清华大学 自动化系, 北京 100084
收稿日期：2016-11-26
基金项目：国家自然科学基金资助项目（61134008）
作者简介：袁小虎(1979-), 男, 博士研究生
通信作者：李春文, 教授, E-mail:lcw@tsinghua.edu.cn
摘要：量子过程层析是量子信息科学研究的基础之一，但其所需的实验资源会随着量子比特的增加而指数增长。考虑到过程矩阵的稀疏性，近年来一种压缩感知量子过程层析方法可以大大降低量子过程层析的成本和后处理时间。但量子通道研究需要同时层析多种量子门，并且每个量子通道在层析过程中都会存在野点数据。该文提出一种分布式压缩感知量子过程层析方法，通过组合稀疏学习的模式能同时进行多量子通道层析，并有效地剔除野点数据。仿真结果表明：相对于单通道的压缩传感量子过程层析，该方法重构的量子过程矩阵保真度高且对野点数据有较强的鲁棒性，改善了层析性能。
关键词：量子过程层析分布式压缩感知量子通道
Quantum process tomography based on distributed compressed sensing
YUAN Xiaohu, WU Rebin, LI Chunwen
Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Quantum process tomography (QPT) is one of the foundations of quantum information science research, but the required experimental resources during QPT grow exponentially with the number of qubits. Recently, a compressed sensing QPT (CSQPT) was proposed that significantly reduces the required resources and the post-processing time based on the sparseness of the process matrix. However, the quantum channel analysis needs to simultaneously identify a variety of quantum gates and there are always outliers during the QPT process. This paper describes a distributed compressed sensing quantum process tomography (DCSQPT) method to identify the multi quantum channel tomography while effectively attenuating outliers through collaborative sparse learning. Simulations show that this method is robust to outlier data and accurately reconstructs the process matrix compared to the compressed sensing QPT method while significantly improving the quantum process tomography identification speed.
Key words: quantum process tomographydistributed compressed sensingquantum channel
在近二十余年里，随着量子信息研究的兴起，量子过程层析(quantum process tomography, QPT)[1-3]研究受到了许多研究者的关注，它是量子信息科学研究的基础问题，与量子计算、量子通信等研究领域紧密相关。量子过程层析担负的作用有2个方面：首先，可用于评价所设计量子通道的质量；其次，在实验运行过程中可用于辅助诊断和纠错[4]。
与经典辨识类似，量子过程层析的概念非常简单，但其有一个缺点：在进行层析实验时，所需实验装置的次数随量子比特数目指数增长[1]。例如，一个N量子比特的量子通道, 其过程矩阵χ的维数是4N×4N，量子过程层析实验需要确定矩阵所有的16N个独立的实参数(或者基于保迹操作时，可减少至16N-4N个参数)。因此，即使量子比特较少的量子通道，量子过程层析也需要收集大量的层析数据并且需要较长的后处理时间。如何减少量子过程层析的实验装置次数随量子比特指数增长, 并同时提高其层析效率的问题是量子通道辨识的关键。目前已有部分基于单个操作保真度来构建的量子过程层析方法，如随机基准测试[5]、Monte Carlo辨识[6]等。但这些方法并不是基于整个过程矩阵来进行辨识的，也并未给出影响量子通道特定误差的定量描述，不能直接用于提高通道层析的性能。近年来，有研究者提出一种压缩感知量子过程层析方法[7-8]，其基本过程就是将标准的量子过程层析与压缩感知(compressed sensing，CS)[9-10]理论组合起来，简称CSQPT，确保能有效地恢复稀疏信号，甚至在欠采样的情况下也能对量子通道进行很好的辨识。在经典信号处理领域，压缩感知已在核磁共振成像[11]、光学/遥感成像[12]、地质勘探[13]等领域得到了广泛应用。与标准的QPT相比，CSQPT能从很少的实验装置中恢复过程矩阵χ。特别是对于一个d维系统，如果过程矩阵χ已知在某些基上是s稀疏的情况下，亦即量子过程矩阵在某些基上是内部相关的，这时CSQPT仅需O(s lgd)量级的实验装置次数就可较好地估计出量子通道的过程矩阵χ，充分减少了实验次数。
