20世纪90年代以来，量子技术特别是低温物理学的研究取得了重大突破[5]，基于低温物理效应的超流体干涉栅陀螺开始进入人们的视线。理论上这种基于物质波干涉效应的陀螺仪的计算灵敏度比激光干涉陀螺仪高将近10个数量级，因此引起各国的极大兴趣。美国的伯克利分校、哈佛大学、俄罗斯的科学研究院等机构竞相开始研究[6]。凭借其在体积、重量、精度及灵敏度方面的优势，未来有望被应用于深空探测、航空航天导航、潜艇导航、大地测量等长航时、大航程高精度军、民用领域。
目前超流体干涉栅陀螺的研究尚停留在机理推导和初步实验阶段[7]。文献[8]发现超流体在流过微小孔径阵列时发生约瑟夫森效应，产生的物质波以接近声速的速度在液体中传播；文献[9]基于约瑟夫森效应设计了双弱连接超流体干涉栅陀螺干涉仪，从薄膜幅值中提取出地球自转角速度分量；文献[10]首次提出了超流体干涉栅陀螺结构，分析了该结构在灵敏度和噪声抑制方面的优势；文献[11]提出了超流体多层环路盘结构，优化了陀螺的灵敏度和精度性能，然而同文献[10]中的干涉栅类似，结构中引入了梯度热相位，使得角速度信息会被淹没，不易于角速度信息的提取。为此本文在分析超流体干涉栅陀螺梯度热相位形成机理基础上，对超流体干涉栅陀螺结构进行优化，提出了无梯度热相位的扇形超流体干涉栅陀螺结构。对新型陀螺的工作机制进行了建模，分析了相关参数对系统的角速度检测范围的影响，通过仿真对比，验证了该结构在精度和灵敏度方面的优势。
1 梯度热相位产生机理 2008年美国伯克利分校的研究员Sato等[10]首次提出并研制成功了基于物质波干涉的多弱连接超流体干涉栅陀螺，该结构如图 1所示，超流体干涉栅陀螺主要由热驱动装置、干涉环路和薄膜位移检测模块组成。图 1中，l为相邻环路AB间的距离，δ为加热管路的横截面积，4个弱连接分别编号为1、2、3、4。陀螺工作时，热驱动装置通过加热电阻使得弱连接两侧形成化学势差，超流体在化学势差的作用下在布满由孔径为60 nm、间隔为3 μm的若干微孔组成的弱连接处发生约瑟夫森效应，形成物质波。流经各弱连接的物质波流量分别为[12]
 | (1) |
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| 图 1 超流体干涉栅陀螺 Fig. 1 Superfluid interference grating gyro |
| 图选项 |
式中：Ici和Δφi分别为流过第i个弱连接的超流体临界流量和弱连接两侧的相位差。
则超流体在干涉栅中的总流量为
 | (2) |
根据二流体模型，常流体在化学势差作用下进行熵的传递，通过加热电阻丝使得常流体以vn运动，加热电阻引起的单位面积的热通量[13]：
 | (3) |
式中：
超流体的流速vs和相位梯度▽φh之间的关系满足[14]：
 | (4) |
式中: m4为超流体氦Ⅱ的原子质量；h为普朗克常数。
沿加热管路的净流量为[15]
 | (5) |
式中: ρs为超流体的密度；ρn为常流体密度。
当达到平衡时净流量为0，此时常流体流速可表示为
 | (6) |
对相位梯度沿加热管路的AB段积分，得到图 1中AB段的相邻干涉环路间存在的由距离l引起的梯度热相位：
 | (7) |
对于由4弱连接组成的超流体干涉栅陀螺，其相位分布如图 2所示，其中由弱连接1和弱连接2组成的干涉环路1中，当无角速度输入时，环路1中的相位关系满足[16]：
 | (8) |
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| 图 2 超流体干涉栅陀螺相位分布 Fig. 2 Superfluid interference grating gyro phase distribution |
| 图选项 |
在相邻干涉栅距离相等的情况下，依次类推可得由于梯度热相位的引入，使得弱连接n处产生的物质波相位为
 | (9) |
2 扇形超流体干涉栅陀螺建模 2.1 扇形超流体干涉栅陀螺的提出 当输入角速度存在时，由图 2可知，此时超流体干涉栅陀螺中的相位关系为
 | (10) |
式中：Δφs为外界转动引起的相位，由物质波Sagnac效应得到转动相位[17]：
 | (11) |
式中: A为陀螺敏感面积；ω为外界输入的角速度。
则弱连接2的相位为Δφ2=Δφ1+Δφh+Δφs。
超流体干涉栅陀螺的主要作用是实现外界角速度的检测，而传统的干涉栅结构的设计引入了梯度热相位Δφh，在进行角速度检测时Δφh可被看作无用扰动信息，尤其当存在结构参数波动的情况下，将不利于角速度信息的提取。为此可以考虑设计如图 3所示的无梯度热相位的新型超流体干涉栅陀螺，该结构使得相邻干涉环路的距离l=0，相邻环路不再存在梯度热相位。则对应弱连接2处的相位改写为Δφ2=Δφ1+Δφs，此时弱连接之间的相位差仅与转动相位相关。
