计算数学
Computational Mathematics
（070102）
● 培养方案
（一）培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、本专业的主要内容是科学与工程计算的方法、理论及其应用。科学计算已成为科学研究的一种基本工具，对科学技术的发展起着特别重要的作用。本专业侧重于研究和发展高水平的数值计算方法，为实际应用提供有效的工具。因此，要求博士生有坚实的数学基础、丰富的专业知识和较强的科学计算能力，并取得创造性的研究成果。毕业后具有独立从事科学研究的能力。
（二）研究方向
1、 偏微分方程数值解Numerical Solutions of Partial Differential Equations
本方向的主要研究内容：奇异问题的高精度算法、无界区域问题的数值方法、外部问题的新算法、高阶有限元方法等。
主要导师：郭本瑜教授、郭本琦教授。
2、 常微分方程数值解Numerical Solutions of Ordinary Differential Equations
本方向的主要研究内容：常微分方程、泛函微分方程的计算方法及其动力学、微分方程定性理论、动力系统分支理论。
主要导师：田红炯教授、丛玉豪教授。
（三）学制
一般为3年。如确有必要经批准最多可延长学习年限3年，原则上不批准提前毕业。
（四）课程设置与学分要求
1、必修课程：
（1）学位公共课程：
政治理论课（3学分）
第一外国语The First Foreign Language（4学分）
（2）学位专业课
谱方法Spectral Methods（3学分）
有限元方法 Finite Element Methods（3学分）
常微分方程数值解 Numerical Solutions of Ordinary Differential Equations（3学分）
常微分方程保结构算法 Structure-preserving Algorithms of Ordinary Differential Equations（3学分）
常微分方程数值动力学 Numerical Dynamics of Ordinary Differential Equations（3学分）
综合学术讨论课 Seminars of Comprehensive Academics（2学分）
学术前沿讲座 Lectures of Academic Frontiers（1学分）
2、选修课程：
专业外语 Specialized Foreign Language（2学分，限选）
泛函分析 Functional Analysis（2学分）
代数学基础 Basic Algebra（2学分）
拓扑学基础 Basic Topology（2学分）
数值分析 Numerical Analysis（2学分）
数学物理方程 Mathematical Physics Equations（2学分）
概率与测度 Probability and Measure（2学分）
优化与控制 Optimization and Control（2学分）
（五）培养方式与考核方式
博士生课程学习一般应在第一学年完成。学位基础课和专业课采用教师讲授与讨论相结合的方式，以讲授为主，某些章节可以在教师指导下由学生轮流报告。专业选修课采用教师讲授与学生报告相结合的方法。从二年级开始，根据各研究方向，学生在导师指导下查阅和报告有关文献，开展专题讨论，在此基础上形成毕业论文题目，并围绕该题目进行研究，最后完成毕业论文，进一步提高学生科研能力和创新意识。
考试或考查方式，可以采取学术报告、读书笔记、学术论文等多种形式。
研究生课程的成绩由平时成绩和期末考试成绩综合评定。考试成绩采用百分制记录；考查成绩以合格、不合格记。
撰写论文，以优、良、中、及格、不及格五级计算成绩。
（六）学位论文撰写与考核计划
1、论文选题和内容应具有重要的学术价值，具有一定的创意和前沿性。
2、论文的封面、中外文提要、目录、正文、附录、注释、参考文献的编排，都必须符合国际通行的学术规范，所有注码必须注明国别（或时代）、作者（或译者）、书刊名称、卷次章节、页码、出版社及出版时间。
3、论文答辩
（1）学位论文由作者本人提交答辩委员会，由答辩秘书分送答辩委员。
（2）博士学位申请人所在系（所），必须在答辩之日的二个月前向同行专家寄送学位论文和空白的同行专家评议书，回收的由同行专家签署的评议书应不少于9份。论文须获三分之二同行专家通过，方可进入评阅和答辩。
（3）博士学位论文答辩前须聘请3-5位（或以上）具有教授职称的专家评阅。
（4）答辩委员会由5-7名与选题有关的教授（或研究员）组成。答辩委员会推举一名答辩主席，答辩人的导师不能担任答辩主席。答辩后由答辩委员会投票表决，答辩主席在答辩决议书上签字。
4、学位授予
论文在获三分之二（或以上）答辩委员通过后，答辩委员会可建议授予答辩人所申请的学位。
（七）教学大纲
☆ 泛函分析
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支。本课程系统介绍泛函分析的一些基本概念和方法，是硕士研究生进行专业理论学习的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 度量空间
§1.1 基本概念
§1.2 线性空间上的范数
§1.3 LP空间
§1.4 度量空间中的点集
§1.5 连续映照
§1.6 稠密性
§1.7 完备性
§1.8 不动点定理
§1.9 致密集
第二章 线性有界算子
§2.1 线性有界算子
§2.2 线性连续泛函的表示及延拓
§2.3 共轭空间和共轭算子
§2.4 逆算子定理和共鸣定理
§2.5 线性算子的正则集与谱，不变子空间
§2.6 关于全连续算子的谱分析
第三章 Hilbert空间的几何学
§3.1 基本概念
§3.2 投影定理
§3.3 内积空间中的正交系
§3.4 共轭空间和共轭算子
§3.5 投影算子
§3.6 双线性Hermite泛函和自共轭算子
§3.7 谱系，谱测度和谱积分
§3.8 自共轭算子的谱分解
§3.9 酉算子的谱分解定理
