针对备件配置模型，METRIC模型发展最早，以其为核心算法的V-METRIC、OPUS等商用软件广泛的应用于各行各业[1]。目前以可用度为评估指标，基于METRIC理论建立的备件保障模型可分为两大类：①备件需求处于稳定、备件消耗与补充达到平衡的稳态可用度模型；②备件需求变化大、备件消耗大于再生补充的非稳态时变可用度模型。针对系统处于稳态时的备件配置问题，Sherbrooke[2]开创了METRIC模型，在假设装备中所有部件均处于串联关系的条件下，依据备件期望短缺数求取装备可用度值。为了使METRIC模型有更好的适应性和计算精度，文献[3-4]在对保障等级、装备层级扩展的同时，对备件供应渠道分布的求取进行了修改，基于METRIC可用度模型基础上，建立了MOD-METRIC、VARI-METRIC模型。后续****在METRIC模型的基础上，放宽了METRIC模型假设条件，考虑维修能力限制、串件拼修等因素建立可用度模型[5-8]。对系统处于非稳态时的备件配置模型有：Isaacson[9]、Slay等[10]针对战时备件需求较平时起伏大、备件消耗快等特点，将METRIC可用度模型直接转换为时变可用度模型，建立了可持续航材模型(ASM)和DYNA-METRIC模型；Lau[11]、徐立[12]、周亮[13]等在此基础上，考虑装备钝化、维修能力限制等因素，对完全可修复的串联结构单元建立了时变可用度模型；文献[14]将稳态需求下的可用度公式直接转化为非稳态需求下的可用度公式，建立非稳态条件下备件适应性模型。以上对时变可用度模型的研究求取均从稳态可用度直接转化而来，未对可用度的适应性条件作进一步研究。
本文基于METRIC理论，建立了仅以备件期望短缺数计算的时变可用度模型和以备件期望短缺数及方差计算的时变可用度模型，以仿真可用度为标准，对系统处于稳态和非稳态时，比较了串联结构单元和表决结构单元在2种可用度模型的可用度值与仿真值的差异。结果表明：以备件期望短缺数及方差计算的时变可用度模型具有良好的适应性，以备件期望短缺数计算的时变可用度模型仅在备件修复概率为1，且装备结构均为串联时有较高的准确性。本文可用度模型可为不同部门制定备件方案提供目标可用度模型。
1 模型变量说明及假设条件 为简化问题，将备件保障系统看作一个单站点系统，对单站点装备可用度进行建模。建模过程中，其假设条件如下：
① 备件实行(s-1, s)连续保障策略，即一旦装备故障，立马对装备进行换件维修(s为备件数量)。
② 不考虑串件拼修。
③ 备件故障间隔服从泊松分布。
④ 备件修理时间服从指数分布。
2 备件供应渠道建模 2.1 时变需求率计算 装备工作时产生备件需求，当装备不工作时，需求为0，此称之为装备钝化。则t时刻装备部署现场的现场可更换单元(LRU)需求为
 | (1) |
式中：Ae(t－1)为装备e在t-1时刻的可用度；Mel为装备e中LRU的装机数；TlBF为LRU平均无故障间隔时间。
2.2 备件供应渠道计算 若站点对LRU修复概率为1，则t时刻LRU备件供应渠道为t时刻LRU正在修理的数量。若站点对LRU修复概率小于1，则t时刻LRU备件供应渠道由2部分组成：①t时刻站点中LRU正在修理的LRU数量；②0~t时刻站点LRU不可修累积的数量。
设站点对LRU修复概率为rl，平均修理时间为τl，则t时刻在修的LRU数量均值为
 | (2) |
由于备件需求服从泊松分布，因此t时刻LRU在修数量亦服从均值和方差相同的泊松分布。因此方差亦为
 | (3) |
t时刻站点中不可修的LRU数量均值为
 | (4) |
同理，t时刻站点中不可修的LRU数量方差为
 | (5) |
因此LRU修复概率小于1时，t时刻备件供应渠道为
 | (6) |
LRU修复概率等于1时，t时刻备件供应渠道为
 | (7) |
根据文献[15-17]可知，依据备件供应渠道均方差比值(VTMR)，当均方差大于1时，备件供应渠道数量服从参数为的Γ(a, b)的负二项分布，分布参数(a, b)为
 | (8) |
t时刻当作战单元j中LRU的供应渠道差均比小于1时，LRU的供应渠道服从η(p, n)的二项分布，分布参数(p, n)为