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| 图 3 新型超流体干涉栅陀螺 Fig. 3 New superfluid interference grating gyro |
| 图选项 |
进一步考虑结构紧凑性和小体积的需求，由式(11) 可知，转动相位与干涉环路面积成比例关系。为便于计算，在保证相邻干涉环路面积相等的前提下设计如图 4所示的扇形干涉栅结构。
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| 图 4 扇形干涉栅简图 Fig. 4 Schematic diagram of fan shaped interference grating |
| 图选项 |
该扇形超流体干涉栅陀螺由热驱动装置、干涉环路和薄膜组成。由于相邻干涉环路间无梯度热相位，则热驱动装置可看成是点热源H。
2.2 扇形超流体干涉栅陀螺的数学模型 在弱连接数为n的扇形超流体干涉栅中，相邻干涉环路面积A1=A2=…=An=A，则各弱连接处的相位为
 | (12) |
超流体干涉栅陀螺结构的物质波总流量为
 | (13) |
式中：Im为超流体总的流量幅值；α为超流体总的等效相位移。
考虑弱连接完全一致的情况下，通过弱连接的临界流量大小一致，即Ici=Ic，则超流体干涉栅陀螺的流量幅值和相位:
 | (14) |
当n=6时，6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺中的总流量为
 | (15) |
式中: I(t)为t时刻陀螺的总流量，kg/s；fJ为约瑟夫森工作频率, Hz。
在超流体物质波流量的作用下将引起薄膜位移发生变化，超流体干涉环路中薄膜位移的变化与超流体流量的关系为[18]
 | (16) |
式中: x(t)为t时刻陀螺的薄膜位移，m；Af为陀螺的薄膜面积, cm2。
最终通过超导量子干涉仪实现对薄膜位移信息的监测。超流体干涉栅陀螺的工作实质是通过将输入的待检测角速度信息转换为物质波流量信息和薄膜的位移信息，再通过该薄膜位移信息逆解算出对应的角速度信息，从而实现角速度的检测。
超流体干涉栅陀螺的工作相关参数：约瑟夫森频率为700 Hz，弱连接微孔数为4 225，临界流量为5.6×10-12 kg/s，总流体密度为146 kg/m3，敏感面积为10 cm2，薄膜面积为0.5 cm2。当n=6时，扇形超流体干涉栅陀螺的工作曲线如图 5所示，从图中可以看出，外界角速度输入情况下，流量幅值在转动相位为2π的整数倍时达到最大值1.42×10-7 kg/s，陀螺的流量幅值随着转动相位的增加而呈现一种周期性的变化，在区间[0，π/3]内，根据流量幅值可以求得转动相位的唯一解。
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| 图 5 超流体干涉栅陀螺工作曲线 Fig. 5 Superfluid interference grating gyro working curve |
| 图选项 |
进一步分析外界角速度对陀螺流量和薄膜位移的影响，考虑无角速度输入时，仿真得到超流体干涉栅陀螺的流量和薄膜位移随时间变化的曲线如图 6所示。由图可知无角速度输入时，陀螺的流量和薄膜位移在某一固定位置处上下波动，波动频率为约瑟夫森频率。曲线的振动幅值可以通过对图 6中的峰-峰值之和求平均值而得到，通过计算得到流量的幅值AI0=1.419 5×10-7 kg/s，薄膜位移的幅值Ax0=4.421 5×10-9 m。对比AI0和Ax0，可知流量振幅约为薄膜位移振幅的32倍。这是由于根据式(15)、式(16) 可以得到薄膜的位移幅值xm和流量幅值Im的关系满足xm=Im/2πfJρAf≈1/32，可见仿真曲线真实地反应了陀螺的流量和薄膜位移的关系。
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| 图 6 无角速度输入时流量和薄膜位移曲线 Fig. 6 Flow and film displacement curves without angular velocity input |
| 图选项 |
输入恒定角速度10-6 rad/s后，超流体干涉栅陀螺的流量和薄膜位移的仿真曲线如图 7所示，同样通过图中坐标计算得到此时陀螺的流量幅值AI1=1.386×10-7kg/s。薄膜位移的幅值Ax1=4.318×10-9m，在输入角速度作用下，陀螺的流量和薄膜位移生了幅值调制，均相应的减少了约2.4%，且流量振幅与薄膜位移振幅的比例关系仍然保持不变，曲线真实地反应了陀螺的流量和薄膜位移信息。
