数微积分描述反常扩散现象的最重要优势.

目前为止, 分数阶微积分已被成功运用在许多领域,尤其是热传导、扩散、黏弹性等方面. 在热弹性方面,Povstenko基于时间分数阶热传导方程, 提出准静态非耦合的热弹性理论,并作了系列研究^[21-24]. Youssef等^[25-27]将R-L分数阶积分算子引入广义热传导方程,建立了耦合的分数阶广义热弹性理论,并通过拉氏和傅氏积分变换研究了二维的热冲击问题以及受坡形热载荷作用的半无限大体的热弹问题.Sherief等^[28]引入Caputo型分数阶导数, 建立了耦合的分数阶广义热弹性理论.应用该理论,Shweta等^[29]借助拉氏变换和状态空间法研究了半无限大体的热弹响应问题.Sherief等^[30]借助拉氏变换及其数值反变换研究了具有可变热传导率的半无限大体的热冲击问题.此外, Ezzat等通过采用时间分数阶泰勒级数展开,建立了分数阶双相滞后(DPL)热传导方程和三相滞后(TPL)热传导方程,以此得到分数阶广义热弹性理论^[31-32].

王颖泽等^[33]基于分数阶扩散理论建立L-S, G-L, G-N的分数型热弹性理论,比较分数阶参数对热波、弹性波传播的特性.马永斌等^[34]采用Sherief的分数阶热弹性理论,研究了含球形空腔无限大体受热冲击作用的动态响应问题.借助拉氏变换及其数值反变换,得到了无限大体中无量纲温度、位移、应力等的分布规律.徐业守等^[35]基于Ezzat等^[31]提出的分数阶广义热弹性理论研究对称热冲击作用下三明治板的广义热弹动态响应.朱海陶等^[36]基于分数阶广义热弹性理论,利用Laplace变换及特征值法研究了中空柱的热弹性特征,张培等^[37]通过非局部效应和记记依赖微分修正建立广义热弹性理论,研究两端固定、受移动热源作用的有限长热弹杆的动态响应.运用Laplace变换对控制方程进行求解.

虽然对分数阶热弹性问题已有众多研究, 但对于脉冲激光辐照热力效应的研究较少,尤其对于实际制造加工工业过程中的非Gauss型激光辐照. 因此,本文利用分数阶Taylor展开, 以时间分布非Gauss型激光源作为内热源,建立分数阶Cattaneo热传导方程, 结合动力学方程,研究短脉冲激光辐照下热传导过程和相关的热应力,探讨分数阶阶次和延迟时间及激光源参数对温度场及应力场的影响规律,揭示激光加热反常扩散机制.

1 数学模型

1.1 分数阶Cattaneo热传导模型

考虑短脉冲激光辐照在金属材料的情况,当短脉冲加热时间短到与材料热化时间相当时, 在表面薄层吸收区域,材料对光子吸收过程和能量在微观粒子之间的传递过程时间必须考虑,其间热流的传递过程和温度梯度之间会表现出不同步的滞后效应,通常描述其过程是C-V模型^[38]

(1)$ \begin{eqnarray} \label{eq1} q\left( {r,t} \right)+\tau \frac{\partial q}{\partial t}=-k\nabla T \end{eqnarray}$
式中, $q$是热流, 单位W/m$^{2}$; $\tau$是延迟时间, 单位s; $T$是温度, 单位${^\circ}$C.

方程(1)可以看成是方程(2)的一阶近似

(2)$ \begin{eqnarray} \label{eq2} q\left( {r,t+\tau } \right)=-k\nabla T \end{eqnarray}$
采用分数阶Taylor级数展开, 可得到分数阶Cattaneo模型^[39]

(3)$ \begin{eqnarray} \label{eq3} q\left( {r,t} \right)+\frac{\tau ^p}{\varGamma \left( {p+1} \right)}\frac{\partial q}{\partial t}=-k\nabla T \end{eqnarray}$
式中, $p$是分数阶阶次, $0<p<1$, ${\partial ^p} / {\partial t^p}$是 Caputo 型分数阶微分. 当$p=1$时, 方程(3)退回方程(1), 为标准C-V方程, 而当$\tau=0$时, 方程(3)退回Fourier定律.

结合能量方程为

(4)$ \begin{eqnarray} \label{eq4} \rho c_{\rm P} \frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla \cdot q+Q+T_0 \frac{E\alpha _{\rm T} }{1-2\nu }\frac{\partial \varepsilon _{\rm V} }{\partial t} \end{eqnarray}$
式中, $\rho $是材料密度, 单位kg/$m^3$; $C_{\rm P}$是比热容, 单位J/(kg$\cdot$K); $Q$是体积内热源, 单位W/m$^{3}$; $\alpha _{\rm T}$是热膨胀系数, 单位$1 / K$; $\varepsilon _{\rm V} $是材料的体积膨胀率, 单位1; $E$是弹性模量, 单位Pa; $\nu$是泊松比, 单位1.

将方程(3)代入式(4), 得到一般形式的分数阶热传导方程

(5a) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}T}{\partial t^{p+1}}=\frac{1}{\rho c_{\rm p} }Q(x,t)+\frac{\tau^p}{\varGamma(p+1)}\frac{\partial^pQ}{\partial t^p} + \\&&\qquad a\nabla ^2T+ \frac{T_0 }{\rho c_{\rm P} }\frac{E\alpha _{\rm T} }{1-2\nu }\left[\frac{\partial \varepsilon _{\rm V} }{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}\varepsilon _{\rm V} }{\partial t^{p+1}}\right] \end{eqnarray} $
式中, $a=k/\left(\rho c_{\rm P}\right)$是热导率, 单位m$^{2}$/s. 显然, 当$\tau =0$时, 方程(5)退化为Fourier经典导热方程, 当$\tau \ne 0$, $p=1$时, 方程(5)退化为标准C-V热波方程.

