摘要:基于一维Frenkel-Kontorova (FK)模型, 借助随机龙格库塔方法, 在非公度(incommensurate)和公度(commensurate)两种情形下, 分别研究了高斯白噪声激励下, 随机FK模型的纳米摩擦现象(滞回和超滑)随噪声强度的变化而变化的规律. 两种情形表明随着噪声强度的增大, 对减小系统滞回, 产生超滑有积极的影响. 另一方面, 当系统机动性能(chain mobility)未达到饱和状态(B = 1)时, 噪声的引入, 能加速原子的运动, 使得原子更易脱离基底势的束缚而做运动, 但是当系统达到饱和状态后, 系统机动性能并不受噪声的影响. 另外, 两种情形的区别是, 公度情形下, 由于原子受到基底势更强烈的耦合作用, 所以噪声对公度情形影响更为明显.
关键词: Frenkel-Kontorova模型/
高斯白噪声/
滞回/
超滑

English Abstract

全文HTML

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近年来, 随着精密机械和高科技设备的迅速发展^[1], 特别是纳米科技所推动的新兴学科, 如纳米电子学、微型机械的发展, 都要求开展纳米摩擦学研究. 由于这些领域使用的机械设备中, 摩擦副间隙或润滑厚度通常处于纳米范围, 此时宏观摩擦学不再适用, 其间的摩擦磨损与润滑性能必须从原子、分子的相互作用来考察. 纳米摩擦学旨在研究纳米尺度上接触界面的摩擦行为和润滑机理, 从而建立材料微观尺度和宏观特性之间的关系. 另外, 摩擦问题对于微型设备仪器而言显得十分突出和重要. 在某些方面, 摩擦作为阻力, 对于微型机械而言应减小其耗能, 尽可能达到零摩擦状态^[1]. 因此纳米摩擦学迅速成为纳米科学技术研究的前沿和热点. 另外, 随着纳米摩擦测试技术的进步和集群计算能力的提高, 推动了人们用简单的数学模型来探索复杂体系的纳米摩擦机制, 而Frenkel-Kontorova (FK)^[2]模型便是成功地描述和解释有关复杂摩擦体系的动力学模型之一. 许多****借助经典的FK模型研究纳米摩擦学的一些现象^[3-27]. 如今, 它已经成为了研究纳米摩擦学领域的一种重要的理论工具. 通过对FK模型的研究^[12-14], 成功地描述和解释了滞回、超滑等现象的产生诱因. 这些结论很好地解释了纳米摩擦领域的一些问题, 成功地将FK模型和纳米摩擦联系起来.
迄今为止关于FK模型的研究主要集中在确定性情形^[5-14], 然而真实的系统往往受到随机因素的影响^[4], 微纳观系统更是如此. Guerra等^[24]分别从不同角度研究了温度的变化对系统纳米摩擦现象的影响, 表明温度对系统减小滞回有积极影响; Teki?等^[15-18]也从夏皮洛台阶(Shapiro step)等角度探讨了噪声激励下的FK模型. 目前关于随机FK模型的研究仍然处于探索阶段, 因此考虑随机FK模型的研究对于理解纳米摩擦机理更具有实际意义. 本文主要研究高斯白噪声激励下的FK模型的一些纳米摩擦现象(如滞回、超滑等现象)的变化规律. 通过改变噪声强度, 刻画噪声强度与滞回、超滑等现象之间的定量关系^[8]. 通过研究高斯白噪声激励下的FK模型对研究其他随机激励下的FK模型具有借鉴意义. 也对进一步建立适用于随机FK模型的新的分析方法提供依据.

基于确定性的一维FK模型^[12-14], 本文进一步考虑高斯白噪声激励下由N个原子构成的随机FK模型, 模型中第i $(1 \leqslant i \leqslant N)$个原子满足如下运动方程:

$\begin{split}&m{\ddot x_i} + m\gamma {\dot x_i} + \frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{a}{x_i} + \sin \frac{{2\pi \beta }}{a}{x_i}} \right) \\&+ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}{x_i}}}\left[ {\sum\limits_{i \ne j} {{V_{{\rm{int}}}}(|{x_i} - {x_j}|)} } \right] = F + \xi (t).\end{split}$