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| 图 7 输入恒定角速度10-6 rad/s后流量和薄膜位移曲线 Fig. 7 Flow and film displacement curves when input angular velocity is 10-6 rad/s |
| 图选项 |
事实上陀螺实际工作时，只要超导量子干涉仪实时监测下薄膜的位移变化，在约瑟夫森周期内对采集的薄膜位移进行傅里叶变化，得到约瑟夫森频率下对应的幅值即为薄膜的位移幅值xm，根据流量薄膜幅值关系再结合式(14)，便可解算得到对应角速度信息。
3 扇形超流体干涉栅陀螺性能 3.1 检测角速度范围分析 由超流体干涉栅陀螺工作曲线可以看出，当角速度引起的转动相位不大于π/3时，超流体干涉栅陀螺的流量幅值和转动相位之间是一一对应的，此时根据流量幅值可以求得唯一的角速度。由此根据式(11)，可解得超流体干涉栅陀螺的最大检测角速度为8.253×10-6 rad/s。
受限于超流体干涉栅陀螺工作的特殊性，角速度信息是通过薄膜信息量间接得到的，而用于检测薄膜位移的超导量子干涉的精度目前最高只能达到10-15 m。为此外界输入角速度作用下，须使得超流体干涉栅陀螺的薄膜位移幅值变化量大于超导量子干涉仪的测量精度，否则外界角速度将无法被检测到。则超流体干涉栅陀螺的最小可检测角速度满足：
 | (17) |
式中：N为单弱连接的微孔数目。
考虑输入角速度引起的转动相位较小情况时，正弦函数在该转动相位下的取值为正，同时根据倍角正弦公式，忽略高阶项有
 | (18) |
结合式(17)、式(18)，计算得到由6弱连接组成的扇形超流体干涉栅陀螺的最小检测角速度为3.103 9×10-9 rad/s。在不考虑陀螺噪声的影响下，通常认为陀螺的测量精度即是陀螺所能检测的最小角速度，可见本文提出的6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺具有超高的角速度测量精度。
超流体干涉栅陀螺的性能在很大程度上取决于相关参数的选取，明晰参数对陀螺检测角速度的影响是分析陀螺性能的关键。其他参数相同情况下，薄膜面积Af取不同值时陀螺的最大检测角速度ωmax和最小检测角速度ωmin随敏感面积的变化曲线如图 8所示。
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| 图 8 不同Af时陀螺的检测角速度曲线 Fig. 8 Gyro angular velocity detection curves with different Af |
| 图选项 |
图 8中敏感面积为10 cm2，薄膜面积Af分别取0.3、0.5、1 cm2时，陀螺的最小检测角速度分别为2.404×10-9、3.104×10-9和4.39×10-9 rad/s。可见在其他参数相同情况下，薄膜面积越小，陀螺的角速度检测精度越高。由图可知陀螺的最大和最小检测角速度均随着敏感面积的增大而减小。在薄膜面积为0.5 cm2的情况下，对比敏感面积为5、10、15 cm2时陀螺可检测的最小角速度分别为6.208×10-9、3.104×10-9和2.069×10-9 rad/s，可见敏感面积的变化对检测精度的影响逐渐减小。
图 9为其他参数相同情况下，不同约瑟夫森频率下陀螺的最大检测角速度ωmax和最小检测角速度ωmin随敏感面积的变化曲线。分析图 9可知，在不同约瑟夫森频率下，陀螺最大和最小检测角速度随敏感面积的变化趋势相同，且这种趋势在敏感面积为10 cm2之后逐渐减小。在敏感面积为10 cm2的情况下，陀螺约瑟夫森频率分别取100、700、1 000 Hz时对应的最小检测角速度分别为1.173×10-9、3.104×10-9和3.71×10-9rad/s，超流体干涉栅陀螺的测量精度在100 Hz时最高。然而由于受到制冷条件的限制，低频约瑟夫森频率较难实现，实际工作中应适当地选取约瑟夫森频率。
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| 图 9 不同fJ时陀螺的检测角速度曲线 Fig. 9 Gyro angular velocity detection curves with different fJ |
| 图选项 |
图 10为其他参数相同情况下，微孔数目不同时陀螺的最大检测角速度ωmax和最小检测角速度ωmin随敏感面积的变化曲线。由图可知微孔数目对陀螺的测量精度有一定的影响，但微孔数目大幅提升，最小检测角速度曲线变化幅度并不大。在敏感面积为10 cm2的前提下，当微孔数目由3 025增加为4 225时，对应的最小检测角速度仅由3.668×10-9rad/s变为3.104×10-9rad/s，可见微孔数目的增加对测量精度的提升并不明显。
