与传统的多无人机编队只考虑空间位置关系不同，无人机集群的编队构型包括平台之间的交感拓扑和空间拓扑。因此，无人机集群编队控制需要在特定的交感拓扑下，通过分布式协同使集群内部所有个体的速度、位置达到并保持期望的相互关系[3]。目前，无人机集群编队控制可供借鉴的技术成果主要集中在多智能体系统(Multi-Agent System, MAS)协同控制和多无人机编队控制领域。多智能体系统的建模方法、协同策略、通信交互机制为无人机集群研究提供了良好的理论依据与可靠的研究手段[4-6]。近年来，国内外有关研究机构在无人机编队控制方面也展开了积极研究，取得了大量成果[7-10]。
随着多智能体系统一致性协同控制理论的发展，****开始将相关理论用于无人机集群编队控制。文献[4]指出传统的基于行为、领导-跟随和虚拟结构的编队控制方法都可以统一到基于一致性方法的框架下。文献[11-13]分别针对一阶、二阶和高阶多智能体系统，设计了基于一致性的时不变编队控制协议。在无人机集群执行任务过程中，往往需要根据不同的任务需求进行编队构型的变换和演化，因此对无人机集群的时变编队控制进行研究更有意义。文献[14]采用输出反馈线性化方法，实现了多无人机的时变编队控制。文献[15]研究了由无人机和无人车组成的异构集群的时变编队控制问题。文献[16]设计了基于分布式状态观测的时变编队控制器，实现了一阶系统的时变编队跟踪控制。文献[17]研究了切换通信拓扑条件下的多无人机有限时间编队跟踪控制问题。文献[6]进一步研究了具有切换拓扑的二阶多智能体系统的编队控制问题，给出了实现时变编队的充要条件，并利用四旋翼无人机进行了实验验证。文献[18]设计了基于一致性方法的无人机集群编队控制器，并给出了确定控制器参数的步骤。针对存在通信时延的情况，文献[19]设计了一种分布式预测控制器，实现了多机器人编队控制。文献[20]研究了二阶多智能体系统在不确定时延下的时变编队跟踪控制问题，并将所得的结果用于多无人机的目标合围中。文献[21]研究了无人机在非一致时延和通信拓扑联合联通条件下的编队控制问题。文献[22]研究了无人机集群时变编队在通信时延和外部扰动下的鲁棒性。基于分层控制和封装的思想，文献[23]搭建了分布式控制的无人机集群编队控制演示验证系统。
在实际应用中，无人机的速度、位置等信息都需要先采样离散再通过交感网络发送给其他个体。无人机之间的通信频率还受到通信带宽限制，过高或过低都会影响集群的总体性能。而文献[13-22]的研究都是针对连续时间系统进行的，难以直接用于无人机集群的编队控制。因此，采用离散时间系统模型对无人机集群进行描述和研究，可以综合考虑控制器参数和通信频率需求，具有重要的现实意义。文献[24-25]分别研究了一阶和高阶离散时间系统在无时延条件下的分布式时不变编队控制问题。文献[26]研究了离散时间多机器人系统在切换拓扑和无时延条件下的时不变编队控制问题。文献[27]研究了二阶离散时间系统在通信时延和无向通信拓扑条件下的时不变编队控制问题，其设计的控制协议仅考虑了个体之间的空间位置关系。文献[28]得出了通信时延仅为一个采样周期时，二阶多智能体系统时不变编队控制稳定的充要条件。
综上所述，对以离散时间系统描述的无人机集群编队控制问题研究还不完善，通信时延和有向通信拓扑条件下的时变编队控制问题尚未解决。本文在现有研究成果的基础上，采用二阶离散时间系统模型来描述无人机集群，重点解决存在通信时延和有向通信拓扑条件下无人机集群的时变编队控制问题。基于自身实时信息和相邻个体带通信时延的状态信息，设计了分布式编队控制协议，并进行了稳定性分析。与现有文献相比，本文主要解决了以下3个问题：①存在通信时延和有向通信拓扑下，无人机集群时变编队稳定的充要条件；②期望的时变编队需要满足的可行性条件；③控制协议中相关参数和状态更新周期的耦合约束条件及其设计方法。
