基础数学
Fundamental Mathematics
（070101）
● 培养方案
（一）培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、本专业的主要内容是:代数学与组合数学。代数学是数学的最主要的基础学科之一，本专业主要研究交换代数，这是代数学的一个重要分支，是研究代数几何的重要工具。组合数学是计算机科学的基础。本专业侧重研究代数组合学、极值组合学、以及组合数学在生物信息学中的应用等。
（二）研究方向
1、 交换代数Commutative Algebra
本方向的主要研究内容：诺特环、同调、以及与代数几何相关的问题等。
主要导师：周才军教授
2、 组合数学及其应用 Combinatorics and its applications
本方向的主要研究内容：代数组合学、极值组合学、组合数学在生物信息学中的应用等。
主要导师：王军教授
（三）学制
一般为3年。如确有必要经批准最多可延长学习年限3年，原则上不批准提前毕业
（四）课程设置与学分要求
1、必修课程：
（1）学位公共课程：
政治理论课（3学分）
第一外国语The First Foreign Language（4学分）
（2）学位专业课
代数拓扑 Algebra（3学分）
交换代数 Commutative Algebra （3学分）
同调代数 Homological Algebra （3学分）
有限群导引 Introduction to Finite Groups （3学分）
组合学 Combinatorics（3学分）
计算生物学 Computational Biology（3学分）
图论 Graph theory（3学分）
综合学术讨论课 Seminars of Comprehensive Academics（2学分）
学术前沿讲座 Lectures of Academic Frontiers（1学分）
2、选修课程：
专业外语 Specialized Foreign Language （2学分，限选）
泛函分析 Functional Analysis（2学分）
代数学基础 Basic Algebra（2学分）
拓扑学基础 Basic Topology（2学分）
数值分析 Numerical Analysis（2学分）
数学物理方程 Mathematical Physics Equations（2学分）
概率与测度 Probability and Measure（2学分）
优化与控制 Optimization and Control （2学分）
（五）培养方式与考核方式
博士生课程学习一般应在第一学年完成。学位基础课和专业课采用教师讲授与讨论相结合的方式，以讲授为主，某些章节可以在教师指导下由学生轮流报告。专业选修课采用教师讲授与学生报告相结合的方法。从二年级开始，根据各研究方向，学生在导师指导下查阅和报告有关文献，开展专题讨论，在此基础上形成毕业论文题目，并围绕该题目进行研究，最后完成毕业论文，进一步提高学生科研能力和创新意识。
考试或考查方式，可以采取学术报告、读书笔记、学术论文等多种形式。
研究生课程的成绩由平时成绩和期末考试成绩综合评定。考试成绩采用百分制记录；考查成绩以合格、不合格记。
撰写论文，以优、良、中、及格、不及格五级计算成绩。
（六）学位论文撰写与考核计划
1、论文选题和内容应具有重要的学术价值，具有一定的创意和前沿性。
2、论文的封面、中外文提要、目录、正文、附录、注释、参考文献的编排，都必须符合国际通行的学术规范，所有注码必须注明国别（或时代）、作者（或译者）、书刊名称、卷次章节、页码、出版社及出版时间。
3、论文答辩
（1）学位论文由作者本人提交答辩委员会，由答辩秘书分送答辩委员。
（2）博士学位申请人所在系（所），必须在答辩之日的二个月前向同行专家寄送学位论文和空白的同行专家评议书，回收的由同行专家签署的评议书应不少于9份。论文须获三分之二同行专家通过，方可进入评阅和答辩。
（3）博士学位论文答辩前须聘请3-5位（或以上）具有教授职称的专家评阅。
（4）答辩委员会由5-7名与选题有关的教授（或研究员）组成。答辩委员会推举一名答辩主席，答辩人的导师不能担任答辩主席。答辩后由答辩委员会投票表决，答辩主席在答辩决议书上签字。
4、学位授予
论文在获三分之二（或以上）答辩委员通过后，答辩委员会可建议授予答辩人所申请的学位。
（七）教学大纲
☆ 泛函分析
（一）教学目的和要求
泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹及应用数学物理，力学和现代工程理论的许多分支。本课程系统介绍泛函分析的一些基本概念和方法，是硕士研究生进行专业理论学习的学位基础课。
（二）基本教学内容
第一章 度量空间
