底夸克偶素(bottomonium)是由正反底夸克(bottom)对组成的束缚态，η_b作为S波自旋单态的底夸克偶素，是能量最低的底夸克偶素。而对于底夸克偶素系统，由于底夸克质量m_b≈4.7 GeV远大于量子色动力学(Quantum Chromodynamics，QCD)特征能标，从而强耦合系数α_s≈0.2，因此可以认为底夸克对的湮灭过程可以用微扰量子色动力学(Perturbative Quantum Chromodynamics, PQCD)来描述，另外在底夸克偶素质心系中，底夸克的速度平方v²≈0.1，因此可以认为底夸克对和底夸克偶素之间的强子化过程可以用非相对论量子色动力学(Non-Relativistic Quantum Chromodynamics，NRQCD)^[1]来描述。在NRQCD因子化方案中，重夸克偶素的产生和衰变可以展开成长程部分的矩阵元和短程部分的系数，长程部分的矩阵元可以按照重夸克偶素质心系中重夸克的速度平方v²来标度，而短程部分的系数可以按照α_s来标度。由于底夸克偶素系统中α_s≈0.2和v²≈0.1，所以在底夸克偶素衰变中按照α_s和v²的双重展开中微扰展开和相对论展开收敛行为都比较好，高阶修正会很小，理论上领头阶或者次领头阶的预言将会靠近真实的物理结果，从而η_b提供了良好的检验PQCD和NRQCD的平台。
文献[2]给出了近期的Υ和η_b衰变研究的综述。文献[3]也研究了Υ和η_b到轻夸克偶素和粲夸克偶素的辐射衰变。文献[4]研究了直到v⁴和α_s³阶的Υ到轻强子的衰变。文献[5]给出Υ和η_b衰变到ccg。文献[6]中也给出粲夸克对在Υ衰变中的产生。文献[7]给出了粲夸克对在χ_b介子衰变中的产生。另外BaBar实验组还测量得到单举过程Υ衰变到D介子的分支比Br[Υ→D^*±+X]=(2.52±0.13±0.15)%^[8]。在文献[9]中估计得Br[η_b→D^*D]~10^-5, Br[η_b→D^*D^*]~10^-8。而这一过程的理论预言在文献[10]中却是10^-3 < Br[η_b→D^*D^*] < 10^-2，2个理论预言的差异在5个数量级。
本文选择研究η_b→cc，因为在理论上，粲夸克质量远大于QCD特征能标，所以这个过程不像末态为轻夸克或胶子的过程，非微扰效应比较小。在实验上，末态的粲夸克也可以通过含粲夸克的介子、重子来检验，信号明确，而且这类过程中，底夸克偶素的色八重态部分的短程系数远大于色单态部分的短程系数，因此可以通过实验来检验色八重态机制或者给色八重态矩阵元一个比较强的限制。
本文讨论了η_b到cc的衰变，以及η_b和Υ衰变到DD。η_b到cc的衰变，是一个在η_b系统中能检验色八重态机制的衰变道。而对于η_b和Υ衰变到DD，期望DD衰变道能给出一个探测η_b的线索和检验色八重态机制。
1 η_b衰变到cc和色八重态机制 在NRQCD因子化框架下^[1]，η_b到cc的衰变宽度为

(1)

式中：n包含自旋角动量量子数、轨道角动量量子数、总角动量量子数和颜色指标等量子数，能描述非相对论的bb态。在NRQCD中，长程矩阵元〈η_b|bb(n)|η_b〉可以按v²展开中，n的领头阶是¹S₁⁰，然后是v⁴阶的¹S₀⁸、³S₁⁸和¹P₁⁸，其他中间态的贡献在更高阶。
按速度标度律，对于色八重态矩阵元有

(2)

由于色八重态¹S₀⁸和¹P₁⁸衰变到末态含cc的过程中要包含一个或者更多的胶子，从而受到α_s的压低，所以这里只考虑色八重态树图过程bb(³S₁⁸)→cc的α_s²阶贡献，色单重态圈图过程bb(¹S₀¹)→cc的α_s⁴阶贡献和色单重态树图过程bb(¹S₀¹)→ccg的α_s³阶贡献，典型的费曼图在图 1和图 2中给出，其他费曼图可以通过交换胶子位置得到。

图 1 ηb→cc的费曼图 Fig. 1 Feynman diagram of ηb→cc

图选项

图 2 ηb(1S01)→ccg的费曼图 Fig. 2 Feynman diagram of ηb(1S01)→ccg

图选项

在数值计算中，相关参数选为m_b≈4.7 GeV，m_c≈1.5 GeV(m_c为粲夸克质量)，α_s=0.22，色单重态矩阵元选取为〈η_b|bb(¹S₀¹)|η_b〉=3.8GeV^3[6]，以及η_b总宽度选取为Γ_tot[η_b]=13 MeV^[3]，可以得到³S₁⁸的贡献为

