近年来，国内外许多****通过搭建模型，制定了大量的城市多模式出行交通网络下的最优平衡配流模型，同时证明了时变的交通需求分析要比时不变的更有效[1-9]。Larry和Keyvan[3]通过对比分析了不同算法在交通需求的弹性分配问题方面的应用，结果发现埃文斯的模型在收敛性和鲁棒性方面更优。王力等[5]提出了一种新的模糊动态交通分配(FDTA)模型，描述了动态旅行时间并找出了模糊最短路径集合，最后将FDTA模型与经典随机动态交通分配模型比较，证明在正常情况下FDTA模型更加符合实际交通情况。四兵锋等[6]通过分析城市多模式出行交通系统的结构特征，提出了城市多模式出行交通网络平衡配流的变分不等式模型。Zhou等[10]通过分析指出动态时变的交通配流更利于解决复杂拥挤的多模式城市交通网络，同时也可以更好地捕捉居民出行信息。然而这些研究的结果多是基于严格的假设或者仿真，没有深入探究多模式出行交通网络下不同出行方式出行需求之间的相互作用关系，因此在实际情况下可能会存在些许偏差。李靖睿[11]从经济发展的角度分析了公交车与私家车之间的相互作用关系。郝忠娜和何玉宏[12]探究了地铁与常规公交之间的竞争、制约以及资源浪费等问题。罗焕然[13]从地铁定价的角度分析了出行者对于私家车与地铁两者之间的需求作用关系。然而这些探究普遍存在以下几点问题：①交通网络是整体，研究中只考虑了2种出行方式出行需求之间的相关性；②城市交通不同出行方式的交通需求是全天时变的，研究中忽略了出行需求的时变特征；③基于交通调查数据或是纯粹理论分析，没有利用稳定可靠的数据分析问题。
因此总体来看，从时变角度出发，城市多模式交通网络中多种出行方式之间的时变相互作用关系有待深入研究。本文尝试运用时变计量经济分析方法，针对城市多模式交通网络中不同出行方式出行需求的动态相互作用关系展开研究，并对变量之间的时变作用关系大小量化描述，分析时变影响程度。本文研究成果有助于深化认识城市多模式交通网络中不同出行方式出行需求之间的相互作用关系，为政策制定者对交通网络提供多方面信息。
1 研究方法 1.1 时变向量自回归模型 为了解决大型联立方程模型的弊端，Sims[14]提出了向量自回归(VAR)模型，模型中不再区分变量类型以及每个方程的具体含义，VAR模型现已成为分析宏观实证研究的主流方法。然而传统的VAR模型系数和方差-协方差矩阵是不变的，变量之间相关性是按照固定的规律分析，变量之间的传导机制是固定的，因此不利于分析复杂系统中变量之间的相关性。国外****基于VAR模型拓展到结构向量自回归(SVAR)模型。近年来，Primiceri[15]基于SVAR模型提出了带随机波动的时变参数向量自回归(TVP-VAR)模型，允许了系数和方差-协方差矩阵的变化，因此可以更好地捕捉复杂系统中多变量之间的时变相关性。基于Primiceri[15]模型，Nakajima[16]提出了对TVP-VAR模型的估计算法。
SVAR模型标准形式为
 | (1) |
式中：t=p+1, …, n，p表示滞后阶数; yt, yt-1, …, yt-p为m×1阶的m个变量的向量；A, B0, B1, …, Bp为m×m的时变系数矩阵，A代表同期相关性，B0, B1, …, Bp代表跨时期的相关性；ut为t时刻的扰动项，同时假定ut~N(0, ΣuΣ′u)，Σu为对角矩阵。
假定A为下三角矩阵，这样可以显著地减少运算的复杂性。
 |
式(1)左右同乘A-1，则得到
 | (2) |
式中：Fi=A-1Bi，i=0, 1，…，p；In为n阶单位矩阵。
定义Xt=In?(1, y′t-1, …, y′t-p)，β=(F0, F1, …, Fp)′，?表示克罗内克积，因此式(2)可简化为
 | (3) |
基于式(3)，允许所有参数变化，因此：
 | (4) |
式中：βt、At、Σt都是时变的。将At中主对角线及以下的n×(n-1)/2个元素排列成向量at，即at=(a21, t, a31, t, a32, t, …, an(n-1), t)′，假定hjt=ln σjt2，j=1, 2, …, n，t=p+1, p+2, …, n，即ht=(ln σ1t2, ln σ2t2, …, ln σnt2)，定义Σt中的元素为向量σt。基于式(4)，假设βt、at、ht中的元素为一阶随机游走过程，即βt+1=βt+υt+1，at+1=at+?t+1，ht+1=ht+ξt+1，υt+1、?t+1、ξt+1表示βt、at、ht的扰动项，βp+1~N(υ0, Ωβ)，ap+1~N(?0, Ωa)，hp+1~N(ξ0, Ωh)，Ωβ、Ωa、Ωh分别表示βp+1、ap+1、hp+1的方差-协方差矩阵。以上演算过程假设参数服从一阶随机游走，这与实际情况可能会有所差别，但由于模型的估计计算是在一段时间内进行的，因此结果不会产生大的偏差，并且Primiceri[15]将此估计下的结果与更普通的VR过程对比，证明这个问题影响不大，而且结果更有利于捕捉参数变化，反映交通出行变化的细微特征，同时极大程度地降低了计算难度。同时为了方便计算，假定不同参数之间不相关，则合并的正态分布V如下：