激光与金属材料作用过程复杂, 一般认为, 激光照射到金属表面后, 除了仅约百分之几的能量被表面反射回来, 剩下的大部分能量进入材料内部. 在内部传播过程中, 不断发生散射和吸收, 而被吸收的能量转变为热能, 用于材料的加热. 因此, 激光照射金属材料时所生成的热可认为是一个容积吸收过程. 由于加热时间短, 在垂直于表面方向形成的温度梯度比平行于表面方向的大好几个数量级,因此加热模型简化为如图1所示一维问题^[40], $\varepsilon _{\rm V} ={\partial u_x }/({\partial x})$, $u_x$是$x$方向位移, 方程(5a)成为

(5b) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}T}{\partial t^{p+1}}=a\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}+ \\&&\qquad\frac{1}{\rho c_{\rm p} }\left[ {1+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^p}{\partial t^p}} \right]Q+ \\&&\qquad \frac{T_0 }{\rho c_{\rm P} }\frac{E\alpha _{\rm T} }{1-2\nu }\left[\frac{\partial ^2u_x }{\partial t\partial x}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}u_x }{\partial t^p\partial x}\right] \end{eqnarray} $
考虑材料对激光反射和吸收的Lambert-Beer定律, 则体积内热源的生成热为

(6)$ \begin{eqnarray} \label{eq6} Q\left( {x,t} \right)=\left( {1-r_{\rm f} } \right)\delta {\rm e}^{-\delta x}I\left( t\right) \end{eqnarray}$
式中, $r_{\rm f}$和$\delta $分别是材料的反射系数和吸收系数. $I\left( t \right)$为热源功率强度, 本文选择时间分布非Gauss型脉冲激光作为热源, 强度为

(7)$ \begin{eqnarray} \label{eq7} I\left( t \right)=I_0 f\left( t \right) \end{eqnarray}$
式中, $I_0$是激光峰值功率强度, 单位J/m$^{2}$, $f\left( t \right)={\rm e}^{-\beta t}-{\rm e}^{-\mu t}$, $\beta $为激光脉冲上升时间参数, 单位1/s; $\mu$为激光脉冲下降时间参数, 单位1/s. 可知, 时间分布函数$f(t)$取决于$\beta$和$\mu$的不同组合, 在本文中, $\beta$和$\mu$的参数取值于参考文献^[33,34]. 其函数分布如图2所示, 从中可以看出, 由于$\beta/\mu$为定值, 激光峰值强度在量级上相当, 但是随着$\beta$和$\mu$的减小, 激光强度达到峰值所需的时间增加. 显然, 该热源强度分布比阶跃函数及三角函数更符合实际情况.

图1

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图1受短脉冲激光加热的半无限体

Fig. 1A semi-infinite body subjected to short pulse laser heating

图2

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图2激光热源功率强度时间分布函数$f(t)$

Fig. 2Temporal distribution of the laser power



将方程(6)和(7)代入方程(5b), 可得一维分数阶Cattaneo导热方程

(8)$ \begin{eqnarray} \label{eq9} && \frac{1}{a}\left[ {\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}T}{\partial t^{p+1}}} \right]= \\&&\qquad\frac{I_1 \delta e^{-\delta x}}{k}\left[f+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^pf}{\partial t^p}\right]+ \\&&\qquad \frac{T_0 }{k}\frac{E\alpha _{\rm T} }{1-2\nu }\left[\frac{\partial ^2u_x }{\partial t\partial x}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+2}u_x }{\partial t^{p+1}\partial x}\right]+\frac{\partial ^2T}{\partial x^2} \end{eqnarray}$
式中$I_1=(1-r_{\rm f})I_0$.

假设材料初始时刻处于准静态热平衡且各处温度均匀, 相应的初始条件为

(9)$ T = T_0, \ \ \frac{\partial T}{\partial t}=0,\ \ x>0,\ \ t=0 $
热波效应一般发生在表面很薄的一层, 所以问题简化为半空间处理. 在忽略表面与外界换热情况下, 相应的边界条件为

(10)$ \begin{eqnarray} \frac{\partial T}{\partial x}=0, \ \ x=0,\ \ t>0 \end{eqnarray}$
(11)$ \begin{eqnarray} T=T_0,\ \ x\to \infty,\ \ t>0 \end{eqnarray}$

1.2 热应力模型

考虑表面自由的半空间材料其位移具有下列特征

(12)$ \begin{eqnarray} u_x=u(x,t),\ \ u_y=u_z=0 \end{eqnarray}$
因此材料几何方程为

(13)$ \begin{eqnarray} \varepsilon_{xx}=\partial u/\partial x,\ \ \varepsilon_{yy}=\varepsilon_{zz}=\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{xz}=\varepsilon_{zy}=0 \end{eqnarray}$
由热应力本构关系可得

(14)$ \begin{eqnarray}\sigma_{xx}=(\lambda+2\kappa)\partial u/\partial x-(3\lambda+2\kappa)\alpha_{\rm T}(t-T_0) \end{eqnarray}$
(15)$ \begin{eqnarray} \sigma_{yy}=\lambda \partial u/\partial x-(3\lambda+2\kappa)\alpha_{\rm T}(t-T_0) \end{eqnarray}$
式中$\lambda=E\nu/[(1+\nu)(1-2\nu)]$是拉梅系数, $\kappa=E/[2(1+\nu)]$是剪切模量.

考虑弹性材料动力学方程

(16)$ \begin{eqnarray} \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}=\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \end{eqnarray}$
将式(14)对$x$求导后方程代入式(16)对$x$求导后方程中, 消除变量$u$, 可得

(17)$ \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \sigma_{xx}}{\partial x^2}-\frac{1}{V^2_{\rm e}}\frac{\partial^2 \sigma_{xx}}{\partial t^2}=\frac{1+\nu}{1-\nu}\rho\alpha_{\rm T}\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} \end{eqnarray}$
式中$V_{\rm e} =\sqrt {{\left( {\bar{\lambda} +2\kappa } \right)}/ \rho } $为膨胀波速.