§1.1 基本概念
§1.2 线性空间上的范数
§1.3 LP空间
§1.4 度量空间中的点集
§1.5 连续映照
§1.6 稠密性
§1.7 完备性
§1.8 不动点定理
§1.9 致密集
第二章 线性有界算子
§2.1 线性有界算子
§2.2 线性连续泛函的表示及延拓
§2.3 共轭空间和共轭算子
§2.4 逆算子定理和共鸣定理
§2.5 线性算子的正则集与谱，不变子空间
§2.6 关于全连续算子的谱分析
第三章 Hilbert空间的几何学
§3.1 基本概念
§3.2 投影定理
§3.3 内积空间中的正交系
§3.4 共轭空间和共轭算子
§3.5 投影算子
§3.6 双线性Hermite泛函和自共轭算子
§3.7 谱系，谱测度和谱积分
§3.8 自共轭算子的谱分解
§3.9 酉算子的谱分解定理
§3.10正常算子的谱分解
（三）主要参考资料
《实变函数和泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1980年版。
（四）任课教师：戴文荣等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆代数学基础
（一）教学目的和要求
熟悉群、环、域的基本知识，了解交换群的结构，重点是讨论模的一些基本结果，包括自由模、投射模、内射模以及链条件等。
（二）基本教学内容
第一章 群、环、域的基本知识
§1.1 同态、陪集、直和、直积，生成元与关系
§1.2 自由Alel群，有限生成Alel群
§1.3 群在集合上的作用
§1.4 分式环和局部化
§1.5 有限域扩张
第二章 模的基本知识和基本结果
§2.1 模同态和正合序列
§2.2 自由模和向量空间
§2.3 投射模和内射模
§2.4 Hom和对偶性
§2.5 张量积
§2.6 主理想整环上的模
第三章 交换环
§3.1 链条件
§3.2 素理想和准素理想
§3.3 Noether环和Nother模
§3.4 环的扩张
第四章 范畴理论
§4.1 函子和自然变换
§4.2 伴随函子
§4.3 态射
§4.4 积、余积和自由对象
（三）主要参考资料
《代数学》，Hunphrys，冯克勤译。
（四）任课教师：周才军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 拓扑学基础
（一）教学目的和要求
介绍拓扑空间的基础知识，包括拓扑结构，连通性，连续映像，拓扑空间的各种分离性，全正则拓扑空间，紧性，距离空间，拓扑空间距离化问题等。
（二）基本教学内容
第一章 各种一般拓扑空间
§1.1 邻域与收敛，开集与闭集
§1.2 连续映照，同胚性，拓扑结构精粗的比较，子空间
§1.3 分离性公理（T0）（T1）（T2）
§1.4 第一和第二可数性公理
§1.5 连通性
第二章 连续函数与全正则空间
§2.1 函数分离性
§2.2 （T3）分离性，正则空间
§2.3 全正则空间
§2.4 正规空间
§2.5 全正规空间与完正规空间
第三章 紧性
§3.1 紧空间
§3.2 局部紧空间
§3.3 列紧空间与局部列紧空间
§3.4 仿紧空间
§3.5 紧致化问题
（三）主要参考资料
1.《点集拓扑讲义》（第二版），熊金城，高等教育出版社，2000年
2.《拓扑空间概论》，关肇直，科学出版社，1960年
（四）任课教师：王宇等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 数值分析
（一）教学目的和要求
本课程详尽地论述了数值分析的各种算法及其理论，通过学习将使学生掌握各种插值方法，例如多项式插值、有理函数插值、三角函数插值和样条函数插值，对常用的数值积分、求解线性和非线性代数方程组，以及优化的常用算法和收敛性有详尽的理解，对特征值问题和常微分方程的数值解能有基本了解和掌握。通过本课程的学习，使学生对进一步的数值分析的研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 误差分析
§1.1 误差
§1.2浮点运算
第二章 插值法
§2.1多项式插值
§2.2有理函数插值
§2.3三角插值
§2.4样条函数插值
第三章 数值积分
§3.1积分公式
§3.2误差表示
§3.3外推法
第四章 迭代法与最优点
§4.1迭代法
§4.2收敛理论
§4.3 Newton法及其修正方法
§4.4求根，灵敏度分析
§4.5无约束优化
第五章 常微分方程
§5.1基本定理
§5.2初值问题与边值问题
§5.3差分方法
§5.4变分方法
第六章 大规模数值解
§6.1算法步骤
§6.2收敛定理
§6.3松弛法、迭代法
（三）主要参考资料
《数值分析引论》，J. Stoer & R. Bulirsch著，南京大学出版社，1995年版。