 |
对于参数估计部分，由于参数太多，因此需要先设定初值，即使用最小二乘算法先验训练，得出初值：β0~N(βols, 4V(βols))，a0~N(aols, 4V(aols))，h0~N(hols, 4In)，βols、aols、hols分别为β0、a0、h0通过最小二乘算法估计得到的初值，V(βols)、V(aols)、In分别为β0、a0、h0通过最小二乘算法估计得到的方差。将方差部分乘以4，是为了表示更大的不确定性，防止先验信息约束过紧，再根据蒙特卡罗马尔可夫链(MCMC)算法估计参数值，对于得出的结果，需要使用脉冲响应量化表示。
1.2 脉冲响应 由于模型中同期以及跨期相关性的存在，任何一个解释变量的变化都是触发其他解释变量的变化。在VAR模型中，脉冲响应表示，当解释变量的扰动项增加一个单位或一个标准差而其他变量扰动项保持不变的情况下，所有变量的当期和未来的变化即为脉冲响应。脉冲响应很好地解决了存在同期相关和变量间滞后动态影响在解释上的问题，即可以了解到公交车出行量、地铁出行量和私家车出行量之间影响程度的持续时间和大小。
2 实证分析 2.1 数据选取及描述 根据北京市实际情况，居民主流出行方式主要有公交车、地铁、私家车、骑行(自行车、电动车和摩托车等)、步行，而相对而言，骑行和步行的出行数据难以全天完整地采集，因此本文选择北京市公交车、地铁和私家车3种出行方式的出行量进行分析。
针对地铁和公交车的出行需求，需要借助城市居民的出行量表示，而城市公交IC卡很好地记录了城市居民的出行信息，本文即采用公交IC卡数据统计城市地铁和公交的上车量。
而对于私家车，出行量难以确定，然而路网中私家车的路权使用占比达90%[17]，再根据高德手机的私家车驾车导航数据可以计算小区道路拥堵程度，进而在一定程度上可以使用道路拥挤程度代替私家车出行量的变化趋势。对于道路拥堵程度，需基于Taylor和Richardson等[18-19]提出的道路拥堵指数定义一条道路的拥堵程度：CI=(T-T0)/T0。其中，CI为道路拥堵指数，T为车辆通过该道路的实际行驶时间，T0为道路通畅时车辆通过该道路所需的时间。假设路网有n条道路，根据道路i的车辆数占区域车辆总数的比例设定该道路对于整体路网的权重ωi，整合即得出整体区域的道路拥堵指数：
交通小区作为交通规划的基础单位，北京市交通委员会综合考虑城市规划的各个分区以及人口、就业等信息，将北京市划分为1 911个交通小区。本文针对北京市交通小区，选取2015年6月1日到2015年6月30日之间工作日的地铁进站IC卡信息和公交上车IC卡信息, 并对结果取平均值。需要注意的是，本文是针对该交通小区平均数据一段时间内的不同出行方式之间相关性的研究，因此结果可以仅表征该月小区的整体状况，针对不同情况和需求，可以将数据的时间段随意调整。对于城市道路信息，则使用北京市交通小区内高德手机的用户GPS信息和路网实际道路长度信息，得到交通小区内用户通过该路段的使用时间、路段长度和路段上的用户数，根据道路拥堵指数公式即得出道路拥堵指数。
根据实际情况，选取北京2个不同土地利用类型的交通小区：小区a和小区b，如图 1和图 2中黑色线框内的区域。其中，小区a位于三里屯，用地类型为商务办公场所，小区b内部是芳群公寓群，用地类型是居民住宅区。2个小区的道路拥堵指数、地铁出行量、公交车出行量时间变化趋势折线图如图 3和图 4所示。
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| 图 1 小区a地理信息图 Fig. 1 Geographic information map of Zone a |
| 图选项 |
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| 图 2 小区b地理信息图 Fig. 2 Geographic information map of Zone b |
| 图选项 |