相应的初始条件和边界条件分别为

(18)$ \begin{eqnarray} \sigma_{xx}=0,\ \ \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial t}=0,\ \ t=0,\ \ x>0 \end{eqnarray}$
(19)$ \begin{eqnarray} \sigma_{xx}=0,\ \ x=0,\ \ t>0 \end{eqnarray}$
(20)$ \begin{eqnarray} \sigma_{xx}=0,\ \ x\to \infty,\ \ t>0 \end{eqnarray}$

2 方程解析解

为了便于讨论, 引入以下无量纲量对上述方程无量纲化

\begin{eqnarray*} &&T^\ast ={k\delta \left( {T-T_0 } \right)} / {I_1 }, \ \ t^\ast =a\delta ^2t,\ \ x^*=\delta x\\ &&u^\ast =\frac{1-\nu }{1+\nu }\frac{k\delta ^2}{\alpha _{\rm T} I_1 }u_x ,\ \ \sigma _{xx} ^\ast =\frac{1-\nu }{1+\nu }\frac{k\sigma _{xx} }{a^2\delta \rho \alpha _{\rm T} I_1 }\\ &&\tau^*=\alpha\delta^2\tau,\ \ (\beta,\mu)^*=(\beta,\mu)/\alpha\delta^2 \end{eqnarray*}

2.1 温度场解析解

方程(8)$\sim$(11)经无量纲化后得到如下无量纲方程(方便起见, 忽略星号)

(21)$ \begin{eqnarray} \label{eq21} && \frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}T}{\partial t^{p+1}}=\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}+ \\&&\qquad {\rm e}^{-x}\left[f+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^pf}{\partial t^p}\right]+ \\&&\qquad \eta \left[\frac{\partial ^2u_x }{\partial t\partial x}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+2}u_x }{\partial t^{p+1}\partial x}\right] \end{eqnarray}$
式中, $\eta =({1+\nu })/({1-\nu })({T_0 E\alpha _{\rm T} ^2})/[{\rho c_{\rm P} \left({1-2\nu } \right)}]$, 为描述体积变形率与温度分布之间耦合作用的特征常数, 对于常规材料其数量级为$10^{-3}$或更小^[41], 为此在后面的分析中令 $\eta =0$. 因此方程(21)变为

(22)$ \begin{eqnarray} \label{eq22} &&\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^{p+1}T}{\partial t^{p+1}}=\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}+ \\&&\qquad {\rm e}^{-x}\left[f+\frac{\tau ^p}{\varGamma (p+1)}\frac{\partial ^pf}{\partial t^p}\right] \end{eqnarray}$
初始和边界条件的无量纲化为

(23)$ \begin{eqnarray} T=0,\ \ \frac{\partial T}{\partial t}=0,\ \ x>0,\ \ t=0 \end{eqnarray}$
(24)$ \begin{eqnarray} \frac{\partial T}{\partial x}=0,\ \ x=0, \ \ t>0\\ \end{eqnarray}$
(25)$ \begin{eqnarray} T=0,\ \ x\to \infty,\ \ t>0 \end{eqnarray}$
对上述方程进行Laplace变换可得

(26)$ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}^2\overline T }{{\rm d}x^2}-[1+\tau ^ps^p/\varGamma (1+p)]s\overline T = \\&&\qquad -{\rm e}^{-x}[1+\tau ^ps^p/\varGamma (1+p)]F(s) \end{eqnarray}$
(27)$ \begin{eqnarray} {{\rm d}\overline T} / {{\rm d}x}=0, \ \ x=0 \end{eqnarray}$
(28)$ \begin{eqnarray} \overline T=0,\ \ x\to \infty \end{eqnarray}$
式中$\overline T =\int_0^\infty {{\rm e}^{-st}T\left( {x,t} \right){\rm d}t}$, $F\left( s \right)={1}/({s+\beta})-{1}/({s+\mu })$.

结合边界条件(27)和(28), 方程(26)的解为

(29)$ \begin{eqnarray} \overline T(x,s)=\overline \phi(x, s)F(s) \end{eqnarray}$
式中

(30)$ \begin{eqnarray} \overline \phi(x,s)=\phi_1(s)[\exp(-x)-\phi_2(x,s)] \end{eqnarray}$
(31)$ \begin{eqnarray} \overline \phi_1 (s)=\frac{1+\tau^p s^p/\varGamma(1+p)}{s[1+\tau^p s^p/\varGamma(1+p)]-1} \end{eqnarray}$
(32)$ \begin{eqnarray} \overline \phi_2(x,s)=\frac{\exp\left\{-x\sqrt{s[1+\tau^p s^p/\varGamma(1+p)]}\right\}}{\sqrt{s[1+\tau^p s^p/\varGamma(1+p)]}} \end{eqnarray}$
方程(29)的解析解为

(33)$ \begin{eqnarray} T(x,s)=\int_0^t\phi(x,\xi)f(t-\xi){\rm d}\xi \end{eqnarray}$
其中

(34)$ \begin{eqnarray} \phi(x,t)=\phi_1(t)\exp(-x)-\int_0^t\phi_1(\xi)\phi_2(x,t-\xi){\rm d}\xi \end{eqnarray}$
(35)$ \begin{eqnarray} &&\phi _1 (t)=\sum\limits_{n=0}^\infty {\frac{1}{n!}} \left[ \tau ^{-np}\varGamma ^n\left( {1+p} \right)E_{p,n+1}^{\left( n \right)} \left( {-\tau ^{-p}\varGamma \left( {1+p} \right)t^p} \right)+ \right. \\&&\left.\qquad \sum\limits_{n=0}^\infty \tau ^{-\left( {n+1} \right)p}\varGamma ^{n+1}\left( {1+p} \right)t^{n\left( {1+p} \right)+p}\cdot\right. \\&&\left.\qquad E_{p,n+p+1}^{\left( n \right)} \left( {-\tau ^{-p}\varGamma \left( {1+p} \right)t^p} \right)\right] \end{eqnarray}$
(36)$ \begin{eqnarray} && \phi _2 \left( {x,t} \right)=\frac{1}{\sqrt {\pi t} }\sum\limits_{n=1}^\infty {\varGamma ^{n+1 / 2}\left( {1+p} \right)} \frac{\left( {-1} \right)^p}{n!}\left( {\frac{t}{\tau }} \right)^{p\left( {n+\frac{1}{2}} \right)}\cdot \\&&\qquad H_{0,2}^{2,0} \left[ {\frac{x^p\tau ^p}{4t^{p+1}}\bigg|_{\left( {0,1} \right),\left( {n+\frac{1}{2},1} \right)} } \right] \end{eqnarray}$
其中方程(36)参考了文献^[42]给出的Laplace逆变换. $E_{\alpha ,\beta}(z)$是双参数Mittag-Leffler函数.其Laplace变换及其分数阶导数在附录A给出.