《数值分析引论》，易大义陈道琦著，浙江大学出版社，2003年版。
（四）任课教师：王中庆 郭谦等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试(闭卷)
☆ 数学物理方程
（一）教学目的和要求
数学物理方程是数学专业硕士研究生的一门重要的基础课程。它的一些基本内容是应用数学及计算数学等专业硕士研究生所必备的基础知识，通过对数理方程的学习，使研究生掌握有关偏微分方程的基本概念、基本原理和解偏微分方程的各种方法与技巧，同时对培养研究生的逻辑推理能力起着很大的作用。
数理方程的主要内容包括：波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程以及它的定解问题的适定性。
通过对数理方程的学习，使研究生较系统地掌握几种求解数理方程的方法，掌握偏微分方程解的适定性的基本内容。
（二）基本教学内容
第一章 引言
§1.1 方程的推导
§1.2 偏微分方程的一些概念
§1.3 定解条件与定解问题
§1.4 二阶线性方程的分类与化简
§1.5 定解问题的适定性
第二章 波动方程
§2.1 弦振动方程的初值问题
§2.2 有界域上混合问题的分离变量法
§2.3 波动方程定解问题的适定性
第三章 热传导方程
§3.1 有界域上的混合问题和分离变量法
§3.2 Fourier变换和Laplace变换
§3.3 Fourier变换和Laplace变换的应用
§3.4 极值原理与解的唯一性和稳定性
第四章 Laplace方程
§4.1 定解问题的提法
§4.2 分离变量法
§4.3 基本解，Green公式与Green函数
§4.4 调和函数的基本性质，边值问题
§4.5 解的唯一性和稳定性
（三）主要参考资料
《数学物理方程》，谷超豪等编，高等教育出版社，2002年版。
《数学物理方程讲义》，姜礼尚著，高等教育出版社，2005年版。
（四）任课教师：黎野平等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 概率与测度
（一）教学目的和要求
本课程介绍单调类定理、测度扩张、映射的可测性， 积分和理论， 乘积空间上的测度和积分、Hausdorff空间上的测度与积分和测度的收敛性等， 为随机过程、随机分析及随机微分方程的课程奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 集类与测度
§1.1 集合运算与集类
§1.2 单调类定理（集合形式）
§1.3 测度与非负集函数
§1.4 外测度与测度的扩张
§1.5 欧式空间的Lebesgue-Stieltjes测度
§1.6 测度的逼近
第二章 可测映射
§2.1 定义及基本性质
§2.2 单调类定理（函数形式）
§2.3 可测函数序列的几种收敛
第三章 积分和空间Lp
§3.1 积分的基本性质
§3.2 积分号下取极限
§3.3 不定积分与符号测度
§3.4 空间Lp及其对偶
§3.5 空间L∞(Ω,F)和L∞(Ω,F,m)的对偶
§3.6 Daniell积分
§3.7 Bochner积分和Pettis积分
第四章 乘积可测空间上的测度与积分
§4.1 乘积可测空间
§4.2 乘积测度与Fubini定理
§4.3 由σ有限核产生的测度
§4.4 无穷乘积空间上的概率测度
§4.5 Kolmogorov相容性定理及Tulcea定理的推广
§4.6 概率测度序列的投影极限
§4.7 随机Daniell积分及其核表示
第五章 Hausdorff空间上的测度与积分
§5.1 拓扑空间
§5.2 局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表示定理
§5.3 Hausdorff空间上的正测度
§5.4 空间C0(X)的对偶
§5.5 用连续函数逼近可测函数
§5.6 乘积拓扑空间上的测度与积分
§5.7 波兰空间上有限测度的正则性
第六章 测度的收敛
§6.1 欧式空间上Borel测度的收敛
§6.2 距离空间上有限测度的弱收敛
§6.3 胎紧与Prohorov定理
§6.4 可分距离空间上概率测度的弱收敛
§6.5 局部紧Hausdorff空间上Radon测度的淡收敛
第七章 概率论基础选讲
§7.1 事件和随机变量的独立性，0-1律
§7.2 条件数学期望与条件独立性
§7.3 正则条件概率
§7.4 随机变量族的一致可积性
§7.5 本性上确界
§7.6 解析集与Choquet容度
（三）主要参考资料
严加安，《测度论讲义》， 科学出版社，2009年版。
（四）任课教师：蒋继发
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 最优化与最优控制
