Lambert问题是航天工程中双脉冲轨道转移的基本问题^[1-3]，在航天器交会领域有广泛的应用，近年来仍然属于热点研究范畴^[4-7]。
Lambert飞行时间定理指出，对同一个平方反比中心引力场的椭圆轨道转移问题，给定转移前后的空间位置P₁和P₂，则转移时间t₂-t₁仅依赖于轨道半长轴a_T，两点离引力中心F的矢径长度之和r₁+r₂以及连接两点的弦长c_T。如果这3个参数a_T、r₁+r₂、c_T给定，则转移时间t₂-t₁是确定的，单圈Lambert转移情况下通常是2个解(最小能量轨道时是一个解)，与转移椭圆的形状(偏心率e_T)无关^[8]。基于飞行时间定理，基本Lambert问题是指给定轨道上两点的位置矢量及飞行时间，求连接两点的轨道参数。基本Lambert问题是一个典型的双脉冲变轨问题，其本质是求解微分方程两点边值问题^[9]。
航天工程中通常需要根据优化指标确定转移轨道的变轨优化问题。常用的优化指标是时间最优或燃料最优。基本Lambert问题的结论可用于直接求解时间最优双脉冲变轨问题^[10]。很多任务中需要针对燃料消耗或者能量变化提出优化目标要求，并不限制转移时间。此时最优转移轨道是满足两点约束的不同半通径对应的一系列转移轨道中的一个最优解。这个问题称为能量最优和燃料最优Lambert问题。
文献[11]对目前飞行器轨迹优化数值方法进行总结整理和归纳。文献[12]对能量最优Lambert进行详细研究并给出该问题的解析闭式解答。文献[13]用优化方法证明了Lambert变轨的最小能量轨道问题。文献[14]研究了共面椭圆轨道间转移的燃料最优Lambert问题。文献[15]研究了最优双冲量交会问题的一般数学模型和数值求解方法。文献[16]综述了当前最优冲量交会的研究进展。文献[17]给出一种最优Lambert转移时间燃料多目标混合模型并采用混合遗传算法求解。
在对上述文献深入研究的基础上，本文提出一种基于矢量形式的求解能量最优和燃料最优Lambert问题的总体框架，把文献[12, 14]的求解过程统一在本文提出的数学框架中，并给出了能量最优和燃料最优Lambert问题的解析计算方法。最后分析和对比了能量最优和燃料最优Lambert问题求解过程的多项式方程相应的性质和特点。
1 能量最优与燃料最优Lambert问题的定义 能量最优和燃料最优Lambert问题具体描述如下(文中涉及的位置和速度向量都是三维列向量)。
如图 1所示，设航天器变轨前的位置为r₁和速度v₁, 变轨后的位置r₂和速度v₂，求解航天器在r₁、r₂处的速度w₁、w₂，计算航天器2次点火的速度增量Δv₁和Δv₂：

(1)

图 1 位置和速度向量定义 Fig. 1 Definition of location and velocity vectors

图选项

当优化目标函数为

(2)

此类问题称为ΔV² Lambert问题，或能量最优Lambert问题。
当优化目标函数为

(3)

此类问题称为ΔV Lambert问题，或燃料最优Lambert问题。
事实上ΔV Lambert问题的本质体现了燃料最优。而以ΔV_tot²为目标函数的ΔV² Lambert问题是一个能量最优问题，并非燃料最优。ΔV² Lambert问题所计算的燃料消耗大于等于ΔV² Lambert问题，证明如下^[12]：
假设m是ΔV Lambert问题求得的最优解，q是ΔV² Lambert问题求得的最优解，即ΔV_tot(m)≤ΔV_tot(q)，ΔV_tot²(q)≤ΔV_tot²(m)。根据不等式关系：|x|+|y|≤ ≤|x|+|y|，可得

(4)

式(4)意味着ΔV²最优轨道的燃料消耗大于等于ΔV最优轨道的燃料消耗，上限为不多于ΔV Lambert问题燃料消耗的41.5%。实际中通常二者燃料消耗差值不大于17%。圆轨道霍曼转移情况下二者相等。
2 能量最优和燃料最优Lambert问题的计算 变轨起始点和终止点的速度w₁和w₂满足^[13]：

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：μ为引力常数；Δθ为r₁、r₂处的真近点角差值；p为转移轨道半通径。
2.1 ΔV² Lambert问题的求解 对于ΔV² Lambert问题，求转移能量最小即求式(10)的最小值：

(10)

式(10)取最小值需要满足条件：

(11)

(12)

求解式(11)和式(12)即可得到满足条件的p值，从而确定最优转移轨道和2次冲量的值。
2.2 ΔV Lambert问题的求解 对于ΔV Lambert问题，求性能函数最小即求解式(13)的最小值：

(13)

求式(13)最小值需要满足条件：和 ，展开分别为

(14)

(15)

式中：

(16)

(17)

2.3 速度导数 ΔV和ΔV² Lambert问题的求解中都涉及到变轨起始点和终止点的速度w₁和w₂相对于半通径p的一阶和二阶导数。为计算方便，令

(18)

再令，可得

(19)

从而得

(20)

(21)

(22)

(23)