不失一般性, 本文采用无量纲化处理, 假设每个原子的质量$m=1$. $x_i$表示第i个原子的位置($1 \leqslant i \leqslant n, \;1 \leqslant j \leqslant n$). 系统的阻尼项用$\gamma {\dot x_i}$表示^[8,12], 外势周期为a, 当参数$\beta = 89/144$^[12], 表示非公度情形下准周期基底(quasiperiodic substrates), 当参数$\beta = 24/30$, 表示公度情形下多势阱周期基底(multiple-well periodic substrates). $\sum\nolimits_{j \ne i} {V_{{\rm{int}}}}(|{x_i} - {x_j}|)$^[26]表示其他原子对第i个原子的作用势, 即对所有的j求和$(j \ne i)$. 本文原子间的作用势采用Morse势: ${V_{{\rm{int}}}}(r) = \dfrac{K}{2}{[1 - {{\rm{e}}^{(b - r)}}]^2}$, 其中K表示弹性系数. 基底势由晶格常数(原子链处于平衡状态时相邻原子间的距离)为$b = L/N$ (L为链长), 外势周期a和$c = a/\beta $共同决定^[12,24]. 则与Morse势相关的原子间的作用力${F_{{\rm{int}}}}(x)$可表示为

${F_{\rm{int} }}(x) = - \frac{{{\rm{d}}{V_{\rm{int} }}(x)}}{{{\rm{d}}x}} = - K{{\rm{e}}^{(b - x)}}[1 - {{\rm{e}}^{(b - x)}}].$

(1)式右端, F表示维持原子链运动的无量纲外力; 高斯白噪声$\xi (t)$与系统阻尼项$m\gamma {\dot x_i}$之间满足涨落耗散理论^[24]:

$\left\langle {\xi (t)\xi (s)} \right\rangle = 2m\gamma {k_{\rm{B}}}T\delta (t - s).$

这里${k_{\rm{B}}}$为玻尔兹曼常数, T为环境温度. 为简化说明, 令$D = m\gamma {k_{\rm{B}}}T$, 则(1)式中的高斯白噪声满足统计性质^[28]: $\left\langle {\xi (t)} \right\rangle = 0$和$\left\langle {\xi (t)\xi (s)} \right\rangle = 2 D\delta (t - s)$, D代表噪声强度. 为处理(1)式中的高斯白噪声, 采用针对白噪声的随机龙格-库塔法^[28]进行模拟.
在数值模拟过程中采用周期性边界条件^[8,12,24]: ${x_{i + N}} = {x_i} + Nb$. 通过引入新的变量${v_i}$, ${u_i}$将(1)式进行降阶处理, 得到如下随机微分方程组:

$\left\{ \begin{aligned}& \dot x = {v_i}, \\& m{{\dot v}_i} = - m\gamma {v_i} - \frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{2{\rm{\pi}} }}{a}{u_i} + \sin \frac{{2{\rm{\pi}} \beta }}{a}{u_i}} \right) \\&\qquad\;\;+ {F_{\rm{int} }}(|{u_i} - {u_j}|) + F + \xi (t){{.}} \end{aligned} \right.$

所有粒子在初始时刻处于静止分布. 为避免其他因素干扰, 系统处于理想的绝热状态. 记录原子链在稳定状态时的条件(速度和位移)作为下一时刻的初始条件. 定义系统的平均速度:

$\left\langle v \right\rangle = \frac{1}{{NT}}\int_0^T {\sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}} } .$

另外, 当外驱动力小于某个临界值时, 系统平均速度为零, 当外驱动力大于该临界值时, 系统的平均速度不为零, 在外驱动力的作用下系统发生相对运动, 称该临界值为最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$. Vanossi等^[12]和Braun等^[13]有关FK模型的研究表明, 当弹性系数K较小, 且系统处于欠阻尼状态时, 系统的滞回现象明显, 也便于本文有关问题解释说明. 因此, 如未强调, $K = 1$, $\gamma = 0.7$. 为了研究系统的运动性能, 类似于文献, 引入指标$B = {V_{\rm{CM}}}/F$^[24]刻画原子链的机动性能(chain mobility), ${V_{\rm{CM}}}$表示原子链质心(center of mass)的平均速度. ${B_{\rm{f}}} = $$ {(m\gamma )^{ - 1}}$表示原子链移动的最大渐进值^[24].
由于晶格常数b和外势周期a这两个长度标度相竞争^[2], 使得基态结构非常复杂. 当$b/a = 1$, 称为公度. 当$b/a = 144/233$, 称为黄金分割. 当$b/a = 351/256$, 称为螺旋分割. 黄金分割和螺旋分割属于非公度情形^[8]. 对于非公度情形, 因为相邻原子间的距离不可通约, 系统内的所有原子容易脱离基底的束缚做同步运动; 而公度情形下, 原子要被束缚在基底势的势阱中, 所以系统本身在非公度和公度情形下有所区别^[8,10]. 另外, 随着外力F绝热增加和减小的过程中, 系统发生了钉扎-脱钉(pinning-depinning)的转变过程, 在这个过程中, 出现了滞回的有趣现象, 它源于原子间的相互作用. 当外驱动力绝热增加时, 系统从锁定状态转变为运动状态, 出现脱钉转变; 当外驱动力绝热减少时, 系统从运动状态转变为锁定状态, 出现钉扎转变. 并且发生脱钉和钉扎转变时的驱动力往往是不同的, 发生钉扎转变时的摩擦力小于发生脱钉转变时的摩擦力(存在滞回现象), 这表明发生脱钉转变和钉扎转变的机理是不同的^[12,24]. 因此本文将分别从非公度情形(以黄金分割为例)和公度两种情形, 研究外力驱动的FK模型在随机激励下, 系统的纳米摩擦现象(滞回以及最大静摩擦力)随噪声强度的变化规律.