2.2 应力场解析解

同理, 对方程(17)$\sim$(20)进行无量纲化, 得到如下无量纲方程

(37)$ \begin{eqnarray} \frac{\partial^2\sigma_{xx}}{\partial x^2}-\varLambda^2\frac{\partial^2\sigma_{xx}}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} \end{eqnarray}$
(38)$ \begin{eqnarray} \sigma_{xx}=0,\ \ \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial t}=0,\ \ x>0,\ \ t=0 \end{eqnarray}$
(39)$ \begin{eqnarray} \sigma_{xx}=0,\ \ x=0,\ \ x\to\infty,\ \ t>0 \end{eqnarray}$
其中, $\varLambda ={a\delta } / {V_{\rm e} }$.

对方程(37)$\sim$(39)采用Laplace变换, 可得

(40)$ \begin{eqnarray} && \frac{{\rm d}^2\overline{\sigma}_{xx}}{{\rm d} x^2}-\varLambda^2s^2\overline{\sigma}_{xx}=s^2\overline{T} \end{eqnarray}$
(41)$ \begin{eqnarray} \overline{\sigma}_{xx}=0,\ \ x=0,\ \ x\to\infty \end{eqnarray}$
式中 $\overline{\sigma}_{xx}=\int_0^\infty\exp(-st)\sigma_{xx}(x,t){\rm d}t$.

方程(41) 在边界条件(41)时的拉普拉斯变换形式的解为

(42)$ \begin{eqnarray} \overline \sigma _{xx} =\overline \varSigma _{xx} F\left( s \right) \end{eqnarray}$
其中

(43)$ \begin{eqnarray} \label{eq43} &&\overline \varSigma _{xx} =\overline \phi _1 \left( s \right)\left[ {\overline A _1 {\rm e}^{-\varLambda xs}+\overline A _2 {\rm e}^{-x}+\overline A _3 \overline \phi _2 \left( {x,s} \right)} \right] \end{eqnarray}$
(44)$ \begin{eqnarray} &&\overline A _1 \left( s \right)=\frac{s^2}{\varLambda ^2s^2-1}+ \frac{s}{\left[ {1+{\tau ^ps^p} / {\varGamma \left( {1+p} \right)}} \right]-\varLambda ^2s^2}\cdot \\&&\qquad\frac{1}{\sqrt {s\left[ {1+{\tau ^ps^p} / {\varGamma \left( {1+p} \right)}} \right]} } \end{eqnarray}$
(45)$ \overline A _2 =-\frac{s^2}{\varLambda ^2s^2-1}\overline A _3=-\frac{s}{1+{\tau ^ps^p} / {\varGamma \left( {1+p} \right)-}\varLambda ^2s^2}$
方程(43)的拉普拉斯逆变换形式为

(46)$ \begin{eqnarray} \varSigma _{xx} =\varSigma _{xx1} \left( {x,t} \right)+\varSigma _{xx2} \left( {x,t} \right)+\varSigma _{xx3} \left( {x,t} \right) \end{eqnarray}$
其中

(47)$ \begin{eqnarray} &&\sum _{xx1} =\frac{1}{\varLambda }\int_0^{t-\varLambda x} {\phi _1 } \left( \xi \right)\sinh \left( {\frac{t-\xi }{\varLambda }} \right){\rm d}\xi + \\&&\qquad \frac{1}{\varLambda ^2}\left[ {\phi _1 \left( {t-\varLambda x} \right)}\right]-\int_0^{t-\varLambda x} {\phi _1 } \left( \xi \right)\phi _2\left( \xi \right){\rm d}\xi \end{eqnarray}$
(48)$ \begin{eqnarray} \sum _{xx2} =-\frac{{\rm e}^{-x}}{{\rm A}^2}\left[ {\phi _1 \left( t \right)+\frac{1}{{A}}\int_0^t {\phi _1 \left( \xi \right)\sinh \left( {\frac{t-\xi }{{A}}} \right){\rm d}\xi } } \right]\end{eqnarray}$
(49)$ \begin{eqnarray} &&\sum _{xx3} =-\frac{1}{\varLambda ^2}\Bigg\{ \int_0^t \Bigg[\phi _1 \left( {t-\xi } \right)\phi _2 \left( {x,\xi } \right){\rm d}\xi + \\&&\qquad \frac{1}{\varLambda ^2}\int_0^t \phi _3 \left( {t-\xi } \right)\phi _2 \left( {x,\xi } \right)\Bigg]{\rm d}\xi \Bigg\}\end{eqnarray}$
(50)$ \begin{eqnarray} \phi _3 \left( t \right)=\int_0^t {\phi _4 \left( {t-\tau } \right)\phi _1 \left( \tau \right){\rm d}\tau }\end{eqnarray}$
(51)$ \begin{eqnarray}&& \phi _4 \left( t \right)=\frac{\varLambda ^{-2m}\tau ^{pm}}{m!}t^{m-pm}\bigg[ \tau ^pt^{-p}E_{1,1-p\left( {m+1} \right)}^{\left( m \right)} \left( {\varLambda ^{-2}t} \right)+ \\&&\qquad E_{1,1-pm}^{\left( m \right)} \left( {\varLambda ^{-2}t} \right)\bigg]\end{eqnarray}$
(52)$ \begin{eqnarray} &&\phi _5 \left( t \right)=\sum\limits_{n=0}^\infty {\left( {\begin{array}{c} {-1} / 2 \\ n \\ \end{array}} \right)} \tau ^{-p\left( {n+1 / 2} \right)}\cdot \\&&\qquad \frac{\varGamma ^{\left( {n+1 / 2} \right)}\left( {1+p} \right)}{\varGamma \left[ {p\left( {n+1 / 2} \right)+1 / 2} \right]}t^{p\left( {n+1 / 2} \right)-1 / 2}\end{eqnarray}$
(53)$ \begin{eqnarray} \phi _6 \left( t \right)=\int_0^t {\phi _4 \left( {t-\tau } \right)\phi _5 \left( \tau \right){\rm d}\tau } \end{eqnarray}$
运用拉普拉斯变换的性质,方程(42) 的逆拉普拉斯变换为

