李全旺 , 王草 , 邹阿鸣 , 庞龙 , 张龙
清华大学 土木工程系, 北京 100084

收稿日期: 2015-06-14
基金项目: 交通运输部重大专项基金项目（201332849A090）
作者简介: 李全旺(1975-),男,副教授。E-mail:li_quanwang@tsinghua.edu.cn


摘要：对沿海地区进行飓风灾害评估时，考虑到已有方法中往往忽略飓风发生的间歇性特性，导致分析结果不准确，该文提出了飓风灾害评估的新方法。将飓风发生的随机过程描述为平稳Poisson过程，并在此基础上给出了飓风灾害评估公式。选取美国Miami-Dade县1900-2010年的飓风数据进行分析，并应用该文提出的方法对该县未来50年内的飓风灾害进行评估。结果表明：Poisson过程能够准确刻画飓风发生的随机过程。如果忽略飓风的间歇性特性，会高估飓风灾害的均值和标准差，但低估其变异性。在50年的评估期内，如果忽略飓风的间歇性特性，则飓风灾害的均值和方差分别被高估41.4%和20.05%。
关键词： 飓风 灾害评估 Poisson过程 间歇性 概率模型
Hurricane damage assessments for coastal areas based on a Poisson model
LI Quanwang, WANG Cao, ZOU Aming, PANG Long, ZHANG Long
Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract:Previous hurricane damage assessments for coastal areas have ignored the intermittent nature of hurrucanes. This paper presents an hurricane damage assessment method that accounts for the intermittency. A Poisson model is used in this paper to describe the hurricane stochastic process with explicit formulas for the hurricane damage assessment. Hurricane data for Miami-Dade County, USA, from 1900 to 2010 were used to illustrate the method. The Poisson model provides a reasonable description of the hurricane stochastic characteristics. The mean and the variance of the hurricane damage are overestimated while the coefficient of variance is underestimated if the intermittency is ignored. For example, for a 50-year service period, the mean cumulative hurricane damage is overestimated by 41.4% while the variance is over estimated by 20.05% if the intermittency is ignored.
Key words: hurricanesdamage assessmentPoisson processintermittencyprobabilistic model
对于沿海地区(如中国的东南沿海、美国的东南海岸等)，飓风灾害往往会导致巨大的经济损失和人员伤亡。2005年美国Katrina飓风带来的直接经济损失超过1亿美元^[1]。据福建省民政厅的统计结果，2013年7月的台风“苏力”造成福建省9个地级市及平潭综合实验区80个县(市、区)103万人受灾，直接经济损失达17.7亿元^[2]。对飓风灾害进行风险评估，近年来得到了众多****的关注^[3-7]。 Bjarnadottir等^[5]对美国佛罗里达州Miami-Dade县的飓风灾害进行了评估，该方法首先根据每年最大风速的概率模型，计算得到每年的飓风灾害，然后对其累加得到评估期内的累积灾害。 Li等^[6]对澳大利亚North Queensland地区由飓风引起的经济损失进行了评估，该方法也是先求得每年的灾害损失，然后对其进行累加。
对某一特定地区，飓风的发生存在着间歇性(例如，每隔3—5年发生一次)^[8-9]。这表明，根据每年最大风速的概率分布来计算每年的飓风灾害，得到的结果是不准确的。为了体现飓风过程的间歇性特性，本文提出采用Poisson过程模型来描述飓风的发生。在此基础上，提出了飓风灾害评估新的计算方法。
1 飓风灾害评估方法1.1 已有方法考虑时间(0，T］内的累积飓风灾害D_T，已有研究^[5-6]中采用下式计算：

${{D}_{T}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+\ldots +{{d}_{T}}.$

(1)

其中，d_i表示第i年内的飓风灾害，且

$E{{d}_{i}}=\int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv,$

(2)

$\begin{align} & Var{{d}_{i}}= \\ & \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E{{d}_{i}} \right]}^{2}}\cdot {{f}_{v}}\left( v,i \right)dv. \\ \end{align}$

(3)

其中： E()和Var() 分别表示括号中变量的均值和方差； F_D(v)为飓风灾害函数； f_v(v，i)为第i年的最大风速的概率密度函数PDF。假定各d_i互相独立，则由式(1)—(3)得：

$\begin{align} & E\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{T}{{}}E{{d}_{i}}= \\ & \sum\limits_{i=1}^{T}{{}}\int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv. \\ \end{align}$

(4)

$\begin{align} & Var\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{T}{{}}Var{{d}_{i}}= \\ & \sum\limits_{i=1}^{T}{{}}\int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E{{d}_{i}} \right]}^{2}}\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv. \\ \end{align}$

(5)