这种方法得到了许多研究者的关注，如Rodionov等[14]基于此方法进行了超导量子门的实验验证，取得了很好的效果，但以上方法[7-8, 14]都只针对单个量子通道过程矩阵的内部相关性实现辨识。实际量子电路辨识场景需要同时对多个量子通道进行层析，这时会存在量子通道过程矩阵之间空间上的相关性，这种相关性对于多量子通道的辨识研究是非常重要的。在经典信号处理理论中，这种方法称为分布式压缩感知理论，已经在视频编码[15]、无线传感器网络[16]等方面得到了广泛的应用研究。此外，量子通道在进行过程层析时，存在由于不完美测量造成量子通道系统的干扰，在量子通道过程矩阵上表现出来的就是稀疏的野点，这要求在后处理过程中分离野点。
本文提出一种分布式压缩感知量子过程层析方法(distributed compressed sensing quantum process tomography，DCSQPT)。此方法利用了量子通道过程矩阵之间的相关性，可以让各通道的层析通过组合稀疏的模式进行，同时进行各量子过程矩阵的构建以及剔除野点，提高了量子通道层析的效率。
1 量子过程层析量子过程层析的目的就是通过实验来重构一个量子操作过程。
任何量子通道ε均可看成一个作用在密度矩阵ρ上的线性映射[1]，如图 1所示，其与一个d维Hilbert空间
| ${\rho _{{\rm{in}}}}\xrightarrow{\varepsilon }{\rho _{{\rm{out}}}} = \varepsilon \left( {{\rho _{{\rm{in}}}}} \right).$ | (1) |
 |
| 图 1 量子通道示意图 |
| 图选项 |
此通道的完整描述可通过重构映射ε来实现。在开放系统中，可通过Kraus算符来完全描述。一个作用在广义量子态ρ上的广义映射ε可用Kraus算法来表示[1]：
| $\varepsilon \left( \rho \right) = \sum\limits_i {{S_i}\rho S_i^\dagger } .$ | (2) |
| ${S_i} = \sum\limits_\alpha {{\alpha _{i\alpha }}{E_\alpha }} .$ | (3) |
| $\varepsilon \left( \rho \right) = \sum\limits_{\alpha ,\beta = 1}^{{d^2}} {{\chi _{\alpha \beta }}{E_\alpha }\rho E_\beta ^\dagger } .$ | (4) |
亦为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{\chi }} \ge 0,}\\{\sum\limits_{\alpha ,\beta = 1}^{{d^2}} {{\chi _{\alpha \beta }}E_\beta ^\dagger {E_\alpha }} = {{\rm{I}}_d}.}\end{array}$ | (5) |
如果输入到量子通道的输入量子比特被制备在量子态ρkin，这里ρkin来自线性独立的输入量子态集{ρ1in, ρ2in, …, ρNin}，然后对量子通道执行一系列投影测量{Π1, Π2, …，Πmeas }，则通过投影测量后量子态|?i〉的发现概率为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{ik}} = {\rm{Tr}}\left( {\prod\nolimits_i {\varepsilon \left( {\rho _k^{in}} \right)} } \right) = }\\{\sum\limits_{\alpha ,\beta = 1} {{\rm{Tr}}\left( {\prod\nolimits_i {{E_\alpha }\rho _k^{in}E_\beta ^\dagger } } \right){\chi _{\alpha \beta }}} .}\end{array}$ | (6) |
| $\mathit{\boldsymbol{P}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} X}}.$ | (7) |
因此，基于线性独立的输入态{ρ1in, ρ2in, …, ρNin}以及投影测量算子{Π1, Π2, …, Πmeas }的完全层析结果，利用实验概率集合Pexp，就可以通过式(7) 的求逆解算唯一地找到过程矩阵χ，这种方法就是标准的量子过程层析方法。实际上的实验操作并不完美，会存在不满足条件式(5) 的物理过程矩阵。这时可利用经验概率P和实际实验概率Pexp之差的最小化来调整过程矩阵的偏差。目前，基于实验数据融合来估计过程矩阵χ有2种经典方法，分别是极大似然方法[17]和最小二乘方法[18]。极大似然法采用最小化的罚函数为
| ${{\cal C}_{{\rm{ML}}}} = - \sum\limits_j {P_j^{\exp }\ln {P_j}} .$ | (8) |
| ${{\cal C}_{{\rm{LS}}}} = \left\| {\mathit{\boldsymbol{P}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\exp }}} \right\|_2^2 = \sum\limits_j {{{\left[ {P_j^{\exp } - {P_j}} \right]}^2}} .$ | (9) |
