应用数学
Applied Mathematics
（070104）
● 培养方案
（一）培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、本专业的主要内容是微分方程、动力系统、生物数学和数学建模。培养博士生在应用数学学科掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，在应用数学专业的某一方向有深入系统的研究，并取得创造性成果。毕业后具有独立从事科学研究的能力。
（二）研究方向
1、 随机微分方程Stochastic Differential Equations
本方向的主要研究内容： 随机常微分方程/泛函微分方程/偏微分方程解的性质、随机流、 比较原理和遍历性质。
主要导师：蒋继发教授。
2、 生物数学 Mathmatical Biology
本方向的主要研究内容：对生态、生命和传染病学等学科的实际问题进行数学建模， 理论分析，并在理论上给实际问题提供一些策略。
主要导师：蒋继发教授
3、 微分方程与动力系统 Differential Equations and Dynamical Systems
本方向的主要研究内容：微分方程定性理论、动力系统分支理论等。
主要导师：韩茂安教授。
（三）学制
一般为3年。如确有必要经批准最多可延长学习年限3年，原则上不批准提前毕业。
（四）课程设置与学分要求
1、必修课程：
（1）学位公共课程：
政治理论课（3学分）
第一外国语The First Foreign Language（4学分）
（2）学位专业课
随机分析初步 Introduction to Stochastic Integration（3学分）
随机微分方程 Stochastic Differential Equations（3学分）
动力系统与混沌 Dynamical Systems and Chaos (3学分)
微分方程现代理论 Advanced Course of Differential Equations （3学分）
反应扩散方程引论 Introduction to Reaction Diffusion Equations（3学分）
极限环分支理论 Bifurcation Theory of Limit Cycles (3学分)
生物数学 Mathmatical Biology（3学分）
随机动力系统 Random Dynamical Systems（3学分）
偏微分方程基础理论 Basic Theory of Partial Differential Equations（3学分）
综合学术讨论课 Seminars of Comprehensive Academics（2学分）
学术前沿讲座 Lectures of Academic Frontiers（1学分）
2、选修课程：
专业外语 Specialized Foreign Language（2学分，限选）
泛函分析 Functional Analysis（2学分）
代数学基础 Basic Algebra（2学分）
拓扑学基础 Basic Topology（2学分）
数值分析 Numerical Analysis（2学分）
数学物理方程 Mathematical Physics Equations（2学分）
概率与测度 Probability and Measure（2学分）
最优化与最优控制 Optimization and Control（2学分）
（五）培养方式与考核方式
博士生课程学习一般应在第一学年完成。学位基础课和专业课采用教师讲授与讨论相结合的方式，以讲授为主，某些章节可以在教师指导下由学生轮流报告。专业选修课采用教师讲授与学生报告相结合的方法。从二年级开始，根据各研究方向，学生在导师指导下查阅和报告有关文献，开展专题讨论，在此基础上形成毕业论文题目，并围绕该题目进行研究，最后完成毕业论文，进一步提高学生科研能力和创新意识。
考试或考查方式，可以采取学术报告、读书笔记、学术论文等多种形式。
研究生课程的成绩由平时成绩和期末考试成绩综合评定。考试成绩采用百分制记录；考查成绩以合格、不合格记。
撰写论文，以优、良、中、及格、不及格五级计算成绩。
（六）学位论文撰写与考核计划
1、论文选题和内容应具有重要的学术价值，具有一定的创意和前沿性。
2、论文的封面、中外文提要、目录、正文、附录、注释、参考文献的编排，都必须符合国际通行的学术规范，所有注码必须注明国别（或时代）、作者（或译者）、书刊名称、卷次章节、页码、出版社及出版时间。
3、论文答辩
（1）学位论文由作者本人提交答辩委员会，由答辩秘书分送答辩委员。
（2）博士学位申请人所在系（所），必须在答辩之日的二个月前向同行专家寄送学位论文和空白的同行专家评议书，回收的由同行专家签署的评议书应不少于9份。论文须获三分之二同行专家通过，方可进入评阅和答辩。
（3）博士学位论文答辩前须聘请3-5位（或以上）具有教授职称的专家评阅。
（4）答辩委员会由5-7名与选题有关的教授（或研究员）组成。答辩委员会推举一名答辩主席，答辩人的导师不能担任答辩主席。答辩后由答辩委员会投票表决，答辩主席在答辩决议书上签字。
4、学位授予
论文在获三分之二（或以上）答辩委员通过后，答辩委员会可建议授予答辩人所申请的学位。
（七）教学大纲
☆ 泛函分析
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支。本课程系统介绍泛函分析的一些基本概念和方法，是硕士研究生进行专业理论学习的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 度量空间
§1.1 基本概念
§1.2 线性空间上的范数
§1.3 LP空间
§1.4 度量空间中的点集
§1.5 连续映照
§1.6 稠密性
§1.7 完备性
§1.8 不动点定理
§1.9 致密集
第二章 线性有界算子