(54)$ \begin{eqnarray} \label{eq54} \sigma _{xx} =\int_0^t {\varSigma _{xx} \left( {x,\xi } \right)f\left( {t-\xi } \right){\rm d}\xi } \end{eqnarray}$
其中部分用到的拉普拉斯逆变换在附录A给出.

3 结果和讨论

为了研究分数阶阶次和激光参数对温度场和热应力的影响, 选用金属铜作为研究算例, 其物性参数$\delta=6.16\times 10^{6}$ m$^{-1}$, $a= 1.12\times 10^{-4}$ m$^{2}$/s, $C_{p}=385$ J/(kg$\cdot $K), $\rho=8930$ kg/m$^{-3}$, $k=385$ W/(m$\cdot$K), $\tau=1.0\times 10^{-11}$ s, $\lambda=7.76\times 10^{11}$ Pa, $\mu=3.86\times 10^{11}$ Pa. 对应与计算相关的无量纲参数$\tau=4.25$, $\varLambda=1.66$, $V_{\rm e}=4163$ m/s.

3.1 解的数值验证

式(33)是任意分数阶温度的级数近似解,文献^[44]给出$p=1$时的精确解,但激光源不同, 为检验解的正确性, 在采用本文激光源情况下, 图3给出了表面温度变化的对比, 由图3可知两者是吻合的, 由此可知温度场解(33)是正确的．

图3

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图3级数解与精确解温度变化对比

Fig. 3Comparison of the series solution and exact solution

3.2 无量纲温度及热应力场随时间、空间分布

图4显示了$p=0.5$, $\beta =1$和$\mu=5$时不同位置处无量纲温度和热应力随时间的变化情况. 从图4(a)可以看出, 不同位置的温升和降温速率不同.$x=0$和$x=2$时的温度响应明显快于$x=4$和$x=6$时的温度响应, 距离表面越远, 温度响应越慢, 说明热波以有限的速度传播. 此外, 由于脉冲激光强度的衰减, 温度的峰值从$x=0$到$x=6$逐渐降低. 图4(b)为相应的热应力场. 从中可以看出, 当材料表面($x=0$)经过加热和冷却阶段时, 材料内部受到压缩和拉伸. 随着热波信号的传递, 不同位置的应力呈现相似的分布. 由于压缩作用, 热应力首先呈现负值, 随后由于拉伸作用, 热应力呈现正值, 不同位置的热应力绝对峰值出现在加热阶段.

随着热应力波的传播, 不同部位的峰值出现在不同的时间.

图4

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图4$p=0.5$, $\beta =1$和$\mu =5$时无量纲温度及热应力变化

Fig. 4The dimensionless temperature and thermal stress variations at different positions ($p=0.5$, $\beta =1$, $\mu =5$)



图5显示了$p=0.5$, $\beta =1$和$\mu =5$时不同时刻无量纲温度及热应力的空间分布. 在图5(a)中, 随着激光脉冲经历上升时间和下降时间,材料表面的加热速率随时间变化, 材料表面($x=0$)历经前期加热后期冷却过程, 因而温度出现先上升后下降的变化趋势,图中$t=4$时的材料表面温度低于$t=2$时的温度, 而$t=6$时的则更低. 然而, 虽然表面温度下降了, 但是对于材料内部($x>2)$, $t=4$及$t=6$时刻其温度却高于表面温度, 表明此时材料内部仍处于加热状态. 这种非同步的加热和冷却状态恰恰符合非平衡热传导物理机制的有限热波理论. 图5(b)给出了不同时刻热应力分布. 图中可以看出, 热应力值有正有负,表明材料一部分处于压缩变形状态, 而另一部分处于拉伸状态. 如上所述, 加热阶段中, 材料由于受热膨胀导致受到压应力, 与之相反, 冷却过程材料受到拉应力. 随激光脉冲完成, 应力峰值随时间变化有所增大.

图5

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图5不同时刻温度及热应力分布

Fig. 5The dimensionless temperature and associated stress distribution at different times

3.3 激光参数对温度场及应力场的影响

图6显示了不同激光参数作用下, 不同时刻金属材料的温度分布. 如1.1节所述, $\beta$和$\mu $代表激光脉冲上升和下降时间, 随着$\beta $和$\mu$的减小, 激光强度达到峰值所需的时间增加. 从图5(a)可以发现, 在$t=0.5$之前, $\beta$和$\mu $值越大, 温度越高. 这是因为在$t=0.5$之前,所有工况下激光脉冲都处于上升阶段(见图2), $\beta $和$\mu $值越大, 表明激光辐照能量释放越快, 显然材料所受加热速率越快, 温度越高.同时从图中可知, 温度分布曲线斜率表示当地温度梯度, 斜率越大, 梯度越大.形成$\beta =1$, $\mu =5$工况温度最高、斜率最大, 而$\beta =0.125$, $\mu=0.625$工况温度最低, 斜率最小的分布情形. 而对比图6(a)和图6(b), 当$t=1.5$时,虽然各工况下温度较$t=0.5$时刻均有所升高, 但$\beta =1$, $\mu=5$工况下温度明显低于$\beta =0.5$, $\mu =2.5$和$\beta =0.25$, $\mu =1.25$工况.表明$\beta =1$, $\mu =5$工况下激光加热速率最先减慢, 这与图2中$\beta =1$, $\mu=5$工况最先出现脉冲下降阶段吻合. 在$\beta =1$, $\mu =5$工况处于脉冲下降阶段时,其余工况仍处于脉冲上升阶段, 从而导致材料表面温升速度快于前者形成图中所示温度分布情形. 而随着时间推移,各工况激光相继经历脉冲下降阶段, 加热速率先后减慢, 形成不同时刻, 不同工况下的材料表面温度相继领先的分布情形(图6(c) $\sim\!$图6(f)).通过上述分析也就不难理解图6(a)和图6(f)中不同工况下温度分布和温度曲线斜率呈现相反趋势,这与激光脉冲的时间分布特征密切相关.

