托卡马克无碰撞捕获电子模在时空表象中的群速度

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2.捕获电子模的多重尺度导数展开法

2.1.受带状流调制的电子漂移动理学方程

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2.1.受带状流调制的电子漂移动理学方程

本文所讨论的无碰撞捕获电子模建立在大环状比、上下对称、同心圆磁面的托卡马克平衡之上, 出发点是对静电扰动线性化的电子漂移动理学方程^[16-18]:

$ \begin{split}&\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \left( {{v_{//}}{{b}} + {{{v}}_{\rm{de}}}} \right) \cdot \nabla f \\=\;& \frac{{e{F_{\rm{M}}}}}{{{T_{\rm{e}}}}}\left( {{v_{//}}{{b}} + {{{v}}_{\rm{de}}}} \right) \cdot \nabla \varphi - \frac{c}{B}{{b}} \times \nabla \varphi \cdot \nabla {F_{\rm{M}}}, \end{split}$

其中f是扰动分布函数, $\varphi $

是扰动电势, ${{{v}}_{\rm{de}}} \equiv $

$ - \left[ {c{m_{\rm{e}}}/(eB)} \right]\left( {v_{//}^2 + v_ \bot ^2/2} \right){{b}} \times {{\kappa }}$

是电子曲率漂移速度, ${v_{//}}$

和${v_ \bot }$

分别是电子的平行和垂直速度, ${{b}} \equiv $

$ {{B}}/B$

是沿着磁场方向的单位矢量, ${{\kappa }} \equiv {{b}} \cdot \nabla {{b}}$

是磁场曲率, ${F_{\rm{M}}} \equiv {n_{\rm{e}}}{\left[ {{m_{\rm{e}}}/(2{\text{π}} {T_{\rm{e}}})} \right]^{3/2}}\exp \left[ { - {m_{\rm{e}}}{v^2}/(2{T_{\rm{e}}})} \right]$

是平衡电子麦克斯韦分布函数, ${v^2} = v_{/\!/} ^2 + v_ \bot ^2$

, ${m_{\rm{e}}}$

, ${n_{\rm{e}}}$

和${T_{\rm{e}}}$

分别是电子质量, 平衡密度和温度, e是单位电荷, c是光速.
采用环坐标系, $\left( {r, \vartheta, \zeta } \right)$

分别代表径向、极向和环向坐标, 扰动电势归一化到电子热能: $e\varphi /{T_{\rm{e}}} \to $

$ \varphi$

, 平衡分布函数归一化到电子密度: ${F_{\rm{M}}}/{n_{\rm{e}}} \to {F_{\rm{M}}}$

, 平行和垂直速度归一化到电子热速度: ${v_{\rm{te}}} \equiv $

$ \sqrt {2{T_{\rm{e}}}/{m_{\rm{e}}}}$

, ${\hat v_{/\!/}} \equiv {v_{/\!/} }/{v_{\rm{te}}}$

, ${\hat v_ \bot } \equiv {v_ \bot }/{v_{\rm{te}}}$

. 定义$y \equiv r\vartheta $

, 曲率频率算子:

$ \begin{split}&{\hat \omega _{\rm{de}}} \equiv - {\rm{i}}{{{v}}_{\rm{de}}} \cdot \nabla\\=\;& - \frac{{2{\rm{i}}c{T_{\rm{e}}}}}{{eBR}}\left( {\hat v_{/\!/} ^2 + \hat v_ \bot ^2/2} \right)\left( {\sin \vartheta \frac{\partial }{{\partial r}} + \cos \vartheta \frac{\partial }{{\partial y}}} \right), \end{split}$

其中$\sin \vartheta $

和$\cos \vartheta $

分别代表磁场的测地和法向曲率; R是托卡马克大半径. 逆磁频率算子

$ \begin{split}{\hat \omega _*} \equiv\;& \frac{{{\rm{i}}c{T_{\rm{e}}}}}{{eB}}\frac{{\partial \ln {F_{\rm{M}}}}}{{\partial r}}\frac{\partial }{{\partial y}}\\=\;& - \frac{{{\rm{i}}c{T_{\rm{e}}}}}{{eB{L_n}}}\left[ {1 + {\eta _{\rm{e}}}\left( {{{\hat v}^2} - \frac{3}{2}} \right)} \right]\frac{\partial }{{\partial y}}, \end{split}$

