然而由于现实情况的复杂性，退化建模分析仍然存在难题：第一，在很多情况下，随着电机的退化，其主导机理也在变更，产品退化呈现多段性，并非单一的线性或者是时间尺度变换的非线性，若只用单一的Wiener漂移来描述是不合适的；第二，为描述不同的退化过程，建模过程往往引入较多参数，对模型中的未知参数准确进行估计时容易陷入局部最优，对初始取值依赖性强。因此，本文首先引入阶段转换函数，建立多段Wiener退化模型，并利用单纯形法自优化粒子群优化(PSO)算法对其似然函数进行最优化以估计参数；然后，多段模型与非线性模型对比，验证模型合理性；模型结果说明电机的退化机理或发生改变，且转变速度较快；最后，通过Wiener理论得到该产品的寿命预测，便于电机的健康管理。
1 融合加速退化试验 融合加速退化试验技术是退化试验与加速试验方法交叉融合的结果，保证失效机理不变的基础，利用产品在高应力水平下的性能退化数据外推和预测正常应力水平下的寿命特征的试验技术[9]。应厂商要求，对一批电机进行加速试验并进行可靠性评估。在本文中提到的BLDC电机加速退化试验加载高温(60℃)以及高阻尼28 kgf·mm(0.274 5 N·m)的应力，以电机工作温度作为电机状态响应退化量。本文选用局部高斯滤波的方式对数据进行滤波预处理，以改善参数估计结果。
2 Wiener过程 2.1 线性Wiener过程 从工程实际角度，在退化建模中需要考虑随机性：样本的随机性以及退化在时间轴上的随机性。样本随机性刻画样本差异，表现在不同的退化速度；时间轴上的随机性刻画产品退化的波动(控制系统波动、产品性能波动、观测波动)。为此，基于随机过程的模型建模方法受很多****的青睐[10-12]。若随机变量{X(t):t≥0}(t为时间)满足：
1) 任意时刻的增量满足正态分布。
记任意时刻的增量dXi=X(ti+1)-X(ti)，时间增量dti=ti+1-ti，则dXi~N(udti, σ2dti)。其中：u和σ分别为漂移系数和扩散系数。
2) 任意不相交的时间段内的增量相互独立。
该随机过程称为一元线性Wiener过程[13]，该过程被Tseng和Peng[6]用来描述产品的退化过程，其模型为
 | (1) |
式中：B(t)为布朗运动。对于加速退化记录的温度数据用卡方检验其正态分布，选择样本平稳退化前的50个退化增量值，统计如表 1所示。
表 1 增量值分布 Table 1 Distribution of increment values
| 退化增量范围 | 数量 |
| [-0.1, 0.1) | 22 |
| [-0.2, -0.1)∪[0.1, 0.2) | 19 |
| [-0.3, -0.2)∪[0.2, 0.3) | 8 |
| [-0.4, -0.3)∪[0.3, 0.4) | 1 |
| (-∞, -0.4)∪[0.4, -∞) | 0 |
表选项
根据正态分布的卡方检验
 |
接受假设，将该退化数据看作正态分布引起的误差不大，能满足理论的计算需求。
该退化模型对应的失效分布为逆高斯分布，相应的失效概率密度函数为
 | (2) |
式中：D为产品的失效阈值。由极大似然估计可得
 | (3) |
 | (4) |
2.2 多段Wiener过程 在本文中引入转换函数[14]：
 | (5) |
式中：st为与时间有关的变量，在本文中为时间t；c为转换位置参数，在本文中为发生转换的时间；γ为转换速度参数。
两段Wiener退化过程可以写为
 | (6) |
式中：u1、u2分别为前后阶段的漂移系数。由于阶段转换的几何关系，x0与其他参数的关系满足x0=X(0)+c(u1-u2)。
此时，若假设退化过程恰好在一定时间到达阈值，则假定该过程在此之前越过阈值水平的概率被认为是可忽略的。事实上，扩散过程——布朗运动可能存在多次越过阈值的情况，在假设此情况的概率为0的前提下，由上述假设及Wiener理论，其失效概率密度函数可以近似地表示为[7]
 | (7) |
式中：
 | (8) |
其中：
2.3 寿命预测 对失效概率密度函数进行积分即能得到产品的失效分布：
 | (9) |
对于产品的剩余寿命分布进行预测，即不同时间下的条件概率密度函数：
 | (10) |
3 自优化PSO算法估计模型参数 考虑到参数个数偏多，估计过程中的非线性、多极化的复杂性，对似然函数最优化的搜索过程中容易陷入局部最优解的情况，本文选用有全局性的行为PSO算法[15]以及具有极强的局部搜索能力的直接搜索技术——单纯形法[16]相结合的方法。
3.1 单纯形法 单纯形法是用于优化多维无约束问题的搜索算法，首先通过取N维空间中的N+1个点构成一个多胞体，计算顶点评价值。然后对最差点进行反射、扩展、压缩等方法获得一个较好点，用其取代最差点，构成一个新的单纯形，或者通过向最好点收缩来形成新的单纯形，最后以逼近极小点。该算法有极强的局部搜索能力，在处理高维问题时，也可以极小的时间成本搜索到局部最优点。其步骤如下：
1) 在参数空间{u1, u2, γ, c, x0, σ}中建立7个顶点的正则单纯形，顶点为{d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7}, 其中，dj=(u1j, u2j, γj, cj, x0j, σj), 下标j表示点序号。