图6

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图6不同激光参数下不同时刻材料温度分布图

Fig. 6The dimensionless temperature distribution for different laser pulse parameters



对应于图6中的温度分布, 图7是不同激光参数工况下热应力分布图. 在图7(a)中,在激光脉冲加热开始时, 材料受热区由于膨胀导致受到周围材料挤压作用,因而图中热应力值均为负值, 且激光脉冲上升和下降时间越大, 热应力幅值越大.随$\beta =1$, $\mu =5$工况下激光脉冲经历下降阶段, 温升速率减慢, 温度梯度减小,相应热应力幅值减小, 因而在图7(b)中呈现$\beta =1$, $\mu =5$工况热应力幅值小于$\beta =0.5$, $\mu =2.5$, $\beta =0.25$, $\mu =1.25$工况.图7(c)中$\beta =1$, $\mu =5$工况下出现正热应力值, 表明此时靠近材料表面的区域处于收缩阶段, 这与图7(c)中该工况下温度降低相符. 随着时间的推移, 其他工况相继进入脉冲下降阶段, 加热速率逐渐减慢, 先后经历冷却阶段, 形成正负热应力共同存在的情形,表明拉应力和压应力共同出现, 材料部分受拉、部分受压. 同样,这种非同步冷、热状态证实了非平衡热传导的有限热波理论.

图7

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图7不同激光参数下不同时刻材料热应力分布图

Fig. 7The dimensionless thermal stress variations for different laser parameters

3.4 分数阶阶次对温度场及应力场的影响

图8显示了$x=0$和$x=3$位置不同分数阶阶次$p$对无量纲温度变化的影响. 众所周知,局部温度与局部能量积累有关, 热传递速度越慢, 能量传递也越慢,因而在当地位置积累的能量越多, 温度就越高.由于Fourier模型暗含着无限的热传播速度, 因而Fourier模型中,材料表面受热($x=0$)的升温速率及幅值是最小的,因为其能量以极快的速度传播至材料内部.标准C-V模型($p=1$)表明热信号以有限速度的热波形式传播,因而标准C-V模型($p=1$)预测的材料表面温度和升温速率均高于Fourier模型.至于分数阶模型, 其介于Fourier模型和标准C-V模型之间,呈现在温度梯度延迟时间小于热流延迟时间时DPL模型特征^[43].随着分数阶阶次$p$的增大, 材料表面温度和升温速率增大,表明热波速度随分数阶阶次增大而减小.

图8

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图8不同分数阶阶次下$x=0$和$x=3$处温度分布

Fig. 8The temperature variations with different fractional order $p$ at $x=0$ and $x=3$



在材料内部($x=3$), 不同模型的温度响应速度与图6(a)确相反,Fourier模型预测的内部温度响应最快, 而标准C-V模型($p=1$)温度响应最慢.这仍然体现了不同的热波传播速度. 如上所述, Fourier模型意味着无限的热传播速度,因此Fourier模型中, 热信号首先传递到$x=3$的位置, 从而产生最快的局部温度响应.相反, 标准C-V模型中, 热波速度最慢, 因此体现了最慢的局部温度响应.而分数阶模型预测结果介于标准C-V模型和Fourier模型之间.

图9是$x=1$和$x=3$位置不同分数阶阶次$p$对热应力变化的影响. 注意到材料的左表面都是自由边界(方程19), 其应力为0.因而这里讨论$x=1$ (而不是$x=0$)和$x=3$时的热应力变化. 如上所述,热波的到达导致局部温度升高, 使当地产生局部压应力, 而温度降低则导致局部拉应力. 如图9(a)所示, 不同模型的热应力变化相似.但热应力峰值随分数阶次的增大而增大, 标准C-V模型预测的热应力幅值最大,这与图8(a)呈现的温度分布趋势一致. 图9(b)中热应力分布与图9(a)相似.但图9(b)中不同模型的热应力峰值出现的时间有所差别,表明不同的模型体现不同的热波速度.

图9

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图9不同分数阶阶次$x=1$和$x=3$处热应力分布

Fig. 9The effects of the fractional order p on the thermal stress at $x=1$ and $x=3$

图9

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图9不同分数阶阶次$x=1$和$x=3$处热应力分布(续)

Fig. 9The effects of the fractional order p on the thermal stress at $x=1$ and $x=3$ (continued)

4 结论

本文通过建立分数阶Cattaneo热传导方程和相应的热应力方程, 研究了短脉冲激光加热的热行为及热应力,揭示了短脉冲激光加热的传热机理及激光脉冲参数和分数阶阶次对温度和热应力的影响. 具体结论如下:

该模型预测的传热过程反映了热扩散与热波特征之间的热行为,分数阶单相传热模型展现DPL模型的传热特征, 不但体现时间的非局部性质,也含有材料内部传热载体相互作用, 更符合物理现实.

激光脉冲参数$\beta$和$\mu$对温度和热应力分布有显著影响. 随着脉冲上升和下降时间的变少,激光辐照能量释放越慢.温度峰值、温度梯度和热应力幅值与激光脉冲的时间分布特征密切相关.