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| 图 10 不同N时陀螺的检测角速度曲线 Fig. 10 Gyro angular velocity detection curves with different N |
| 图选项 |
对比图 8~图 10可知，陀螺的最大检测角速度只与陀螺的敏感面积相关，与其他参数取值无关。降低薄膜面积和交流约瑟夫森频率，提高微孔数目都会提高超流体干涉栅陀螺的测量精度。然而薄膜面积过小会引起弹性薄膜性能的下降和加工难度加大的问题，微孔数目过多又会致使陀螺体积增大，制冷技术的限制又迫使无法实现较低的约瑟夫森频率。在敏感面积一定的情况下，无论如何优化薄膜面积、约瑟夫森频率、微孔数目，都无法提高陀螺的最大检测角速度。
进一步分析弱连接数n对检测角速度的影响，n取不同值时的陀螺工作曲线如图 11所示。由图可知，OA、OB、OC分别对应弱连接数为2、4、8时，转动相位和流量幅值的单值区间的边界点。随着弱连接的不断增加，该边界点不断趋向0点，对应的流量幅值-转动相位的单值求解区间不断变小。通过边界点坐标计算得到，当弱连接数分别取2、4、8时，陀螺的最大检测角速度分别为2.476×10-5、1.238×10-5和6.19×10-6rad/s。可见弱连接数越多，超流体干涉栅陀螺的最大检测角速度越小。为此，对于超流体干涉栅陀螺而言，弱连接数不宜选取过多，否则会导致陀螺的量程太小，无法实现工程应用。
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| 图 11 不同n时陀螺的工作曲线 Fig. 11 Gyro working curves with different n |
| 图选项 |
3.2 灵敏度分析 超流体干涉栅陀螺的输入为角速度信息，输出为物质波流量幅值，根据传统陀螺对灵敏度的定义，6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的灵敏度可表示为
 | (19) |
6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的灵敏度与转动相位的关系曲线如图 12所示，对比陀螺的工作曲线可以看出，灵敏度曲线在流量幅值的最大点处达到最小，随着流量幅值的减小，灵敏度不断增大，在流量幅值的极小点处达到极大值，之后灵敏度曲线随着转动相位周期性的变化。
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| 图 12 扇形超流体干涉栅陀螺灵敏度曲线 Fig. 12 Fan shaped superfluid interference grating gyro sensitivity curve |
| 图选项 |
为了便于分析，通常将超流体干涉栅陀螺的角速度感受灵敏度Ks定义为[19]
 | (20) |
在6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的整个工作区间中，灵敏度的最大值为0.023 62 kg/rad，则陀螺的角速度感受灵敏度为0.023 62 kg/rad。
取n=2，4得到双弱连接和4弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的灵敏度曲线如图 13所示。
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| 图 13 超流体干涉栅陀螺灵敏度曲线 Fig. 13 Superfluids interference grating gyro sensitivity curves |
| 图选项 |
对比陀螺的工作曲线可以看出，灵敏度值和流量幅值的变化趋势与6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺相同，灵敏度曲线随着转动相位周期性地变化。在流量幅值的极小点处达到极大值。取极大值中的最大值，得到2弱连接超流体干涉栅陀螺和4弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的角速度感受灵敏度分别为0.003 002 kg/rad和0.010 55 kg/rad。
对比图 12、图 13可以发现，对于弱连接n > 2的陀螺角速度感受灵敏度Ksn与2弱连接超流体干涉栅陀螺角速度感受灵敏度Ks2的关系近似满足：Ksn/Ks2≈0.2n2。6弱连接扇形超流体干涉栅的灵敏度是2弱连接超流体干涉栅陀螺灵敏度的7.2倍左右。弱连接数目越多，对应的角速度感受灵敏度越大，但n过大又会限制陀螺的检测范围。实际工作中，应综合考虑加工工艺、制冷技术、小型化、可实现性和性能需求等因素，合理选取相关参数。