以上2种方法，都需满足条件式(5)。若不考虑实际量子过程矩阵的稀疏性，这2种方法都需要进行完全层析才能完美重构量子过程矩阵。
2 基于分布式压缩感知的量子过程层析方法若通过实验获得的实验概率值数目比实际量子通道过程矩阵的独立参数数目要少(m < d4-d2)，则式(7) 就是欠定的。实际上，针对特定范围的值，最小二乘方法仍可以进行优化计算，但效率较低。当前研究表明，实验研究过程中的量子通道其过程矩阵在某些基下几乎是稀疏的或接近稀疏，如CNOT门，Toffolin门以及CZ门等，这就可以利用压缩感知方法来重构过程矩阵。文[7-8]提出一种压缩感知量子过程层析方法(CSQPT)，得到了较好的效果，与标准QPT相比，所需测量实验装置的次数较少。
从数学上来说，CSQPT方法就是解下面的凸优化问题：
| $\begin{array}{l}\min \;\;\;{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_1},\\{\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}\;\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\exp }}} \right\|_2^2 \le e,\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{\chi }}\;满足式\left( 5 \right).\end{array}$ | (10) |
文[15]给出了具有s稀疏的过程矩阵χ的量子通道可通过CSQPT来完美重构的条件：
1) 矩阵Φ满足RIP (restricted isometry property)条件，亦即对所有的s稀疏矢量(过程矩阵的向量形式)X1和X2，都有
| $1 - {\delta _s} \le \frac{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{X}}_1} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{X}}_2}} \right\|_2^2}}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{X}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{X}}_2}} \right\|_2^2}} \le 1 + {\delta _s};$ | (11) |
3) 测量数据足够多，
| $m \ge {C_0}s\lg \left( {{d^4}/s} \right) = O\left( {sN} \right),$ | (12) |
过程矩阵的稀疏性s与实验数据以及重构精度相关，以上工作[7-8, 14]并没有考虑多通道情形。实际量子线路设计过程中，经常有多个相似量子通道需要同时进行辨识的状况，这里多个相似量子通道是指具有相同稀疏支撑的量子通道，亦即量子通道过程矩阵在进行稀疏表示后，其稀疏矩阵的非零项位置及大小相差较小。此外，这些工作[7-8, 14]也没有考虑测量结果矩阵Pexp的可靠性，实际的量子测量设备会存在故障，会引起测量偏差，式(10) 中的向量P-Pexp会出现较大的非零项。然而在随后的后处理过程中并不考虑这些问题，这样会使得重构出来的量子过程矩阵有较大偏差。基于以上考虑，本文提出一种分布式压缩感知量子过程层析方法，此方法是基于信号是联合稀疏这一概念，充分体现相似量子通道之间和通道内部的相关性, 理论框架如图 2所示。
 |
| 图 2 分布式压缩感知量子过程层析示意图 |
| 图选项 |
图 2是以3个通道为例，由3个要素构成，分别是测量信号的稀疏表示、投影测量以及联合重构。相比于各通道是独立编解码的压缩感知层析方法，分布式压缩感知量子过程层析有以下2个优点:首先，在编码过程中进行通道测量时，每个通道是独立进行压缩的。借助于相似通道之间以及通道本身的相关性，这种方案可以极大减少测量次数，尤其是在量子通道的共同成分占优势时体现尤为明显。其次，分布式压缩感知量子过程层析并没有降低整个层析过程的计算复杂度，而是将计算复杂度从编码端转移到联合重构端，最终将每个量子过程矩阵逐个重构出来，这样就减少了联合重构过程中的一些冗余计算。
基于此，本文设想稀疏性相似量子通道辨识的模型如下：
| ${\mathit{\boldsymbol{P}}_k} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{X}}_k} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_k},k = 1,2, \cdots ,K.$ | (13) |
| $\begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_1}}&{{P_2}}& \cdots &{{P_K}}\end{array}} \right],\\\mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{X_1}}&{{X_2}}& \cdots &{{X_K}}\end{array}} \right].\end{array}$ | (14) |