1 预备知识 考虑由N架无人机组成的集群，编号为1, 2, …, N。将每架无人机视作一个节点，则集群的交感拓扑可用有向图G=(W, E, A)进行描述，其中W={1, 2, …, N}，E={eij:i, j∈W}，A=[aij]N×N分别为图G的节点集、边集和邻接矩阵。在无人机集群中，若无人机j的信息能够通过交感网络被无人机i接收到，即在图G中存在一条由节点j指向节点i的有向边eij∈E (i≠j)，则称无人机j为无人机i的邻居，记Ni={j|j ∈W:eij∈E}表示无人机i的邻居集合。aij为无人机j的信息对无人机i的权重因子，如果j∈Ni，则aij>0，否则aij=0。令
 |
称图G包含一棵有向生成树(spanning tree)，如果存在一个节点i，从这个点发出的信息可以传递到图中的任意其他节点。图G的Laplacian矩阵L=[lij]N×N定义为
 |
引理1[29] ??图G的Laplacian矩阵L至少有一个零特征值，其他非零特征值均具有正实部；如果G包含有向生成树，则0是L的代数重数为1的特征值，1N是其对应的右特征向量。
引理2[29] ??如果非负矩阵Λ具有相同的行和μ>0，则μ是Λ的特征值，且其对应的特征向量为1N，谱半径ρ(Λ)=μ。μ是Λ代数重数为1的特征值，当且仅当与Λ关联的图有生成树。
2 问题描述及分析 无人机集群通常由多种动力学特性的平台异构而成。因此，为了增强编队控制算法的适应性，采用分层控制思想，将集群控制结构分为编队控制层和执行层。其中，编队控制层负责根据期望队形和友邻个体的状态，计算本机的控制输入；执行层根据编队控制层的输入，结合自身动力学特性，对本机的油门、姿态、舵面等进行控制。无人机集群编队分层控制的相关理论与应用已经较为成熟[6, 20-23]。在编队控制层，可将每架无人机视为一个质点，其动力学特性可用如下基于差分近似的二阶离散时间系统模型来描述：
 | (1) |
式中：xi(t)∈ Rn，vi(t)∈ Rn和ui(t)∈ Rn分别表示无人机i(i=1, 2, …, N)的位置、速度和控制输入；δ>0表示信息采样周期(假设其与控制器更新周期相同)，状态更新时刻t≥0可表示为t=t0+qδ，其中t0≥0为初始时刻，q=1, 2, …；n≥1为无人机运动空间的维数，为便于描述，以一维运动(n=1)进行分析。假定无人机三维运动相互解耦，所得结论可以通过Kronecker积直接扩展到二维平面及三维空间。
期望的时变编队可用一组有界函数进行描述：
 |
式中：hx(t)、hv(t)和ha(t)称为编队参考向量；hix(t)、hiv(t)和hia(t)分别表示无人机i的编队参考位置、速度和加速度。令hi(t)=[hix(t), hiv(t)]T，ξi(t)=[xi(t), vi(t)]T，h(t)=[hxT(t), hvT(t)]T，i=1, 2, …, N。
定义1 ??称无人机集群实现了期望编队h(t)，当且仅当对任意i，j∈{1, 2, …, N}，i≠j，有式(2)成立：
 | (2) |
注1 ?? hi(t)给出了期望的编队，而不是每架无人机的参考轨迹，即hi(t)只给出了ξi(t)的相对偏移矢量。虽然无人机集群最终将实现相对于某个参考点的时变编队，但这个参考点对所有无人机都是未知的，这是与集中式编队控制方法所不同的。当hi(t)=0时，即是多智能体系统的一致性问题。
定义2 ??如果对任意有界初始条件和i，j∈{1, 2, …, N}，i≠j，存在控制输入ui(t)，使得无人机集群能够实现期望编队h(t)，则称h(t)在控制协议ui(t)的作用下是可行的。
假设每架无人机能够获取本机的实时信息，通信时延仅存在于无人机之间实际交互的信息且不考虑数据丢包。为便于分析，设计如图 1所示的通信时延统一策略，使得无人机之间的通信时延保持一致：将每架无人机自身状态的采样信息和采样时间一起封装并发送给其他无人机，设无人机i接收到无人机j信息的时延为τij，令?=max{τij:i=1, 2, …, N, j∈Ni}；接收到信息的无人机通过数据缓存器来存储邻居个体发来的数据，并根据数据的采样时刻设置一定的驻留时间τ (τ≥?)，使得无人机能够完成所有邻居个体状态信息的更新。对离散时间系统(1)，可令τ=pδ，其中p为大于等于?/δ的最小整数。因此，对离散时间系统，通信时延至少为1个采样周期，即p≥1，如图 2所示。
