, 潘成刚 1,2 , 范春石 3 1. 清华大学 精密仪器系, 北京 100084;
2. 教育部智能微系统重点实验室, 北京 100084;
3. 中国空间技术研究院, 北京 100094
收稿日期：2016-10-16
基金项目：国家“八六三”高技术项目（2013AA122601）；国家自然科学基金资助项目（61403392）
作者简介：张高飞(1977-)男, 副教授。E-mail:zgf@tsinghua.edu.cn
摘要：针对动量球转子全姿态空间测量的应用需求，该文对转子按照经纬度渐变的颜色编码方案进行了改进，分析了编码纬度范围与传感器分布之间的关系，提出一种按照三正交轴渐变的颜色编码方案，该编码方案具有颜色分布均匀，颜色矢量与坐标值之间的映射关系更为直接等特点。仿真实验验证了2种渐变色编码测量方案在全姿态空间范围内快速方位测量的可行性，比较了2种方法的测量误差，结果表明：按照三轴渐变色的编码方式具有更好的测量精度。
关键词：动量球方位测量渐变色编码全姿态空间
Gradient color coding and orientation sensing of 3-DOF reaction spheres
ZHANG Gaofei1,2
, PAN Chenggang1,2, FAN Chunshi31.Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Key Laboratory of Smart Microsystem, Ministry of Education, Beijing 100084, China;
3.China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China
Abstract: Orientation sensing of the full-attitude of a reaction sphere recognized accurate sensing of the color changes with latitude and longitude. This study analyzed the relation between the latitude range and the sensor distribution. A gradient color coding strategy was developed with the RGB colors changing along 3 orthogonal axes. This coding method provides a uniform color distribution and direct correspondence between the color and the coordinates. Simulations show the feasibility of using two gradient color codes for fast orientation sensing at full-attitude with smaller errors than with second coding.
Key words: reaction sphereorientation sensinggradient color codingfull-attitude space
目前微小卫星的姿态执行器主要是飞轮和控制力矩陀螺，为了实现三轴高精度控制，执行器配置数量多或结构复杂。为了提高姿态执行器的功能密度，在有限的质量约束下提高执行器转动惯量，卫星姿态控制动量球成为新的技术手段。动量球可以输出3个自由度力矩，故一个动量球可以实现整星的三轴姿态控制。由于球形转子在空间转动不受陀螺耦合力矩的影响，也更容易提高姿态控制的精度和效率，继而成为各机构的研究热点[1-4]。
图 1为感应式动量球的结构，由球形转子和定子线圈组成。转子与定子非接触，通过定子线圈在转子表面激发的涡流产生悬浮和旋转动力。为了实现球形转子的闭环控制，转子方位的准确快速测量尤为重要，要求非接触、体积小、响应快、可以在全姿态空间内测量出转子方位信息等。
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| 图 1 动量球结构 |