其中${L_n} \equiv - {\left( {\partial \ln {n_{\rm{e}}}/\partial r} \right)^{ - 1}}$

表示密度梯度长度, ${\eta _{\rm{e}}} \equiv $

$ {\rm{d}}\ln {T_{\rm{e}}}/{\rm{d}}\ln {n_{\rm{e}}}$

. 考虑带状流的多普勒频移调制作用, 电子漂移动理学方程(1)式可写为

$ \begin{split}&\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + \bar \upsilon \frac{\partial }{{\partial y}}} \right)f + \left( {{v_{/\!/} }{{b}} \cdot \nabla + {\rm{i}}{{\hat \omega }_{\rm{de}}}} \right)f \\=\;& {F_{\rm{M}}}\left( {{v_{/\!/} }{{b}} \cdot \nabla + {\rm{i}}{{\hat \omega }_{\rm{de}}} - {\rm{i}}{{\hat \omega }_*}} \right)\varphi. \end{split}$

这里$\bar {{\upsilon}} \equiv \left[ {c{T_{\rm{e}}}/(eB)} \right]{{b}} \times \nabla \bar \varphi \equiv \bar \upsilon {{{e}}_\vartheta }$

表示(沿着极向${{{e}}_\vartheta }$

)带状流, $\bar \varphi $

是带状电势, 它具有环向和极向对称, 径向波长在介观尺度的特征^[3].
2

2.2.由导数展开法得到的零级和一级方程

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2.2.由导数展开法得到的零级和一级方程

多重尺度问题(微观和介观尺度)可以采用导数展开法^[19]:

$ \begin{split}&\frac{\partial }{{\partial t}} \to \frac{\partial }{{\partial \tilde t}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{\partial }{{\partial t}} \to - {\rm{i}}\omega + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{\partial }{{\partial t}},\;\\&\frac{\partial }{{\partial r}} \to \frac{\partial }{{\partial \tilde r}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{\partial }{{\partial r}},\;\frac{\partial }{{\partial y}} \to \frac{\partial }{{\partial \tilde y}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{\partial }{{\partial y}}, \end{split}$

其中${\varepsilon _{\rm{E}}} \ll 1$

是小量标签; $\left( {t, r, y} \right)$

表示慢尺度变量(具轴对称性, 环向模数$n = 0$

); $\left( {\tilde t, \tilde r, \tilde y, \tilde \zeta } \right)$

表示快尺度变量(高环向模数: $n \gg 1$

), 扰动分布函数和电势包含两个部分: 受带状流调制的(介观尺度)慢变包络和(微观尺度)快变函数:

$ \begin{split}&f \to \bar f\left( {t,r,y} \right)\tilde f\big( {\tilde r,\tilde y,\tilde \zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \big),\;\\&\varphi \to \bar \phi \left( {t,r,y} \right)\tilde \varphi \big( {\tilde r,\tilde y,\tilde \zeta } \big). \end{split}$

f对速度空间积分后就是扰动密度, 一个简单假设是其受带状流调制的包络满足绝热关系: $\bar f\left( {t, r, y} \right) = $

$ \bar \phi \left( {t, r, y} \right)$

. 后面将看到这是导数展开法给出的零级方程恰是描述捕获电子模的漂移动理学方程的充分条件.
在环坐标系下三个算子的导数展开分别为

$\begin{split}&{\hat \omega _{\rm{de}}} \to - 2{\rm{i}}\frac{{{\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}}}{R}\left( {\hat v_{/\!/} ^2 + \hat v_ \bot ^2/2} \right)\left[ {\left( {\sin \vartheta \frac{\partial }{{\partial \tilde r}} + \cos \vartheta \frac{\partial }{{\partial \tilde y}}} \right)} \right.\\& \qquad ~\left. { + {\varepsilon _{\rm{E}}}\left( {\sin \vartheta \frac{\partial }{{\partial r}} + \cos \vartheta \frac{\partial }{{\partial y}}} \right)} \right] \equiv {\hat \omega _{{\rm{de}},0}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}{\hat \omega _{{\rm{de}},1}},\end{split}$