(3)

(4)

在文献[10]中首先得到Br[η_b→ccg]=1.5_-0.4^+0.8%，并且估计得到遍举过程的分支比10^-3 < Br[η_b→D^*D^*] < 10^-2。对于Br[η_b→ccg]，这里如果参数取为和文献[10]中一样，得到的结果是一致的。
色八重态矩阵元〈η_b|bb(³S₁⁸)|η_b〉可选取为文献[11]中格点QCD给出的矩阵元：

(5)

从而可以得到分支比为

(6)

Br[η_b→ccg]对胶子能量E_g的分布如图 3所示，可以发现主要集中在胶子高能量区域，胶子能量在0.4 m_b到最大值0.9 m_b之间的几率占到90%，在0.26 m_b到最大值0.9 m_b之间的几率占到96%。

图 3 归一化后相对的Br[ηb→ccg]对于胶子能量的分布 Fig. 3 Distribution of gluon energy of normalized relative Br[ηb→ccg]

图选项

2 Υ到DD的衰变 本文讨论了Υ和η_b到D介子的衰变。c夸克碎裂到D介子的几率选择为^[12-13]

(7)

BaBar实验组已经测量得到D^*±单举产生的分支比Br[Υ→D^*±+X]=(2.52±0.13±0.15)%^[8]。文献[6]中讨论了Υ到cc的衰变，可以直接得到色单态的单光子衰变部分对分支比Br[Υ→D^*±+X]的贡献为

(8)

大约70%的Br[Υ→D^*±+X]来源于色单态的单光子衰变部分贡献。即使将色单态三胶子衰变部分取为0，本文也可从实验值得到色八重态部分贡献的Br[Υ→D^*±+X]大约是0.7%，而理论预言的色八重态的贡献为

(9)

忽略¹S₀⁸和³P₀⁸这2部分的贡献，可以得到色八重态矩阵元〈Υ|bb(³S₁⁸)|Υ〉的最大值是〈Υ|bb(³S₁⁸)|Υ〉 < 2.8×10^-4 GeV³。考虑到色单态矩阵元〈Υ|bb(¹S₀¹)|Υ〉=3.8 GeV³，色八重态矩阵元和色单态矩阵元的比值小于7.5×10^-4，NRQCD给出的比值v⁴/(2N_c)≈1.7×10^-3要比实验数据限定的上限大20倍以上。
本文还要讨论Υ和η_b到DD遍举衰变可以估计得到。色单态单光子过程衰变到DD末态过程Υ→γ^*→DD的分支比可以通过e⁺e^-→γ^*→DD的截面来估计：

(10)

式中：正负电子对撞的质心系能量取为Υ的质量。Belle实验组测得正负电子湮灭中=10.6 GeV的产生截面^[14]：

(11)

理论上e⁺e^-→γ^*→DD是以单光子过程为主。引入正负电子湮灭到μ⁺μ^-的截面：

(12)

则质心系能量是10.6 GeV时正负电子湮灭到μ⁺μ^-的截面σ(e⁺e^-→γ^*→μ⁺μ^-)=769 pb。本文还需要将质心系能量从10.6 GeV演化到m_Υ=9.46 GeV，文献[15]中给出e⁺e^-→γ^*→DD过程的产生截面对质心系能量的依赖关系为

(13)

而文献[16]中给出e⁺e^-→γ^*→DD过程的产生截面对质心系能量的依赖关系为

(14)

因此选取e⁺e^-→γ^*→DD过程的产生截面对质心系能量的依赖关系为

(15)

文献[8]中给出：

(16)

可得

(17)

还可通过碎裂函数另外估计遍举分支比，参考文献[12-13]给出了c→D的碎裂函数，几率选择文献[12-13]中给出的：

(18)

碎裂函数选择单参数无横动量依赖的Kartvelishvili碎裂函数^[12-13]：

(19)

式中：z=(E_D+p_D)/(E_c+p_c)，E和p分别为能量和动量，下标D和c分别表示D介子和c夸克。因为m_c≈m_D≈1.5 GeV，远小于m_b≈4.7 GeV，所以可取z=E_D/E_c。在文献[12]中给出α_D为

(20)

可以认为如果中间态的c夸克碎裂到末态的D介子的过程中丢失能量非常小，即丢失能量小于选取的截断δ_Sm_b时，末态不足以强子化到多体过程时，这时末态就是二体的遍举末态过程，从而可以得到cc→D^*+D^-的几率可以取为

(21)

cc→ D^*+D^*-的几率也可类似处理。取δ_S=0.13，可得

(22)