§3.10正常算子的谱分解
（三）主要参考资料
《实变函数和泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1980年版。
（四）任课教师：戴文荣等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆代数学基础
（一）教学目的和要求
熟悉群、环、域的基本知识，了解交换群的结构，重点是讨论模的一些基本结果，包括自由模、投射模、内射模以及链条件等。
（二）基本教学内容
第一章 群、环、域的基本知识
§1.1 同态、陪集、直和、直积，生成元与关系
§1.2 自由Alel群，有限生成Alel群
§1.3 群在集合上的作用
§1.4 分式环和局部化
§1.5 有限域扩张
第二章 模的基本知识和基本结果
§2.1 模同态和正合序列
§2.2 自由模和向量空间
§2.3 投射模和内射模
§2.4 Hom和对偶性
§2.5 张量积
§2.6 主理想整环上的模
第三章 交换环
§3.1 链条件
§3.2 素理想和准素理想
§3.3 Noether环和Nother模
§3.4 环的扩张
第四章 范畴理论
§4.1 函子和自然变换
§4.2 伴随函子
§4.3 态射
§4.4 积、余积和自由对象
（三）主要参考资料
《代数学》，Hunphrys，冯克勤译。
（四）任课教师：周才军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 拓扑学基础
（一）教学目的和要求
介绍拓扑空间的基础知识，包括拓扑结构，连通性，连续映像，拓扑空间的各种分离性，全正则拓扑空间，紧性，距离空间，拓扑空间距离化问题等。
（二）基本教学内容
第一章 各种一般拓扑空间
§1.1 邻域与收敛，开集与闭集
§1.2 连续映照，同胚性，拓扑结构精粗的比较，子空间
§1.3 分离性公理（T0）（T1）（T2）
§1.4 第一和第二可数性公理
§1.5 连通性
第二章 连续函数与全正则空间
§2.1 函数分离性
§2.2 （T3）分离性，正则空间
§2.3 全正则空间
§2.4 正规空间
§2.5 全正规空间与完正规空间
第三章 紧性
§3.1 紧空间
§3.2 局部紧空间
§3.3 列紧空间与局部列紧空间
§3.4 仿紧空间
§3.5 紧致化问题
（三）主要参考资料
1.《点集拓扑讲义》（第二版），熊金城，高等教育出版社，2000年
2.《拓扑空间概论》，关肇直，科学出版社，1960年
（四）任课教师：王宇等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 数值分析
（一）教学目的和要求
本课程详尽地论述了数值分析的各种算法及其理论，通过学习将使学生掌握各种插值方法，例如多项式插值、有理函数插值、三角函数插值和样条函数插值，对常用的数值积分、求解线性和非线性代数方程组，以及优化的常用算法和收敛性有详尽的理解，对特征值问题和常微分方程的数值解能有基本了解和掌握。通过本课程的学习，使学生对进一步的数值分析的研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 误差分析
§1.1 误差
§1.2浮点运算
第二章 插值法
§2.1多项式插值
§2.2有理函数插值
§2.3三角插值
§2.4样条函数插值
第三章 数值积分
§3.1积分公式
§3.2误差表示
§3.3外推法
第四章 迭代法与最优点
§4.1迭代法
§4.2收敛理论
§4.3 Newton法及其修正方法
§4.4求根，灵敏度分析
§4.5无约束优化
第五章 常微分方程
§5.1基本定理
§5.2初值问题与边值问题
§5.3差分方法
§5.4变分方法
第六章 大规模数值解
§6.1算法步骤
§6.2收敛定理
§6.3松弛法、迭代法
（三）主要参考资料
《数值分析引论》，J. Stoer & R. Bulirsch著，南京大学出版社，1995年版。
《数值分析引论》，易大义陈道琦著，浙江大学出版社，2003年版。
（四）任课教师：王中庆 郭谦等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
☆ 数学物理方程
（一）教学目的和要求
数学物理方程是数学专业硕士研究生的一门重要的基础课程。它的一些基本内容是应用数学及计算数学等专业硕士研究生所必备的基础知识，通过对数理方程的学习，使研究生掌握有关偏微分方程的基本概念、基本原理和解偏微分方程的各种方法与技巧，同时对培养研究生的逻辑推理能力起着很大的作用。
数理方程的主要内容包括：波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程以及它的定解问题的适定性。
通过对数理方程的学习，使研究生较系统地掌握几种求解数理方程的方法，掌握偏微分方程解的适定性的基本内容。
（二）基本教学内容
第一章 引言
§1.1 方程的推导
§1.2 偏微分方程的一些概念
§1.3 定解条件与定解问题
§1.4 二阶线性方程的分类与化简
§1.5 定解问题的适定性
第二章 波动方程
§2.1 弦振动方程的初值问题
§2.2 有界域上混合问题的分离变量法
§2.3 波动方程定解问题的适定性
第三章 热传导方程
§3.1 有界域上的混合问题和分离变量法
§3.2 Fourier变换和Laplace变换
§3.3 Fourier变换和Laplace变换的应用
§3.4 极值原理与解的唯一性和稳定性
第四章 Laplace方程
§4.1 定解问题的提法
§4.2 分离变量法
§4.3 基本解，Green公式与Green函数
§4.4 调和函数的基本性质，边值问题
§4.5 解的唯一性和稳定性
（三）主要参考资料
《数学物理方程》，谷超豪等编，高等教育出版社，2002年版。
《数学物理方程讲义》，姜礼尚著，高等教育出版社，2005年版。
（四）任课教师：黎野平等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 概率与测度
（一）教学目的和要求