4 结论 传统热驱动型超流体干涉栅陀螺结构中梯度热相位的引入，使得角速度信息被淹没而不易于提取。为此本文提出了一种新型的多弱连接扇形超流体干涉栅陀螺结构，得到以下结论：
1) 6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的工作曲线呈周期性变化，其流量幅值-转动相位的单值求解区间为[0, π/3]，流量幅值和薄膜位移幅值始终存在xm=Im/2πfJρAf≈1/32的比例关系。
2) 6弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的检测角速度范围为10-9~10-6 rad/s，可实现超高精度的角速度检测。陀螺的最大检测角速度只与弱连接数和敏感面积相关，与其他参数无关。为进一步提高陀螺的测量精度，可通过适当地降低薄膜面积和约瑟夫森频率，或增加微孔数目来实现。
3) n弱连接扇形超流体干涉栅陀螺的角速度感受灵敏度是2弱连接超流体干涉栅陀螺灵敏度的0.2n2倍左右，可以通过增加弱连接数实现更高的灵敏性能，但n不宜过大，否则会限制陀螺的检测范围。
参考文献
| [1] | LIN Y R, ZHANG W, XIONG J Q. Specific force integration algorithm with high accuracy for strap down inertial navigation system[J].Aerospace Science and Technology, 2015, 42: 25–30.DOI:10.1016/j.ast.2015.01.001 |
| [2] | FANG J C, SUN J J, XU Y L, et al. A new structure of permanent magnet biased axial hybrid magnetic bearing[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2009, 45(12): 5319–5325.DOI:10.1109/TMAG.2009.2024687 |
| [3] | HAN B C, HU G, FANG J C. Optimization design of magnetic suspended gyroscope rotor[J].Optics and Precision Engineering, 2006, 14(4): 662–666. |
| [4] | YUAN J G, YUAN Y T, PANG Y, et al. An improved noise reduction algorithm based on wavelet transformation for MEMS gyroscope[J].Frontiers of Optoelectronics, 2015, 8(4): 413–418.DOI:10.1007/s12200-015-0474-2 |
| [5] | CRISAN M, GROSU I, TIFREA I, et al. Low temperature behavior of a two-dimensional quantum antiferromagnet[J].Journal of Superconductivity, 2004, 17(4): 503–507.DOI:10.1023/B:JOSC.0000041787.95934.6e |
| [6] | PACKARD R. Principles of superfluid helium gyroscopes[J].Physical Review B, 1992, 46(6): 3540–3549.DOI:10.1103/PhysRevB.46.3540 |
| [7] | GOLOVASHKIN A I, ZHERIKHINA L N, TSKHOVREBOV A M, et al. Ordinary SQUID interferometers and superfluid helium matter wave interferometers:The role of quantum fluctuations[J].Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2010, 111(2): 332–339.DOI:10.1134/S1063776110080285 |