| 图选项 |
三自由度球形转子方位测量分为接触式测量和非接触测量。接触式测量需要有机构固连转子，通过支架带动安装在定子上的码盘转动，以测量转子的方位[5]；非接触测量主要依赖于光电二极管、图像传感器和颜色传感器等光学器件[6]。文[7-9]提出一种基于光电二极管的转子方位检测方法，该方法使用光电二极管阵列感知转子表面的随机黑白色二值编码，依据输出的二值序列在全姿态空间内搜索得出转子方位信息。该方法传感器数量多，编码工艺难以实现，搜索可能陷入局部极小。文[10]提出球面二值编码方式，转子的上半球面按纬度分割，下半球面按经度分割，将球面分成4个区域，2个光电传感器环感知球面颜色。该方法传感器数量多，不能覆盖整个姿态空间。文[11]提出一种基于机器视觉和转子球面伪随机网格编码的方位检测方法，利用伪随机码的窗口特性解出转子方位。该方法体积大、功耗大，适用于低转速。鼠标传感器也被应用于球形转子的方位测量[12-13]，该方法不需对转子编码，受鼠标芯片制约存在转速测量上限。文[14]提出一种基于渐变色编码测量方法，转子球面上涂随着经度和纬度变化的色彩，球面上的每一个点对应于一组唯一的红绿蓝(red green blue, RGB)值，通过2个颜色传感器测量的颜色值解出方位信息。
本文为满足动量球转子全姿态空间方位测量的要求，对转子表面按照经纬度渐变颜色编码测量方案进行了分析，提出了满足转子全姿态测量的传感器布置和编码范围条件。进一步提出一种改进的三坐标轴渐变颜色编码方案及转子方位测量方法，使用2个RGB传感器实现全姿态空间范围内的转子方位测量。该方法色度分布均匀便于工艺实现，误差为按照经纬度编码的70%。
1 渐变色编码测量方案1.1 经纬度渐变编码测量方案改进球形转子的转子坐标系定义如图 2所示，图中xr、yr、zr是转子坐标系的3个正交坐标轴；xs、ys、zs是定子坐标系的3个正交坐标轴；P′指的是在转子坐标系中从原点指向转子球面上一点的单位向量；θ和φ分别代表的是转子坐标系中的向量P′对应的纬度和经度，纬度和经度的取值范围为θ∈[-π/2, π/2]，φ∈[0, 2π)；P是向量P′在定子坐标系中的坐标值。
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| 图 2 转子坐标系定义 |
| 图选项 |
在文[14]测量方案中，转子表面颜色的灰度值按照球面的经度和纬度进行线性变化，由2个安装在定子坐标系中的P1和P2颜色传感器输出的RGB值得出旋转后传感器在转子坐标系中的坐标值P'1和P'1，再依据双矢量定姿的方法[15]解算出转子方位信息。转子纬度编码范围为-42°~+42°(见图 3), 摆角测量范围为-30°~+30°，这并不能覆盖全姿态空间的转子方位测量，因此需要对其进行改进。
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| 图 3 (网络版彩图)经纬度渐变编码测量方案 |
| 图选项 |
根据双矢量定姿的方法，想要实现全姿态空间内的球形转子的方位测量则需要在任一时刻至少具有2个非平行的传感器正对编码区域，输出有效RGB值。解决方法是增加球面编码区域的范围或颜色传感器数量以保证在全姿态空间内满足条件。如果色度按照随着经纬度的变化的方式把球面全部区域进行编码，随着纬度的增加，在经度方向相邻色度之间的球面距离会减小，不利于颜色的编码实现与测量，涂色误差与传感器测量误差造成的方位测量误差增大，特别是靠近转子的南北极的区域。因此，为了满足全姿态空间内的测量，需合理设计转子球面编码范围和传感器的分布。
假设传感器的数量为N个，安装在定子坐标系中的坐标分别为P1, P2, …, PN，任意2个坐标均不平行；涂色的区域的经度范围为0~2π，纬度范围为-θ~+θ(0＜θ＜π/2)。
依据上述方案，满足任一时刻具有2个传感器正对编码的区域，则需要满足在球形转子在任意的旋转方位下，都保证有至少有2个传感器在纬度(-θ, θ)范围内，即这2个传感器与转子坐标系的xOy平面的夹角均小于θ。假设球形转子坐标系的z轴在定子坐标系中的坐标值为Z=[x0y0z0]T，则当Z为任意方向的单位向量时，θ均满足如下不等式:
| $\begin{array}{l}\sin \theta > \\\max \left( {\min \left( {\left\{ {|{P_i} \cdot Z|} \right\}-\min \left( {\left\{ {|{P_i} \cdot Z|} \right\}} \right)} \right)} \right).\\i = 1, 2, \cdots, N.\end{array}$ | (1) |
表 1 传感器安装与涂色区域最小纬度关系
| 数量 | 安装方式 | θ/(°) |
| 2 | 正交安装 | 90 |
| 3 | 正交安装 | 45 |
| 4 | 正四面体顶点 | 54 |
| 4 | 正六面体一侧四个顶点 | 54.74 |
| 6 | 正六面体面中心点 | 45 |
| 8 | 正六面体八个顶点 | 54.74 |
表选项
可以看出，若要使用较少的传感器数量和较小的纬度编码范围，可实现全姿态空间范围内的转子方位测量，避免编码纬度范围过大带来的编码涂色工艺困难及其引起的测量误差等问题，采用3个颜色感器正交安装方式，纬度编码范围-45°~+45°为最佳测量方案。
1.2 三坐标轴渐变编码测量方案经纬度渐变的编码方案之所以不在整个球面进行编码，是因为如果对整个球面编码，则在靠近球形转子的南北极的区域相邻经度之间的球面距离变小，这就导致了色彩线梯度增大，给球面的颜色编码工艺带来困难，同时不利于基于色度的方位检测。因此提出如下编码方式:
| $\left\{ \begin{array}{l}R(i, j, k) \propto (i + 1), \\G(i, j, k) \propto (j + 1), \\B(i, j, k) \propto (k + 1).\end{array} \right.$ | (2) |
把转子看作一个单位球，将上述方式编码用于单位球上。图 4a中球面上的(i, j, k)点红色的亮度值R(i, j, k)正比于该点坐标值i，纵坐标0代表亮度值最小，1代表亮度值最大；与此类似，绿色亮度值G(i, j, k)正比于该点坐标值j；蓝色亮度值B(i, j, k)正比于该点坐标值k。3种颜色沿着3个正交轴渐变，颜色相互叠加如图 4b所示。
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| 图 4 三坐标轴渐变编码方案 |
| 图选项 |
此涂色方案可均匀覆盖整个球面。在单位球上以色阶255为例计算球面色度分布，三坐标轴渐变的编码方案相邻色度间的弧长为0.012 3 rad；而按照经纬度渐变编码方案的纬度方向上相邻色度之间的弧长为0.006 16 rad，经度方向上相邻色度间的弧长为0.008 7 rad。
此种编码方式的优点在于色度分布均匀，RGB值与转子球面上的点之间的映射关系更加简单；由于整个转子球面都编码，可以保证在任意姿态情况下，任意位置的传感器均可有效地输出RGB值，所以只需正交安装2个颜色传感器便可以实现全姿态空间范围内旋转方位测量。
1.3 转子旋转方位求解算法上述2种涂色方案的转子方位的求解算法比较类似。转子表面编码的目的在于建立一种转子坐标系与定子坐标系中向量的映射关系。而转子坐标系中的向量如何标志，则在于编码策略，即球面上的点与颜色的一一映射关系，而颜色传感器通过颜色感知建立了定子坐标系和转子坐标系之间的联系，两个坐标系关系是通过姿态矩阵予以表征。
旋转方位求解分为如下步骤:
步骤1??非平行传感器安装位置向量为P1和P2；
步骤2??转子旋转后，根据此时刻有效输出的传感器的RGB值分别是C1和C2；
步骤3??根据涂色方案，求解出C1和C2在转子坐标中的坐标P'1和P'2；
步骤4??根据双向量确定姿态方法解出姿态矩阵A，完成解算。
已知在定子坐标系中2个不平行的传感器安装位置坐标P1和P2，当转子旋转一定角度后，指向的定子坐标系的坐标为P'1和P'2，姿态矩阵A满足
| $\pmb{P}{'_1}\pmb{ = A}{\pmb{P}_1}, \;\;\pmb{P}{'_2}\pmb{ = A}{\pmb{P}_2}.$ | (3) |
| ${\pmb{R}_1} = {\pmb{P}_1}, {\pmb{R}_2} = \frac{{{\pmb{P}_1} \times {\pmb{P}_2}}}{{\left\| {{\pmb{P}_1} \times {\pmb{P}_2}} \right\|}}, {\pmb{R}_3} = {\pmb{R}_1} \times {\pmb{R}_2};$ | (4) |
