在实际工程研制过程中，模型确认往往会受到各种不确定性因素的影响。文献[6-9]将模型确认过程中的不确定性主要归纳为4个方面：模型参数不确定性、数学模型不确定性、实验结果不确定性和实验数据有限而导致的信息不确定性等。根据不确定性的描述方法不同，所建模型具有不同的形式。当模型的输入变量数据信息比较充分，且它的不确定性采用概率的方法进行描述时，这种模型称为随机不确定性模型。当数据信息量较少，或受认知水平的限制，模型输入变量不确定性难以采用概率方法描述时，通常采用分布未知、边界可知的区间变量来描述，所建的这种数学模型称为区间不确定性模型。然而，在许多工程实际中，所建模型往往既含有随机变量，又含区间变量，这类模型称为随机-区间混合不确定性模型。在随机-区间混合不确定性模型中，随机输入变量和区间输入变量之间可能相互独立，也可能存在相关性，本文所研究的随机-区间混合不确定性模型就是指随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立的单输出模型。
近几年，****对不确定情况下的模型确认方法进行了大量研究。文献[10]对现有方法进行了分类和对比分析，给出了各类方法在模型确认时的优点、局限性和适应范围。比如：假设检验和贝叶斯方法[10-11]都是建立在古典假设检验的基础，是在一定置信水平下根据实验数据对原假设的正确与否进行判断，只能给出接受原假设，或者拒绝原假设的结论，而没有定量地度量模型预测与实验结果之间的差异程度。因此，这2类方法与模型确认的定义不完全一致。虽然根据模型确认的定义，文献[2]提出了频率指标法，但由于该方法仅考虑了模型预测与实验结果均值之间的差异，而没有考虑它们的离散性，因此仅适合响应量分布中心发生偏离情况下的模型确认。文献[2, 12-13]综合考虑了模型和实验的所有不确定性信息，根据模型输出响应量的分布函数曲线与实验结果的经验分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)曲线之间的面积差异，提出了基于直接面积法的模型确认指标和u-pooling方法，这2种方法虽然在模型确认方面具有很大的先进性，但它们不适合多维相关输出情况下的模型确认。为此，在这2个指标的基础上，文献[14]通过多输出响应量的数学期望列阵和协方差矩阵等数字特征，提出了多输出模型确认的局部混合矩指标和全局混合矩指标；文献[15]运用多维概率积分转换(Probability Integral Transformations, PIT)，定义了PIT面积指标和t-pooling方法；文献[16]运用马氏距离(Mahalanobis Distance, MD), 建立了基于MD的模型确认指标和MD-pooling方法；这些方法分别适合单一位置和多个位置的多维相关响应量模型问题。此外，文献[17]将核主成分分析与面积法的思想相结合，提出了基于核主成分分析的多输出模型确认方法。
已有方法虽然大大地推进了不确定性条件下模型确认技术的发展，但它们都是建立在概率描述不确定性的论理论框架之下，仅适合于随机不确定性影响下的模型确认，而不适合随机和区间变量共存条件下的模型确认问题。关于随机和区间变量共存条件下模型确认方面的文献，目前还非常少见。因此，本文以随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立的单输出模型为研究对象，分析了随机-区间混合不确定性模型的特点，定义了一种新的随机和区间变量共存条件下模型确认指标。
1 混合不确定性模型及其特点 在工程实际中，随机输入变量和区间输入变量经常出现在同一个数学模型中，定义这种随机-区间混合不确定性模型的表达式为
 | (1) |
式中：X=(X1, X2, …, XnR)为nR维随机向量。fX(x)为随机向量X的联合概率密度函数, fXi(x)(i=1, 2, …，nR)为第i维随机变量的边缘概率密度函数。Y=(Y1, Y2, …, YnI)为nI维区间向量，它的取值规律由相应的区间[YjL, YjU] (j=1, 2, …，nI)描述，YjL和YjU分别为第j维区间变量的下上界。且X和Y相互独立。
