目前，电路系统容错设计方法已经有大量的研究成果，主要有以下3类：①直接冗余备份关键元器件或模块单元(发生失效时对系统性能影响较大的元器件或模块单元)，如Teifel[4]提出采用电路系统双模冗余技术，直接将电路系统中的逻辑单元进行冗余，以解决单粒子事件等单事件暂态问题带来的电路系统可靠性问题；Levitin等[5]提出采用多模冗余技术进行电路系统容错设计等。②演化硬件方法[6]，Yao和Higuchi[7]通过对电路系统进行变异和迭代分析，改进电路中关键元器件的参数，实现电路容错能力的提高；目前Srivastava[8]采用演化算法对虚拟可重构电路进行容错设计；吴会丛等[9]对分立元器件电路进行容错等。③演化硬件和传统冗余技术融合，如褚杰等[10]提出的结合演化算法和补偿平衡技术的电路系统容错设计方法。此外，张峻宾等[11]也提出了结合演化算法和补偿平衡技术的电路系统容错设计方法。
上述文献主要采取了基于元器件或模块单元的冗余以及系统参数的优化设计来提升电路的容错能力，在容错设计方法上能为本文提供一定借鉴。但是随着工业电路功能、结构的日益复杂，元器件及各模块单元对系统最终的性能影响程度不一，如果能对系统有影响的元器件或模块单元进行重要等级排序，那么容错设计的针对性和有效性必将提升。
针对上述问题，本文将矩独立重要度指标用于电路系统的重要度分析。首先通过元器件的矩独立重要度指标定量评价元器件对于电路系统的重要程度，找出失效时对电路系统性能影响最大的关键元器件；然后采用本文提出的重要度-冗余系数映射准则获取元器件的最佳冗余次数；最后对电路系统进行相应的容错设计，并对容错设计效果进行检验。
1 基本假设 假设1??电路系统有且只有失效和未失效两种状态，分别可记为：失效状态，S=0；未失效状态，S=1。
假设2??本文所研究的电路系统失效为单元器件失效所直接导致的电路系统失效，不考虑因为单元器件失效引发级联失效传播等原因导致的电路系统失效，也不考虑多个元器件同时失效的情况。
假设3??本文仅考虑电阻、电容、电感等元件的容错设计，且将其视为理想元件，忽略其寄生参数。
假设4??当某元器件参数波动在一定范围内时，电路系统不会发生失效；反之，当其参数波动超出一定范围，电路系统失效。
2 重要度分析基本原理 重要度指标是一种全局灵敏度指标[12]，能够描述某元器件参数在其所有可能取值范围内变化时电路系统输出端电压参数的变化情况，体现了该元器件对于电路系统的重要程度。相较于其他重要度指标，矩独立重要度指标在计算过程中不会损失原有数据的信息，带来分辨率问题，因此矩独立重要度指标是一种有效的电路系统评价方法[13]。
2.1 矩独立重要度指标定义 本文参考文献[13]给出的δ矩独立重要度计算原理，并根据假设1，即电路系统仅存在失效、非失效两种状态以及电路系统状态S是电路系统内部各元器件参数X=(x1, x2, …, xn)的函数这一事实[1]，提出如下适用于电路系统的矩独立重要度定义：某元器件的δ矩独立重要度是电路系统状态函数对该元器件参数条件期望的方差，记为
 | (1) |
式中：δi为元器件i的矩独立重要度；S|xi为元器件i参数取定为xi时的电路系统状态函数值；E(·)为期望算符；V(·)为方差算符。
2.2 矩独立重要度指标计算过程 根据2.1节元器件矩独立重要度定义，某元器件i的矩独立重要度计算过程如图 1所示，具体描述如下：
 |
| 图 1 矩独立重要度计算过程 Fig. 1 Calculation process of moment-independent importance |
| 图选项 |
步骤1??获取电路系统中所有待分析元器件参数的抽样分布信息，根据此信息对元器件i的参数进行m次随机抽样，以获取元器件i参数的样本空间Ωi。
步骤2??从样本空间Ωi中抽取随机变量xij。
步骤3??对电路系统中其余所有待分析元器件参数随机抽样，获取k组元器件随机参数组合(x1, …, xi－1, xi+1, …, xn)组成的样本空间Ωk。
步骤4??从样本空间Ωk中提取一个元器件参数组合，并将其和xij组成一个完整的电路系统参数组合Xij。
步骤5??求解电路系统状态函数Sij=g(Xij)。
为了获得电路系统状态函数值，本文采用电路系统仿真的方法。
电路系统状态函数值S可用特定激励下实际电路系统输出端响应电压时域波形wx与理论上电路系统输出端响应电压时域波形w0几何形貌相似程度Y表征，记为S=h(Y)。若用vti表示ti时刻电路系统输出端响应电压，则电路输出端响应电压时域波形可表示为：w=(vt1, vt2, …, vtn)。
若波形的几何形貌相似程度Y大于阈值Y0时，电路系统状态为未失效；反之，若相似程度Y小于等于阈值Y0，电路系统越趋于失效，记为