| ${\pmb{S}_1} = \pmb{P}{{\rm{'}}_1}, {\pmb{S}_2} = \frac{{\pmb{P}{'_1} \times \pmb{P}{'_2}}}{{\left\| {\pmb{P}{'_1} \times \pmb{P}{'_2}} \right\|}}, {\pmb{S}_3} = {\pmb{S}_1} \times {\pmb{S}_2}.$ | (5) |
| $\pmb{A} = {\pmb{M}_S}\pmb{M}_R^{-1} = {\pmb{M}_S}\pmb{M}_R^T.$ | (6) |
| ${\mathit{\Phi }^2} \approx 1/2\left( {\alpha _1^2 + \alpha _2^2} \right)\left( {1 + {\rm{cs}}{{\rm{c}}^2}\psi } \right).$ | (7) |
2 转子方位测量仿真因用Euler角表示转子旋转方位信息存在奇点，故以姿态矩阵的估计值和真实值之差的1范数
在实际的编码工艺实施的过程中，颜色的灰度值并非是连续线性变化的，而是离散分布的；在传感器的探测过程中，由于光照变化或其他干扰，传感器会存在随机噪声，这都将引起方位测量误差。仿真中设颜色色阶是255，传感器的随机噪声折合到颜色测量的前端有一个幅值在-1~+1个灰度范围内的随机误差。此外，在动量球的实际控制过程中，转子有小于直径的±0.5%的随机振动误差，带入式(7)，得Φ≈0.4°，不可忽略，故仿真实验包含了转子振动带来的误差。
按照经纬度渐变编码的方式，采用的传感器的数量是3个，正交安装，在定子坐标系中的安装位置的坐标分别为[1, 0, 0]、[0, 1, 0]、[0, 0, 1]，编码的纬度范围为-45.8°~+45.8°；按照三轴渐变编码的方式，采用的传感器的数量为2个，在定子坐标系中的安装位置坐标值分别为[1, 0, 0]、[0, 1, 0]。3个Euler角a、b、c在[0, 2π]范围内以步距π/45，按照“3-1-2”的顺序构造姿态矩阵A遍历整个可能的姿态空间。得到的仿真的结果见表 2。图 5a、5b是a=0的情况下的误差分布图。
表 2 颜色误差与振动引起的方位测量误差
| 误差 | 经纬度渐变编码 | 三正交轴渐变编码 |
| 最大误差 | 3.71×10-2 | 2.76×10-2 |
| 最小误差 | 1.87×10-2 | 1.51×10-2 |
| 平均误差 | 2.65×10-2 | 1.96×10-2 |
表选项
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| 图 5 2种编码方式误差对比 |
| 图选项 |
从图 5a、5b和表 2中可以看出，三坐标轴编码测量方法的误差在全姿态空间内误差均小于经纬度渐变方案，约为经纬度编码方案的70%。将全姿态空间内的局部方位测量误差折合成Euler角误差如图 5c和5d所示。
按3-1-2顺序的3个Euler角a、b、c中的a=0，b, c取值范围为[-π/4, π/4]，图中Z轴坐标值表示3个Euler角误差的最大值max(Δa、Δb、Δc)，其中Δa、Δb、Δc指的是真值与测量值的差值。可以看出，在上述的仿真条件下，局部的姿态范围中，三坐标轴的测量方案比经纬度测量方案的误差小约0.4°。
3 结论在动量球非接触、响应快和全姿态空间范围内转子旋转方位测量的应用需求下，对按照经纬度渐变色编码方式的编码范围和传感器的分布进行了改进，得出了编码纬度范围与传感器数量、相对安装位置之间的关系，使其可以实现全姿态空间范围内的转子姿态测量。进一步提出了按照三坐标轴渐变色编码测量方案，仿真分析结果也表明：三坐标轴渐变的编码测量方式与按照经纬度渐变色的编码测量方式相比，它的转子旋转方位的理论测量精度更高，测量误差降低约30%。该方案涂色难度低、理论测量精度高、需要的色度传感器数量少，是一种理想的动量球转子测量方法。
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