滑模控制由于对系统不确定性和外界干扰具有较强的鲁棒性，在制导律设计中取得了一系列研究成果。文献[7]提出了一种带有落角约束滑模制导律，设计了一个线性滑模面使得视线角收敛到期望值，然而其收敛时间是趋于无穷的。终端滑模控制通过引入非线性滑模面，确保了系统状态能够在有限时间内收敛，对于高机动目标的拦截，导弹末制导时间通常很短，因此采用终端滑模控制方法针对机动目标进行制导律设计具有十分重要的意义[8-11]。文献[8]在制导律设计中引入了传统的终端滑模面，但制导指令中因为存在负指数项而导致奇异问题发生。为此，文献[9]设计了一种非奇异终端滑模面，文献[10]在研究考虑攻击角度约束的制导律时通过设计一种积分滑模面解决了奇异性问题。制导系统的状态量在远离平衡点时收敛速率较慢，文献[11]为此提出了一种非奇异快速终端滑模控制方法。
采用有限时间收敛终端滑模控制得到的系统状态收敛时间依赖于系统的初始条件，为此，文献[12]提出了固定时间收敛的概念。固定时间收敛理论可以使系统状态在收敛时得到一个不依赖于系统初始条件的收敛时间上界。然而，传统的终端滑模固定时间收敛控制依然存在奇异性问题，因此文献[13-14]针对一类非线性系统分别设计了固定时间收敛非奇异终端滑模面。文献[15]采用转换滑模面的形式进一步提出了一种非奇异快速终端滑模固定时间收敛的控制方法，并且用于制导律的设计。
在研究拦截机动目标的末制导问题时，通常需要知道目标的机动信息，然而目标的机动在实际情况中多数是不可知的。文献[10, 16]通过假设目标机动存在已知的上界来进行制导律设计，然而目标机动的上界通常也很难测量得到。自适应控制由于其具有不需要知道外部扰动任何信息的优点，可以有效解决目标机动的问题。文献[9, 11, 17]提出了自适应非奇异终端滑模制导律的设计方法，在设计过程中目标机动的上界不需要预先已知。
末制导过程中导弹和目标初始时刻的具体状态大多事先不可知，采用固定时间收敛控制方法进行制导律设计时，系统状态的收敛时间上界是一个独立于初始条件的固定值，因此设计的制导律具有更广的适用范围和更高的制导性能。针对机动目标的拦截问题，本文在考虑攻击角度约束的情况下，提出了一种非奇异快速终端滑模固定时间收敛制导律，并且设计了一种自适应律来对目标机动上界进行估计。通过Lyapunov稳定性理论证明了制导系统能够在固定时间内收敛，并且给出了收敛时间公式。通过仿真验证了该制导律的有效性，并且与其他现有制导律进行对比，分析了该制导律的制导性能。
本文的研究工作具有以下创新点：
1) 设计了一种新型的终端滑模固定时间收敛制导律，不仅能够使得导弹以期望的攻击角度命中目标，而且制导系统的弹目视线(Line of Sight，LOS)角和LOS角速率能够在固定时间内收敛，该收敛时间不依赖于制导系统的初始条件，可以通过调节制导律中的参数而被预先设定。
2) 设计了一种新型的固定时间收敛非奇异快速终端滑模面，该滑模面具有与现有有限时间收敛非奇异终端滑模面类似的形式，从而避免了奇异性问题，同时根据滑模面、系统状态与平衡点的距离，合理调整滑模面与LOS角跟踪误差的趋近律指数，从而提高了制导系统状态的收敛速率。
3) 设计了一种自适应律对目标机动的上界进行估计，使得制导律的设计无需任何目标机动的信息，增强了制导系统对未知干扰的鲁棒性。
1 基础知识 1.1 问题描述 导弹末制导的运动关系如图 1所示。假定导弹和目标的速度VM和VT恒定，aM和aT分别为导弹和目标的法向加速度，r和q分别为导弹和目标之间的相对距离和LOS角，γM和γT分别为导弹和目标的航迹角。制导系统的运动学关系可表示为
 | (1) |
 |
| 图 1 导弹和目标之间的运动关系 Fig. 1 Missile and target engagement geometry |
| 图选项 |
LOS角速率
 | (2) |
导弹的终端攻击角度θimp表示为导弹成功拦截目标时其速度之间的夹角，若γMf和γTf分别为导弹和目标的终端航迹角，可知θimp=γTf－γMf。导弹终端攻击角度θimp与终端LOS角qf存在着一一对应关系[9]。
 | (3) |
因此，导弹末制导终端攻击角度θimp约束可以转化为终端LOS角qf约束问题。
假设qd为期望的末制导终端LOS角，定义LOS角跟踪误差为x1=q－qd，LOS角速率为x2=
 | (4) |
式中：d=aTcos(γT－q)。