§2.1 线性有界算子
§2.2 线性连续泛函的表示及延拓
§2.3 共轭空间和共轭算子
§2.4 逆算子定理和共鸣定理
§2.5 线性算子的正则集与谱，不变子空间
§2.6 关于全连续算子的谱分析
第三章 Hilbert空间的几何学
§3.1 基本概念
§3.2 投影定理
§3.3 内积空间中的正交系
§3.4 共轭空间和共轭算子
§3.5 投影算子
§3.6 双线性Hermite泛函和自共轭算子
§3.7 谱系，谱测度和谱积分
§3.8 自共轭算子的谱分解
§3.9 酉算子的谱分解定理
§3.10正常算子的谱分解
（三）主要参考资料
《实变函数和泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1980年版。
（四）任课教师：戴文荣等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆代数学基础
（一）教学目的和要求
熟悉群、环、域的基本知识，了解交换群的结构，重点是讨论模的一些基本结果，包括自由模、投射模、内射模以及链条件等。
（二）基本教学内容
第一章 群、环、域的基本知识
§1.1 同态、陪集、直和、直积，生成元与关系
§1.2 自由Alel群，有限生成Alel群
§1.3 群在集合上的作用
§1.4 分式环和局部化
§1.5 有限域扩张
第二章 模的基本知识和基本结果
§2.1 模同态和正合序列
§2.2 自由模和向量空间
§2.3 投射模和内射模
§2.4 Hom和对偶性
§2.5 张量积
§2.6 主理想整环上的模
第三章 交换环
§3.1 链条件
§3.2 素理想和准素理想
§3.3 Noether环和Nother模
§3.4 环的扩张
第四章 范畴理论
§4.1 函子和自然变换
§4.2 伴随函子
§4.3 态射
§4.4 积、余积和自由对象
（三）主要参考资料
《代数学》，Hunphrys，冯克勤译。
（四）任课教师：周才军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 拓扑学基础
（一）教学目的和要求
介绍拓扑空间的基础知识，包括拓扑结构，连通性，连续映像，拓扑空间的各种分离性，全正则拓扑空间，紧性，距离空间，拓扑空间距离化问题等。
（二）基本教学内容
第一章 各种一般拓扑空间
§1.1 邻域与收敛，开集与闭集
§1.2 连续映照，同胚性，拓扑结构精粗的比较，子空间
§1.3 分离性公理（T0）（T1）（T2）
§1.4 第一和第二可数性公理
§1.5 连通性
第二章 连续函数与全正则空间
§2.1 函数分离性
§2.2 （T3）分离性，正则空间
§2.3 全正则空间
§2.4 正规空间
§2.5 全正规空间与完正规空间
第三章 紧性
§3.1 紧空间
§3.2 局部紧空间
§3.3 列紧空间与局部列紧空间
§3.4 仿紧空间
§3.5 紧致化问题
（三）主要参考资料
1.《点集拓扑讲义》（第二版），熊金城，高等教育出版社，2000年
2.《拓扑空间概论》，关肇直，科学出版社，1960年
（四）任课教师：王宇等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 数值分析
（一）教学目的和要求
本课程详尽地论述了数值分析的各种算法及其理论，通过学习将使学生掌握各种插值方法，例如多项式插值、有理函数插值、三角函数插值和样条函数插值，对常用的数值积分、求解线性和非线性代数方程组，以及优化的常用算法和收敛性有详尽的理解，对特征值问题和常微分方程的数值解能有基本了解和掌握。通过本课程的学习，使学生对进一步的数值分析的研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 误差分析
§1.1 误差
§1.2浮点运算
第二章 插值法
§2.1多项式插值
§2.2有理函数插值
§2.3三角插值
§2.4样条函数插值
第三章 数值积分
§3.1积分公式
§3.2误差表示
§3.3外推法
第四章 迭代法与最优点
§4.1迭代法
§4.2收敛理论
§4.3 Newton法及其修正方法
§4.4求根，灵敏度分析
§4.5无约束优化
第五章 常微分方程
§5.1基本定理
§5.2初值问题与边值问题
§5.3差分方法
§5.4变分方法
第六章 大规模数值解
§6.1算法步骤
§6.2收敛定理
§6.3松弛法、迭代法
（三）主要参考资料
《数值分析引论》，J. Stoer & R. Bulirsch著，南京大学出版社，1995年版。
《数值分析引论》，易大义陈道琦著，浙江大学出版社，2003年版。
（四）任课教师：王中庆 郭谦等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
☆ 数学物理方程
（一）教学目的和要求
数学物理方程是数学专业硕士研究生的一门重要的基础课程。它的一些基本内容是应用数学及计算数学等专业硕士研究生所必备的基础知识，通过对数理方程的学习，使研究生掌握有关偏微分方程的基本概念、基本原理和解偏微分方程的各种方法与技巧，同时对培养研究生的逻辑推理能力起着很大的作用。
数理方程的主要内容包括：波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程以及它的定解问题的适定性。
通过对数理方程的学习，使研究生较系统地掌握几种求解数理方程的方法，掌握偏微分方程解的适定性的基本内容。
（二）基本教学内容
第一章 引言
§1.1 方程的推导
§1.2 偏微分方程的一些概念
§1.3 定解条件与定解问题
§1.4 二阶线性方程的分类与化简
§1.5 定解问题的适定性
第二章 波动方程
§2.1 弦振动方程的初值问题
§2.2 有界域上混合问题的分离变量法
§2.3 波动方程定解问题的适定性
第三章 热传导方程
§3.1 有界域上的混合问题和分离变量法
§3.2 Fourier变换和Laplace变换