（一）教学目的和要求
本课程介绍最优化方法和最优控制系统的基础理论、基本方法，阐述了最优化方法的一般概念和静态最优化方法、动态最优化方法的基本內容，包括变分极值问题、最小值原理、线性二次型最优控制系统和动态规划的各种基本算法等，为研究最优化方法和最优控制奠定基础。
（二）基本教学内容
第一章 最优化方法的一般概念
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
§1.1 目标函数、约束条件和求解方法
§1.2 静态最优化问题与动态最优化问题
§1.3 线性规划和非线性规划问题
§1.4 最优化方法在控制领域中的应用
第二章 非线性规划
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
§2.1 一元函数的极小化
§2.2 多元函数无约束的极小化
§2.3 求解多元函数无约束极值的直接法
§2.4 多元函数带约束极小化
§2.5 非线性规划应用举例
第三章 线性规划
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
§3.1 线性规划的数学模型
§3.2 图解法
§3.3 线性规划的数学基础
§3.4 线性规划的单纯形法
§3.5 线性规划的对偶问题
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 线性规划应用举例
第四章 最优控制与变分法
§4.1 最优控制问题的数学描述
§4.2 无约束条件的动态最优化问题
§4.3 带等式约束的动态最优化问题
§4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第五章 最小值原理
§5.1 最小值原理
§5.2 快速最优控制
§5.3 奇异最优控制
§5.4 一些典型性能指标下的最优控制
第六章 线性二次型最优控制系统
§6.1 线性二次型最优控制系统
§6.2 状态调节问题
§6.3 tf-8时的状态调节问题
§6.4 能够保证衰减速度的最优控制
§6.5 在阶跃干扰作用下的状态调节器
§6.6 输出调节问题
§6.7 最优跟踪问题
第七章 动态规划
§7.1 多级决策过程
§7.2 最优性原理
§7.3 离散系统的线性调节问题
§7.4 动态规划的连续形式
§7.5 用动态规划求解连续线性二次型最优调节问题
§7.6 动态规划的应用示例
（三）主要参考资料
《最优化方法与最优控制》，王晓陵， 哈尔滨工程大学出版社，2007。
《最优化与最优控制》，赫孝良，葛照强，西安交通大学出版社，2009。
（四）任课教师：谭永红等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 课程名称：交换代数
（一）教学目的和要求
课程目标：通过本课程的学习,使学生掌握交换代数的基本知识,了解该方向的一些研究动态,并应用该理论研究交换环论与Norther模论的一些问题。
（二）基本教学内容
第一章 交换环与模
§1.1 理想
§1.2 模
§1.3 链条件共济
第二章 素理想共济
§2.1 局部化研
§2.2 Hilbert 零点定理与维数的初步理论
§2.3 准素分解
第三章 扩环的性质
§3.1 平坦模与平坦扩张
§3.2 完备化与Artin-Rees 引理
§3.3 整扩张
第四章 赋值环
§4.1 一般 赋值环
§4.2 离散 赋值环
§4.3 Krull 环
第五章 维数理论
§5.1 分次环与Hilbert函数
§5.2 参数理想与重数
§5.3 扩环的维数
第六章 正则序列
§6.1正则序列
§6.2 Cohen-Macaulay 环
§6.3 Gorenstein环共济
第七章 正则环共济
§7.1正则环研
§7.2 唯一分解环
第八章 平坦的进一步性质共济
§8.1局部平坦性的判别定理研
§8.2 平坦与纤维
§8.3 开Loci 的结果
第九章 导子
§9.1 导子与微分形式
§9.2 可分性
§9.3 高阶导子
第十章 光滑性
§10.1 光滑性
§10.2 完备局部环的Cohen结构定理
§10.3 与导子相关的结果
第十一章 完备局部环的应用
§11.1 素理想链
§11.2 形式纤维
（三）主要参考资料
1.《Commutative ring theory》，作者: H. Matsmura 出版社: Cambridge University Press，1986
2.《Commutative algebra》 卷I，II: 作者： O. Zariski and P Samuel 出版社:Springer-Verlag, 1975
（四）任课教师：周才军