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| 图 3 小区a三变量的变化趋势 Fig. 3 Variation tendency of three variables for Zone a |
| 图选项 |
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| 图 4 小区b三变量的变化趋势 Fig. 4 Variation tendency of three variables for Zone b |
| 图选项 |
2.2 数据平稳性及协整关系检验 在建立TVP-VAR模型之前，需要确定道路拥堵指数、地铁出行量、公交车出行量的数据平稳性和变量之间的长期相关性。
2.2.1 平稳性检验 采用单位根检验法中的增广迪基-福勒检验法(ADF)对道路拥堵指数、地铁出行量、公交车出行量3个时间序列进行平稳性检验，结果如表 1和表 2所示。
表 1 小区a的单位根检验 Table 1 Unit root test of Zone a
| 差分阶数 | 1%显著水平下的临界值 | ADF检验值 | ||
| 地铁出行量 | 公交车出行量 | 道路拥堵指数 | ||
| 原始水平 | -3.540 198 | -1.744 661 | -1.922 983 | -2.712 431 |
| 一阶差分 | -3.544 063 | -3.468 943 | -2.889 990 | -3.305 034 |
| 二阶差分 | -3.546 099 | -6.302 398 | -5.330 916 | -6.655 348 |
表选项
表 2 小区b的单位根检验 Table 2 Unit root test of Zone b
| 差分阶数 | 1%显著水平下的临界值 | ADF检验值 | ||
| 地铁出行量 | 公交车出行量 | 道路拥堵指数 | ||
| 原始水平 | -3.541 098 | -3.300 278 | -3.174 048 | -3.350 398 |
| 一阶差分 | -3.544 210 | -3.075 129 | -2.977 441 | -2.704 181 |
| 二阶差分 | -3.542 079 | -6.862 239 | -6.738 689 | -13.140 510 |
表选项
结果表明，在1%的显著水平下，小区a和小区b原始水平的地铁出行量、公交车出行量和道路拥堵指数的ADF检验值均大于临界值，表明3个时间序列都是不平稳的，同时3组序列的一阶差分序列也是如此。而小区a和小区b 3组时间序列的二阶差分均小于1%显著水平下临界值，表明其二阶差分序列为平稳序列。因此，小区a和小区b的地铁出行量、公交车出行量和道路拥堵指数都是二阶单整序列，可以进行协整关系检验。
2.2.2 协整关系检验 协整关系检验的目的是探究变量之间是否存在长期稳定的相关性，结果如表 3和表 4所示。迹统计量和最大特征值统计量均在至多2个条件下小于5%显著水平下的临界值。因此，表明小区a和小区b的地铁出行量、公交车出行量和道路拥堵指数之间存在协整关系，即长期稳定的相关性。
表 3 小区a的协整关系检验 Table 3 Co-integration test of Zone a
| 协整关系方程个数 | 特征根 | 迹统计量 | 最大特征值统计量 | |||||
| 检验值 | 5%显著水平下的临界值 | P值 | 检验值 | 5%显著水平下的临界值 | P值 | |||
| 无 | 0.320 949 | 34.334 680 | 29.797 070 | 0.014 0 | 24.384 740 | 21.131 620 | 0.016 8 | |
| 至多1个 | 0.107 859 | 9.949 939 | 15.494 710 | 0.284 6 | 7.190 264 | 14.264 600 | 0.466 9 | |
| 至多2个 | 0.042 859 | 2.759 675 | 3.841 466 | 0.096 7 | 2.759 675 | 3.841 466 | 0.096 7 | |
表选项
表 4 小区b的协整关系检验 Table 4 Co-integration test of Zone b
| 协整关系方程个数 | 特征根 | 迹统计量 | 最大特征值统计量 | |||||
| 检验值 | 5%显著水平下的临界值 | P值 | 检验值 | 5%显著水平下的临界值 | P值 | |||