这种方法得到的理论预言与通过正负电子对撞中数据给出的理论预言数量级一致，而且符合很好，相对差异小于1/4，因此在后续分析中，类似的估计遍举衰变过程的分支比时，本文将选取δ_S=0.13。
还可利用碎裂函数给出色八重态部分遍举衰变的估计。如果认为Fock态中软胶子的能量远小于δ_Sm_b，类似色单态部分的做法，取上限〈Υ|bb(³S₁⁸)|Υ〉=2.8×10^-4 GeV³和取δ_S=0.13，可以得到

(23)

可以和色单态部分的分支比互相比拟。
3 η_b到DD的衰变 本文已经得到色单态部分η_b衰变到粲夸克对的分支比，也利用碎裂函数讨论色单态部分的η_b→DD遍举末态分支比。同样取δ_S=0.13，可得

(24)

Br[η_b→D^*+D^*-]远远大于文献[9]中给出的10^-8，但是远远小于文献[10]中给出的10^-3 < Br[η_b→D^*+D^*-] < 10^-2。而对于Br[η_b→D^*+D^*-]和文献[9]中的Br[η_b→D^*+D^*-]~10^-5在同一个数量级。
由Br[η_b→ccg]对胶子能量的分布可知(见图 3)，末态中胶子能量大的区域占主导地位。本文也可类似于利用碎裂函数来估计这一过程对遍举过程分支比的贡献。当要求末态2个D介子能量都大于(1-δ_S)m_b时，可以得到这一部分对η_b→DD遍举末态分支比的贡献要小于10^-6，比色单态¹S₀¹的圈图过程η_b(¹S₀¹)→cc→DD贡献的分支比要小一个数量级，从而可以忽略。
色八重态部分Br[η_b(³S₁⁸)→cc]也可对η_b→DD的遍举末态分支比产生贡献，如果认为色八重态的Fock态中软胶子的能量远小于δ_Sm_b，那么同样的利用碎裂函数来估计遍举过程的做法方法可得

(25)

需要指出的是，碎裂函数本是用来计算单举末态，此处利用碎裂函数来计算遍举过程的分支比是非常简略的估计，一方面是因为联合碎裂过程中没有考虑粲夸克对产生时是联合产生的，另外一方面忽略了强子化的动力学机制。这里利用截断来限制末态为遍举末态只是一个尝试，碎裂函数对于遍举分支比只能给出数量级的估计，而不能代替完整的结果。
4 结论 综合而言，在NRQCD的因子化框架下，研究了S波自旋单态的底夸克偶素η_b到cc的分支比，另外还讨论了S波自旋单态的η_b和自旋三重态的Υ衰变到DD遍举末态的分支比，得到如下结论：
1) 利用BaBar实验组测量得到Br[Υ→D^*±+X]=(2.52±0.13±0.15)%，将其他的色单态部分贡献取为0，同时忽略其他色八重态bb(¹S₀⁸)和bb(³P₀⁸)的贡献，可以得到色八重态矩阵元〈Υ|bb(³S₁⁸)|Υ〉的最大值是〈Υ|bb(³S₁⁸)|Υ〉 < 2.8×10^-4 GeV³, 考虑到通过Υ的轻子衰变给出的色单态矩阵元〈Υ|bb(¹S₁¹)|Υ〉=3.8 GeV³，二者的比值小于7.5×10^-4，NRQCD的速度标度律给出的比值v⁴/(2N_c)≈1.7×10^-3要比实验的上限大20倍以上。
2) 得到色单态部分通过胶子圈图贡献Br[η_b(¹S₀¹)→cc]=5.1×10^-3，而通过格点计算的矩阵元，可以得到色八重态Br[η_b(³S₁⁸)→cc]=4.6×10^-3，色八重态部分和色单态部分可以比拟，虽然Br[η_b(¹S₀¹)→ccg]=24×10^-3的色单态部分贡献比较大，但是ccg中胶子主要在高能量区域，因此此过程可以用来研究色八重态矩阵元。
3) 本文估算得色单态bb(¹S₀¹)部分的圈图过程给出η_b→DD遍举末态分支比Br(η_b→D^*+D^*-)=(1.4±0.2)×10^-5，这一分支比远远大于在文献[9]中给出的Br[η_b→D^*+D^*-]≈10^-8，同时还远远小于在文献[10]中给出的10^-3 < Br[η_b→D^*+D^*-] < 10^-2。矢量粒子加标量粒子末态Br(η_b→D^*+D^-)=(1.9±0.3)×10^-5和在文献[9]中得到的Br[η_b→D^*+D^*-]~10^-5在同一个数量级。而色八重态部分对遍举过程η_b→DD分支比的贡献和色单态部分的贡献在同一个数量级。
相关预言可以通过BelleⅡ的实验进行验证，从而得到更多强子化的信息。

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