2) 计算正则单纯形顶点的对数似然函数值为{l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7}，选择值最小lk的点dk以备删除。
3) 确定备用点：
 | (11) |
4) 比较备用点与最差点的对数似然函数值{lnew, lk}，若比之较优，更新dk=dnew；较差，缩短步长或满足精度要求计算停止。
3.2 单纯形法自优化PSO算法 PSO算法具有算法简单、搜索效率较高、通用性较强等优势。在该算法中，寻优空间中的每一个个体被抽象为一个粒子，仅考虑其位置属性和运动属性。其运动的速度受自身和群体的历史最优位置的影响，并受到学习因子的协调，从而较好地协调粒子本身和种群之间的关系。本文使用基于单纯形法的PSO算法，将PSO强大的随机全局搜索能力与精确的局部搜索能力结合，算法首先用PSO算法进行全局搜索，当算法陷入局部最优值时用单纯形法快速找出搜索空间的一个最优解，来代替PSO算法中的停止粒子。其流程如下：
1) 初始化每个粒子的当前位置xj，并将当前位置xj记录为自身历史最优位置pj；计算每个粒子自身历史最优位置pj的评价值，将最优评价值所对应的pg记为种群历史最优位置。
2) 将pg进行一次单纯形法优化，将得到的新单纯形中评价值最优的点作为pg。
3) 根据PSO算法迭代公式，更新每个粒子的当前位置xj，并计算xj的评价值。
 | (12) |
式中：上标m为迭代次数；ω为粒子移动惯性系数(inertia coefficient)；r1和r2为区间[0, 1]上均匀分布的随机数，用来维护群体的多样性；c1和c2称为学习因子(learning factor)或加速系数(acceleration coefficient)。
4) 对每个粒子，将当前位置xj的评价值与自身历史最优位置pj的评价值进行比较，若优于pj的评价值，则令pj=xj；对每个粒子，将当前位置xi的评价值与种群历史最优位置pg的评价值进行比较，若优于pg的评价值，则令pg=xj。
5) 检查终止条件，若未达到终止条件，返回2)。
4 模型结果与分析 据第3节算法，本文每个参数选择7个梯度构成76个点的粒子群，120次循环计算，其似然函数优化过程如图 1所示，似然函数值优化情况表明计算有效并最终得到如图 2漂移过程，各参数值为：u1=0.619 3，u2=11.651 5，c=3.867 6，r=35.634 7，x0=31.569 9，σ=3.835 1。其中转换位置参数c以及转换速度参数γ的值表明，退化过程在第3.9 d左右很可能发生机理变化，且变化速度较快。
 |
| 图 1 似然函数值在循环中的优化过程 Fig. 1 Optimization process of likelihood function value in loop |
| 图选项 |
 |
| 图 2 不同Wiener模型漂移过程对比 Fig. 2 Comparison of drift processes in different Wiener models |
| 图选项 |
与文献[7-8]中利用的非线性模型得到的漂移过程对比如图 2所示，非线性模型对前期及中期阶段描述较差，并且最后阶段趋势快于实际退化速度，这在失效分布的对比中得到确认，如图 3所示。
 |
| 图 3 不同Wiener模型理论失效分布对比 Fig. 3 Comparison of theoretical failure distribution in different Wiener models |
| 图选项 |
失效分布的对比能够看出利用非线性模型预测产品的寿命分布较实际寿命提前，非线性模型在最终阶段漂移过程的退化速度快于实际退化趋势，不能很好地描述电机后期阶段的退化情况；多段退化过程得到的失效分布更为优化，对全期的描述也更为贴切。对模型的残差进行Q-Q图分析[17]，多段模型的残差正态性要优于非线性模型，如图 4所示。
 |
| 图 4 不同Wiener模型残差分布对比 Fig. 4 Comparison of residual distributions in different Wiener models |
| 图选项 |
根据以上分析，在t0为{3, 4, 5, 6} d时，计算各时刻下的条件概率密度函数f′(t|t0)，得到电机剩余寿命分布预计值，如图 5所示，图中曲线为不同未来时刻的概率密度曲线。
 |
| 图 5 多段模型所得剩余寿命分布预测 Fig. 5 Prediction of remaining life distribution by multistage model |
| 图选项 |
5 结论 本文针对BLDC电机退化过程非线性、多段性的退化特征，对Wiener模型进行适应性改进，区别于单独的非线性过程，建立多段退化模型；应用单纯形自优化的PSO算法对似然函数最优化，进行参数估计。该方法解决了多段Wiener过程建模问题，对电机的寿命预测等工程应用具有重要意义。
1) 建立了BLDC电机退化的多段Wiener过程模型，根据本文提出的多段模型理论，电机在性能退化的过程中其机理发生着变化，并且转化速度较快。
2) 在进行加速寿命试验的过程中，应注意其退化机理的变化；而在机理发生改变时，加速寿命试验时应谨慎进行。
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