| 无 | 0.775 583 | 117.285 700 | 29.797 070 | 0.000 0 | 94.137 620 | 21.131 620 | 0.000 0 | |
| 至多1个 | 0.285 834 | 23.148 040 | 15.494 710 | 0.002 9 | 21.208 330 | 14.264 600 | 0.003 4 | |
| 至多2个 | 0.030 320 | 1.939 713 | 3.841 466 | 0.163 7 | 1.939 713 | 3.841 466 | 0.163 7 | |
表选项
2.3 结果与分析 针对第1节的算法，将地铁出行量、公交车出行量、道路拥堵指数作为3×1的向量y代入TVP-VAR模型中，通过赤池信息准则(AIC)确定滞后阶数p=1，对于脉冲响应过程中，由于数据以15 min为单位时间间隔，确定了滞后阶数为1后，即选择在15、30、60和90 min滞后时间点分别计算脉冲响应，不同滞后时间反映变量间的相互作用关系在该滞后时间点的大小，选择多个滞后时间也是为了最大程度地捕捉出行方式之间的影响。先在时不变的模型中进行3 000次最小二乘迭代作为先验抽样，再基于先验的基础进行30 000万次蒙特卡罗马尔可夫链迭代，最终得出结果。
2.3.1 小区a 以每15 min为1个单位，图 5展示了小区a在15、30、60、90 min滞后情况下地铁出行量、公交车出行量和私家车出行量三者之间相互的时变脉冲响应。图中，横轴表示时间标识，纵轴表示脉冲响应大小，脉冲响应越大，则表示影响越显著。以地铁对公交车(见图 5(b))为例，地铁对公交车表示地铁出行量的增加对公交车出行量的影响。值得注意的是：①小区a是工作地，除了私家车出行量对自身的影响较为平稳，其余各子图都会在17:30时存在一个凸型峰值；②地铁出行量对私家车出行量影响(见图 5(c))和私家车出行量对公交车出行量影响(见图 5(h))的峰值在曲线中更接近0的点，表明在晚高峰时间，地铁出行量的增加不会对私家车出行量造成大的影响，同时由于公交车出行量的饱和，私家车出行量的增加也不会对公交车出行量造成大的影响。而变量间的其他相互关系则均在晚高峰时作用更明显，对于非高峰期，各出行方式之间的相互作用关系较为平稳。
 |
| 图 5 小区a不同滞后时间下的时变脉冲响应 Fig. 5 Time-varying impulse response of Zone a for different lag time |
| 图选项 |
地铁出行量和公交车出行量对私家车的影响(见图 5(c)、(f))很小，表明车主的出行不会受到公交车和地铁出行量的影响，主要原因是公交车和地铁班次数量是全天固定的，不会因为乘客出行量的增加而增加班次，因此道路的拥堵程度不会产生变化，即私家车出行量不会受到大的影响。对于地铁和公交车，地铁对公交车的脉冲响应(见图 5(b))是负的，表明地铁出行量的增加会减少公交车出行量，但是影响程度较弱，而公交车对地铁是正的(见图 5(d))，说明公交车出行量的增加会增加地铁出行量，即公交车和地铁两者的相互作用关系不是对称的。从而可以看出，选择地铁的乘客选择稳定性更强，同时当路网拥堵时，乘客更愿意选择地铁，相应的，如果地铁也拥堵，公交车的出行量也会减少。对于私家车对地铁和公交车的影响(见图 5(g)、(h))，私家车出行量的增加，即路网越拥堵，则地铁出行量会越多，相应的公交车出行量会越少，这与上面地铁和公交车的关系也是相对应的，即表明路网越拥堵，地铁出行量会越多，而公交车出行量会越少。
2.3.2 小区b 图 6展示了小区b在15、30、60、90 min滞后情况下地铁出行量、公交车出行量和私家车出行量三者之间相互的时变脉冲响应。不同于小区a，小区b是居民住宅区，因此该小区地铁出行量、公交车出行量和私家车出行量之间的相互作用关系大小在6:30存在峰值，针对此峰值，地铁出行量对公交车出行量的影响(见图 6(b))大小为凹型峰值，这是因为如果地铁出行量增加了，则表明更多的人选择了地铁，选择公交车出行的人即会变少，其余的峰值均为凸型。同样的，地铁出行量对私家车出行量影响(见图 6(c))和私家车出行量对公交车出行量影响(见图 6(h))的峰值为曲线中更接近0的点，说明在该小区，早高峰时间地铁出行量的增加不会对私家车出行量造成大的影响，私家车出行量的增加也不会对公交车出行量造成大的影响，同时，小区b在16:00地铁出行量对公交车出行量、私家车出行量的影响和公交车出行量对私家车出行量的影响(见图 6(b)、(c)、(f))存在凸型峰值，并且该峰值更接近0，表明在该时间点地铁出行量对公交车出行量和私家车出行量的影响较小，公交车出行量对私家车出行量的影响也较弱，而非峰值时段，不同出行方式之间的相互作用关系较为平稳。