 | (9) |
t时刻当作战单元j中LRU的供应渠道差均比等于1时，LRU的供应渠道服从均值为E(Xl(t))的泊松分布。
3 时变可用度建模 3.1 时变可用度模型1 根据t时刻供应渠道均方差值与1的大小，可求取站点t时刻LRU供应渠道数为x个的概率Pl(x, t)，因此t时刻备件期望短缺数为
 | (10) |
式中：sl为初始备件数量。
 | (11) |
当系统处于稳态时，备件消耗与再生补充处于平衡状态，仓库现有备件处于稳定值，此时备件期望短缺数为一定值，式(11)直接变为
3.2 时变可用度模型2 根据t时刻站点中LRU供应渠道概率分布Pl(x, t)，结合式(10), 可求得t时刻LRU期望方差为
 | (12) |
而根据式(10)和式(12)求得的LRU短缺数均值与方差比值与1大小，结合式(8)、式(9)可求取对应分布参数，计算t时刻LRU短缺x个的概率BelO(x, t), 若t时刻LRU构成的单元最小工作数为mel, 则LRU构成的结构单元瞬时可用度为BelO(x≤(Mel－mel), t)，因此0~t时间段内LRU的可用度为
 | (13) |
由不同类LRU构成的装备e可用度为
 | (14) |
式中：indenture(1)为构成装备e第1层级的所有单元。
为方便对比分析不同条件下可用度模型1和可用度模型2计算得到的LRU可用度值，以计算单个LRU为例，比较2种可用度模型计算得到的LRU可用度值与仿真值的逼近程度。
4 仿真建模 根据备件保障流程，采用基于离散事件的Monte Carlo方法搭建仿真模型。整个备件保障可分为3类事件：备件入库事件、备件修理事件、装备换件维修事件。其仿真流程如图 1所示，每次计算仿真次数设置为500。图中：BOl为备件短缺数; M为LRU装机数; m为装备中要求LRU最少工作的数量; n为当前仿真的次数。
 |
| 图 1 备件仿真流程 Fig. 1 Spare part simulation process |
| 图选项 |
5 串联结构时变可用度计算 5.1 串联结构修复概率为1时可用度比较 根据式(1)~式(10)计算出备件期望短缺数后，分别采用时变可用度模型1和时变可用度模型2计算表 1结构中各部件的可用度。根据备件边际优化曲线可知[15]，装备可用度增长速度随备件数量变化规律为：先快后慢，趋向于扁平化。当装备可用度达到一定数值后，可用度随备件数量增加敏感度下降。因此比较模型1和模型2可用度差异时，在可用度小于0.90时更能显现，后续比较不同备件数量下可用度差异时，亦以此基本原则。以模型2与模型1计算得到的可用度差值为标准，得到任务期间不同备件数量下LRU可用度差值随时间变化如图 2所示。图 2中s=0(0.78)表示LRU备件数为0，括号中数值为可用度模型2计算得到的LRU在2 000 h时的可用度，图 3、图 6同此处。
表 1 备件保障信息清单 Table 1 List of spare parts and support information
| LRU | MTBF/h | M/个 | m/个 | τl/h |
| LRU1 | 600 | 1 | 1 | 200 |
| LRU2 | 600 | 2 | 2 | 200 |
| LRU3 | 600 | 3 | 3 | 200 |
表选项
 |
| 图 2 LRU可用度差值随时间变化(r1=1) Fig. 2 Variation of LRU availability difference with time (r1=1) |
| 图选项 |
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| 图 3 LRU可用度差值随时间变化(r1＜1) Fig. 3 Variation of LRU availability difference with time (r1 < 1) |
| 图选项 |
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| 图 4 m/M=2/3时LRU4可用度变化 Fig. 4 Variation of LRU4 availability for m/M=2/3 |