§3.3 Fourier变换和Laplace变换的应用
§3.4 极值原理与解的唯一性和稳定性
第四章 Laplace方程
§4.1 定解问题的提法
§4.2 分离变量法
§4.3 基本解，Green公式与Green函数
§4.4 调和函数的基本性质，边值问题
§4.5 解的唯一性和稳定性
（三）主要参考资料
《数学物理方程》，谷超豪等编，高等教育出版社，2002年版。
《数学物理方程讲义》，姜礼尚著，高等教育出版社，2005年版。
（四）任课教师：黎野平等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 概率与测度
（一）教学目的和要求
本课程介绍单调类定理、测度扩张、映射的可测性， 积分和理论， 乘积空间上的测度和积分、Hausdorff空间上的测度与积分和测度的收敛性等， 为随机过程、随机分析及随机微分方程的课程奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 集类与测度
§1.1 集合运算与集类
§1.2 单调类定理（集合形式）
§1.3 测度与非负集函数
§1.4 外测度与测度的扩张
§1.5 欧式空间的Lebesgue-Stieltjes测度
§1.6 测度的逼近
第二章 可测映射
§2.1 定义及基本性质
§2.2 单调类定理（函数形式）
§2.3 可测函数序列的几种收敛
第三章 积分和空间Lp
§3.1 积分的基本性质
§3.2 积分号下取极限
§3.3 不定积分与符号测度
§3.4 空间Lp及其对偶
§3.5 空间L∞(Ω,F)和L∞(Ω,F,m)的对偶
§3.6 Daniell积分
§3.7 Bochner积分和Pettis积分
第四章 乘积可测空间上的测度与积分
§4.1 乘积可测空间
§4.2 乘积测度与Fubini定理
§4.3 由σ有限核产生的测度
§4.4 无穷乘积空间上的概率测度
§4.5 Kolmogorov相容性定理及Tulcea定理的推广
§4.6 概率测度序列的投影极限
§4.7 随机Daniell积分及其核表示
第五章 Hausdorff空间上的测度与积分
§5.1 拓扑空间
§5.2 局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表示定理
§5.3 Hausdorff空间上的正测度
§5.4 空间C0(X)的对偶
§5.5 用连续函数逼近可测函数
§5.6 乘积拓扑空间上的测度与积分
§5.7 波兰空间上有限测度的正则性
第六章 测度的收敛
§6.1 欧式空间上Borel测度的收敛
§6.2 距离空间上有限测度的弱收敛
§6.3 胎紧与Prohorov定理
§6.4 可分距离空间上概率测度的弱收敛
§6.5 局部紧Hausdorff空间上Radon测度的淡收敛
第七章 概率论基础选讲
§7.1 事件和随机变量的独立性，0-1律
§7.2 条件数学期望与条件独立性
§7.3 正则条件概率
§7.4 随机变量族的一致可积性
§7.5 本性上确界
§7.6 解析集与Choquet容度
（三）主要参考资料
严加安，《测度论讲义》， 科学出版社，2009年版。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 最优化与最优控制
（一）教学目的和要求
本课程介绍最优化方法和最优控制系统的基础理论、基本方法，阐述了最优化方法的一般概念和静态最优化方法、动态最优化方法的基本內容，包括变分极值问题、最小值原理、线性二次型最优控制系统和动态规划的各种基本算法等，为研究最优化方法和最优控制奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 最优化方法的一般概念
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
第二章 非线性规划
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
第三章 线性规划
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
（三）主要参考资料
《最优化方法与最优控制》，王晓陵， 哈尔滨工程大学出版社，2007。
《最优化与最优控制》，赫孝良，葛照强，西安交通大学出版社，2009。
（四）任课教师：谭永红等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 偏微分方程基础理论
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，使博士生了解和掌握现代偏微分方程的基本理论和方法，为进一步深入学习相关理论和研究奠定扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 Hs（Ω）空间
§1.1 Wm，p（Ω）空间
§1.2 L2（Rn）中的Fourier变换
§1.3 Hs（Rn）和Hs（Ω）空间
§1.4迹
第二章 椭圆型方程
§2.1 二阶椭圆型方程的Dirchlet问题
§2.2边值问题
§2.3极值原理
§2.4解的正则性
§2.5二阶椭圆算子的特征函数
第三章 抛物型方程
§3.1 Hr.s（Ω）空间
§3.2 Lions定理
§3.3解的正则性
§3.4 Fourier变换
第四章 双曲型方程
§4.1半群方法
§4.2 Galerkin方法
§4.3特征函数展开的应用
§4.4 Lians定理
（三）主要参考资料
《偏微分方程的L2理论》，王耀东，北京大学出版社，1985年版。
《现代偏微分方程引论》，齐民友，武汉大学出版社，1994年版。
（四）任课教师：黎野平等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 微分方程现代理论
（一）教学目的和要求