$ \begin{split}&{\hat \omega _*} \to - {\rm{i}}{\upsilon _*}\left[ {1 + {\eta _{\rm{e}}}\left( {{{\hat v}^2} - \frac{3}{2}} \right)} \right]\left( {\frac{\partial }{{\partial \tilde y}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{\partial }{{\partial y}}} \right)\\\equiv \;&{\hat \omega _{*0}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}{\hat \omega _{*1}},\\[-13pt] \end{split}$

$ \begin{split}&{{b}} \cdot \nabla \to \frac{1}{{qR}}\left( {\frac{\partial }{{\partial \tilde \vartheta }} + q\frac{\partial }{{\partial \tilde \zeta }} + {\varepsilon _{\rm{E}}}r\frac{\partial }{{\partial y}}} \right) \\\equiv\;& {\nabla _{{/\!/},0}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\frac{r}{{qR}}\frac{\partial }{{\partial y}}, \end{split}$

其中定义了逆磁漂移速度: ${\upsilon _*} \equiv {\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}/{L_n}$

, ${c_{\rm{s}}} \equiv $

$ \sqrt {{T_{\rm{e}}}/{m_{\rm{i}}}}$

是离子声速, ${\rho _{\rm{s}}} \equiv {c_{\rm{s}}}/{\omega _{\rm{ci}}}$

是电子温度下的离子拉莫尔半径; ${\omega _{\rm{ci}}} \equiv eB/(c{m_{\rm{i}}})$

是离子回旋频率, ${m_{\rm{i}}}$

是离子质量; q是安全因子.
对(4)式导数展开的过程中, 带状流作为小量处理$\bar \upsilon \to {\varepsilon _{\rm{E}}}\bar \upsilon $

, 得到

$ \begin{split}&\left[ - {\rm{i}}\omega + {\rm{i}}{{\hat \omega }_{{\rm{de}},0}} + {v_{/\!/} }{\nabla _{{/\!/},0}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\left( \frac{\partial }{{\partial t}} + \bar \upsilon \frac{\partial }{{\partial \tilde y}} \right.\right.\\&\left.\left.+ \frac{{{v_{/\!/} }r}}{{qR}}\frac{\partial }{{\partial y}} + {\rm{i}}{{\hat \omega }_{{\rm{de}},1}} \right) \right]\bar f\left( {t,r,y} \right)\tilde f\left( {\tilde r,\tilde y,\tilde \zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\\ =\;& {F_{\rm{M}}}\Bigg[ {v_{/\!/} }{\nabla _{{/\!/},0}} + {\rm{i}}{{\hat \omega }_{{\rm{de}},0}} - {\rm{i}}{{\hat \omega }_{*,0}} + {\varepsilon _{\rm{E}}}\Bigg( \frac{{{v_{/\!/} }r}}{{qR}}\frac{\partial }{{\partial y}}\\ &+ {\rm{i}}{{\hat \omega }_{{\rm{de}},1}} - {\rm{i}}{{\hat \omega }_{*,1}} \Bigg) \Bigg]\bar \phi \left( {t,r,y} \right)\tilde \varphi \left( {\tilde r,\tilde y,\tilde \zeta } \right).\\[-15pt]\end{split}$

需要说明的是, 两种尺度变量的符号差异仅在奇异摄动理论的导数展开法中适用, 下面的公式将略去快尺度变量上的波浪号. 在$\bar f\left( {t, r, y} \right) = \bar \phi \left( {t, r, y} \right)$

条件下, 零级方程即描述捕获电子模的漂移动理学方程:

$\begin{split}&\left( {\omega - {{\hat \omega }_{{\rm{de}},0}} + {\rm{i}}{v_{/\!/} }{\nabla _{{/\!/},0}}} \right)\tilde f\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right) \\=\;& {F_{\rm{M}}}\left( {{\rm{i}}{v_{/\!/} }{\nabla _{{/\!/},0}} - {{\hat \omega }_{{\rm{de}},0}} + {{\hat \omega }_{*,0}}} \right)\tilde \varphi \left( {r,y,\zeta } \right).\end{split}$

引入捕获电子的非绝热响应分布函数:

$\tilde h\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right) \equiv \tilde f\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right) - \tilde \varphi \left( {r,y,\zeta } \right){F_{\rm{M}}},$

后可写为

$\begin{split}&\left( {\omega - {{\hat \omega }_{{\rm{de}},0}} + {\rm{i}}{v_{/\!/} }{\nabla _{{/\!/},0}}} \right)\tilde h\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\\= \;&- {F_{\rm{M}}}\left( {\omega - {{\hat \omega }_{*,0}}} \right)\tilde \varphi \left( {r,y,\zeta } \right).\end{split}$

(12)式即文献[20]中的(1)式.
一级方程为

$\begin{split}&\tilde f\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial t}} + \tilde h\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\\&\times{\hat v^2}\frac{{{\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}}}{R}\sin \vartheta \frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial r}} + \\&\left\{ \tilde h\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\left( {{{\hat v}_{/\!/} }\frac{{{v_{\rm{te}}}{r_j}}}{{qR}} + {{\hat v}^2}\frac{{{\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}}}{R}\cos \vartheta } \right)\right.\\&\left.+ \tilde \varphi \left( {r,y,\zeta } \right){\upsilon _*}{F_{\rm{M}}}\left[ {1 + {\eta _{\rm{e}}}\left( {{{\hat v}^2} - \frac{3}{2}} \right)} \right] \right\} \frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial y}} \\& = {\rm{i}}{k_\vartheta }\tilde f\left( {r,y,\zeta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)\bar \phi \left( {t,r,y} \right)\bar \upsilon \left( {r,t} \right),\end{split}$

其中略去了捕获电子的平行速度: $\hat v_{/\!/} ^2 \ll \hat v_ \bot ^2 \approx {\hat v^2}$

. 对高n模, $\tilde \varphi \left( {r, y, \zeta } \right) = {\tilde \varphi _m}\left( {r, \vartheta } \right) \cdot $

${{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\zeta - {\rm{i}}m\vartheta }}$

, $\tilde h( r, y, \zeta; $

$ {v_{/\!/} }, {v_ \bot } ) = {\tilde h_m}\left( {r, \vartheta;{v_{/\!/} }, {v_ \bot }} \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\zeta - {\rm{i}}m\vartheta }}$

, ${k_\vartheta } \equiv m/{r_j}$

, m表示中心极向模数, ${r_j}$

是有理面位置, 对局部模有$r \approx {r_j}$

.
(13)式对速度空间积分, ${\hat v_{/\!/} }$

的矩量为零, 因为在大回弹频率近似下, 捕获电子的平行速度在一个回弹周期内平均为零. 速度$\hat v$

的零次和二次矩量分别对应非绝热扰动密度

${\tilde n_{{\rm{na}}}}\left( {r,\vartheta } \right) \equiv \int {{\rm{d}}{{v}}} {\tilde h_m}\left( {r,\vartheta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right)$

和扰动压强

${\tilde \varepsilon _m}\left( {r,\vartheta } \right) \equiv \int {{\rm{d}}{{v}}} {\tilde h_m}\left( {r,\vartheta,{v_{/\!/} },{v_ \bot }} \right){\hat v^2}.$

扰动密度分为绝热和非绝热响应两部分: ${\tilde n_m}\left( {r, \vartheta } \right) = $

$ {\tilde \varphi _m}\left( {r, \vartheta } \right) + {\tilde n_{{\rm{na}}}}\left( {r, \vartheta } \right)$

. 另一方面, 捕获电子模在有理面附近被激发, 离开有理面将受到磁剪切阻尼^[21], 它在径向是驻波, 还需要对径向快尺度求平均^[7]. 由此得到受带状流调制的捕获电子模的包络方程:

$\begin{split}&\frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial t}} + {\upsilon _{\rm{gr}}}\left( \vartheta \right)\frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial r}}+ {\upsilon _{\rm{gy}}}\left( \vartheta \right)\frac{{\partial \bar \phi \left( {t,r,y} \right)}}{{\partial y}} \\& = {\rm{i}}{k_\vartheta }\bar \phi \left( {t,r,y} \right)\bar \upsilon \left( {r,t} \right),\\[-14pt]\end{split}$