| 图选项 |
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| 图 5 m/M=1/3时LRU4可用度变化 Fig. 5 Variation of LRU4 availability for m/M=1/3 |
| 图选项 |
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| 图 6 表决结构下LRU5可用度差值随时间变化 Fig. 6 Variation of LRU5 availability difference with time under voating structure |
| 图选项 |
分析图 2中曲线变化可知，当t>500 h时，不同装机数的LRU可用度差值基本不再随时间变化，这是因为在完全可修复系统里，备件维修运输周转数达到稳态，可用度不再随时间发生变化。
对比每个LRU中不同备件数量下的可用度差值可知，备件数量越多，2种公式计算得到的可用度差值越接近，且即使备件数量为0时，2种可用度模型计算得到的装备可用度相差不会超过3%。因此可用度模型1和可用度模型2均可计算串联结构下完全可修复系统的可用度，但可用度模型1仅需根据备件期望短缺数即可得到，因此计算效率更高。
5.2 串联结构修复概率小于1时可用度比较 对于执行任务的作战单元，其故障件修复概率通常小于1。当LRU修复概率为0.60时，表 1中不同类型LRU在不同备件数量下的2种模型可用度差值如图 3所示。
分析图 3中不同装机数的LRU可用度差值。从图 3(a)可知，当备件数量为0时，模型1计算得到的可用度与模型2计算得到的可用度在2 000 h相差高达0.13。而随着备件数量的增加，可用度差值越来越小，2种模型计算得到的可用度越来越接近。
图 3(b)和图 3(c)则是在LRU数量分别为1和2时，可用度差值最大，均接近0.1，此时LRU在2 000 h的可用度值为0.58和0.60。
取图 3中可用度差值最大的LRU备件数量，比较可用度模型1和可用度模型2计算得到的可用度与仿真值的差异。当LRU1、LRU2、LRU3数量分别为0、1、2时，在任务时长为2 000 h，可用度模型1、可用度模型2和仿真模型计算得到的可用度如表 2所示。
表 2 不同模型的可用度值 Table 2 Availability values for different models
| LRU | 备件数量 | 仿真值 | 模型1 | 模型2 | |||
| 解析值 | 仿真与解析值相对误差/% | 解析值 | 仿真与解析值相对误差/% | ||||
| LRU1 | 0 | 0.530 | 0.415 | -21.7 | 0.55 | 3.8 | |
| LRU2 | 1 | 0.590 | 0.490 | -16.9 | 0.58 | -1.7 | |
| LRU3 | 2 | 0.610 | 0.505 | -0.6 | 0.60 | -1.6 | |
表选项
从表 2中可知，可用度模型2计算得到可用度与仿真值更接近，相对误差值不超过3.8%。
6 表决结构时变可用度计算 6.1 表决结构修复概率为1时可用度比较 LRU4为表决结构单元，其备件清单如表 3所示。
表 3 LRU4备件清单 Table 3 LRU4 spare part list
| LRU | MTBF/h | M/个 | τl/h |
| LRU4 | 600 | 3 | 200 |
表选项
当任务时间分别为100，200，…，2 000 h时，当LRU最小工作数为2，s=0和s=1时，3种模型计算得到的可用度随时间变化分别如图 4(a)和图 4(b)所示，当LRU最小工作数为1、s=0时，3种模型计算得到的可用度随时间变化如图 5所示。