微分方程理论是应用数学的重要理论基础，其主要任务是研究微分方程解的结构与渐近性态。通过这门课的学习要求学生掌握微分方程基本理论和研究方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 绪论
§1.1预备知识
§1.2解的局部存在性定理
§1.3解的延拓
§1.4积分不等式与比较定理
§1.5 解的唯一性定理
§1.6 解对初值与参数的依赖性
第二章 边值问题和Sturm比较理论
§2.1二阶微分方程边值问题
§2.2 Sturm比较理论
§2.3 非线性边值问题
§2.4Sturm-Liouville特征值问题
第三章 稳定性理论基础
§3.1 稳定性定义
§3.2 Liapunov第二方法
§3.3线性系统稳定性
§3.4非线性系统稳定性
第四章 定性理论基础
§4.1 自治系统基本性质
§4.2 平面极限集结构
§4.3 平面奇点分析
§4.4 一维周期系统
§4.5 焦点与中心判定
§4.6 极限环
第五章 平面分支理论
§5.1 结构稳定系统与分支点
§5.2基本分支问题研究
§5.3近哈密顿系统
第六章 算子半群与发展方程简介
§6.1 算子半群概念与基本性质
§6.2抽象Cauchy问题
§6.3半线性发展方程
§6.4 具解析半群的半线性方程
（三）主要参考资料
《微分方程基本理论》，赵爱民，李美丽，韩茂安, 科学出版社，2011。
《Geometrical Theory of Dynamical Systems》，Nils Berglund, Switzerland，2001。
（四）任课教师：韩茂安
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 动力系统与混沌
（一）教学目的和要求
动力系统在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用，动力系统的理论主要研究给定非线性系统轨线的全局性态。通过这门课的学习要求学生掌握动力系统的基本理论和研究方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 基本概念
§1.1动力系统
§1.2混沌
§1.3奇怪吸引子
§1.4复杂性
第二章 低维动力系统
§2.1符号动力系统
§2.2马尔可夫链
§2.3 Hausdorff维数与盒维数
§2.4区间映射
第三章 二维动力系统
§3.1 Lorenz映射
§3.2双曲性
§3.3同宿分支
§3.4平面映射的奇怪吸引子
第四章 一个半自由度的系统
§4.1 Morse-Smale系统
§4.2余维一分支
§4.3 Melnikov函数
§4.4倍周期分支
第五章 三维向量场
§5.1 同宿分支
§5.2几何Lorenz吸引子
§5.3鞍－焦同宿分支
第六章 Lyapunov 指数
（三）主要参考资料
《Lectures on Chaotic Dynamical Systems》，V. Afraimovich and S. Hsu, 美国数学会出版，2003。
《光滑动力系统》，朱德明，韩茂安, 华东师大出版社，1993。
（四）任课教师：韩茂安
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 极限环分支理论
（一）教学目的和要求
极限环分支理论是动力系统的重要内容之一，在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用。通过这门课的学习要求学生掌握极限环分支理论的主要方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 极限环及其扰动
§1.1 基本概念
§1.2 极限环的性质
§1.3 极限环的扰动
第二章 焦点量与Hopf分支
§2.1 Poincare映射
§2.2 规范型
§2.3 Hopf分支
§2.4 多项式系统
第三章 Hamilton系统的扰动
§3.1 一般理论
§3.2 同宿环与异宿环附近的极限环
§3.3 Melnikov函数
§3.4 含幂零奇点系统的扰动
第四章 同宿轨的稳定性与极限环分支
§4.1 鞍点的局部性质
§4.2 同宿轨的保持
§4.3 稳定性准则
§4.4 改变稳定性发现极限环
（三）主要参考资料
《Bifurcation Theory of Limit Cycles》，M Han, 待出版， 2007。
（四）任课教师：韩茂安
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 随机分析初步
（一）教学目的和要求
本课程介绍鞅、停时和滤子的基本概念和性质、停止定理、 Doob-Meyer 分解定理；Brown运动的概念、构造和Markov性及强 Markov性； 随机积分的构造和性质， Ito公式和Brown运动的鞅特征； Girsanov定理等。为随机微分方程的学习铺垫基础。
（二）基本教学内容
第一章 鞅、停时和滤子
§1.1 随机过程和代数
§1.2 停时
§1.3 连续时间鞅
§1.4 Doob-Meyer 分解定理
§1.5 连续的平方可积鞅
第二章 Brown运动
§2.1 导引
§2.2 Brown运动构造
§2.3 Markov性
§2.4 强 Markov性
第三章 随机积分
§3.1 导引
§3.2 随机积分的构造
§3.3 对称不定方程组
§3.4 变量变化公式
§3.5 连续鞅的Brown运动表示
§3.6 Girsanov定理
（三）主要参考资料
I. Karatzas and S.E.Shreve, 《Brownian Motion and Stochastic Calculus》 Springer，1991年, GTM113。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 随机微分方程