材料瞬态热行为同时也取决于分数阶阶次. 较大的分数阶阶次对应于较慢的热波速度,此时热波动机制占主导地位. 分数阶阶次较小时, 热扩散占主导.材料局部温度随分数阶阶次增加而升高. 随温度的升高和降低,材料呈现压缩和拉升应力, 应力幅值随分数阶数的增加而增大.

附录A

$ \begin{eqnarray} && L^{-1}\left[ {\frac{k!s^{\alpha -\beta }}{\left( {s^\alpha \mp a} \right)^{k+1}}} \right]=t^{\alpha k+\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\left( k \right)} \left( {\pm at^\alpha } \right)\\ && E_{\alpha ,\beta }^{\left( n \right)} \left( z \right)\equiv \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}E_{\alpha ,\beta } \left( z \right)=\sum\limits_{j=0}^\infty {\frac{\left( {j+n} \right)!z^j}{j!\varGamma \left( {\alpha j+\alpha n+\beta } \right)}}\\ && L^{-1}\left\{ {\frac{1}{\sqrt {s\left[ {1+{\tau ^ps^p} / {\varGamma \left( {1+p} \right)}} \right]} }} \right\}= \\&&\qquad \sum\limits_{n=0}^\infty {\left( {\begin{array}{c} -1 / 2 n \\ \end{array}} \right)} \tau ^{-p\left( {n+\frac{1}{2}} \right)}\frac{\varGamma ^{\left( {n+\frac{1}{2}} \right)}\left( {1+p} \right)}{\varGamma \left[ {p\left( {n+1 / 2} \right)+1 / 2} \right]}t^{p\left( {n+1 / 2} \right)-1 / 2}\\ &&L^{-1}\left\{ {\frac{1}{\varLambda^2-\left[ {1+{\tau ^ps^p} / {\varGamma \left( {1+p} \right)}} \right]}} \right\}= \\&&\qquad \sum\limits_{n=0}^\infty {\frac{1}{\varLambda ^{2\left( {n+1} \right)}}} \frac{t^n}{n!}E_{1-p,np+1}^{\left( n \right)} \left[ {\frac{\tau ^p}{\varGamma \left( {1+p} \right)\varLambda ^2}t^{1-p}} \right] \end{eqnarray} $

参考文献 View Option 原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

[1] 王殿恺, 文明, 王伟东 等. 脉冲激光与正激波相互作用过程和减阻机理的实验研究
力学学报, 2018,50(6):1337-1345
[本文引用: 1]

( Wang Diankai, Wen Ming, Wang Weidong , et al. Experimental study on process and mechanics of wave drag reduction during pulsed laser interaction with normal shock
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechani, 2018,50(6):1337-1345 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[2] Tang DW, Araki N . Analytical solution of non-fourier temperature response in a finite medium under laser-pulse heating
Heat and Mass Transfer, 1996,31(5):359-363
[本文引用: 1]

[3] Joseph DD, Preziosi L . Heat waves
Reviews of Modern Physics, 1989,61(1):41-73


[4] Wang X, Xu X . Thermoelastic wave induced by pulsed laser heating
Applied Physics A, 2001,73(1):107-114
[本文引用: 1]

[5] Peshkov VP . Second sound in He II
Journal of Physics, 1944,8(1):381-381
[本文引用: 1]

[6] Cattaneo C . Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée.
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 1958,247(1):431-433
[本文引用: 1]

[7] Vernotte P . Les paradoxes de la théorie continue de l'équation de la chaleur.
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 1958,246(1):3154-3155
[本文引用: 1]

[8] Hector L, Kim GWS, Ozisik MN . Propagation and reflection of thermal waves in a finite medium due to axisymmetric surface sources
International Journal of Heat and Mass Transfer, 1992,35(4):897-912
[本文引用: 1]

[9] Yilbas BS, Al-Aqeeli N . Analytical investigation into laser pulse heating and thermal stresses
Optics and Laser Technology, 2009,41(2):132-139


[10] Yilbas BS, Al-Dweik AY . Laser short pulse heating of metal nano-wires
Physica B, 2012,407(22):4473-4477
[本文引用: 1]

[11] Poletkin KV, Gurzadyan GG, Shang J , et al. Ultrafast heat transfer on nanoscale in thin gold films
Applied Physics B, 2012,107(1):137-143
[本文引用: 1]

[12] Jiang FM, Liu DY, Zhou JH . Non-Fourier heat conduction phenomena in porous material heated by microsecond laser pulse
Microscale Thermophysical Engineering, 2003,6(4):331-346


[13] Jou D, Criado-Sancho M, Casas-Vázquez J . Heat fluctuations and phonon hydrodynamics in nanowires
Journal of Applied Physics, 2010,107(8):084302


[14] Auriault JL . Cattaneo-Vernotte equation versus Fourier thermoelastic hyperbolic heat equation
International Journal of Engineering Science, 2016,101(1):45-49
[本文引用: 1]

[15] Maillet D . A review of the models using the Cattaneo and Vernotte hyperbolic heat equation and their experimental validation
International Journal of Thermal Sciences, 2019,139(1):424-432
[本文引用: 1]

[16] Bai C, Lavine AS . On Hyperbolic Heat Conduction and the Second Law of Thermodynamics
Journal of Heat Transfer, 1995,117(2):256-63
[本文引用: 1]

[17] Rubin MB . Hyperbolic heat conduction and the second law
International Journal of Engineering Science, 1992,30(11):1665-1676
[本文引用: 1]

[18] 郑晓静 . 关于极端力学
力学学报, 2019,51(4):1266-1272
[本文引用: 1]

( Zheng Xiaojing . Extreme mechanics
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2019,51(4):1266-1272 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[19] Craiem D, Magin RL . Fractional order models of viscoelasticity as an alternative in the analysis of red blood cell (RBC) membrane mechanics
Physical Biology, 2010,7(1):013001


[20] Podlubny L . Fractional Differential Equations. New York: Academic Press, 1999
[本文引用: 1]

[21] Povstenko YZ . Fractional heat conduction equation and associated thermal stress
Journal of Thermal Stresses, 2005,28(1):83-102
[本文引用: 1]