假设1??d可看作为由目标机动而引起的外部干扰，假设Δ≥0为一常数，表示为目标机动aT最大值，可知|d|≤Δ。
通过末制导律设计使得LOS角跟踪误差x1及LOS角速率x2能够在固定时间之内收敛到原点，那么导弹便能够以期望的终端LOS角qd精确命中目标。
1.2 基本定义和相关引理 定义1[12] ??考虑如下非线性系统：
 | (5) |
式中：x∈Rn；F(x, t):U×R+→Rn是连续的，U为一个包含x=0的开区间，且F(0, t)=0。若任意给定初始时间t0和初始状态x0∈U，都存在时刻T(x0)，使系统式(5)的每一个解x(t)=x(t; t0, x0)满足如下关系：
 | (6) |
则系统式(5)的平衡点x=0是有限时间稳定的。此外，若收敛时间T(x0)是有界的，即对任意的x0∈Rn，都存在一个Tmax>0，使得T(x0) < Tmax，则系统式(5)的平衡点x=0是固定时间稳定的。
相比于已有的固定时间收敛控制方法，为了进一步提高收敛速率，本文设计了一个快速固定时间收敛系统，并通过证明给出了系统收敛时间上界的公式。
引理1 ??考虑一类非线性系统：
 | (7) |
式中：
 | (8) |
证明 ??系统式(7)可被改写为
 | (9) |
当|y|>1时，令z=1+ln|y|；当|y|≤1时，令z=|y|1－m2，且当y=y(0)时对应的z初值为z0，则式(9)可转化为
 | (10) |
因此，系统式(7)的收敛时间上界Tmax满足：
 | (11) |
令
 | (12) |
即
 |
??????证毕
注1 ??文献[14]提出了传统的固定时间收敛系统
 | (13) |
式中：l1>0，l2>0，m1>1，0 < m2 < 1。文献[15]进一步提出了快速固定时间收敛系统
 | (14) |
式中：q1、p1、p2、q2为正奇数，
2 制导律设计 2.1 新型滑模面的构造 考虑一类二阶非线性系统，文献[18]构造了一种固定时间收敛的终端滑模面：
 | (15) |
式中：l1>0, l2>0, m1>1, 0 < m2 < 1。
对滑模面式(15)求导可得
 | (16) |
式(16)中，当x1=0, x2≠0时，幂次项|x1|m2－1x2会引发奇异性问题。为避免奇异现象，本文构造了一种新型的固定时间收敛非奇异快速终端滑模面：
 | (17) |
式中：
注2 ??文献[9]研究有限时间收敛制导律时设计了一种非奇异终端滑模面：
 | (18) |
式中：α>0，1 < γ1 < 2。由于
2.2 稳定性分析 定理1 ??对于制导系统式(4)，若采用本文构造的滑模面式(17)，设计制导指令aM为如下形式：
 | (19) |
式中：
 | (20) |
其中：
 | (21) |
式中：τ为一个小于1的正常数。
则下面的结论成立：
1) 滑模变量s和估计误差
2) 滑模变量s在时间Ts内收敛到0。
3) 制导系统式(4)的状态变量x1、x2在时间T内收敛到于0。
其中：
证明?? 1)考虑Lyapunov函数：
 | (22) |
根据式(17)、式(19)和式(20)可知，Lyapunov函数V的导数为
 | (23) |
由于
2) 考虑Lyapunov函数：
 | (24) |
对V1求导，代入式(17)和式(19)可得
 | (25) |
根据式(20)可知，
 | (26) |
式中：η≥0为一任意小的常数。那么
 | (27) |
因此，可以得到
 | (28) |
令
 |
| 图 2 制导系统变量的收敛过程 Fig. 2 Convergence process of guidance system variable |
| 图选项 |
当系统状态(x1, x2)在区域Ω1时，
 | (29) |
此时制导指令aM为
 | (30) |
当g→0时，
 | (31) |
由式(27)、式(31)及假设1可知，当s>0时
3) 当制导系统式(4)状态量x1、x2到达滑模面式(17)时，由s=0可知
 | (32) |
进一步可得，
 | (33) |
由式(32)及引理1可知，制导系统式(4)的状态变量x1、x2将在时间T内收敛到于0。证毕
注3??滑模面式(17)中κ4的设计形式与引理1中的形式并不相同，这是为了保证滑模面s始终是连续的，并且当s=0时，由定理1中的证明过程3)可知，式(17)中设计的κ4可以转化为