当随机向量X取任意一个实现值x*时，X的不确定性对输出响应量的影响将会被消除，则模型的输出响应量为区间变量。当随机向量X按照它的联合概率密度fX(x)在其取值范围内取全部实现值时，与其对应的模型的输出响应量则为一个随机区间变量。图 1为某随机-区间混合不确定性模型输出响应量的区间分布函数示意图。其中z为模型输出响应量，FZ(z)为模型输出响应量对应的分布函数。由于随机向量X取实现值x*时所对应的模型输出响应量为区间变量，所以当随机向量X按照它的联合概率密度fX(x)在其取值范围内取全部实现值时，模型输出响应量Zm|X为随机区间变量，它的上界ZmU|X和下界ZmL|X都为随机变量。图 1中的2条曲线分别为随机向量X取所有实现值时，模型输出响应量Zm|X的上下界分布函数FZ|Xm(zU)和FZ|Xm(zL)。
 |
| 图 1 模型响应量的上下界分布函数 Fig. 1 CDFs of upper and lower bounds of model responses |
| 图选项 |
2 混合不确定性模型确认新指标 2.1 指标的构建 由第1节分析可知，当随机向量X按照它的联合概率密度fX(x)在其取值范围内取全部实现值时，随机-区间混合不确定性模型输出响应量Zm|X的上下界皆为随机变量，其分布函数分别为FZ|Xm(zU)和FZ|Xm(zL)。同理，可以得到相应的实验响应量Ze|X的上下界经验分布函数分别为SZ|Xe(zU)和SZ|Xe(zL)，如图 2中阶梯线所示。
 |
| 图 2 模型和实验响应量上下界分布函数和经验分布函数 Fig. 2 CDFs and empirical CDFs of upper and lower bounds of model and experimental responses |
| 图选项 |
由图 2可推断出，当所建模型与物理过程完全一致时，模型输出响应量的上下界分布函数与实验响应量的上下界经验分布函数相同，即2条曲线与2条阶梯线之间阴影部分的面积应该趋于零。如果模型输出响应量的上下界分布函数与实验响应量的上下界经验分布函数之间的差异越大，则可推断出所建模型与物理过程的不一致性越大，即2条曲线与2条阶梯线之间阴影部分的面积越大，则所建模型与物理过程之间差异越大，所模型的准确性越差。因此，通过2条曲线与2条阶梯线之间的阴影部分面积，可以定量地评估所建模型的准确性程度。为此，本文定义的随机-区间混合不确定性模型确认指标的表达式为
 | (2) |
对于本文所建指标，还需要明确以下3点：
1) 该指标仅仅是用来度量随机-区间混合不确定性模型响应量与相应的实验结果之间差异程度，适合于随机输入变量和区间输入变量共存且相互独立情况下的单输出模型确认问题。
2) 该指标既可用于量化评判不同备选模型的优劣，又可用于模型预测能力评估，该指标是制定模型确认要求(标准)的基础。
3) 模型确认要求的制定非常复杂，需要结合实际情况依据模型确认指标具体制定，不同领域不同问题的模型确认要求是不同的。模型确认指标取何值模型可接受的问题，既涉及到模型确认要求(标准)，又需要考虑模型确认指标的计算结果，仅仅根据模型确认指标计算结果无法给出模型是否能够接受的结论。
2.2 指标的数学性质 进一步分析可以得到，新定义的模型确认指标具有下列数学性质：
1) 非负性
由于式(2)的被积函数为非负函数，因此模型确认指标d(Fm, Se)为非负数。
2) 对称性
由于
 |
所以随机-区间混合不确定性模型确认指标d(Fm, Se)具有对称性。
3) 三角不等性
设Fm1和Fm2分别为模型1和模型2输出响应量对应的分布函数。
由于
 |
所以随机-区间混合不确定性模型确认指标d(Fm, Se)具有三角不等性。
4) 理想模型指标趋零性
理想情况下，当且仅当数学模型与物理实验过程完全一致时，如果样本量趋于无穷，则模型输出响应量的上下界分布函数曲线应该与实验响应量的上下界经验分布函数曲线重合, 即d(Fm, Se)收敛于零。
2.3 指标的求解 本文依据大数定理，运用Monte Carlo数字模拟法，提出了所建模型确认指标的求解方法，具体过程可概括为7个步骤。
步骤1 ?获取模型随机输入向量的实现值。根据随机输入向量X的联合概率密度fX(x)，产生样本容量为MRm的模型输入随机向量实现值。xi=(xi1, xi2, …，xinR)，i=1, 2, …, MRm。
步骤2 ?离散模型区间输入向量。将模型的区间输入向量Y=(Y1, Y2, …, YnI)在其取值区间内均匀的离散化为样本容量为NI的样本yk=(yk1, yk2, …, yknI)，k=1, 2, …, NI。