定义1 ??有共同稀疏特性的K个相似量子通道，从线性独立的量子态集{ρ1in, ρ2in, …, ρNin}随机选择输入量子态到每个量子通道，然后从投影测量算子集{Π1, Π2, …，Πmeas }中随机选择测量算子对每个量子通道进行测量，此过程重复多次，就有测量输出矩阵P∈
| $\begin{array}{l}\min\;\;\;{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{row}} - 0}},\\{\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}\;\;\;\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} X}}} \right\|_2^2 \le e,\\{\mathit{\boldsymbol{\chi }}_n}\;满足式\left( 5 \right),n \in \left( {1,2, \cdots ,K} \right).\end{array}$ | (15) |
这种计算重构误差的方法很容易受到不完美量子实验测量设置的影响，造成过程矩阵项出现野点。有****提出用行稀疏度指标来检测野点[16]，此方法有2个方面的缺点：首先，它采取的是在稀疏编码之后再进行野点检测，此时的编码向量已受野点的影响，亦即编码向量是不准确的；其次，实际的实验过程中此方法易受噪声影响。从式(15) 来看，若某量子通道过程矩阵出现野点，那么重构误差矩阵P-ΦX的第i列会是非零向量而且有可能是较大的值。从另外一个角度来考虑，这种野点噪声通常在整个量子测量实验过程中所占比例比较少。
因此，式(15) 可转化为以下模型：
| $\begin{array}{l}\min{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{row}} - 0}} + \lambda {\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} X}}} \right\|_{{\rm{column}} - 0}},\\{\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}\;\;{\mathit{\boldsymbol{\chi }}_n}\;满足式\left( 5 \right).\end{array}$ | (16) |
此外，式(16) 的优化问题需要同时解决过程矩阵X的非零行以及重构误差矩阵P-ΦX的非零列，此问题实际上是一个组合优化问题，属于NP-hard问题，无法在多项式时间内求解。基于以上考虑以及文[19-20]，式(16) 可转化成以下优化问题：
| $\begin{array}{l}\min{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{p,q}} + \lambda {\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} X}}} \right\|_{p,q}},\\{\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}\;\;{\mathit{\boldsymbol{\chi }}_n}\;满足式\left( 5 \right).\end{array}$ | (17) |
针对此种类型的优化模型，已有不少研究者提出各种优化解决方案，文[21]采用一种自适应权重的ADMM (alternating direction method of multipliers)方法进行量子态层析，取得了较好的效果。本文采用一种比较通用的方法p=∞[22]，亦即用L∞, 1范数和L1，∞范数分别替代‖X‖q, p和‖P-ΦX‖q, p。这样，本文采用的分布式压缩感知量子过程层析问题(式(17))可被转化成凸优化问题，可使用凸优化的软件来进行解算。仿真过程中，本文使用CVX软件包来进行量子过程矩阵的重构。
3 仿真研究本文考虑2种量子通道同时进行过程层析，分别是两量子位非门和CNOT量子门。这2种量子通道均是量子信息处理系统中常用的量子门，在量子计算和量子通信中得到广泛应用，如量子通信中纠缠态的交换操作和纯化操作都需要CNOT门作为量子态操控装置。
3.1 通道模型两量子位非门的矩阵表示如下：
| ${\mathit{\boldsymbol{U}}_{{\rm{NOT}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}} \right].$ | (18) |
| ${\mathit{\boldsymbol{U}}_{{\rm{CNOT}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{array}} \right].$ | (19) |
 |
| 图 2 在自然基和SVD基下的过程矩阵(X轴和Y轴分别为过程矩阵的基底坐标，Z轴为过程矩阵元素对应的实际值) |
| 图选项 |
3.3 输入量子态及测量基的选定输入量子态可选择4或6个初始态模式组合，分别是|0〉、|1〉、(|0〉+|1〉)/
3.4 过程矩阵保真度设定2个过程矩阵χ1和χ2之间的保真度定义为[1]
| $F\left( {{\mathit{\boldsymbol{\chi }}_1},{\mathit{\boldsymbol{\chi }}_2}} \right) = {\left( {{\rm{Tr}}\sqrt {\sqrt {{{\rm{ \mathsf{ χ} }}_1}} {{\rm{ \mathsf{ χ} }}_2}\sqrt {{{\rm{ \mathsf{ χ} }}_1}} } } \right)^2}.$ | (20) |