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 课程名称： 同调代数
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习,使学生掌握同调代数的一些基本知识和基本方法,并能应用同调代数的理论和方法去研究环、模。
（二）基本教学内容
第一章 模
§1.1 Hom函子与张量函子
§1.2 投射模与内射模
§1.3 平坦模
§1.4 导出函子
第二章 函子Ext
§2.1 基本性质
§2.2 Ext1及模的扩张
§2.3 Ext函子序列的公理化刻画
第三章 函子Tor
§3.1 基本性质
§3.2 Tor及挠
§3.3 泛系数定理
第四章 谱序列
§4.1 正和偶
§4.2 导来偶及谱序列
§4.3 滤链及谱序列的收敛性
§4.4 双复形
§4.5 Künneth公式
（三）主要参考资料
1.《An Introduction to Homological Algebra》，作者: J. Rotman 出版社:Academic Press， New York，出版年： 1979
2.《An Introduction to Homological Algebra》 作者：D. G.Northcott 出版社:Cambridge University Press 出版年: 1960
（四）任课教师：周才军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 课程名称： 代数拓扑
（一）教学目的和要求
通过本课程的学习,使学生掌握拓扑空间的同调理论的基本知识,了解该方向的一些应用,并能应用该理论研究一些问题。
（二）基本教学内容
第一章 单纯复形的同调群
§1.1 单纯复形
§1.2 同调群与相对同调群
§1.3 同调群的计算共济
§1.4 零调承载子研
§1.5重心重分与单纯逼近定理
§1.6 同调群的拓扑不变性
§1.7 同伦不变性
§1.8 应用1：球面的连续映射
§1.9 应用2：Lefschetz 不动点定理
§1.10 同调群的长正合列
§1.11 Mayer-Vitoris正合列
§1.12 Eilenberg-Steenrod 公理
第二章 奇异同调论
§2.1 奇异同调群
§2.2 奇异同调群公理
§2.3 奇异同调群的切除定理
§2.4 奇异同调群的Mayer-Vitoris正合列研
§2.5 奇异同调群与单纯同调群的同构
§2.6 CW 复形的同调群
第三章上同调群简介
§3.1 单纯上同调群
§3.2 上同调群理论
§3.3 CW 复形的上同调群
（三）主要参考资料
1.《Elements of Algebraic Topology》，作者: J. Munkres 出版社: Addison-Wesley Publishing Company，出版年： 1984
2.《Singular Homology Theory》 作者：W. S. Massey 出版社:Springer-Verlag 出版年: 1980
（四）任课教师：周才军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
☆ 组合学
（一）教学目的和要求
本课程主要介绍计数组合学的基本方法及课题。内容涉及组合计数的基本方法、筛法、偏序集的理论及应用等。通过本课程的学习，了解组合数学的基本方法及相关课题，为开展组合数学及其应用的研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章：什么是计数组合学
§1.1 怎样计数
§1.2 集与重集
§1.3 排列统计量
§1.4 十二种方式
§1.1 怎样计数
§1.2 集与重集
§1.3 排列统计量
§1.4 十二种方式
第二章：筛法
§2.1 包含-排斥
§2.2 例与特殊情况
§2.3 限位排列
§2.4 Ferrers 板
§2.5 V-划分与单峰序列
§2.6 对合
§2.7 行列式
§2.1 包含-排斥
§2.2 例与特殊情况
§2.3 限位排列
§2.4 Ferrers 板
§2.5 V-划分与单峰序列
§2.6 对合
§2.7 行列式
第三章：偏序集
§3.1 基本概念
§3.2 从旧的构造新的
§3.3 格
§3.4 分配格
§3.5 分配格中的链
§3.6 局部有限偏序集的关联代数
§3.7 莫比乌斯反演公式
§3.8 计算莫比乌斯函数的技巧
§3.9 格及其莫比乌斯代数
§3.10 半模格的莫比乌斯函数
§3.11 Zeta多项式
§3.12 秩-选择
§3.13 R-标号
§3.14 欧拉偏序集
§3.15 二项偏序集和生成函数
§3.16 对排列计数的一个应用
§3.1 基本概念
§3.2 从旧的构造新的
§3.3 格
§3.4 分配格