其中径向和极向群速度分别为

$\begin{split}&{\upsilon _{\rm{gr}}}\left( \vartheta \right) \equiv \bar E\left( \vartheta \right)\frac{{{\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}}}{R}\sin \vartheta,\;\\&{\upsilon _{\rm{gy}}}\left( \vartheta \right) \equiv \bar \varPhi \left( \vartheta \right){\upsilon _*} + \bar E\left( \vartheta \right)\frac{{{\rho _{\rm{s}}}{c_{\rm{s}}}}}{R}\cos \vartheta .\end{split}$

定义了两个平均量:

$\begin{split}&\bar E\left( \vartheta \right) \equiv \frac{{\displaystyle\int {{\rm{d}}r} {{\tilde n}_m}\left( {r,\vartheta } \right){{\tilde \varepsilon }_m}\left( {r,\vartheta } \right)}}{{\displaystyle\int {{\rm{d}}r} \tilde n_m^2\left( {r,\vartheta } \right)}},\;\\&\bar \varPhi \left( \vartheta \right) \equiv \frac{{\displaystyle\int {{\rm{d}}r} {{\tilde n}_m}\left( {r,\vartheta } \right){{\tilde \varphi }_m}\left( {r,\vartheta } \right)}}{{\displaystyle\int {{\rm{d}}r} \tilde n_m^2\left( {r,\vartheta } \right)}}.\end{split}$

(18)式中${\tilde \varphi _m}$

, ${\tilde n_m}$

和${\tilde \varepsilon _m}$

分别代表电势、密度和热能的涨落, 这些量是物理观测量. 从测量角度而言, 单纯测量这些量的本身仅可能是实量, 但在本征模理论构架中这些量的虚部也有物理意义. 在托卡马克输运的准线性理论中, 包括计算粒子流和热流, 涉及密度、压强和电势极向导数的乘积, 后者与电势有90o的相差, 而(18)式所计算的平均中并没有上述的90o相差问题. 最终需要计算的量是群速度, 保留这些量的虚部将导致群速度存在虚部, 这在物理上没有意义, 因为群速度是可观测量, 它代表波包传播速度. 注意到本文计算的群速度是介观尺度量, 而捕获电子模的线性增长时间在微观尺度, 其在介观尺度时间内已经达到饱和. 另一方面, 托卡马克是一个开放系统, 外部因素如加热、加料等, 使得引起不稳定性的自由能总是存在. 因此本文假设线性二维模式结构在进入饱和阶段后没有重要变化, (18)式中的扰动电势、密度和压强作为可观测量仅取实部, 这保证了所计算的群速度是实的.

3.捕获电子模的群速度

3.1.捕获电子模的二维模式结构

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3.1.捕获电子模的二维模式结构

由第2节可以看到, 按照文献[7]的方法在时空表象中计算捕获电子模的群速度需要知道其二维模式结构. 电子漂移动理学方程(12)式已经在文献[20]中采用弱上下不对称气球理论^[8,9]求解, 这里直接引用该文的结果, 选取的托卡马克装置的基本平衡参数如表1所列.

R/m	a/m	${r_j}/a$	${T_{\rm{e}}}$/eV	${\tau _{\rm{e}}}$	q	B/T	$\hat s$	${L_n}/R$	${\eta _{\rm{e}}}$	${\eta _{\rm{i}}}$	n
1.65	0.4	0.41	250	10	1	1.35	1	0.1	1	0	–44

表1基本平衡参数
Table1.Basic equilibrium parameters.

数值计算得到的整体本征值为$\hat \omega \equiv \omega /{\omega _{*{\rm{e}}}} = $

$ 0.4215 + 0.1133{\rm{i}}$

, ${\omega _{*{\rm{e}}}} \equiv - {k_\vartheta }{\upsilon _*}$

. 捕获电子模扰动电势的二维模式结构如图1, 这里${\tilde \varphi _n}\left( {r, \vartheta } \right) \equiv $

$ {\tilde \varphi _m}\left( {r, \vartheta } \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\vartheta }}$

, $\rho \equiv r/a$

. 由图1可以看到二维模式结构的中心相对赤道面几乎没有偏移, 但存在较小的上下不对称性, 其径向关联长度约为极向的2—3倍.