注4 ??有限时间ε(t)虽然不能被精确地求出，但是可以被近似地估计。如图 2所示，当制导系统式(4)的状态变量x1、x2穿越区域Ω2时，对于一个充分小的常数τ，在区域Ω2内因为0 < g≤τ，因此可近似认为ω=0，并且由式(17)可知s=x1。此外，根据式(31)可得
 | (34) |
对式(34)两边积分得
 | (35) |
求解式(35)可得
 |
因此，可知τ取值较小时，ε(t)也会变得很小，可以忽略不计。
因为符号函数sign(s)的存在可能会引起颤振，为避免振颤现象的发生，符号函数sign(s)可采用一种Sigmoid函数近似替代：
 | (36) |
本文最终设计的带有攻击角度约束的自适应非奇异快速终端滑模固定时间收敛制导律(AFTNFTSMG)形式为
 | (37) |
3 仿真分析 针对制导律AFTNFTSMG进行仿真分析，参照文献[11]的仿真场景，假设导弹和目标的初始相对距离r0=5000m，初始LOS角q0=30°，目标的初始航迹角γT0=0°，导弹和目标的速度分别为VM=600m/s，VT=300m/s。AFTNFTSMG中的参数取值为：l1=l2=0.5，α1=α2=2，m1=β1=9/7，m2=β2=7/9，τ=0.1，ξ=0.01，σ=2，
注5 ??由定理1可知，T的大小完全是由AFTNFTSMG中的参数决定的，与制导系统的状态无关。固定时间T表示的是制导系统任意初始状态下收敛时间的上界，通常制导系统实际收敛时间要小于T。T的设定需要结合制导系统的具体环境。如果T设计的太小，在某些情况下，例如初始LOS角跟踪误差x1较大时，为了达到制导系统固定时间收敛的要求，导弹必须具有较强的机动能力，但是导弹的机动能力是有限的，因此制导指令在末制导前期可能会出现饱和现象。如果T设计的太大，因为导弹末制导时间有限，可能导致导弹无法以期望的攻击角度准确命中目标。所以，需要通过调节AFTNFTSMG中的各个参数合理设置T的大小。
3.1 以不同初始航迹角拦截目标 假设目标机动aM为：当t≤5s时aM=7g；当t>5s时，aM=－7g。导弹拦截目标时，期望的终端LOS角qd为20°，导弹的初始航迹角γM0=30°, 60°, 90°。针对AFTNFTSMG进行仿真分析，结果如图 3所示。
 |
| 图 3 不同初始航迹角拦截目标的仿真结果 Fig. 3 Simulation results of intercepting target under different initial flight path anges |
| 图选项 |
图 3(a)表明，AFTNFTSMG能够使导弹在不同的初始航迹角γM0下有效地拦截目标。图 3(b)的制导指令曲线表明，导弹制导指令在前期都出现了饱和现象，这是因为在末制导的前期，为满足导弹LOS角q和LOS角速率
3.2 以不同期望终端LOS角拦截目标 假设目标机动aM为：当t≤5s时aM=7g；当t>5s时，aM=－7g。导弹初始航迹角γM0=60°，导弹拦截目标时期望的终端LOS角qd=20°，30°，40°。针对AFTNFTSMG进行仿真分析，结果如图 4所示。
 |
| 图 4 不同期望终端LOS角拦截目标的仿真结果 Fig. 4 Simulation results of intercepting target under different desired terminal LOS angles |
| 图选项 |
从图 4(a)可以看出，在AFTNFTSMG作用下，导弹能够以不同的期望终端LOS角qd精确地拦截目标。图 4(b)给出了相应的制导指令曲线，其中制导指令在qd=40°时饱和时间最长，这也导致了其对应的q和收敛时间最长。图 4(c)、(d)、(e)表明，在不同的期望终端LOS角qd要求下，q和
假设qd=20°，考虑测量噪声对制导性能的影响，在获取LOS角速率
 |
| 图 5 测量噪声对制导性能的影响 Fig. 5 Influence of measurement noise on guidance performance |
| 图选项 |
