非线性系统的控制问题一直是国内外研究的热点。目前非线性控制已与自适应控制、模糊控制和神经网络等学科紧密结合^[1-4]。反步法(backstepping)是解决非线性系统控制问题的重要方法之一，是一种递归设计算法，它是由Lozano、Brogliato^[5]和Kokotovic^[6]于1992年所提出的^[5-6]，经过二十几年的发展，已逐渐成熟^[7-8]，在工业生产、航空航天等领域均有广泛应用^[9-11]。
反步法主要是通过递归的方法，寻找使闭环系统稳定的Lyapunov函数，从而得到反馈控制器。反步法一大特点是递归。为了完成递归，保证闭环系统的稳定性，反步法需要系统满足在某次递归时，系统的Lyapunov函数仅包含此前递归设计中所稳定的状态。这对于系统本身的结构提出了一定的要求。满足反步法设计要求的系统称为严格反馈型系统。
本文提出了一种控制方法，对于某一类反馈型非线性系统，无须再满足以上要求，从而改为满足一种有界要求。并且利用一个飞机纵向运动的算例说明了该方法的有效性。
1 问题的提出 考虑如下反馈型单输入单输出系统：

(1)

式中：x=[x₁ x₂ … x_n]^T为系统状态；u为系统输入；y为系统输出；?为关于状态x的非线性连续函数向量，满足局部Lipschitz条件；b=[0 … 0 1]^T；c=[1 0 … 0];A为n×n维矩阵。
由于传统的反步法所要求的系统为严格反馈型系统，对于式(1)这样的系统，要求A阵对角线及以下元素都为0。除此之外，反步法所要求的?_i仅仅是关于x₁, x₂, …, x_i的非线性函数。而在实际应用中，对象常常很难全部满足以上要求。此时无法利用反步法实现对系统的控制。所以研究针对这类系统的控制方法有重要意义。现研究一个无法满足以上要求的低阶的系统，A和?具有以下形式：

(2)

(3)

设计出使系统镇定的非线性控制器，完成系统的跟踪问题。
2 控制器的设计 设误差函数e=[e₁ e₂ … e_n]^T：

(4)

式中：α_i-1(t)为状态x_i的期望轨迹；r(t)为指令信号，也即状态x₁的期望轨迹。r(t)应满足二阶可导，且r(t)及其导数应满足有界。
定理1??形如式(1)的三阶系统，若系统满足：
1) 。
2) 设D_c为R上一闭区间，当x₁∈D_c, x₂, x₃∈R时，?₁和?₂有界。
当系统的输入定义为

(5)

式中：

(6)

其中：k₁、k₂和k₃为可调的参数，是正实数。则该系统镇定，系统的所有状态及控制信号有界。并且在理论上，跟踪误差最终趋于0。
定理2??形如式(1)的四阶系统，若系统满足：
1) 且。
2) 设D_c为R上一闭区间，当x₁∈D_c，x₂, x₃, x₄∈R时，?₁、?₂和?₃有界。
当系统的输入定义为

(7)

式中：

(8)

其中：k₁、k₂、k₃和k₄为可调的参数，是正实数。则该系统镇定，系统的所有状态及控制信号有界。并且在理论上，跟踪误差最终趋于0。
为了证明上述定理，首先论证2个引理。
引理1^[12](LaSalle不变性原理)??设f(x)是定义域D_d?Rⁿ上的局部Lipschitz函数，Ω?D_d是一个紧集，并且是关于的正向不变集。设V(x)为定义在区域D_d上的连续可微函数，在Ω内满足≤0。设E是Ω内所有满足=0的x组成的集合，记J是E内的最大不变集。那么当t→∞时，始于Ω内的每个解都趋于J。最后，如果D_d=Rⁿ，且V(x)是径向无界的，那么对于任意初始状态x(0)，当t→∞时，轨迹x(t)都将趋于J。
由上述引理1，可以证明以下引理2。
引理2??考虑如下n维系统：

(9)

式中：f(x)为定义在Rⁿ上的n维函数向量，满足Lipschitz条件。

(10)