图 1 (a) 捕获电子模扰动电势${\tilde \varphi _n}\left( {r, \vartheta } \right)$

实部的等高线图; (b) 坏曲率区的放大图
Figure1. (a) Level contours of the real parts of the perturbed electrostatic potential ${\tilde \varphi _n}\left( {r, \vartheta } \right)$

for trapped electron mode; (b) the close-up view in bad curvature region.

按照文献[20]的方法, 可以得到捕获电子模的整体本征值和扰动电势, 现在利用该结果计算扰动密度和扰动压强的二维模式结构. 出发点是捕获电子模的非绝热响应分布函数(文献[20]中的(A10)式):

$\begin{split}&{\tilde h_m}\left( {r,\vartheta;{v_\parallel },{v_ \bot }} \right)\\=\;& - {F_{\rm{M}}}\frac{{\omega - {{\hat \omega }_{*,0}}}}{{\omega - \left\langle {{\omega _{\rm{de}}}} \right\rangle {{\hat v}^2}}}\left\langle {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}nq\left( r \right)\vartheta }}{{\tilde \varphi }_n}\left( {r,\vartheta } \right)} \right\rangle \\&\times {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left[ {m - nq\left( r \right)} \right]\vartheta }},\end{split}$

其中$\left\langle {\cdots} \right\rangle \equiv \dfrac{\displaystyle\oint {{\rm{d}}\vartheta } ( {\cdots} )/{v_{/\!/} }}{\displaystyle\oint {{\rm{d}}\vartheta } /{v_{/\!/} }}$

(${v_{/\!/} } \!\sim\!\! \sqrt {{\kappa ^2} \!-\! {{\sin }^2}\!\left( {\vartheta}/{2} \right)}$

, ${\kappa ^2} \equiv {\sin ^2}\left( {{\vartheta _r}/2} \right)$

, ${\vartheta _r}$

是捕获电子转向点${v_{/\!/} } = 0$

处的极向角)表示对捕获电子的回弹周期求平均. 对捕获电子的速度空间积分可写为(文献[20]中的(9)式)

$\begin{split}&\int {{\rm{d}}{{v}}} \;{F_{\rm{M}}}\left( {\cdots} \right) \approx \sqrt {\frac{{2\varepsilon }}{{\rm{\pi}} }} \int_0^\infty {{\rm{d}}{{\hat v}^2}} \hat v\exp \left( { - {{\hat v}^2}} \right)\\&\qquad \qquad \times\int_{\kappa _{\min }^2}^1 {\frac{{{\rm{d}}{\kappa ^2}}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - {{\sin }^2}\left( {\vartheta /2} \right)} }}} \left( {\cdots} \right),\end{split}$

其中$\varepsilon \equiv r/R$

, $\kappa _{\min }^2 \equiv {\sin ^2}\left( {\vartheta /2} \right)$

. 将(19)式和(20)式代入(14)式得到非绝热扰动密度的表达式:

$\begin{split}{\tilde n_{{\rm{na}}}}\left( {r,\vartheta } \right) =\;& \sqrt {\frac{{2\varepsilon }}{{\rm{\pi}} }} \int_{\kappa _{\min }^2}^1 {\frac{{{\rm{d}}{\kappa ^2}}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - {{\sin }^2}\left( {\vartheta /2} \right)} }}} \hat I\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right)\\&\times\left\langle {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {m + x} \right)\vartheta }}{{\tilde \varphi }_n}\left( {r,\vartheta } \right)} \right\rangle {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}x\vartheta }},\end{split}$