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| 图 6 小区b不同滞后时间下的时变脉冲响应 Fig. 6 Time-varying impulse response of Zone b for different lag time |
| 图选项 |
与小区a相似，在小区b中地铁对公交车的脉冲响应(见图 6(b))是负的，公交车对地铁的脉冲响应(见图 6(d))正的，地铁出行量的增加对降低公交车出行量的影响较弱，而公交车出行量的增加会极大地增加地铁出行量，同样说明了选择地铁出行的选择稳定性要更强，而选择公交车出行的会受拥挤程度影响较大。公交车对私家车的脉冲响应(见图 6(f))是负的，即表明公交车出行量的增加会减少车主选择私家车出行，因为小区b是住宅区，说明针对不同的区域，车主针对开车出行的态度会有所不同。私家车出行量对地铁出行量和公交车出行量的影响(见图 6(g)、(h))也和小区a相似，私家车出行量的增加会增加地铁出行量而减少公交车出行量，而在时间变化趋势上差异较大，小区a的影响程度会在下午达到峰值，而小区b会在早晨达到峰值，即说明对于早高峰拥堵情况的区域，居民出行更倾向于选择地铁，而拥堵的道路环境会减少居民选择公交车出行。
3 结论 本文通过TVP-VAR模型探究城市交通小区地铁、公交车和私家车3种出行方式之间的时变相互作用关系，能更好地认识了中国现阶段多模式出行方式的时变相互作用关系，为政策制定者提供深层次的城市道路相互影响信息，以针对不同时间点做出相应的对策，研究对于城市建设和解决道路拥堵问题具有正向意义。具体地，本文根据北京市2个交通小区一个月工作日的全天分时段平均地铁出行量、公交车出行量和道路拥堵指数的时间序列数据，利用TVP-VAR模型分析三者之间的时变相互作用关系，结论表明，交通小区内地铁出行量、公交车出行量和私家车出行量三者之间存在一种长期的相互作用关系，具体结论如下：
1) 针对不同的用地类型，地铁出行量、公交车出行量和私家车出行量三者之间相互作用关系的大小整体不会有所不同，但是在时间演变趋势上会有差异。本文研究选择的小区a和小区b中，乘客对于地铁、公交车和私家车的态度几乎一致，区别在于：小区a中在17:30达到三者相互作用大小的高峰，小区b在6:30达到三者相互作用大小的高峰，同时在高峰时间点，地铁对私家车的影响和私家车对公交车的影响会减弱，而非高峰时段各出行方式间的相互作用关系则较为平稳。
2) 针对本文中2个小区，地铁出行量和公交车出行量之间的相互作用关系是非对称的，针对不同的用地类型，地铁出行量的增加会微弱地减少选择公交车出行的人数，而公交车出行量的增加会极大地增加选择地铁出行的人数。即居民选择地铁出行的稳定性要更大，而选择公交车出行的更容易受到影响而选择其他出行方式，这可能与公交车和地铁的行驶方式乘客等待环境相关，地铁因在地下行驶，到站准确率更高，而公交车则会受路网拥堵情况影响，时间准确性上会有所偏差，同时地铁是进站刷卡，然后再等待车辆到来，即乘客不会再因拥堵而选择其他出行方式，而公交车是上车刷卡，即乘客会根据等待的人数和道路环境而确定是否要选择公交车出行。
3) 针对本文中2个小区，地铁出行量和公交车出行量的大小变化不会影响私家车出行量。地铁和公交车出行量的增加不会导致道路班次的增加，因而私家车车主不会感受到这2个变量的影响，只会受到私家车出行量自身的影响。而私家车出行量的增加会增加地铁出行量并减少公交车出行量，即路网拥堵的情况下，出行者倾向于选择地铁，而选择公交车出行的乘客也会相应的选择其他出行方式，地铁的到站准确率为其吸引了大量的乘客，而选择公交车出行的乘客受到环境的影响选择其他方式的可能性会更大。
此外，本文也有一些局限性。本文只考虑了3种出行方式并使用道路拥堵指数代替私家车出行量，计算过程中没有考虑城市道路中的其他出行方式，虽然其他出行方式不会对本文中出行方式两两分析造成很大的影响，但结果会缺少因考虑其他出行方式而发生的变化，这与实际情况有一定不符。在今后的研究中也会努力完善。
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