若满足：
1) M的所有特征值均大于0。
2) M的特征空间维数等于n。
3) 存在常数c_f，使得任意x∈Rⁿ，都有‖f(x)‖≤c_f。
则系统对于任意的初始状态x(0)，t＞0时‖x(t)‖都满足有界。
证明??由于f(x)的2-范数有界，其各分量也都有界。所以存在实数序列{a_n}和{b_n}，使得a_i＜f_i(x)＜b_i。设x_i为x不包含x_i分量的向量，即x_i=[x₁ … x_i-1 x_i+1 … x_n]^T，因此有

(11)

取

(12)

用2个函数h_min(x)和h_max(x)来表示的下界和上界：

(13)

式中：

注意，α和β并不连续，但h_min(x)和h_max(x)是连续的。令

(14)

所以有

(15)

V(x)对t求导：

(16)

可知, 对于任意x∈Rⁿ都有≤0。取Ω={x∈Rⁿ|V(x)≤l}，l是正实数。对于所有x∈Ω，有≤0。若在t=0时刻，V(x(0))≤l，那么x(0)处于Ω内，所以；因此在下一时刻有V(x(t))≤V(x(0))≤l。所以下一时刻的x(t)也包含在Ω内。从而对于所有的t＞0，都有x(t)∈Ω。因此, Ω是关于系统的正向不变集。
设M的n个特征值为λ₁, λ₂, …, λ_n，由于M的特征空间维数为n，所以有n个线性无关的特征向量。因此对于任意非零向量x∈Rⁿ，总是存在n个实数c₁, c₂, …, c_n，使得

(17)

式中：p_i为对应特征值λ_i的特征向量。设λ_min(M)表示M的最小特征值，由式(14)、式(17)，有

(18)

‖x‖→∞时，‖β‖为实数，λ_min(M)＞0，因此V_min(x)→∞。V_min(x)是径向无界的，对于V_max(x)也有相同的结果。又由式(15)，可以得出V(x)也是径向无界的。所以对于任意一个l＞0，集合Ω={x∈Rⁿ|V(x)≤l}都是有界的。根据Ω的定义，它又是一个闭集，故Ω是一个紧集。设，则。而就是系统的平衡点，故E为不变集。其最大不变集J等于自身。根据引理1，集合Ω是关于系统的正向不变的紧集，在Ω内满足≤0。集合，其最大不变集J=E。又V(x)径向无界，故对于任意的初始状态x(0)，当t→∞时，轨迹x(t)都将趋于集合J。也就是系统的解x(t)→M^-1f(x)。而‖f(x)‖有界，因此‖x(t)‖在全局上都满足有界。?????????证毕
接下来仅证明定理2，定理1的证明方法与定理2类似。
证明??如式(1)的四阶系统状态方程可以写为

(19)

考虑由误差函数e构成的系统，取正定函数V(e)：

(20)

式中：I为单位阵。则

(21)

对V(e)求导，并且代入式(4)、式(19)得

(22)

利用Lyapunov逆向法，先令

(23)

最后令

(24)

则可以使得

(25)

且V(e)径向无界，则由误差函数e构成的系统全局渐近稳定。也就有当t→∞，有e→0，即x→[r α₁ α₂ α₃]^T。注意，此时已有x₁有界。若能证明函数α₁、α₂和α₃在t→∞时收敛，则有系统镇定，所有状态均有界。
由式(23)，消去α₃得

(26)

式中：g₁和g₂为关于e和的连续函数。e收敛，信号的导数也有界，所以g₁和g₂有界。x₁有界时，?₁、?₂和?₃有界。由引理2，α₁和α₂有界。由式(23)第1式，α₃为α₁、α₂和有界量的线性组合，所以α₃也有界。所以状态x都有界，因而?₄有界。α₃满足局部Lipschitz条件，故也有界。由式(24)可知u也有界。所有状态及控制信号有界。???????证毕
3 算例 机体轴下，某固定翼飞机纵向运动的动力学方程与运动学方程分别为^[13]

(27)

(28)