（一）教学目的和要求
本课程着重介绍随机微分方程解的定义、存在唯一性定理、适定性和Markov性、比较原理、与偏微分方程的联系及其应用等等。
（二）基本教学内容
第一章 导引
第二章 强解
§2.1 定义
§2.2 Ito 理论
§2.3 比较原理
§2.4 随机微分方程的逼近
第三章 弱解
§3.1 两种唯一性
§3.2 通过Girsanov定理获得的弱解
§3.3 A digression on regular conditional probabilities
§3.4 Yamada and Watanabe 关于强和弱解的结果
第四章Stroock and Varadhan 的鞅问题
§4.1 一些基本的鞅
§4.2 弱解和鞅问题
§4.3 适定性和强Markov性
第五章 一维情形的研究
§5.1 时间变换方法
§5.2 剔除漂移方法
§5.3 爆破的Feller检测
第六章 线性方程
§6.1 Guass-Markov过程
§6.2 Brown桥
§6.3 一般的一维线性方程
第七章 与偏微分方程的联系
§7.1 Dirichlet问题
§7.2 Cauchy 问题和Feynman-Kac表示
第八章 对经济学的应用
§8.1 Portfolio and consumption processes
§8.2 Option price
§8.3 Optional consumption and investment
（三）主要参考资料
I. Karatzas and S.E.Shreve, 《Brownian Motion and Stochastic Calculus》，Springer，1991年, GTM113。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 随机动力系统
（一）教学目的和要求
本课程介绍随机动力系统的基本概念、不变测度和马尔可夫测度； 离散时间和连续时间的random和stochastic方程的解过程如何产生随机流；以及遍历论初步。
（二）基本教学内容
第一章 基本定义， 不变测度
§1.1 随机动力系统的定义
§1.2 局部随机动力系统
§1.3 Perfection of a Crude Cocycle
§1.4 可测随机动力系统的不变测度
§1.5连续随机动力系统的不变测度
§1.6 随机集的不变测度
§1.7 马尔可夫测度
第二章 随机动力系统的生成
§2.1 离散时间：随机映射的积
§2.2 连续时间 1：Random Differential Equations
§2.3连续时间 2：Stochastic Differential Equations
第三章 欧式空间上的多重遍历定理
§3.1 导引
§3.2 Liapunov指数
§3.3 Furstenberg-Kesten 定理
§3.4多重遍历定理
（三）主要参考资料
L. Arnold, 《Random Dynamical Systems》，Springer, 1998年版。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 反应扩散方程引论
（一）教学目的和要求
本课程着重介绍反应扩散方程的极值原理、比较方法， 平衡解的稳定性和分支， 解析半群等。
（二）基本教学内容
第一章 行波解的存在唯一性
§2.1 行波解的基本性质
§2.2 波前解的存在性和唯一性
§2.3 f(u)=u(1-u)(u-a)(0<a<1)时单调与非单调行波解的存在性
§2.4 评注
第二章 基于最大值原理的比较方法及其应用
§3.1 最大值原理
§3.2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一及估计
§3.3 椭圆型边值问题的比较方法
§3.4 抛物型方程边值问题的比较方法
§3.5抛物型方程初值问题的比较方法
§3.6 评注
第三章 平衡解的稳定性问题
§4.1 平衡解与稳定性概念
§4.2 初边值问题平衡解的稳定性
§4.3 初值问题常数平衡解的稳定性
§4.4 评注
第四章 抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用
§5.1 概述
§5.2 拟单调增加和拟单调减少情形的比较方法
§5.3 混拟单调情形的比较方法
§5.4 非拟单调的情形
§5.5 上下解的构造
§5.6 非常数平衡解的稳定性
§5.7 评注
第五章 不变区域及其应用
§6.1 反应扩散方程组的不变矩形
§6.2反应扩散方程组的不变区域
§6.3 比较定理. t→∞时解的渐近行为
§6.4 反应扩散方程的局部解和整体解
§6.5 评注
第六章 平衡解的存在性与分叉问题——度理论的应用
§7.1 度的定义
§7.2 度的性质
§7.3 Leray-Schauder度的计算
§7.4 度理论的应用——半线性椭圆型方程边值问题解的存在性
§7.5度理论的应用——多解问题
§7.6度理论的应用——分叉问题
§7.7 评注
第七章 平衡解的存在性与分叉问题——相图法
§8.1 一般原理
§8.2 时间函数是单调的情形
§8.3时间函数是非单调的情形
§8.4 评注
第八章 抽象理论——解析半群与非线性方程的初值问题
§9.1 线性齐次方程的初值问题与C0半群
§9.2 线性算子是C0半群的无穷小生成元的充要条件
§9.3 解析半群与扇形算子
§9.4 线性方程的初值问题
§9.5 分数幂算子与分数幂空间
§9.6 非线性方程的初值问题
§9.7 应用与例子
第九章 抽象理论——动力系统与平衡点的稳定性
§10.1 动力系统
§10.2 Liapunov函数与稳定性判别准则
§10.3 动力系统的极限性质与不变性原理
§10.4 自治方程与Liapunov函数
§10.5 渐近自治方程
§10.6 判断稳定性的线性近似方法
§10.7 稳定性问题的若干例子
（三）主要参考资料