 |
| 图 1 分布式通信时延统一策略 Fig. 1 A distributed scheme to uniform communication delay |
| 图选项 |
 |
| 图 2 离散时间系统中的通信时延 Fig. 2 Communication delay in discrete-time systems |
| 图选项 |
为控制无人机集群实现期望编队，设计如下基于一致性方法的分布式控制协议：
 | (3) |
式中：K=[－α, －β]为待设计控制参数，α, β>0分别表示位置和速度增益系数。
通过设计的通信时延处理策略，将非一致时延转为为一致时延，避免了通信拓扑对通信时延的影响。虽然基于驻留时间的通信时延处理方法具有一定的保守性，但是当直接对非一致时变时延进行处理存在困难时，该方法也不失为降低问题分析难度的有效方法。
3 编队稳定性分析与参数设计流程 本节对时变编队控制系统的稳定性进行分析，得到系统稳定的充要条件及在控制协议(3)作用下编队h(t)可行的约束条件，并给出相关参数的设计方法。
定理1 ??通信时延和有向通信拓扑条件下，无人机集群系统(1)能够在控制协议(3)的作用下，实现时变编队h(t)，当且仅当h(t)满足可行条件:
 | (4) |
且离散时间系统(5)渐近稳定:
 | (5) |
式中：C= A′11－ 1N－1A′01。
证明 ??令ψix(t)= xi(t)－hix(t)，ψiv(t)= vi(t)－hiv(t)，ψi(t)=[ψix(t), ψiv(t)]T，则控制协议(3)可表示为
 | (6) |
代入式(1)，则无人机集群系统可以表示为如下形式：
 | (7) |
定义
令ζx(t)=E－1ψx(t)，ζv(t)=E－1ψv(t)，则ψx(t)=Eζx(t)，ψv(t)= Eζv(t)。由式(7)可得
 | (8) |
式(8)两边同时左乘E－1可得
 | (9) |
注意到
 | (10) |
并令C=A′11－ 1N－1A′01，?ix(t)=ψix(t)－ ψ1x(t)，?iv(t)=ψiv(t)－ψ1v(t)，?Fx(t)=[?2x(t),?3x(t), …, ?Nx(t)]T，?Fv(t)=[?2v(t),?3v(t), …, ?Nv(t)]T，?(t)=[?FxT(t),?FvT(t)]T。由式(9)和式(10)可得
 | (11) |
即
 | (12) |
由定义1可知，?(t)表示的是集群编队的相对误差，即如果集群能够实现编队h(t)，则对任意初始条件，有?(t)→0(t→∞)。由式(12)可知，?(t)→0(t→∞)当且仅当式(5)渐近稳定且
 | (13) |
将
 | (14) |
由于无人机集群内部的编号是随机的，可知式(14)等价于式(4)。?????????证毕
注2 ??式(4)称为期望编队的可行条件，给出了在控制协议(3)作用下，无人机集群(1)能够实现的编队h(t)应满足的约束。式(4)表明并非任意编队都是可行的，可行编队h(t)的期望位置、速度、加速度之间必须是“相容”的。体现在实际应用中，即要求所设计的期望编队必须满足飞行器的动力学约束。式(5)的渐近稳定使得集群编队误差趋于0，集群最终形成期望的编队。
为便于描述与分析，令
 |
引理3 ??若α，β，δ>0满足以下任意一组不等组:
 | (15a) |
 | (15b) |
 | (15c) |
则矩阵H的谱半径ρ(H) < 1。
证明 ??设λ为矩阵H的特征值，即
 | (16) |
1) 如果λ=1，则由式(16)可得
 | (17) |
与α，β，δ>0矛盾，因此λ≠1。
2) 如果λ≠1, 则由式(16)可得
 | (18) |
由式(18)可得
① 当β2－4α≥0，由谱半径的定义可知，ρ(H) < 1当且仅当
 | (19) |
由式(19)可得α，β，δ>0满足式(15a)或式(15b)。