分析图 4中不同冗余度的LRU在不同备件数量下可用度随时间变化可知，采用可用度模型2计算得到的可用度与仿真结果高度一致。而可用度模型1按照串联结构计算的到的可用度存在较大误差，特别是当m=1，s=0时，可用度模型1计算得到的可用度值与仿真得到的结果最大误差值高达42%。因此当装备中存在表决结构时，采用可用度模型1会备件配置数量过于保守，不宜采用可用度模型1计算装备可用度。
6.2 表决结构修复概率小于1时可用度比较 从5.2节可知，在完全可修复系统里，当LRU为表决结构单元时，采用可用度模型2计算得到的结果与仿真结果一致，而采用可用度模型1计算得到的可用度值与仿真结果出入较大，主要是可用度模型1将LRU表决结构看作串联结构处理，计算得到的可用度远低于实际值。因此本节在对备件保障系统处于非稳态时2种可用度模型适用性比较时，仅需比较可用度模型2计算得到的可用度值与仿真值的差异。
LRU5备件部件清单如表 4所示。当LRU装机数为5，最小工作数m依次为1、2、3、4时，仿真得到的可用度值与可用度模型2计算得到的可用度差值随时间变化与如图 6所示。
表 4 LRU5备件清单 Table 4 LRU5 spare part list
| LRU | MTBF/h | M/个 | τl/h |
| LRU5 | 600 | 5 | 200 |
表选项
分析图 6中不同m值下解析可用度与仿真可用度最大差值变化可知，当m值越大时，在LRU可用度相近时，LRU解析计算的可用度值与仿真可用度值越接近。如LRU可用度为0.73左右时，图 6(a)、图 6(b)、图 6(c)、图 6(d)中LRU可用度与仿真可用度绝对误差值依次为0.21、0.12、0.015、0.001。
当m≥3时，即使LRU可用度小于0.70，可用度模型2计算得到的LRU可用度与仿真可用度最大误差不超过3.5%。而当m＜3时，仅在LRU可用度在0.90附近时，LRU解析可用度值与仿真可用度误差较小，不超过5%。在可用度小于0.80时，解析可用度值与仿真可用度值误差均超过10%。这是因为当消耗件服从指数寿命分布时，对m/M表决结构系统，当m≥M/2(M为偶数)或m≥(M+1)/2(M为奇数)，表决结构系统的寿命接近指数分布，备件需求更接近泊松分布，模型算法有更好的适应性；当m＜M/2(M为偶数)或m＜(M+1)/2(M为奇数)，表决结构系统的寿命接近伽马分布, m越小，表决结构系统的寿命分布越接近伽马分布[18]，模型的适应性越差，误差越大。而根据文献[18]可知，当备件修复概率小于1时，可修复件可以等效为等寿命的消耗件，因此表决结构单元m数量不同时，呈现出上述误差特征。
7 结论 本文基于METRIC理论建立了2种时变可用度模型，以仿真结果为标准，对稳态(备件修复概率为1)和非稳态(修复概率小于1)保障系统，分别采用2种可用度模型对表决结构单元和串联结构单元时变可用度进行了计算，从计算结果得到：
1) 对串联结构单元，若备件保障系统处于稳态时，2种可用度模型计算得到的可用度与仿真值一致，可用度模型1计算效率更高，适合于装备全寿命周期内备件配置优化的计算。若备件保障系统处于非稳态时，可用度模型2的适用性范围更广，计算结果更准确，适合于评估和优化。
2) 对表决结构单元，可用度模型1不适合计算表决结构单元可用度。若备件保障系统处于稳态时，可用度模型2计算得到的可用度与仿真结果一致；若备件保障系统处于非稳态时，当m≥M/2(M为偶数)或m≥(M+1)/2(M为奇数)，可用度模型2计算得到的可用度与仿真结果一致，当m＜M/2(M为偶数)或m＜(M+1)/2(M为奇数)时，在可用度较高时，可用度模型2计算得到的可用度与仿真结果一致。
LRU作为现场可更换单元，一般具备操作方便、换件时间短等特点，在装备设计时，适当的冗余度可以提高装备的可靠性，但过大的冗余度则会增加装备的体积，因此，表决结构单元中LRU的冗余度不会太大，大多数表决结构中最小工作数大于或等于M/2 (M为偶数)，且工程实践中装备可用度要求常处于区间[0.80, 0.99]之间，因此可用度模型2具有较高的精确性，能为任务期间作战单元备件配置优化提供目标可用度模型。
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