叶其孝， 李正元， 《反应扩散方程引论》，科学出版社1999。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 生物数学
（一）教学目的和要求
本课程介绍生态、生物和化学等学科的数学建模方法，数学分析和数值模拟。
（二）基本教学内容
第一章 单种群连续模型
§1.1 连续增长模型
§1.2 昆虫爆发模型
§1.3 时滞模型及线性分析
§1.4 生理学中时滞模型
§1.5 边值问题和特征值问题
§1.6 周期解、极限环及奇怪吸引子
第二章 单种群离散模型
§2.1 简单模型介绍
§2.2 离散Logistic模型和混沌
§2.3 稳定性、周期解和分支
§2.4 离散时滞模型
第三章 相互影响的种群连续模型
§3.1 捕食和被捕食模型
§3.2 复杂性和稳定性
§3.3 竞争模型
§3.4 合作模型
第四章 化学反应动力学
§4.1 酶动力学
§4.2 Michaelis-Menten理论
§4.3 合作现象
§4.4 催化、激发和抑制
§4.5 多平衡态
第五章 生物振动和开关
§5.1 反馈控制机理
§5.2 多种群振动和开关的一般理论
§5.3 简单两种群振动的参数域
第六章 Belousov-Zhabotinskii反应
§6.1 Belousov-Zhabotinskii反应和Field-Noyes(FN)模型
§6.2 稳定性分析和极限环的存在性
§6.3 松弛振动
（三）主要参考资料
J. D. Murray, 《Mathematical Biology》, Springer-Verlag，1998.
（四）任课教师：蒋继发等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
培养计划表
（博士生）
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院（系、
所）
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数理学院
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学 科、
专 业
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数学
应用数学
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研 究
方 向
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1. 随机微分方程 2. 随机动力系统 3. 常微分方程定性理论 4. 生物数学
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课程类别
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课 程
名 称
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学
分
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周学时
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总
学
时
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各学期教学周时数
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任 课
教 师
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考核方式
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一
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二
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三
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四
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五
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六
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必
修
课
程
|
学
位
公
共
课
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第一外国语
|
4
|
4
|
72
|
√
|
√
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|
考试
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政治理论课
|
3
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3
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54
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√
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|
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|
考试