② 当β2－4α < 0，易知
 | (20) |
因此，ρ(H) < 1当且仅当α, β, δ>0满足式(15c)。???????证毕
引理4 ??如果ρ(H) < 1，则存在常数M≥1，γ∈(0, 1)及某种矩阵范数‖·‖M，使得‖H‖Mt-t0≤ γt-t0，t≥t0。
证明 ??只需证明存在矩阵范数‖·‖M，使得‖H‖M < 1，并取γ∈[‖H‖M, 1)即可。
存在非奇异矩阵R，使得R－1 HR= J，其中，J为矩阵H的Jordan标准型。令
 |
则有
对任意ε>0，令D=diag(1, ε, …, ε2N－3)，则有
 | (21) |
由式(21)可得
 | (22) |
式中：‖·‖1表示矩阵的列和范数。
容易验证‖H‖M=‖(RD)－1 H (RD)‖1是矩阵范数，于是可得到
 | (23) |
由于ρ(H) < 1，取
 | (24) |
????????证毕
注3 ??需要指出的是，引理4只是表明了参数γ、M及矩阵范数‖·‖M的存在性，所构造的范数‖·‖M与给定的矩阵H密切相关。因此，当参数变化时，需要重新构造范数‖·‖M。
引理5 ??如果1－γ－l>0，则不等式θτ+δ－γθτ－l>0至少存在一个解θ，θ∈(γ, 1)。
引理6 ??如果G有生成树，则当t→+∞，式(5)有唯一平衡点0，即
证明 ??当t→+∞，式(5)等价于
 |
则引理6可转化为：如果G有生成树，则
 | (25) |
有且仅有全零解。
由式(25)可知，
定理2??如果h(t)满足式(4)，那么对任意有界通信时延，存在α，β，δ>0使得系统(1)能够实现时变编队的充要条件为无人机集群通信拓扑有生成树。
证明 ??(充分性)若h(t)满足式(4)，由定理1可知，无人机集群实现期望编队，只需要式(5)渐近稳定。而由式(5)可得
 | (26) |
式中：t=t0+qδ，q=1，2，…。
由引理3可知，存在α，β，δ>0，使得ρ(H) < 1。结合引理4可知，必然存在常数0 < γ < 1和M≥1，使得‖H‖t－t0≤Mγt－t0，t≥t0。因此，由式(26)可得
 | (27) |
接下来证明当t≥t0时，式(28)成立：
 | (28) |
式中：
当t∈[t0－τ, t0]时，‖?(t)‖≤‖f‖≤M‖f‖θt－t0显然成立。因此，只需要证明当t≥t0时，对任意η>1，式(29)成立：
 | (29) |
若式(29)不成立，则存在时刻t*=t0+q*δ，使得当t∈[0, t*)时，‖?(t)‖< φ(t)，‖ζ (t*)‖=φ(t*)。由式(27)可得
 | (30) |
若
 | (31) |
显然，式(31)不能成立，即式(29)成立。令η→1，可得式(28)成立。因此，对任意初始条件?(t)(t∈[t0－τ, t0])，若α，β，δ>0满足ρ(H) < 1和
(必要性)采用反证法。若无人机集群的通信拓扑图没有生成树，则图G中至少包含2个不连通的子图。不失一般性，考虑只包含两架无人机的情况，并假设通信时延τ=0、h(t)= 0。设初始条件为x1(t0)=v1(t0)=e1，x2(t0)=v2(t0)=e2，计算可得v1(t)=e1，x1(t)=(1+pδ)e1，v2(t)=e2，x2(t)=(1+pδ)e2。如果e1≠e2，则无人机集群不能实现期望的编队(由于h(t)= 0，即速度、位置不能保持一致)。因此，若无人机集群能够实现期望的编队，其通信拓扑一定有生成树。??????? 证毕
注4 ??定理2表明，若无人机集群通信拓扑有生成树，则一定存在α，β，δ>0，使得集群能够生成期望的编队。由定理2的证明过程可以看出，参数α，β，δ>0需满足相应的条件使得ρ(H) < 1和
 |
| 图 3 参数设计流程图 Fig. 3 Flowchart of parameter design |
| 图选项 |
注5 ??结合定理1和定理2可知，无人机集群能够实现期望编队的充要条件为期望编队满足式(4)所示的可行性条件且通信拓扑有生成树。由引理1可以看到，集群通信拓扑是否有生成树，与Laplacian矩阵的特征值密切相关。