[22] Povstenko YZ . Fractional heat conduction equation and associated thermal stress in an infinite solid with spherical cavity
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2008,61(4):523-547


[23] Povstenko YZ . Fractional Cattaneo type equations and generalized thermoelasticity
Journal of Thermal Stresses, 2011,34(2):97-114


[24] Povstenko YZ . Time-fractional thermoelasticity problem for a sphere subjected to the heat flux
Applied Mathematics and Computation, 2015,257(1):327-334
[本文引用: 1]

[25] Youssef HM . Variational principle of fractional order generalized thermoelasticity
Applied Mathematics Letters, 2010,23(10):1183-1187
[本文引用: 1]

[26] Youssef HM . Two-dimensional thermal shock problem of fractional order generalized thermoelasticity
Acta Mechanica, 2012,223(6):1219-1231


[27] Youssef HM, Al-Lehaibi EA . Fractional order generalized thermoelastic half space subjected to ramp type heating
Mechanics Research Communications, 2010,37(5):448-452
[本文引用: 1]

[28] Sherief HH, El-Sayed A, El-Latief A . Fractional order theory of thermoelasticity
International Journal of Solids and Structures, 2010,47(2):269-275
[本文引用: 1]

[29] Shweta K, Santwana M . A problem on elastic half space under fractional order theory of thermoelasticity
Journal of Thermal Stresses, 2011,34(7):724-739
[本文引用: 1]

[30] Sherief HH, El-Latief A . Effect of variable thermal conductivity on a half-space under the fractional order theory of thermoelasticity
International Journal of Mechanical Sciences, 2013,74(1):185-189
[本文引用: 1]

[31] Ezzat MA, El-Karamany AS, Ezzat SM . Two-temperature theory in magneto-thermoelasticity with fractional order dual-phase-lag heat transfer
Nuclear Engineering and Design, 2012,252(1):267-277
[本文引用: 2]

[32] Ezzat MA, El-Karamany AS . Fractional order theory in thermoelastic solid with three-phase lag heat transfer
Archive of Applied Mechanics, 2012,82(4):557-572
[本文引用: 1]

[33] 王颖泽, 王谦, 刘栋 等. 弹性半空间热冲击问题的广义热弹性解
应用数学和力学, 2014,35(6):640-651
[本文引用: 2]

( Wang Zeyin, Wang Qian, Liu Dong , et al. Generalized thermoelastic solutions to the problems of thermal shock on elastic half space
Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35(6): 640-651(in Chinese))
[本文引用: 2]

[34] 马永斌, 何天虎 . 基于分数阶热弹性理论的含有球型空腔无限大体的热冲击动态响应
工程力学, 2016,33(7):31-38
[本文引用: 2]

( Ma Yongbin, He Tianhu . Thermal shock dynamic response of an infinite body with a spherical cavity under fractional order theory of thermoelasticty
Engineering Mechanics, 2016,33(7):31-38 (in Chinese))
[本文引用: 2]

[35] 徐业守, 徐赵东, 何天虎 等. 热冲击下理想黏结三明治板的分数阶广义热弹性问题分析
东南大学学报(自然科学版), 2017,47(1):130-136
[本文引用: 1]

( Xu Yeshou, Xu Zhaodong, He Tianhu , et al. Analysis on fractional-order generalized thermoelastic problem for ideal adhesion sandwich plate under thermal shock
Journal of Southeast University, 2017,47(1):130-136 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[36] 朱海陶, 万永平 . 分数阶广义热弹性理论下中空柱热弹性分析
应用力学学报, 2017,34(2):197-202
[本文引用: 1]

( Zhu Haitao, Wan Yongping . Thermo-elastic analysis of hollow cylinder by theory of fractional order generalized thermo-elasticity
Chinese Journal of Applied Mechanics, 2017,34(2):197-202 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[37] 张培, 何天虎 . 考虑非局部效应和记忆依赖微分的广义热弹问题
力学学报, 2018,50(3):508-516
[本文引用: 1]

( Zhang Pei, He Tianhu . A generalized thermos-elastic problem with nonlocal effect and memory dependent derivative
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(3):508-516 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[38] Ozisik MN, Tzou DY . On the wave theory in heat conduction
ASME Journal of Heat Transfer, 1994,116:526-535
[本文引用: 1]

[39] Ghazizadeh HR, Maerefat M, Azimi A . Explicit and implicit finite difference schemes for fractional Cattaneo equation
Journal of Computational Physics, 2010,229:7042-7057
[本文引用: 1]

[40] 谭新亚, 张端明, 李志华 等. 纳米脉冲激光沉积薄膜过程中的烧蚀特性的研究
物理学报, 2005,54(8):3915-3921
[本文引用: 1]

( Tan Xinya, Zhang Duanming, Li Zhihua , et al. Target ablation characteristics of thin films during nanosecond pulse laser deposition in the ablation process
Acta Physica Sinica, 2005,54(8):3915-3921 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[41] 李名锐, 胡汉平 . 短脉冲激光辐照的非傅里叶热力耦合效应
中国激光, 2009,36(8):2004-2008
[本文引用: 1]

( Li Mingrui, Hu Haiping . Effects of Non-Fourier thermal-mechanical coupling in materials irradiated by short-pulse laser
Chinese Journal of Lasers, 2009,36(8):2004-2008 (in Chinese))
[本文引用: 1]

[42] Qi HT, Xi HY, Guo XW . The Cattaneo-type time fractional heat conduction equation for laser heating
Computers & Mathematics with Applications}, 2013,66(5):824-831
[本文引用: 1]

[43] Zhou DY . Macro- to Micro-Scale Heat Transfer: The Lagging Behavior.
Washington, DC: Taylor & Francis, 1997: 391-408
[本文引用: 1]

[44] Xu GY, Wang JB, Han Z . Notes on "The Cattaneo-type time fractional heat conduction equation for laser heating"
[Comput. Math. Appl. 66 (2013)]. Computers and Mathematics with Applications, 2016(71):2132-2137
[本文引用: 1]