步骤3 ?求解模型输出响应量的区间集。在模型随机输入向量X的每一个实现值xi=(xi1, xi2, …, xinR)(i=1, 2, …, MRm)处，根据区间输入向量Y的NI个离散化样本yk=(yk1, yk2, …, yknI)(k=1, 2, …, NI)，计算对应的模型响应量zkm|xi，进而求得相应于X=xi的模型输出响应量的区间集[zmL|xi, zmU|xi](i=1, 2, …, MRm)。
步骤4 ?求解模型输出响应量的上、下界分布函数。依据步骤3求得的MRm个模型输出响应量不同区间的上下界zmU|xi和zmL|xi，求得模型输出响应量的上下界分布函数FZ|Xm(zU)和FZ|Xm(zL)。
步骤5 ?求解实验输出响应量的区间集。对于按照X的联合概率密度fX(x)选取MRe个随机输入向量X的实验样本值xj=(xj1, xj2, …, xjnR)(j=1, 2, …, MRe)，分别固定每个实验样本xj，通过实验得到与区间变量向量Y的NI个离散化样本yk=(yk1, yk2, …, yknI)对应的输出响应量观测值zke|xj，最后求得相应于X=xj的实验输出响应量的区间集[zeL|xj, zeU|xj](j=1, 2, …, MRe)。
步骤6 ?求解实验输出响应量的上下界分布函数。依据步骤5求得的MRe个实验输出响应量的不同区间的上下界zeU|xj和zeL|xj，求得实验输出响应量的上下界经验分布函数SZ|Xe(zU)和SZ|Xe(zL)。
步骤7 ?通过式(2)计算随机-区间混合不确定性模型确认指标d(Fm, Se)。
3 算例分析 为了进一步验证所提指标的可行性和有效性，下面通过2个算例来进行说明。
3.1 数字算例 在本算例中，实验数据通过式(3)来获取。
 | (3) |
式中：ye(x, θ)为实验响应量，θ=1.5为输入参数，x∈[3, 6]为输入区间变量；εe~N(0, 0.22)为实验响应量的测量误差。选取与物理实验对应的6个备选数学模型，分为2组进行讨论。各个备选模型输入变量的参数或分布函数存在一定差异，具体情况见表 1。设模型的随机输入向量的样本容量用MRm表示，物理实验随机输入向量的样本容量用MRe表示，区间输入向量的离散点数量用NI表示。
1) 第1测试组
在第1测试组的3个模型中，由于模型1与实验模型相同，模型2的参数θ大于实验模型的参数θ；模型3的参数θ大于模型2的参数θ，所以可以定性地判断出模型1最准确，其次是模型2，最后是模型3。这组测试是为了验证在模型参数不同的情况下，所建指标是否可行和有效。
本组测试选取模型的随机输入变量的样本容量MRm=10 000，实验随机输入变量的样本容量MRe=1 000，区间输入变量的离散点数量NI=300，按照2.3节提出的指标求解方法步骤，表 1中第1测试组的3个模型确认指标的计算结果见表 2。
表 1 2组测试计算模型 Table 1 Computation models in two test cases
| 测试组 | 模型编号 | 模型公式 |
| 第1组 | 1 | ym1(x)=ye(x, θ=1.5) |
| 2 | ym2(x)=ye(x, θ=1.6) | |
| 3 | ym2(x)=ye(x, θ=1.7) | |
| 第2组 | 4 | ym4(x)=ye(x, θ~N(1.5, 0.152)) |
| 5 | ym5(x)=ye(x, θ~N(1.5, 0.32)) | |
| 6 | ym6(x)=ye(x, θ~N(1.6, 0.32)) | |
| ??注：ymi(x)(i=1, 2, …, 6)表示第i个模型的输出响应量。 | ||
表选项
表 2 数字算例的指标计算结果 Table 2 Metric computation results of numerical test case
| 测试组 | 模型编号 | 指标值 |
| 第1组 | 1 | 0.007 6 |
| 2 | 0.155 1 | |
| 3 | 0.332 0 | |
| 第2组 | 4 | 0.050 2 |
| 5 | 0.163 5 | |
| 6 | 0.276 7 |
表选项
由表 2可以得到，模型1的指标值最小(0.007 6)，模型2次之(0.155 1)，而模型3的指标值最大(0.332 0)，由此可以定量地判断出：在这3个模型中模型1最优，其次是模型2，最后是模型3，这一判断结论正好与定性分析的结论相同。此外，按照2.2节讨论的该指标的性质4)，当且仅当模型与实验过程完全一致时，对应的模型确认指标值将会收敛于零。但从表 2可以得到，模型1的指标值(0.007 6)并不为零。这一问题的产生原因是在指标求解过程中，FZ|Xm(z)和SZ|Xe(z)的上下界均是通过有限样本估计所得，这样必然会产生一定的误差。但如果进一步增大样本容量，或提高模型计算精度，那么FZ|Ym(y, z)和FZ|Ye(y, z)上下界的计算结果将会趋于理论值，同时指标的计算结果也将会趋于零。由此可见，在模型参数存在差异的情况下，不同模型与物理实验之间的差异程度能够运用所建指标进行有效度量，并能够正确判断它们之间的优劣。