 |
| 图 3 仿真实验结果 |
| 图选项 |
其中，横坐标是输入-测量组合对数，针对每个通道每个组合重复进行40次实验；纵坐标表示保真度(fidelity)，评估的是实际量子通道过程矩阵与理想量子通道过程矩阵之间的差别；下标dcs和cs分别代表分布式压缩感知和单通道压缩感知2种仿真过程，而Fdcs和Fcs分别表示在分布式压缩感知和单通道压缩感知后的量子通道保真度。
随机选取的最小输入-测量组合数是2，最大组合数是42。从仿真结果可以看出，分布式压缩感知量子过程层析方法得到的通道保真度随着输入-测量实验装置数的增加会越来越优于单独采用压缩感知层析方法得到的通道保真度。分布式压缩感知中CNOT门通道在进行到采用18次输入-测量实验装置时其保真度大于0.95，而通过单独压缩感知层析的CNOT门的保真度一直在0.93左右，受野点干扰的影响较大。在经过42次输入-测量实验装置时，分布式压缩感知层析情况下，两量子位比特翻转通道和CNOT通道过程矩阵的保真度都是1，而单次压缩感知层析的保真度分别为0.93和0.94。
图 4是分别经过分布式压缩感知和单独压缩感知后最终的过程矩阵示意图，只取过程矩阵的实部来进行分析。图 4d中CNOT通道过程矩阵在部分区域存在很多细微突起，还出现负值项，这表明层析后的系统与实际系统模型图 2b相差较大，不能较好地剔除野点造成的干扰。
 |
| 图 4 两量子位非门和CNOT门的过程矩阵 |
| 图选项 |
4 结论本文针对多量子通道同时进行层析的情况，提出了一种分布式压缩感知量子过程层析方法，这种方法可同时进行具有相似稀疏性量子通道的层析，利用了待层析量子通道过程矩阵的内部相关性和量子通道过程矩阵之间的相关性，大大降低了层析过程后处理的时间和成本，同时该方法还能针对不完美量子测量或环境造成的量子通道过程矩阵出现的野点进行有效剔除。仿真结果表明：与单通道压缩传感量子过程层析方法相比，分布式压缩感知量子过程层析方法在剔除野点的同时能有效改善量子过程矩阵的层析精度。这种方法能较好地指导量子过程层析实验。
参考文献
| [1] | Nielsen M A, Chuang I L. Quantum Computation and Quantum Information[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. |
| [2] | Kofman A G, Korotkov A N. Two-qubit decoherence mechanisms revealed via quantum process tomography[J]. Physical Review A, 2009, 80(4): 042103. DOI:10.1103/PhysRevA.80.042103 |
| [3] | Mohseni M, Rezakhani A T, Lidar D A. Quantum-process tomography:Resource analysis of different strategies[J]. Physical Review A, 2008, 77(3): 032322. DOI:10.1103/PhysRevA.77.032322 |
| [4] | Mohseni M, Rezakhani A T. Equation of motion for the process matrix:Hamiltonian identification and dynamical control of open quantum systems[J]. Physical Review A, 2009, 80(1): 010101. DOI:10.1103/PhysRevA.80.010101 |
| [5] | Knill E, Leibfried D, Reichle R, et al. Randomized benchmarking of quantum gates[J]. Physical Review A, 2008, 77(1): 012307. DOI:10.1103/PhysRevA.77.012307 |
| [6] | Flammia S T, Liu Y K. Direct fidelity estimation from few Pauli measurements[J]. Physical Review Letters, 2011, 106(23): 230501. DOI:10.1103/PhysRevLett.106.230501 |
| [7] | Kosut R L. Quantum process tomography via l1-norm minimization[J]. arXiv:0812.4323, 2008. |
| [8] | Shabani A, Kosut R L, Mohseni M, et al. Efficient measurement of quantum dynamics via compressive sensing[J]. Physical Review Letters, 2011, 106(10): 100401. DOI:10.1103/PhysRevLett.106.100401 |
| [9] | Donoho D. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289–1306. DOI:10.1109/TIT.2006.871582 |