| [8] | PARCARD R. The role of the Josephson-Anderson equation in superfluid helium[J].Reviews of Modern Physics, 1998, 70(2): 641–651.DOI:10.1103/RevModPhys.70.641 |
| [9] | HOSKINSON E.Superfluid 4He weak links [D].Berkeley:University of California, 2005:45-58. |
| [10] | SATO Y, ADITYA J, PACKARD R. Superfluid 4He quantum interference grating[J].Physical Review Letters, 2008, 101(8): 085302-1–085302-4. |
| [11] | 谢征. 基于物质波干涉效应的新型低温超流体干涉栅陀螺关键技术研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2012: 121-125. XIE Z.Research on the key techniques for new cryogenic superfluid gyroscope based on matter wave interference effect[D].Nanjing:Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2012:121-125(in Chinese). |
| [12] | AVENEL O, HAKONEN A P, VAROQUAUX E. Detection of the rotation of the earth with a superfluid gyrometer[J].Physical Review Letters, 1997, 78(19): 3602–3605.DOI:10.1103/PhysRevLett.78.3602 |
| [13] | HOSKINSON E, PACKARD ackard R. Thermally driven Josephson oscillations in superfluid 4He[J].Physical Review Letters, 2005, 94(15): 155303-1–155303-4. |
| [14] | SATO Y, ADITYA J, PACKARD R. Flux locking a superfluid interferometer[J].Applied Physics Letters, 2007, 91(7): 1–3. |
| [15] | SATO Y.Experiments using 4He weak link [D].Berkeley:University of California, 2007:51-58. |
| [16] | NARAYANA S, SATO Y. Superfluid quantum interference in multiple-turn reciprocal geometry[J].Physical Review Letters, 2011, 106(6): 255301-1–255301-4. |
| [17] | SIMMOND R W.Josephson weak link quantum interference in superfluid 3He[D].Berkeley:University of California, 2002:36-38.http://www.annualreviews.org/doi/full/10.1146/annurev-conmatphys-031214-014350 |
| [18] | GOLOVASHKIN A I, IZMA?LOV G N, OZOLIN V V. Scheme of laboratory measurements of gravimagnetic effects with SHeQUID equipped with a rotation flux transformer[J].Gravitation and Cosmology, 2010, 16(1): 78–84.DOI:10.1134/S0202289310010123 |
| [19] | SIMMOND R W, MARCHENKOV A, HOSKINSON E, et al. Quantum Interference of Superfluid 3He[J].Nature, 2001, 412(6842): 55–58.DOI:10.1038/35083518 |