将式(20)~式(23)代入式(11)和式(12)、式(14)和式(15)，即可通过求解方程得到ΔV和ΔV² Lambert问题对应的p值，继而求出ΔV_tot和ΔV_tot²以及2次速度增量的值。
2.4 求解导数方程的相关结论 结论1??ΔV² Lambert问题(10)归结为一个四次多项式方程求解问题。
式(10)展开为

(24)

式中: 。从而求解式(11)等价为

(25)

式中：；多项式各系数为：求解四阶缺项的多项式方程(25)即可求得h和p值。选择其中满足式(12)的解作为能量最优解。方程式(25)的解析解求根公式可参考文献[12]附录部分。
结论2??ΔV Lambert问题(13)归结为一个八次多项式方程求解问题。
式(14)可写为

(26)

将式(21)、式(22)代入式(26)会得到一个形如式(27)的多项式方程：

(27)

式中：x_i=h^-i，y_i=h^2-i，l_1i、l_2i、p_1i、p_2i为计算出的多项式系数。式(27)形式上为一个12阶多项式方程，但实际上式(27)中hⁱ项中i=2, 1, -9, -10的系数为零，为一个八次多项式方程：

(28)

其中：z_i=h^-i，f_i取值为


这个八次多项式方程式(28)通常没有求根公式，需采用数值法求解。
综上所述，以min ΔV_tot为目标函数的ΔV Lambert问题涉及到八次多项式求根问题，目前尚无闭式解析解，数值解往往受到迭代算法的速度影响。而求解ΔV² Lambert问题涉及缺项的四次多项式求根问题，存在闭式解求根公式。
3 仿真算例 仿真算例采用文献[12]的ALSET 1和ARIANE 44L卫星的轨道参数，列于表 1。
表 1 ALSET 1和ARIANE 44L卫星的轨道参数(NORAD两行轨道根数)^[12] Table 1 Orbit parameters of two satellites ALSET 1 and ARIANE 44L (NORAD two-line element sets)^[12]

ALSET 1
1	27 559U	02 054A	08 259.526 859 48	-0.000 000 02	00 000-0	84 653-5	0	6 025
2	27 559	097.980 7	137.478 4	0 009 664	216.549 4	143.504 7	14.629 778 973 095 34
ARIANE 44L
1	28 576U	91 075N	08 351.945 684 14	0.000 001 79	00 000-0	64 019-2	0	6 927
2	28 576	006.553 4	128.062 9	6 595 687	237.361 1	042.002 9	02.835 874 63	72 170

表选项






设定变轨起始点和目标点位置及速度矢量如表 2和表 3所示。
表 2 起始点和目标点位置 Table 2 Location of starting point and ending point

km
位置	rx	ry	rz
r1	3 160.125 4	-3 850.670 7	-5 011.985 2
r2	-16 875.892 6	14 279.183 4	516.039 2

表选项






表 3 起始点和目标点速度 Table 3 Velocity of starting point and ending point

km/s
速度	vx	vy	vz
v1	-4.458	3.101 2	-5.191 6
v2	-1.276 5	1.799 5	3.043 9

表选项






仿真计算结果见表 4~表 6。
表 4 ΔV Lambert问题起止点速度增量 Table 4 Velocity increments at starting point and ending point of ΔV Lambert problem

km/s
速度增量	Δwx	Δwy	Δwz
Δw1	-1.361 22	0.147 84	-1.625 77
Δw2	8.786×10-6	8.841×10-6	10.017×10-6

表选项






表 5 ΔV² Lambert问题起止点速度增量 Table 5 Velocity increments at starting point and ending point of ΔV² Lambert problem

km/s
速度增量	Δwx	Δwy	Δwz
Δw1	-1.300 08	0.085 91	-1.670 27
Δw2	-0.076 03	0.066 70	0.012 16

表选项






表 6 转移轨道参数 Table 6 Transition orbit parameter

目标函数	p/km		目标函数值/ (km·s-1)
ΔVtot	11 360.100	67 291.462	2.125 56
ΔVtot2	11 285.930	67 071.429	4.497 8

表选项






对于ΔV Lambert问题的最小速度增量值，若利用ΔV² Lambert问题求解得到的p值(设q=11 285.930)计算，相比ΔV Lambert问题求解得到的p值(设m=11 360.100)，有ΔV_tot(q)-ΔV_tot(m)=0.094 669 588 639 047，ΔV_tot(q)高出ΔV_tot(m)4.453 9%。
ΔV和ΔV²目标函数值随p变化情况如图 2所示(对数坐标)，局部细节情况见图 3。极值点和表 4~表 6计算结果一致。

图 2 ΔVtot和ΔVtot2目标函数值随p变化情况 Fig. 2 Variation of ΔVtot and ΔVtot2 function with p

图选项

图 3 ΔVtot和ΔVtot2目标函数值随p变化情况(极点附近) Fig. 3 Variation of ΔVtot and ΔVtot2 function with p (near peak point)

图选项

4 结论 1) 本文提出一种基于矢量形式的求解能量最优和燃料最优Lambert问题的总体框架，统一了能量最优和燃料最优Lambert问题的分析方法和相关结论，避免了大量三角函数运算和坐标变换等较繁琐的处理方式。
2) 对燃料最优Lambert问题的分析突破了相关研究中轨道共面条件的限制。本文的推导过程相比以往的研究具有更加简洁的表示形式。
3) 仿真算例展示了具体方法的求解结果，并验证了燃料最优比能量最优的最优速度增量多不超过17%的事实。

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