其中安全因子已经展开到一阶: $q\left( r \right) \approx q\left( {{r_j}} \right) + $

$ x/n$

, $m = nq\left( {{r_j}} \right)$

, $x \equiv {k_\vartheta }\hat s\left( {r - {r_j}} \right)$

, $\hat s$

表示磁剪切,

$\begin{split}\hat I\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right) \equiv\;&-\!\! \int_0^\infty \!\!{{\rm{d}}{{\hat v}^2}} \hat v{{\rm{e}}^{ - {{\hat v}^2}}}\frac{{\omega - {\omega _{*{\rm{e}}}}\left[ {1 + {\eta _{\rm{e}}}\left( {{{\hat v}^2} - 3/2} \right)} \right]}}{{\omega - \left\langle {{\omega _{\rm{de}}}} \right\rangle {{\hat v}^2}}} \\=\;&\sqrt {\rm{\pi}} \zeta _{\rm{e}}^2\left\{ \left( {1 - \frac{{{\omega _{*{\rm{e}}}}}}{\omega }} \right)\left[ {1 + {\zeta _{\rm{e}}}Z\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right)} \right]\right.\\&\left.+ {\eta _{\rm{e}}}\frac{{{\omega _{*{\rm{e}}}}}}{\omega }\Big[ {1 - \zeta _{\rm{e}}^2 + {\zeta _{\rm{e}}}Z ({{\zeta _{\rm{e}}}})\Big( {\frac{3}{2} - \zeta _{\rm{e}}^2} \Big)} \Big] \right\},\end{split}$

$\zeta _{\rm{e}}^2 \equiv \omega /\left\langle {{\omega _{\rm{de}}}} \right\rangle $

, $Z\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right) \equiv {{\text{π}} ^{ - 1/2}}\displaystyle\int_{\rm{L}} {{\rm{d}}\hat v} \exp( { - {{\hat v}^2}} )/( \hat v - {\zeta _{\rm{e}}} )$

是等离子体色散函数. 将前面计算得到的扰动电势${\tilde \varphi _n}\left( {r, \vartheta } \right)$

代入(21)式, 数值积分得到扰动密度的二维模式结构如图2, 这里$\tilde n\left( {r, \vartheta } \right) \equiv {\tilde n_m}\left( {r, \vartheta } \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\vartheta }}$

图 2 (a) 捕获电子模扰动密度$\tilde n\left( {r, \vartheta } \right)$

实部的等高线图; (b) 坏曲率区的放大图
Figure2. (a) Level contours of the real parts of the perturbed density $\tilde n\left( {r, \vartheta } \right)$

for trapped electron mode; (b) the close-up view in bad curvature region.

将(19)式和(20)式代入(15)式得到扰动压强的表达式:

$\begin{split}{\tilde \varepsilon _m}\left( {r,\vartheta } \right) =\;& \sqrt {\frac{{2\varepsilon }}{{\rm{\pi}} }} \int_{\kappa _{\min }^2}^1 {\frac{{{\rm{d}}{\kappa ^2}}}{{\sqrt {{\kappa ^2} - {{\sin }^2}\left( {\vartheta /2} \right)} }}} \hat K\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right)\\&\times\left\langle {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {m + x} \right)\vartheta }}{{\tilde \varphi }_n}\left( {r,\vartheta } \right)} \right\rangle {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}x\vartheta }},\end{split}$

其中

$\begin{split}\hat K\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right) \equiv\;& -\!\! \int_0^\infty \!\!{{\rm{d}}{{\hat v}^2}} {\hat v^3}{{\rm{e}}^{ - {{\hat v}^2}}}\frac{{\omega - {\omega _{*{\rm{e}}}}\left[ {1 + {\eta _{\rm{e}}}\left( {{{\hat v}^2} - 3/2} \right)} \right]}}{{\omega - \left\langle {{\omega _{\rm{de}}}} \right\rangle {{\hat v}^2}}} \\=\;& \sqrt {\rm{\pi}} \zeta _{\rm{e}}^2 \times \left\{ \left( {1 - \frac{{{\omega _{*{\rm{e}}}}}}{\omega }} \right)\left[ {\frac{1}{2} + \zeta _{\rm{e}}^2 + \zeta _{\rm{e}}^3Z\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right)} \right] \right.\\&\left.+ {\eta _{\rm{e}}}\frac{{{\omega _{*{\rm{e}}}}}}{\omega }\zeta _{\rm{e}}^2\left[ {1 - \zeta _{\rm{e}}^2 + {\zeta _{\rm{e}}}Z\left( {{\zeta _{\rm{e}}}} \right)\left( {\frac{3}{2} - \zeta _{\rm{e}}^2} \right)} \right] \right\}.\end{split}$

数值积分得到扰动压强的二维模式结构如图3, 这里$\tilde \varepsilon \left( {r, \vartheta } \right) \equiv {\tilde \varepsilon _m}\left( {r, \vartheta } \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m\vartheta }}$