2) 第2测试组
第2测试组也包括3个数学模型。与实验模型相比，模型4、模型5和模型6均将参数θ作为随机变量。模型4和模型5中参数θ的均值同为1.5，但模型4中θ的方差比模型5的小；模型5和模型6中参数θ的方差相同，但模型6中θ的均值大于模型5中θ的均值。显然在这3个模型中，模型4相对最优，其次是模型5，而模型6最差。第2测试组是为了验证在模型参数的分布函数具有很小差异的情况下所建指标是否依然可行有效。
同理，在第2测试组中，选取模型的随机输入变量的样本容量MRm=10 000，实验随机输入变量的样本容量MRe=1 000，区间输入变量的离散点NI=300，按照2.3节提出的指标求解方法步骤，表 1中第2测试组的3个模型确认指标的计算结果见表 2。
由表 2可知，模型4的指标值最小(0.050 2)，模型5次之(0.163 5)，而模型6的指标值最大(0.276 7)，即通过模型确认指标的结果可以判断出模型4相对最优，其次是模型5，而模型6最差，这一结论与定性分析结果完全一致。因此，所建指标能够对分布函数参数存在很小差异的不同模型的优劣进行正确地判断。
3.2 工程算例 对航空发动机而言，最为关键的一个转动部件就是涡轮盘，发动机在起动和加速过程中，涡轮盘既要承受非常大的离心力，又要承受很大的热应力。由于涡轮盘的结构复杂，工作环境恶劣，因此工作一段时间后，一些部位(如榫槽槽底、销钉孔等)容易出现应力集中而出现裂纹。图 3为某型航空发动机涡轮盘的榫槽槽底裂纹示意图。
 |
| 图 3 航空发动机涡轮盘模型裂纹示意图 Fig. 3 Schematic diagram of crack of an aero engine turbo blade model |
| 图选项 |
设该型航空发动机在最大转速工作时，它的涡轮盘的榫槽槽底所受最大载荷的实验数据由解析方程式(4)产生:
 | (4) |
式中：ρ、C、ω和J分别为发动机涡轮盘的质量密度、系数、转动角速度和截面惯性矩，ρ、C和J皆为随机变量，它们的分布参数见表 3。转动角速度ω=2nπ为区间变量，其中n∈[180, 220]为最大转动频率。测量误差εe~N(0, 1.1×1010)。
表 3 发动机涡轮盘输入变量分布参数 Table 3 Distribution parameters of input variables of engine turbo blade
| 随机变量 | 分布类型 | 均值 | 变异系数 |
| ρ | 对数正态 | 8 240 | 0.1 |
| C | 对数正态 | 5.67 | 0.1 |
| J | 正态 | 1.22×10-4 | 0.1 |
表选项
假设工业部门建立了3个不同的航空发动机涡轮盘预测模型。与实验模型相比，这3个模型中的随机变量存在一定差异，具体情况见表 4。
表 4 航空发动机涡轮盘模型输入变量分布参数 Table 4 Distribution parameters of input variables of models of aero engine turbo blade
| 随机变量 | 分布类型 | 模型1 | 模型2 | 模型3 | |||||
| 均值 | 变异系数 | 均值 | 变异系数 | 均值 | 变异系数 | ||||
| ρ | 对数正态 | 8 240 | 0.1 | 8 240 | 0.15 | 8 240 | 0.15 | ||
| C | 对数正态 | 5.67 | 0.1 | 5.67 | 0.15 | 5.67 | 0.15 | ||
| J | 正态 | 1.22×10-4 | 0.1 | 1.22×10-4 | 0.15 | 1.31×10-4 | 0.15 | ||
表选项
由表 4可以得到，与实验表达式相比，模型1是一个完全正确的模型，模型2中的随机变量的变异系数发生了变化，模型3中随机变量不仅变异系数发生了变化，而且均值也发生了变化。因此，可以定性地判断出模型1优于模型2，模型2优于模型3。