 | (2) |
为待分析电路系统施加阶跃激励，通过电路仿真获取元器件参数取值为X时的响应波形wx，并与理论的响应波形w0进行比较可以获取几何形貌相似程度Y，本文将采用如下形式的归一化几何形貌相似程度Y：
 | (3) |
式中：当电路系统完全正常时，Y=1；当发生异常时，Y∈(0, 1)，且Y值越小，系统故障程度愈加严重。由式(2)即可得到系统状态函数值S。
步骤6??重复步骤4~步骤5，直至样本空间Ωk中所有样本都参与过计算。
步骤7??计算xi=xij时，系统状态函数的条件期望Eij=E(S|xij)。
步骤8??重复步骤2~步骤7, 直至样本空间Ωi中所有样本都参与过计算。
步骤9??计算所有条件期望Eij的方差δi=V(Eij)，得到元器件i的矩独立重要度。
3 基于重要度的容错设计准则制定 基于第2节给出的矩独立重要度计算结果，将结合冗余设计方法制定有效的容错设计准则。为此，本文首先根据电路系统设计的等效替代定理[14]，阐述冗余系数与冗余次数的定量关系；进一步提出重要度-冗余系数的映射准则，即根据重要度计算结果确定不同影响级别的元器件或模块单元的冗余系数，然后结合冗余系数与冗余次数的关系，即可实现电路系统的最佳容错设计。
3.1 冗余系数与冗余次数的关系 对阻抗标称值为Z0的某元器件进行容错设计时，根据电路设计过程中的替代定理，可采用如下冗余方式：将m个阻抗为Zx的同类型元件串联，并将n串上述元件并联，得到一个阻抗值与待容错元器件相同的冗余等效电路，即
 | (4) |
式中：k∈(0, 1)为元器件参数波动相对元器件参数标称值允许的波动范围，称为某元器件的冗余系数；m为元器件串联数，n为元器件串并联数，m、n统称元器件等效串并联次数; Z0为待冗余元器件参数标称值；Zx为实际参与冗余的元器件参数标称值。
为方便计算和设计，取冗余次数为N，且N=m－1=n－1，此时Zx=Z0，因此式(4)可简化为
 | (5) |
解得
 | (6) |
考虑到电路系统成本、空间、体积、质量等限制，元器件冗余次数不能无穷多，式(6)确定了元器件冗余次数的下限，因此，本文取
 | (7) |
3.2 重要度-冗余系数映射准则 根据2.1节重要度定义可知，若某元器件矩独立重要度数值越大，则该元器件参数波动对电路系统失效的情况影响也越大，甚至造成电路系统失效。因此，如3.1节所述，若将重要度较大的元器件进行冗余容错设计，将单个元器件失效所带来的冗余等效电路参数波动范围限制该元器件的冗余系数k以内，则单个元器件失效并不会造成电路系统失效，可定性表示为，若元器件的重要度越大，在进行容错设计时，其冗余系数越小。
但是由于电路系统结构和功能十分复杂，难以通过解析的方法得到重要度和冗余系数间的定量关系。为此，本文分别选择了稳压器电路和滤波器电路为例，通过SPICE仿真，结合式(7)，初步拟合得到重要度与冗余系数间的定量关系：
 | (8) |
式中：ki为元器件i的冗余系数；[·]为取整算符。式(8)也被称为重要度-冗余系数映射准则，对模拟电路应该具有一定的适用性。
4 案例验证 4.1 案例介绍 以某空间电源稳压器电路为案例，对本文方法进行适用性分析，其电路原理图如图 2所示[15]。
 |
| 图 2 稳压器电路图[15] Fig. 2 Schematic of regulator circuit[15] |
| 图选项 |
仿真求解过程中，电路系统的激励为10 V阶跃信号，并测量RX1两端的电压信号，以计算该电路系统状态函数值。正常情况下，该电路系统输出端响应电压时域波形如图 3所示。
 |
| 图 3 电路理论响应波形 Fig. 3 Theoretical response waveform of circuit |
| 图选项 |
4.2 重要度计算 根据2.2节电路系统δ矩独立重要度计算方法对4.1节所述电路系统进行重要度计算，可得如表 1所示计算结果(从大到小排序)。
表 1 电路系统重要度计算结果 Table 1 Results of circuit system importance calculation
| 元器件编号 | 重要度 |
| R7 | 0.054 324 |
| R6 | 0.021 397 |
| CX2 | 0.002 228 |
| R21 | 0.001 047 |
| R20 | 0.000 866 |
| R4 | 0.000 254 |
| R16 | 0.000 238 |
| R3 | 0.000 218 |
| CX1 | 0.000 218 |
| LX1 | 0.000 215 |