为进一步说明测量噪声对AFTNFTSMG制导性能的影响，对期望终端LOS角qd=20°，30°，40°的情况各做100次蒙特卡罗仿真，计算脱靶量和终端LOS角跟踪误差的均值和方差，结果如表 1所示。可以看出，3种情况下脱靶量均值不超过0.04m，终端LOS角跟踪误差均值小于0.02°，且方差均维持在零左右，表明在测量噪声影响下，AFTNFTSMG依然能够使制导系统保持稳定。这是因为测量噪声通常是有界的，可以和目标的机动一起看作制导系统的外部干扰，AFTNFTSMG中得益于自适应律的设计，使得制导系统对外部干扰具有较强的鲁棒性。
表 1 蒙特卡罗仿真统计 Table 1 Simulation statistics of Monte Carlo
| qd/(°) | 脱靶量/m | LOS角跟踪误差/(°) | |||
| 均值 | 方差 | 均值 | 方差 | ||
| 20 | 0.0221 | 3.4043×10-4 | -1.0104×10-3 | -1.2311×10-6 | |
| 30 | 0.0219 | 2.3528×10-4 | 9.4626×10-3 | -8.9698×10-6 | |
| 40 | 0.0362 | 4.8014×10-4 | 0.0140 | -2.0436×10-6 | |
表选项
3.3 不同制导律仿真对比 为了全面分析AFTNFTSMG的制导效果，在仿真中与其他制导律进行对比分析。
文献[19]设计了一种非奇异终端滑模制导律(Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law, NTSMG)：
 | (38) |
 | (39) |
式中：目标加速度aT假设是未知的，α=
文献[15]设计了一种自适应固定时间收敛非奇异终端滑模制导律(Adaptive Fixed-Time Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law, AFTNTSMG)：
 | (40) |
 | (41) |
 | (42) |
 | (43) |
式中：
此外，为了评估导弹在末制导过程中消耗的能量大小，文献[20]给出了平均拦截加速度aME的概念，定义如下：
 | (44) |
式中：N为总的仿真步数；aM(k)为第k步的制导指令仿真值。
假设目标采取aM=7gcos(πt/4)进行机动，导弹初始航迹角γM0=60°，导弹拦截目标时期望的终端LOS角qd=20°，通过仿真对制导律AFTNFTSMG、NTSMG和AFTNTSMG的制导性能进行对比，仿真结果如图 6和表 2所示。
 |
| 图 6 不同制导律仿真对比 Fig. 6 Simulation comparison of different guidance laws |
| 图选项 |
表 2 不同制导律下拦截目标时的仿真结果 Table 2 Simulation results of intercepting target under different guidance laws
| 制导律 | 拦截时间/s | 脱靶量/m | LOS角跟踪误差/(°) | aME/(m·s-2) |
| NTSMG | 20.6160 | 0.0233 | -0.0042 | 218.3325 |
| AFTNFTSMG | 17.1570 | 0.0184 | 0.0335 | 98.3661 |
| AFTNTSMG | 17.4693 | 0.0232 | 0.0459 | 114.7284 |
表选项
图 6(a)表明，制导律AFTNFTSMG、NTSMG和AFTNTSMG在设定的制导场景下都能够使导弹成功地拦截目标。图 6(c)、(d)、(e)表明，在AFTNFTSMG作用下，
4 结论 1) 本文设计了一种新的带有攻击角度约束的终端滑模制导律，通过Lyapunov稳定性理论证明了导弹在满足终端角度约束的要求下能够成功拦截目标，并且制导系统的状态变量能够在固定时间T内收敛。
2) 提出了一种固定时间收敛非奇异快速终端滑模控制方法，在保证滑模面不存在奇异问题的情况下，相较于现有的固定时间收敛控制，制导系统收敛速率更快。同时，对目标机动上界的自适应估计增强了制导系统的鲁棒性。
3) 仿真结果表明，本文设计的制导律能够使导弹以不同的初始航迹角和不同的终端攻击角度拦截机动目标。通过与现有制导律对比，本文设计的制导律能够使导弹以更短时间和更高精度对目标实施打击，并且制导系统收敛速率更快，导弹消耗的能量更少。
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