同数学算例相似，在本测试中选取模型的随机输入变量的样本容量MRm=10000，实验随机输入变量的样本容量MRe=1 000，区间输入变量的离散点NI=40，按照2.3节提出的指标求解方法步骤，模型确认指标的计算结果见表 5。
表 5 航空发动机涡轮盘模型确认指标计算结果 Table 5 Model validation metric computation results of aero engine turbo blade
| 模型 | 模型1 | 模型2 | 模型3 |
| 指标值 | 0.012 3 | 0.136 9 | 0.239 6 |
表选项
由表 5可以得到，运用本文提出的模型确认指标能够清楚地判断出模型1优于模型2，模型2优于模型3，这一结论与定性结论吻合，从而再次验证了本文所提指标的可行性和有效性。
3.3 模型确认指标的风险分析 虽然前文的理论和算例分析的结果都表明，本文所提指标对于解决随机和区间变量共存条件下的模型确认问题可行有效，但这一结论是以模型和实验样本比较充足为前提条件。一旦模型或实验的样本量比较匮乏时，运用该指标进行模型确认就会存在一定的风险。下面以算例2为例，分2种情况对其存在风险进行讨论。
1) MRe固定，MRm变化
保持区间输入变量离散点NI=40和实验随机输入变量的样本容量MRe=1 000不变，当模型随机输入变量的样本容量MRm变化时，模型确认指标计算结果随的变化情况如图 4所示。
 |
| 图 4 模型确认指标d随MRm的变化 Fig. 4 Model validation metric d versus MRm |
| 图选项 |
由图 4可以得到，随着模型随机输入变量的样本容量MRm的增大，模型确认指标值d迅速减小，直到MRm=100时，指标值d开始趋于稳定，并收敛到一个固定值。这一现象表明随着MRm的不断增大，模型响应量的区间上界的分布函数的计算结果趋于其理论解。但当MRm < 30时，由于模型响应量的区间上界的分布函数的估计误差比较大，在这种情况下，运用模型确认指标对不同的模型的优劣进行判断就会存在错判误判的风险。因此，运用本文方法进行模型确认时，要尽量获得充足的模型随机输入变量样本。
2) MRm固定，MRe变化
保持区间输入变量的离散点NI=40和模型随机输入变量MRm=10 000不变，当实验随机输入变量的样本容量MRe变化时，模型确认指标的计算结果随MRe的变化情况如图 5所示。
 |
| 图 5 模型确认指标d随MRe的变化 Fig. 5 Model validation metric d versus MRe |
| 图选项 |
由图 5可以得到，随着实验随机输入变量样本容量MRe的增大，模型确认指标d同样迅速减小并趋于收敛。当MRe < 30时，模型确认指标d的计算结果存在相互交叉重叠现象，这表明在实验随机输入变量的样本小于30时，通过模型确认指标对不同模型的优劣进行判断，会存在一定的错判误判风险。产生这一问题的原因是由于实验随机输入变量的样本过少时，物理实验输出响应量上下界的经验分布函数难以准确估计所致。但当实验随机输入变量的样本容量大于100时，该指标能够客观地评估不同数学模型与实验的一致性。
4 结论 1) 分析了随机和区间变量共存条件下数学模型的特点。对于随机-区间混合不确定性因素影响下的数学模型而言，当它的随机输入变量取任意一个实现值时，模型输出响应量则变为一个区间变量；当随机输入变量按照它的概率密度在其取值范围内取所有实现值时，模型的输出响应量则为一个随机区间变量。因此，随机-区间混合不确定性模型确认的实质上就是比较模型输出响应量随机区间变量与实验输出响应量随机区间变量之间的差异程度。
2) 提出了随机和区间变量共存条件下的模型确认指标。根据随机-区间混合不确定性模型的特点，运用概率方法和区间理论，将模型输出响应量的上下界分布函数与实验输出响应量的上下界经验分布函数之间的面积差异，定义为模型确认指标，解决了随机和区间变量共存条件下，数学模型在描述真实物理实验时的准确性评估方法问题。
3) 分析了本文所提指标可能面临的风险。虽然理论和算例分析的结果都表明，本文所提指标在随机和区间变量共存条件下的模型确认方面可行有效，但该指标的有效性是建立在模型和实验样本比较充足的前提条件之下。一旦模型或实验的样本量比较匮乏时，运用新指标对不同的数学模型与实验过程的一致性进行判断时，会存在一定的错判误判风险。
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