§3.5 分配格中的链
§3.6 局部有限偏序集的关联代数
§3.7 莫比乌斯反演公式
§3.8 计算莫比乌斯函数的技巧
§3.9 格及其莫比乌斯代数
§3.10 半模格的莫比乌斯函数
§3.11 Zeta多项式
§3.12 秩-选择
§3.13 R-标号
§3.14 欧拉偏序集
§3.15 二项偏序集和生成函数
§3.16 对排列计数的一个应用
（三）主要参考资料
《Enumerative Combinatorics》，R.P. Stanley著，Wadsworth and Brooks/Cole, Monterey, CA, 1986年版。
（四）任课教师：王军等
（五）总时数： 72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 有限群导引
（一）教学目的和要求
掌握有限群的基本性质与构造理论并熟练地应用于常用的组合构造中。
（二）基本教学内容
第一章 基本概念
§1. 群的定义、子群、子群的陪集、共轭、双陪集、同态和同构
§2. 正规子群和商群、同态和同构定理、直积、特征子群
§3. 群例、交换群、换位子
§4. 自同构、自由群、生成元和定义关系（
第二章 群在集合上的作用
§1. 群在集合上的作用、Sylow定理
§2. 可解群和p-群
§3. 传递置换表示
§4. 转移和Burnside引理
第三章 群的构造理论初步
§1. Jordan-Holder定理
§2. 直积分解
§3. 群的扩张理论
§4.Schur-Zassenhaus 定理，圈积
第四章 幂零群和可解群初步（介绍）
第五章 有限群表示论初步
§1. 群的表示、 群代数和模
§2. 不可约模和完全可约模
§3. 半单代数的构造
§4. 特征标、类函数、正交关系
§5. 诱导特征标
§6. 应用
（三）主要参考资料
《有限群导引，上册》 徐明曜 著, 科学出版社，第二版，1999.
《群论》M. Hall著, 裘光明译, 科学出版社, 1981.
（四）任课教师：王军等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 计算生物学
（一）教学目的和要求
本课程介绍计算生物学的主要研究方向和采用的计算方法。内容涉及序列比对、马氏链和隐马氏模型、基因识别、种系发生树构建、DNA芯片数据分析和位点发现等。通过本课程的学习，了解分子生物学的基本概念，掌握概率统计、组合数学、图论等数学工具在生物分子数据分析中的应用，为开展计算生物学研究打下扎实的基础。
（二）基本教学内容
第一章 生物学基础
§1.1 DNA, RNA与蛋白质
§1.2 中心法则
§1.3 基因组结构
§1.4 基因表达调控
§1.5 生物大分子结构的确定
第二章 双序列比对
§2.1 最长公共子序列
§2.2 Needleman-Wunsch 算法
§2.3 Smith-Waterman 算法
第三章 多重序列比对方法
§3.1 SP算法
§3.2 动态规划算法
§3.3 优化计算方法
§3.4 星形比对
§3.5 其它多重比对算法
§3.6 统计特征分析
第四章 Markov链和隐Markov模型
§4.1 随机过程
§4.2 状态转移概率
§4.3 Markov性
§4.4序列比较的Markov方法
§4.5 隐Markov模型
§4.6 基于隐Markov模型的分类问题
第五章 基因识别方法
§5.1 最长ORFs法
§5.2 基于密码子使用偏性的方法
§5.3 神经网络方法
§5.4 模式判别分析法
§5.5 基于动态规划的基因结构预测
§5.6 基于剪切比对的基因识别
第六章 系统发生分析
§6.1 系统发育树
§6.2 基于距离的系统发生树构建方法
§6.3基于特征的系统发生树构建方法
§6.4 最大似然法
§6.5 可靠性检验
第七章 蛋白质二级结构预测
§7.1 Chou-Fasman方法
§7.2 GOR方法
§7.3 基于氨基酸疏水性的预测方法
§7.4 最近邻方法
§7.5 人工神经网络方法
第八章 基因表达数据分析
§8.1 基因表达数据的获取
§8.2 表达差异的显著性分析
§8.3 基因表达谱聚类分析
§8.4 主成分分析
§8.4 基于表达谱的基因调控网络构建
第九章 DNA位点发现
§9.1 转录因子结合位点
§9.2 酶催化位点
§9.3 蛋白质亚细胞位点
（三）主要参考资料
《生物序列分析，蛋白质和核酸的概率论模型》，R. Durbin等著, 清华大学出版社，2002。
《Data Analysis in Molecular Biology and Evolution》，Xuhua Xia, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS，2002.