| [10] | Cands E, Tao T. Near-optimal signal recovery from random projections:Universal encoding strategies?[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5406–5425. DOI:10.1109/TIT.2006.885507 |
| [11] | Lustig M, Donoho D, Pauly J M. Sparse MRI:The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J]. Magnetic Resonance in Medicine, 2007, 58(6): 1182–1195. DOI:10.1002/(ISSN)1522-2594 |
| [12] | MA Jianwei. Single-pixel remote sensing[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing Letters, 2009, 6(2): 199–203. DOI:10.1109/LGRS.2008.2010959 |
| [13] | Hennenfent G, Herrmann F J. Simply denoise:Wavefield reconstruction via jittered under sampling[J]. Geophysics, 2008, 73(13): V19–V28. |
| [14] | Rodionov A V, Veitia A, Barends R, et al. Compressed sensing quantum process tomography for superconducting quantum gates[J]. Physical Review B, 2014, 90(14): 144504. DOI:10.1103/PhysRevB.90.144504 |
| [15] | Prades-Nebot J, Ma Y, Huang T. Distributed video coding using compressive sampling[C]//Picture Coding Symposium. Chicago, IL, USA:IEEE, 2009:1-4. |
| [16] | Yang H, Huang L, Xu H, et al. Distributed compressed sensing in wireless local area networks[J]. International Journal of Communication Systems, 2014, 27(11): 2723–2743. |
| [17] | Je?ek M, Fiurá?ek J, Hradil Z. Quantum inference of states and processes[J]. Physical Review A, 2003, 68(1): 012305. DOI:10.1103/PhysRevA.68.012305 |
| [18] | Chow J M, Gambetta J M, Tornberg L, et al. Randomized benchmarking and process tomography for gate errors in a solid-state qubit[J]. Physical Review Letters, 2009, 102(9): 090502. DOI:10.1103/PhysRevLett.102.090502 |
| [19] | Berg E, Friedlander M P. Joint-sparse recovery from multiple measurements[J]. arXiv:0904.2051, 2009. |
| [20] | Liu H, Liu Y, Yu Y, et al. Simultaneous prototype selection and outlier isolation for traffic sign recognition:A collaborative sparse optimization method[C]//2014 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). Hong Kong, China:IEEE, 2014:2138-2143. |
| [21] | Li K, Zhang H, Kuang S, et al. An improved robust ADMM algorithm for quantum state tomography[J]. Quantum Information Processing, 2016, 15(6): 2343–2358. DOI:10.1007/s11128-016-1288-x |
| [22] | Tropp J A, Gilbert A C, Strauss M J. Algorithms for simultaneous sparse approximation. Part Ⅰ:Greedy pursuit[J]. Signal Processing, 2006, 86(3): 572–588. DOI:10.1016/j.sigpro.2005.05.030 |