式(4)和(5)即为已有的评估某一地区未来一段时间内累积飓风灾害的方法。然而，对于沿海地区，飓风的发生是罕见的，可能存在着一年中不发生飓风的情形^[8-9]。因此，式(4)和(5)中的f_v(v，i)是“虚拟”的年最大风速。这表明，利用已有方法计算累积飓风灾害D_T时，得到的结果是不准确的。
1.2 本文方法为了更加准确地评估时间(0，T］内的累积飓风灾害D_T，本文提出将飓风发生的随机过程描述为平稳的Poisson过程，其Poisson强度记为λ(即单位时间内平均有λ次飓风发生)。将时间段(0，T］划分为N个等长的小区间(N足够大)，则根据Poisson过程的性质，在每个区间上，发生一次飓风的概率为$\frac{\lambda T}{N}$， 不发生飓风的概率为1－$\frac{\lambda T}{N}$。 若每次飓风风速v的PDF为${\tilde{f}}$(v)，将第j个区间上的飓风灾害记作${\tilde{d}}$_j，j=1，2，…,N，则

$E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)=\frac{\lambda T}{N}\cdot \int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv,$

(6)

$\begin{align} & Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)=\frac{\lambda T}{N}\cdot \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right) \right]}^{2}}\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv,+ \\ & \left( 1-\frac{\lambda T}{N} \right)\cdot {{E}^{2}}\left( {{{\tilde{d}}}_{i}} \right).~ \\ \end{align}$

(7)

根据式(6)和(7)，假设各d~_j互相独立，有

$\begin{align} & E\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv, \\ \end{align}$

(8)

$\begin{align} & Var{{D}_{T}}=\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right) \right]}^{2}}\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv+ \\ & E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)E\left( {{D}_{T}} \right)-\lambda T\cdot {{E}^{2}}\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right). \\ \end{align}$

(9)

当N足够大时，式(9)可改写为

$\begin{align} & Var\left( {{D}_{T}} \right)=\underset{N\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int F_{D}^{2}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv.~ \\ \end{align}$

(10)

式(8)和(10)即为本文提出的飓风灾害评估的新方法。与已有方法对比，本文方法中考虑到了飓风发生的间歇性特性，因此更能准确地反映真实情况。
将飓风发生随机过程描述为Poisson过程，则相邻2次飓风的时间间隔Δ也是随机变量，且服从指数分布，其累积密度函数CDF为

$~F\delta =1-exp-\lambda \cdot \delta $

(11)

2 算例分析2.1 数据本文选取美国佛罗里达州Miami-Dade县1900—2010年的登陆飓风数据进行分析^[10]，如表 1所示(数据来源： http://coast.noaa.gov/hurricanes)。在110年里共登陆27次飓风，其轨迹如图 1所示。
表 1 美国Miami-Dade县1900—2010年登陆飓风记录

时期	2010-07	2006-08	2005-08	2004-09	1999-10	1992-08	1976-08	1972-09	1971-08
MWS	18.004	20.576	36.008	12.860	33.436	74.588	18.004	15.432	12.860
日期	1968-09	1952-02	1948-10	1947-10	1945-09	1941-10	1936-07	1936-06	1935-11
MWS	15.432	23.148	46.296	38.580	54.012	41.152	25.720	20.576	41.152
日期	1932-08	1926-09	1924-10	1916-08	1916-11	1907-09	1906-06	1906-09	1904-10
MWS	28.292	64.300	33.436	20.576	25.720	15.432	38.580	54.012	30.864
?注： MWS为1 min持续最大风速(maximum wind speed)，单位为m/s。

表选项

图 1 美国Miami-Dade县1900—2010年登陆飓风轨迹

图选项

将飓风发生随机过程看作平稳Poisson过程，其Poisson强度λ=27/110=0.245。 根据式(11)，相邻2次飓风的时间间隔Δ的CDF为

$~F\delta =1-exp\left( -0.245\delta \right).$

(12)

式(12)中的F(δ)如图 2所示。为了验证本文提出的Poisson过程模型的准确性，计算表 1中每相邻2次飓风的发生时间间隔δ_i，并按升序排序δ₁ <δ<₂ <…<δ₂₆； 然后将点对(δ_i，i /27)绘制于图 2中(i=1，2，…，26)。 借助Chi-Square的一致性检验，得到p值为0.969^[11]。 p值的数学意义是指“出现更不符合假定概率模型的样本的几率”，通常当p>0.200时，便认为假定概率分布模型是合理的。由此可知，飓风的发生时间间隔Δ可用指数分布描述其离散性，且拟合效果良好。

图 2 飓风时间间隔的累积密度函数

图选项

计算得到表 1中27次风速的均值为31.8 m/s，标准差为16.19 m/s。 用Weibull分布来拟合${\tilde{v}}$的分布，则${\tilde{v}}$的CDF，${\tilde{F}}$(v)为

$\tilde{F}\left( v \right)=1-exp{{\left[ -\left( \frac{v}{35.9} \right) \right]}^{2.06}}.$

(13)

将表 1中的风速按升序排列v₁<v₂<…<v₂₇； 然后将点对(v_i，i /28)绘制于图 3中(i=1，2，…，27)。 为方便比较，在图 3中也绘制了式(13)中的 ${\tilde{F}}$(v)。 对Weibull分布拟合进行Chi-Square的一致性检验^[11]，得到p值为0.663>0.200。 这表明，实际记录的飓风风速(1 min持续风速)可以用Weibull分布描述，且拟合效果良好。