《生物进化基础》，李文雄，D. 戈劳尔著, 陈建华译，Sinauer Associates, Inc., 1991.
（四）任课教师：郑小琪等
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试（闭卷）
☆ 图论
（一）教学目的和要求
掌握图论的组合结构的基本性质，掌握图论中的基本问题及其应用方向，介绍图论中未解决的几个问题。
（二）基本教学内容
第一章 图和子图
§1.1 图和简单图
§1.2 图的同构
§1.3 关联矩阵与邻接矩阵
§1.4 子图
§1.5 顶点的度
§1.6 路和连通
§1.7 圈
第二章 树
§2.1 树
§2.2 割边和键
§2.3 割点
§2.4 Caylai公式
第三章 连通度
§3.1 连通度
§3.2 块
第四章 Euler环游与Hamilton圈
§4.1 Euler环游
§4.2 Hamilton圈
第五章 对集
§5.1 对集
§5.2 偶图的对集和覆盖
第六章 边着色
§6.1 边色数
§6.2 Vizing定理
第七章 独立集和团
§7.1 独立集
§7.2 Ramsey定理
§7.3 Turan定理
第八章 顶点着色
§8.1 色数
§8.2 Brooks定理
§8.3 Hajos
§8.4 色多项式
§8.5 围长和色数
第九章 平面图
§9.1 平面和平面图
§9.2 对偶图
§9.3 Euler公式
§9.4 桥
§9.5 Kuratowski定理
§9.6 五色定理和四色猜想
§9.7 非Hamilton平面图
第十章 有向图
§10.1 有向图
§10.2 有向路
§10.3 有向圈
第十一章 网络流
§11.1 流
§11.2 割
§11.3 最大流最小割定理
第十二章 圈空间和键空间
§12.1 环流和势差
§12.2 生成树的数目
第十三章 未解决问题介绍
（三）主要参考资料
《Graph theory with Alllications》, J. A. Bondy and U. S. R. Murty，The Macmillan Press Ltd , 1976
（四）任课教师：王军
（五）总时数：72学时
（六）考核方式：考试
培养计划表
（博士）
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院（系、
所）
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数理学院
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学 科、
专 业
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基础数学
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研 究
方 向
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1. 交换代数 2. 组合数学及其应用
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课程类别
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课 程
名 称
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学
分
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周学时
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总
学
时
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各学期教学周时数
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任 课
教 师
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考核方式
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一
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二
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三
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四
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五
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六
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必
修
课
程
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学
位
公
共
课
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第一外国语
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4
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4
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√
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考试
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政治理论课
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3
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3
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考试
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基础理论课
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代数学
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3
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4
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72
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√
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周才军
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组合学
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3
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4
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72
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√
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王军
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专业必修课
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同调代数
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3
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4
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72
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√
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周才军
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图论
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3
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4
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72
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√
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王军
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计算生物学
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3
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4
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72
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√
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郑小琪
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有限群导引
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3
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4
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72
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√
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王军
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交换代数
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3
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4
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72
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√
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周才军
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学术讲座
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学术前沿讲座与文献研讨
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1
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综合学术讨论课
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专
业
选
修
课
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专业外语（限定选修课）
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2
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泛函分析
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2
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4
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72
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√
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代数学基础
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2
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4
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72
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√
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拓扑学基础
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2
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4
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72
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√
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数值分析
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2
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4
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72
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√
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数学物理方程
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2
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4
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72
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√
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概率与测度
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2
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4
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72
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√
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最优化与最优控制
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2
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4
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72
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√
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其他
培养
环节
名称
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√
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评审
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论文写作与答辩
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√
|
√
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√
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答辩
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同等学力者补修课程
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