式中：V为飞行速度；V_u和V_w分别为机体轴下飞行速度在x轴和z轴的分量；D为阻力；L为升力；T为发动机推力；M为俯仰力矩；α为飞机迎角；θ为速度倾角；q为俯仰角速率；m为飞机的质量；I_y为绕y轴的转动惯量；z_T为发动机推力线到重心的距离；?_T为推力线与机体轴的安装角。
做以下假设：
假设1??T为常数，即油门杆位置不变。
假设2??V为常数，只关心飞机姿态的变化，而不关注飞机速度的变化。
式(27)、式(28)可以化为

(29)

式中：

其中：ρ为飞机所在高度的空气密度；S_w为机翼面积；c_A为平均气动弦长；C_L和C_M分别为升力系数和俯仰力矩系数。
假设3??忽略升降舵对升力的作用。由于控制舵面的贡献主要是产生转动力矩，其生成的气动力很小。
因此升力系数可以写为

(30)

式中：C_L0为零升力系数；C_Lα为受迎角α影响的系数。
俯仰力矩系数写为两部分构成：一部分由控制升降舵偏角δ_e直接作用，另一部分由飞机当前状态决定。

(31)

式中：C_M2=-c_δ(δ_e+α)^[14]，c_δ为关于δ_e的一个正的常数；C_M1由插值得出，不必知道其函数表达式。
设x=[θ α q]^T，u=δ_e，系统可以写为

(32)

式中：c_α和c_e都为正实数。c_α、c_e和?₂、?₃表达式分别为


可以看出, ?₂满足定理1中的有界条件。作变量代换z=Tx：

(33)

式(32)变为

(34)

再设

式(34)变为

(35)

显然, φ₂也满足定理1中的有界条件。系统(35)满足定理1所有条件，因此根据定理1可以设计出控制器。
以某喷气式飞机为例，马赫数Ma=1.2，飞行高度H=16 764 m，将飞机及大气的各数据^[13-15]代入系统，并且在MATLAB的Simulink模块下进行仿真验证。并用低通滤波器和限幅器对输入信号舵偏角u进行过滤。
1) 阶跃信号
对于给定的阶跃值r=12°，设计参数为k₁=5, k₂=10, k₃=1，飞机俯仰角变化如图 1所示。

图 1 阶跃信号下俯仰角变化曲线 Fig. 1 Pitch angle change curve under step signal

图选项

由图 1可以看出，俯仰角与指令信号的误差收敛的非常快，在t=5 s时几乎完成了对指令的跟踪，并且稳态误差很小。阶跃信号下系统的3个状态变化如图 2所示。

图 2 阶跃信号下系统状态变化曲线 Fig. 2 System states change curves under step signal

图选项

由图 2可以看出，系统的3个状态最终均收敛。俯仰角和俯仰角速率收敛较快，迎角收敛于5.6°，故飞机将以6.4°的速度倾角爬升。
2) 正弦信号
对于正弦信号r=25°sin(0.5t)+5° ，飞机的俯仰角变化如图 3所示。

图 3 正弦信号下俯仰角变化曲线 Fig. 3 Pitch angle change curve under sinusoidal signal

图选项

俯仰角在经过半个周期后，已经完成了对指令的跟踪。这说明对于俯仰角剧烈变化的情形，控制器依然能够有效完成跟踪。正弦信号下系统的3个状态变化如图 4所示。

图 4 正弦信号下系统状态变化曲线 Fig. 4 System states change curves under sinusoidal signal

图选项

从图 4中可以看出，系统状态均随指令信号保持稳定的周期变化。
4 结论 本文针对一类反馈型非线性系统，在系统低阶的情况下，提出了一种控制方法。该方法能保证系统所有状态即控制信号都有界。以某固定翼飞机纵向运动为例进行仿真，对于阶跃信号和大幅度剧烈变化的正弦信号，仿真结果说明：
1) 控制器能够保证闭环系统的稳定性，所有状态全部有界。
2) 控制器可以有效的完成跟踪任务，通过调整设计参数，跟踪误差可以收敛于满足需要的小范围内。
3) 系统输出的收敛速度非常快。
后续的工作将专注于控制系统的鲁棒性，以及将控制方法推广至高阶系统。

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