注6 ??控制协议中的参数α，β，δ>0需要满足式(15)所示的约束条件，可以看出，这些参数取值的约束条件并不是相互独立的，而是相互耦合的在一起的。因此，给出参数的设计流程如图 3所示，通过迭代，逐步缩小参数选择范围，最终找到满足条件的参数值。
4 仿真结果与分析 考虑由5架无人机组成的集群(编号为i=1, 2, …, 5)在二维平面运动，仿真中涉及到的位置、速度和加速度单位分别为m、m/s和m/s2。无人机之间的通信拓扑G如图 4(a)所示，显然G是有向的并且有生成树。无人机的初始位置和速度为
 |
| 图 4 无人机集群通信拓扑和期望编队 Fig. 4 UAV swarm interaction topology and desired formation |
| 图选项 |
图 4(b)为集群的期望编队，5架无人机围绕共同的参考点做圆周运动并保持正五边形，该构型可用于无人机集群协同目标识别、定位等。其具体参数为
 |
结合定理1给出的编队可行性条件，可令
 |
结合初始条件，通过迭代，可以求出任意时刻t的期望编队。
按照图 3所示的参数设计流程，可以得到满足条件的一组参数为α=0.2，β=0.5，δ=0.1 s。为便于对比分析通信时延对系统稳定性的影响，分别在时延τ=0.5 s(p=5)和τ=1.0 s(p=10)两种条件下进行仿真，仿真时长为120 s。图 5(a)和图 5(b)分别给出了两种时延下无人机的运动轨迹，方框和圆圈分别表示无人机的初始位置和最终位置，虚线表示最终时刻无人机集群的编队。图 6(a)和图 6(b)分别表示两种情况下无人机的速度变化。图 7给出了两种通信时延条件下无人机集群的编队误差?T(t)?(t)随时间的变化曲线。从图 5和图 6可以看出，两种通信时延条件下无人机都能够实现期望的时变编队。其中，当τ=0.5 s时，无人机集群在大约t=15 s时实现期望队形；当τ=1.0 s时，无人机集群在大约t=25 s时实现期望队形。继续将通信时延增大到τ=1.5 s和τ=2.0 s，通过仿真可以发现，无人机集群仍然能够实现期望的编队，但是所需要的时间分别为50 s和90 s。
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| 图 5 无人机运动轨迹 Fig. 5 Trajectories of UAVs |
| 图选项 |
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| 图 6 无人机速度变化曲线 Fig. 6 Velocity variation curves of UAVs |
| 图选项 |
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| 图 7 无人机集群编队误差 Fig. 7 Formation error of UAV swarm |
| 图选项 |
通过仿真结果可以看出，本文所设计的控制协议在通信时延较小时，能够控制无人机集群快速实现期望编队。即使在较大的通信时延条件下，也能够实现无人机集群的时变编队控制。但是，随着通信时延的增大，实现期望编队所需要的时间明显增大。因此，在实际应用中，为实现无人机集群尽快收敛到期望编队，应将通信时延控制在较小范围内。
5 结论 1) 研究了无人机集群在有向通信拓扑和存在通信时延条件下的时变编队控制问题。
2) 建立了无人机集群二阶离散时间系统模型，基于无人机自身实时信息和相邻无人机带通信时延的状态信息，设计了分布式编队控制协议。
3) 通过理论分析，得到了无人机集群实现时变编队的充要条件，给出了可行编队的表达形式，分析了控制协议中待定参数和状态更新周期满足的约束条件，并给出了相关参数的设计流程。
4) 通过仿真，验证了所设计控制协议能够在较大的通信时延下控制无人机集群实现期望的编队。
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