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基础理论课
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随机分析初步
|
3
|
4
|
72
|
√
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|
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|
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|
蒋继发
|
考试
|
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|
随机微分方程
|
3
|
4
|
72
|
√
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|
|
|
|
|
蒋继发
|
考试
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|
动力系统与混沌
|
3
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
韩茂安
|
考试
|
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|
微分方程现代理论
|
3
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
韩茂安
|
考试
|
|||||
|
反应扩散方程引论
|
3
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
蒋继发
|
考试
|
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|
专业必修课
|
随机动力系统
|
3
|
4
|
72
|
|
√
|
|
|
|
|
蒋继发
|
考试
|
||||
|
极限环分支理论
|
3
|
4
|
72
|
|
√
|
|
|
|
|
韩茂安
|
考试
|
|||||
|
偏微分方程基础理论
|
3
|
4
|
72
|
|
√
|
|
|
|
|
黎野平
|
考试
|
|||||
|
生物数学
|
3
|
4
|
72
|
|
√
|
|
|
|
|
蒋继发
|
考试
|
|||||
|
学术讲座
|
学术前沿讲座与学术文献研讨
|
1
|
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|
|
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|
考查
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综合学术讨论课
|
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|
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|
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|
专
业
选
修
课
|
专业外语（限定选修课）
|
2
|
2
|
36
|
|
|
√
|
|
|
|
|
考试
|
||||
|
泛函分析
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
代数学基础
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
拓扑学基础
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
数值分析
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
数学物理方程
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
概率与测度
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
最优化与最优控制
|
2
|
4
|
72
|
√
|
|
|
|
|
|
|
考试
|
|||||
|
|
|
|
|
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|
其他
培养
环节
名称
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|
√
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|
评审
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|
论文写作与答辩
|
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|
|
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√
|
√
|
√
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|
答辩
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|
同等学力者补修课程
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||||
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