本课程介绍单调类定理、测度扩张、映射的可测性， 积分和理论， 乘积空间上的测度和积分、Hausdorff空间上的测度与积分和测度的收敛性等， 为随机过程、随机分析及随机微分方程的课程奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 集类与测度
§1.1 集合运算与集类
§1.2 单调类定理（集合形式）
§1.3 测度与非负集函数
§1.4 外测度与测度的扩张
§1.5 欧式空间的Lebesgue-Stieltjes测度
§1.6 测度的逼近
第二章 可测映射
§2.1 定义及基本性质
§2.2 单调类定理（函数形式）
§2.3 可测函数序列的几种收敛
第三章 积分和空间Lp
§3.1 积分的基本性质
§3.2 积分号下取极限
§3.3 不定积分与符号测度
§3.4 空间Lp及其对偶
§3.5 空间L∞(Ω,F)和L∞(Ω,F,m)的对偶
§3.6 Daniell积分
§3.7 Bochner积分和Pettis积分
第四章 乘积可测空间上的测度与积分
§4.1 乘积可测空间
§4.2 乘积测度与Fubini定理
§4.3 由σ有限核产生的测度
§4.4 无穷乘积空间上的概率测度
§4.5 Kolmogorov相容性定理及Tulcea定理的推广
§4.6 概率测度序列的投影极限
§4.7 随机Daniell积分及其核表示
第五章 Hausdorff空间上的测度与积分
§5.1 拓扑空间
§5.2 局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表示定理
§5.3 Hausdorff空间上的正测度
§5.4 空间C0(X)的对偶
§5.5 用连续函数逼近可测函数
§5.6 乘积拓扑空间上的测度与积分
§5.7 波兰空间上有限测度的正则性
第六章 测度的收敛
§6.1 欧式空间上Borel测度的收敛
§6.2 距离空间上有限测度的弱收敛
§6.3 胎紧与Prohorov定理
§6.4 可分距离空间上概率测度的弱收敛
§6.5 局部紧Hausdorff空间上Radon测度的淡收敛
第七章 概率论基础选讲
§7.1 事件和随机变量的独立性，0-1律
§7.2 条件数学期望与条件独立性
§7.3 正则条件概率
§7.4 随机变量族的一致可积性
§7.5 本性上确界
§7.6 解析集与Choquet容度
（三）主要参考资料
严加安，《测度论讲义》， 科学出版社，2009年版。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 最优化与最优控制
（一）教学目的和要求
本课程介绍最优化方法和最优控制系统的基础理论、基本方法，阐述了最优化方法的一般概念和静态最优化方法、动态最优化方法的基本內容，包括变分极值问题、最小值原理、线性二次型最优控制系统和动态规划的各种基本算法等，为研究最优化方法和最优控制奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 最优化方法的一般概念
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
第二章 非线性规划
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
第三章 线性规划
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
（三）主要参考资料
《最优化方法与最优控制》，王晓陵， 哈尔滨工程大学出版社，2007。
《最优化与最优控制》，赫孝良，葛照强，西安交通大学出版社，2009。
（四）任课教师：谭永红等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 偏微分方程基础理论
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习，使博士生了解和掌握现代偏微分方程的基本理论和方法，为进一步深入学习相关理论和研究奠定扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 Hs（Ω）空间
§1.1 Wm，p（Ω）空间
§1.2 L2（Rn）中的Fourier变换
§1.3 Hs（Rn）和Hs（Ω）空间
§1.4迹
第二章 椭圆型方程
§2.1 二阶椭圆型方程的Dirchlet问题
§2.2边值问题
§2.3极值原理
§2.4解的正则性
§2.5二阶椭圆算子的特征函数
第三章 抛物型方程
§3.1 Hr.s（Ω）空间
§3.2 Lions定理
§3.3解的正则性
§3.4 Fourier变换
第四章 双曲型方程
§4.1半群方法
§4.2 Galerkin方法
§4.3特征函数展开的应用
§4.4 Lians定理
（三）主要参考资料
《偏微分方程的L2理论》，王耀东，北京大学出版社，1985年版。
《现代偏微分方程引论》，齐民友，武汉大学出版社，1994年版。
（四）任课教师：黎野平等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷或开卷）
☆ 谱方法
（一）教学目的和要求
谱方法是数值求解偏微分方程的主要方法之一。学习本课程要求学生了解和掌握谱方法的基本思想和数学理论以及如何运用于计算实际问题。
（二）基本教学内容
第一章 Sobolev 空间中的正交逼近
§1.1 Fourier 逼近
§1.2 Legendre 逼近
§1.3 Chebyshev 逼近
§1.4 Jacobi 逼近
§1.5 Laguerre 逼近
§1.6 Hermite 逼近
第二章 稳定性和收敛性
§2.1 线性问题的稳定性和收敛性
§2.2 非线性问题的广义稳定性
§2.3 初值问题
第三章 谱和拟谱方法
§3.1 Fourier谱和拟谱方法
§3.2 Legendre谱和拟谱方法
§3.3 Chebyshev谱和拟谱方法
§3.4 Jacobi谱和拟谱方法
§3.5 Laguerre谱和拟谱方法
§3.6 Hermite谱和拟谱方法
§3.7 谱补偿（罚）方法