| R13 | 0.000 210 |
| R1 | 0.000 206 |
| C1 | 0.000 200 |
| R10 | 0.000 187 |
| R11 | 0.000 187 |
| R9 | 0.000 184 |
| R2 | 0.000 177 |
| R15 | 0.000 172 |
| R5 | 0.000 170 |
| R19 | 0.000 164 |
| R14 | 0.000 163 |
| R12 | 0.000 160 |
| R18 | 0.000 158 |
| R8 | 0.000 144 |
| C2 | 0.000 137 |
| R17 | 0.000 137 |
表选项
由表 1可以看出，电阻R7和电阻R6的重要度远大于其他元器件，结合电路系统原理图图 2分析可以发现，当R7或R6的阻值发生改变时，将直接影响三极管Q6的导通情况，进而改变调压管Q16的导通情况，从而改变稳压器的输出电压。由于三极管Q6和Q16均具有放大作用，因此电路系统的输出电压变化相对于电阻R7与R6阻值变化十分敏感，即R7与R6对于电路输出影响最大是合理的。
4.3 冗余系数与冗余次数的确定 在得到了重要度之后，根据式(8)计算冗余系数，根据式(7)计算冗余次数，结果如表 2所示。
表 2 部分元器件冗余系数及冗余次数 Table 2 Redundancy coefficient and times of some components
| 元器件编号 | 重要度 | 冗余系数 | 冗余次数 |
| R7 | 0.054 324 | 0.35 | 2.86 |
| R6 | 0.021 397 | 0.85 | 2.83 |
| CX2 | 0.002 228 | 1.35 | 0.74 |
| R21 | 0.001 047 | 1.35 | 0.74 |
| R20 | 0.000 866 | 1.35 | 0.74 |
| R4 | 0.000 254 | 1.85 | 0.54 |
| R16 | 0.000 238 | 1.85 | 0.54 |
| R3 | 0.000 218 | 1.85 | 0.54 |
| ? | ? | ? | ? |
| R17 | 0.000 137 | 1.85 | 0.54 |
表选项
出于成本、空间等限制，对冗余次数小于1的元器件不进行冗余设计，对于冗余次数大于2的元器件，对冗余次数计算值采取向上取整，如R7和R6的冗余次数为3次。
基于上述计算结果，对R7和R6进行容错设计，具体方法为：采用m=N+1=4个与被冗余电阻阻值相同的电阻串联后，再将n=N+1=4串串联后的电阻并联，用于等效替换被冗余的电阻。以R7为例，其容错前后原理图如图 4所示。
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| 图 4 以R7为示例的容错设计等效原理图 Fig. 4 Equivalent schematic of fault-tolerant design with R7 as an example |
| 图选项 |
4.4 容错效果验证 对比容错设计前后，电阻R10和R6发生开路失效的情况，如图 5所示。对比图 5(a)和图 5(b)或图 5(c)和图 5(d)，可以发现，容错设计后电路输出电压波形更接近所示电路理论输出电压波形，而容错前电路输出波形与理论输出电压波形差距较大，故这种容错策略是有效的。
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| 图 5 容错设计前后波形对比 Fig. 5 Comparison of waveforms before and after fault-tolerant design |
| 图选项 |
5 结论 本文提出了一种基于矩独立重要度分析的电路系统容错设计方法，通过对各元器件的矩独立重要度进行计算和排序，找出重要元器件并结合适当的冗余设计方法开展容错设计。主要结论如下：
1) 提出了电路系统矩独立重要度定义及其计算方法，并对电路系统的所有元器件开展矩独立重要度分析，以全面评价各元器件对于电路系统性能影响的显著程度，基于该重要度分析结果对电路系统中重要度较大的元器件开展冗余设计，能有效提高电路系统的容错能力。
2) 提出了重要度-冗余系数映射准则及考虑冗余系数的电路系统容错设计策略，给出了基于重要度指标的元器件冗余次数定量计算方法，该方法给出了最佳冗余次数的理论计算结果。
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