图 3 飓风风速的累积密度函数

图选项

根据表 1中的数据可推算出式(4)和(5)中的“虚拟”年最大风速的PDF，f_v(v，i)。 用Poisson过程描述飓风发生的随机过程，在时间段(0，T₀］内，记飓风发生次数为Q，则

$\begin{align} & Pr\left( Q=k \right)=\frac{\left( \lambda T_{0}^{k} \right)}{k!}exp\left( -\lambda {{T}_{0}} \right), \\ & k=0,1,2,\ldots \\ \end{align}$

(14)

根据式(14)得：

$\begin{align} & F\left( v,{{T}_{0}} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{}}Pr\left( Q=k\cdot \right){{{\tilde{F}}}^{k}}\left( v \right)= \\ & exp\left[ -\lambda {{T}_{0}}\left( 1-\tilde{F}\left( v \right) \right) \right].~ \\ \end{align}$

(15)

其中，F(v，T₀)为时间(0，T₀］内的最大风速v_T0的CDF。 由式(15)，v_T0的均值为

$~E{{v}_{{{T}_{0}}}}=\int_{0}^{\infty }{{}}v\cdot \frac{\partial F(v,{{T}_{0}})}{\partial v}\cdot dv.$

(16)

用Weibull分布刻画年最大风速，其CDF记为F_v(v，i)，则

${{F}_{v}}\left( v,i \right)=1-exp\left[ -{{\left( \frac{v}{{{u}_{1}}} \right)}^{{{\alpha }_{1}}}} \right].$

(17)

为拟合式(17)中的参数u₁和α₁，令式(16)中的T₀=30，40，50，…，100，可分别计算E(v₃₀)，E(v₄₀)，E(v₅₀)，…,E(v₁₀₀)； 然后线性拟合点对ln[E(v_T0)],ln(lnT₀)，则斜率为α₁，截距为-α₁ln u₁。 如图 4所示，拟合得到u₁=20.55 m/s，α₁=1.27。 进而，由式(17)得：

图 4 拟合式(17)中的参数u1和α1

图选项

$0.0618{{\left( \frac{v}{20.55} \right)}^{0.27}}\cdot exp{{\left[ -\left( \frac{v}{20.55} \right) \right]}^{1.27}}.$

(18)

2.2 灾害评估考虑从当前时刻开始50年内的累积飓风灾害D₁，D₂，…，D₅₀。根据本文提出的式(8)和(10)计算得到D_T的均值和标准差，如图 5所示。其中，飓风灾害函数F_D(v)采用文^[12]中的模型，如式(19)所示。F_D(v)的含义是风速为v的飓风引起的损伤资产占该地区所有资产的比重，

$\eqalign{ & {F_D} = \cr & \left\{ \matrix{ 0.01exp\left( {0.252v - 5.823} \right),v \le 35; \hfill \cr 0.01\left[ {20 + 11.43\left( {v - 35} \right)} \right],35 < v \le 42; \hfill \cr 1,v > 42. \hfill \cr} \right. \cr} $

(19)

其中，v表示10 min持续风速(m/s)。 表 1中的风速为1 min持续风速，因此，需要将1 min风速乘以转换系数0.9来转化为10 min风速。
为方便对比，分别根据式(4)和(5)计算得到不考虑飓风间歇性特性的累积灾害D_T，其均值和标准差也绘制于图 5中。从图 5(a)可以看到，50年内的飓风累积灾害随着时间的增加而线性增加。如果忽略飓风发生过程的间歇性，则会显著高估飓风灾害的均值。以E(D₅₀)为例，由式(8)计算得E(D₅₀)=3.332，而由式(4)(即不考虑飓风间歇性)计算得E(D₅₀)=4.713，高估41.4%。 从图 5(b)可以看到，如果忽略飓风的间歇性特性，则会高估飓风灾害的方差。比如，对于Var(D₅₀)，由本文方法计算得Var(D₅₀)=2.823，而由式(5)计算得Var(D₅₀)=3.389，高估20.05%。 2种方法计算得到的D_T的变异系数COV，即标准差与均值的比值如图 5(c)所示。可以看到，随着T增加，D_T的变异性变小。这是因为2种方法中，D_T的均值随T线性增加，但其标准差则随T平方根线性增加。此外，如果忽略飓风的间歇性特性，则会低估飓风灾害的变异性。

图 5 50年内的累积飓风灾害

图选项

3 结 论本文考虑到飓风的间歇性特征，采用平稳Poisson过程来描述飓风发生的随机过程，提出了飓风灾害评估的新方法。对美国Miami-Dade县1900—2010年的飓风数据进行了分析，结果表明： 平稳Poisson过程可以准确描述飓风发生的随机过程； 此外，每次飓风的风速可以用Weibull分布来刻画。应用本文方法对Miami-Dade县未来50年内的飓风灾害进行了评估，结果表明： 利用已有方法(忽略飓风的间歇性特性)，则会高估飓风灾害的均值和方差，但会低估其变异性。在50年内的评估期内，已有方法会对飓风灾害的均值和方差分别高估41.4%和20.05%。

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