§3.8 谱消失粘性方法
第四章 高维高阶问题的谱方法
§4.1 高维空间中的正交逼近
§4.2 高维非线性问题的谱方法
§4.3 高阶非线性问题的谱方法
§4.4 谱区域分解法
§4.5 谱多重网格法
第五章 混合谱方法
§5.1 混合 Fourier-Legendre 逼近
§5.2 混合 Fourier-Chebyshev 逼近
§5.3 混合 Fourier-Jacobi 逼近
§5.4 混合 Fourier-Laguerre 逼近
§5.5 混合 Legendre-Laguerre 逼近
§5.6 应用
第六章 球面上的谱方法
§6.1 球面上的谱逼近
§6.2 球面上的拟谱逼近
§6.3 应用
（三）主要参考资料
《Spectral methods and their applications》，郭本瑜编著，World Scietific出版社, Singapore, 1998年版。
《Spectral Methods, Fundamentals in Single Domains》，C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni and T. A. Zang编著，Springer-Verlag出版社, Berlin, 2006年版。
（四）任课教师：王中庆，焦裕建
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 有限元方法
（一）教学目的和要求
有限元方法是数值求解偏微分方程的主要方法,也是当代计算科学和计算工程各个领域中有力的工具。学习本课程要求学生p和h-p有限元的数学框架，掌握有限元方法的近似理论，熟悉有限元的算法和程序，培养实际问题的计算能力。
（二）基本教学内容
第一章 引论
第二章 有限元方法的基本公式和一般性质
第三章 有限元的算法和计算
§3.1 插值型和阶梯型的形函数
§3.2 局部和整体的基函数
§3.3 刚度矩阵，质量矩阵和载荷向量的计算
§3.4 边界条件的处理方法
§3.5 有限元程序的结构
第四章 带Jacobi权的Sobolev和Besov空间
§4.1 Jacobi多项式
§4.2带Jacobi权的Sobolev和Besov空间
§4.3带Jacobi权的Sobolev空间中的嵌入定理
第五章 在带Jacobi权的Sobolev和Besov空间的框架下的逼近理论
§5.1 Jacobi投影算子及其逼近性质（一维）
§5.2 Jacobi投影算子及其逼近性质（二维）
§5.2 Jacobi投影算子及其逼近性质（三维）
第六章 p有限元方法
§6.1 p有限元解对光滑解的收敛性
§6.2 p有限元解对奇性解的收敛性
§6.3 多角状区域上椭圆型方程的p有限元方法的最佳收敛
第七章 h-p有限元方法
§7.1 h-p有限元解对光滑解的收敛性
§7.2 h-p有限元解对奇性解的收敛性
§7.3多角状区域上椭圆型方程的h-p有限元方法的最佳收敛
（三）主要参考资料
Lecture Note: 《p and hp Finite Element Aanalysis, Theory, Algorithm and Computation》，B. Q. Guo。
《Applied Finite Element Method》，B. Szabo and I. Babuska，John-Welly and Sons, Inc. 1991.
《p- and hp- Finite Element Methods》，C. Schwad, Oxford Science Publication, 1998.
（四）任课教师：徐一峰 郭玲等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 常微分方程的数值解法
（一）教学目的和要求
本课程详细介绍求解刚性或非刚性常微分方程的数值方法及其计算理论。通过这门课的学习，要求学生掌握常微分方程数值解法的基本理论和计算方法，了解该领域的最新研究成果、进展和发展趋势，为开展进一步研究工作打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 常微分方程理论
§1.1 存在性、连续性、可微性
§1.2 微分不等式
§1.3 线性微分方程组
§1.4 稳定性
§1.5 边值问题和特征值问题
§1.6 周期解、极限环及奇怪吸引子
第二章 Runge-Kutta方法及外推方法
§2.1 Runge-Kutta方法
§2.2 Runge-Kutta方法的阶条件
§2.3 Runge-Kutta方法的误差估计及收敛性
§2.4 实际误差估计以及步长选择
§2.5 高阶显式Runge-Kutta方法
§2.6 连续输出、间断性及导数
§2.7 隐式Runge-Kutta方法
§2.8 整体误差的渐近展开
§2.9 外推方法
§2.10 并行方法
§2.11 B-级数合成
§2.12 高阶导数方法
§2.13 二阶微分方程的数值方法
第三章 多步方法及一般线性方法
§3.1 古典线性多步方法
§3.2 局部误差及阶条件
§3.3 稳定性及Dahlquist第一阶障碍
§3.4 线性多步方法收敛性
§3.5 变步长多步方法
§3.6 一般线性方法
§3.7整体误差的渐近展开
§3.8二阶微分方程的多步方法
第四章 刚性问题-单步方法
§4.1刚性问题的例子
§4.2 显式Runge-Kutta方法的稳定性分析
§4.3 隐式Runge-Kutta方法的稳定性函数
§4.4 阶星
§4.5 隐式Runge-Kutta方法的构造
§4.6 对角隐式Runge-Kutta方法
§4.7 Rosenbrock方法
§4.8 隐式Runge-Kutta方法的实现
§4.9外推方法
§4.10线性方程的压缩性
§4.11 B-稳定性和压缩性
§4.12 隐式Runge-Kutta方法解的存在性
§4.13 B-收敛性
第五章 刚性问题-多步方法
§5.1多步方法的稳定性
§5.2 “近”A-稳定多步方法
§5.3 广义多步方法
§5.4 黎曼曲面上的阶星
§5.5 单支方法及G-稳定性
§5.6 收敛性
§5.7 一般线性方法的代数稳定性
第六章 奇异摄动问题及指标1问题
§6.1 指标1问题的求解
§6.2 多步方法
§6.3 精确解及Runge-Kutta方法解的渐近展开
§6.4 Rosenbrock方法
§6.5 外推方法
§6.6 拟线性问题
第七章 微分代数方程及高指标问题
§7.1 指标
§7.2 降指标方法
§7.3 指标2问题的多步方法
§7.4指标2问题的Runge-Kutta方法
§7.5 指标2问题的阶条件
§7.6 指标2问题的半显式方法
（三）主要参考资料
《Computational Methods in Ordinary Differential Equations》, J. D. Lambert , Springer-Verlag，1990.
《Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff problems》, E. Hairer, S. Norsett, Lubich, G. Wanner, Springer, 1993。
《Solving Ordinary Differential Equations II : Stiff and Differential-algebraic Equations》, E. Hairer, S. Norsett, Lubich, G. Wanner, Springer, 1996。
（四）任课教师：田红炯等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
☆ 常微分方程保结构算法
（一）教学目的和要求
本课程详细介绍保持微分方程几何结构的数值方法。通过这门课的学习，要求学生掌握常微分方程保结构算法的基本理论和研究方法，并掌握该领域的最新研究成果、进展和发展趋势，为进一步研究提供理论基础。
（二）基本教学内容
第一章 常微分方程数值方法
§1.1 Runge-Kutta和配置方法
§1.2 分块Runge-Kutta方法
§1.3 合成方法
§1.4 分裂方法
第二章 阶条件、树理论及B-级数
§2.1 Runge-Kutta方法的阶条件及B-级数
§2.2分块Runge-Kutta方法的阶条件
§2.3合成方法的阶条件
§2.4 BCH格式及其阶条件
第三章 首次积分及流形方法
§3.1 首次积分的例子
§3.2 积分不变性
§3.3 多项式不变性
§3.4 投影方法
§3.5 基于局部坐标数值方法
§3.6 李群上的微分方程
§3.7 基于Magnus级数展开方法
§3.8 李群方法
第四章 对称方法及可逆性
§4.1 可逆微分方程及映射
§4.2 对称Runge-Kutta方法
§4.3 对称合成方法
§4.4 对称流形方法
第五章 Hamilton系统的辛方法
§5.1 Hamilton系统
§5.2 辛变换
§5.3 辛Runge-Kutta方法
§5.4 生成函数
§5.5 变分原理
§5.6辛方法的特征
第六章 其他保结构问题
§6.1 约束力学系统
§6.2 Poisson系统
§6.3 保体积系统
第七章 保结构的实现
§7.1 标准变步长的缺陷
§7.2 可逆变步长选择
§7.3 时间变换
§7.4 多重时间步长
§7.5 舍入误差控制
§7.6 隐式方法实现
第八章 向后误差分析及保结构性
§8.1 修正的微分方程
§8.2 对称方法的修正的微分方程
§8.3 辛方法的修正的微分方程
§8.4 分裂方法的修正的微分方程
§8.5 流形方法的修正的微分方程
§8.6 变步长方法的修正的微分方程
§8.7 局部误差的严格估计
§8.8 长时间保能量性质
§8.9 修正的Hamilton系统
第九章 线性多步法的动力学
§9.1 数值方法和例子
§9.2 相关的单步法
§9.3 对称多值方法
§9.4 不变流形的稳定性
（三）主要参考资料
《Geometric Numerical Integration: Structure Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations》, E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner, Springer, 2002。
《Numerical Hamiltonian Systems》, J. M.. Sanz-Serna, M. P. Calvo, St. Edmundsbury Press, 1994。
（四）任课教师：丛玉豪
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(开卷或论文)
☆ 常微分方程数值动力学
（一）教学目的和要求
动力系统在自然科学、工程技术和社会科学中具有广泛的应用、动力系统的理论主要研究当控制系统的参数和初始状态的变化时系统状态随着时间的演化。由于极大多数的动力系统的理论无法精确获得，因此数值模拟对于理解动力系统具有非常重要的意义。作为数值分析的一个基本分支，数值动力系统的研究已越来越受到计算数学界的重视，通过这门课的学习要求学生掌握常微分方程的数值动力系统的基本理论和研究方法，了解该领域的最新研究成果和进展，为今后的研究提供基础。
（二）基本教学内容
第一章 有限维离散动力系统
§1.1极限集
§1.2稳定性
§1.3分岔
§1.4不变流形
§1.5吸引子
§1.6面积守恒与辛映射
第二章 常微分方程的理论
§2.1极限集
§2.2稳定性
§2.3分岔
§2.4不变流形
§2.5吸引子
§2.6哈密尔顿系统和守恒系统
第三章 数值算法
§3.1 Runge-Kutta方法
§3.2线性多步法
§3.3单支法
§3.4收敛法与稳定性
§3.5单边Lipschitz条件
第四章 全局稳定性
§4.1线性问题
§4.2伪解
§4.3压缩性
§4.4耗散系统
§4.5 梯度系统
第五章 不变集的收敛性
§5.1平衡点
§5.2不稳定流形
§5.3周期与拟周期解
第六章 吸引子
§6.1向后误差分析
§6.2保持结构一致渐近稳定集
§6.3上半连续性
§6.4下半连续性
第七章 哈密尔顿系统和守恒系统
§7.1线性哈密尔顿系统的逼近
§7.2辛Runge-kutta法
§7.3辛线性多步法
§7.4向后误差分析
（三）主要参考资料
《动力系统和数值分析》，A.M.Stuart, A.R.Humphries, 剑桥大学出版社，1996年版。
（四）任课教师：田红炯
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
培养计划表
（博士生）
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院（系、
所）
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数理学院
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学 科、
专 业
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数学
计算数学
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研 究
方 向
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1. 偏微分方程数值解 2. 常微分方程数值解
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课程类别
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课 程
名 称
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学
分
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周学时
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总
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各学期教学周时数
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任 课
教 师
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考核方式
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三
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四
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五
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六
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必
修
课
程
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学
位
公
共
课
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第一外国语
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√
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考试
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政治理论课
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3
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54
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考试
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基础理论课
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谱方法
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王中庆
焦裕建
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考试
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常微分方程数值解
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田红炯
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考试
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专业必修课
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有限元方法
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徐一峰
郭玲
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考试
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常微分方程保结构算法
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丛玉豪
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考试
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常微分方程数值动力学
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田红炯
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考试
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偏微分方程基础理论
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黎野平
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考试
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学术讲座
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学术前沿讲座与学术文献研讨
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考查
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综合学术讨论课
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专
业
选
修
课
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专业外语（限定选修课）
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2
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考试
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泛函分析
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考试
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代数学基础
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考试
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拓扑学基础
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√
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考试
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数值分析
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2
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考试
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数学物理方程
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2
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√
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考试
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概率与测度
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2
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√
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考试
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最优化与最优控制
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2
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√
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考试
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其他
培养
环节
名称
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评审
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论文写作与答辩
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√
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√
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√
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答辩
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同等学力者补修课程
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