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3.1.非公度(${{b/a}} = {{144/233}}$)情形

图1和图2描述了在非公度情形下, 随着噪声强度D的增大, 系统机动性能B随着外力绝热增加和减小而改变的规律. 此部分以黄金分割为例, 在数值模拟过程中, 取$a = 1$, $b/a = 144/233$, $c = a/\beta = 144/89$^[8,12], 此时链长$L = 144$, 原子个数$N = 233$.
图 1 D = 0, 0.005, 0.010时, 非公度情形下系统机动性能B随外力F的改变的变化规律(图中三角形和原点分别表示外力F绝热增加和减小的过程)
Figure1. Noise effects on static friction and hysteresis of the $B(F)$ characteristics for the incommensurate case when D = 0, 0.005, 0.010. Triangles and circles denote, respectively, the adiabatic increasing and decreasing process of F.

图 2 D = 0.1, 0.2, 0.5时, 非公度情形下系统机动性能B随外力F的改变的变化规律
Figure2. Noise effects on static friction and hysteresis of the $B(F)$ characteristics for the incommensurate case when D = 0.1, 0.2, 0.5.

如图1所示, 当噪声强度$D = 0$, 即为确定性FK模型^[8,12], 系统有明显的滞回现象. 随着噪声强度D的增大, 系统的滞回区域的面积有明显减小的趋势, 与此同时最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$也随着噪声强度的增大有减小的趋势, 表明噪声使得原子更容易脱离基底的束缚, 做同步运动.
另外, 随着外力F增大的过程中, 噪声的引入会加速系统的运动(如当外力$F = 0.6$时, 噪声强度越大, 系统机动性能越大). 进一步, 对于确定性系统($D = 0$)时, 当外力$F \approx 0.8$, 此后随着外力F的增大, 系统的机动性能B不再随外力的增大而改变, 达到饱和状态(称机动性能为$B = 1$为饱和状态).
随着噪声强度的增大, 加速了原子的运动, 使得系统的机动性能更早的达到饱和状态 (如当噪声强度$D = 0.005$, 外力$F \approx 0.75$; 当噪声强度$D = 0.01$, 外力$F \approx 0.7$), 此后系统的机动性能达到饱和状态, 不随噪声强度以及外力的增大而改变. 此时, 随机激励下系统的机动性能与确定性系统下机动性能是一致的($B = 1$), 表明饱和状态下的机动性能是系统固有的属性.
随着噪声强度进一步增大, 如图2所示, 系统滞回现象消失, 也产生了超滑现象. 验证了噪声的引入对减小滞回, 减小系统摩擦, 产生超滑有积极的影响. 另外, 随着噪声强度的增大, 系统的平均机动性能有明显增大的趋势, 更早地达到饱和状态($B = 1$), 但当系统达到饱和状态后(如当外力$F \geqslant 0.8$时), 系统的机动性能不受噪声的影响. 进一步验证噪声使得原子更易脱离基底的束缚, 做同步运动, 但噪声并不改变系统的饱和状态下的机动性能.
图3则从整体上考察了, 系统的最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$受噪声强度D影响的变化规律. 也验证了图1和图2的结论. 结果表明, 随着噪声强度的增大, 最大静摩擦力有减小的趋势, 当噪声强度$D \approx 0.1$时, 系统将产生超滑现象.
图 3 非公度情形下最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$随噪声强度D的改变的变化规律
Figure3. Noise effects on maximum static friction for the incommensurate case.

综上, 由图1—3可得, 在非公度情形下, 当系统的机动性能未到饱和状态时, 噪声的引入加速了原子脱离基底的束缚, 改变了系统的滞回区域的面积以及最大静摩擦力的大小, 噪声强度越大, 系统的机动性能越早地到达饱和状态. 但当系统机动性能达到饱和状态后, 随着外力的改变, 噪声强度并不改变系统的机动性能. 因此为减小摩擦, 产生超滑, 适度的噪声激励即可.
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3.2.公度(${{b/a}} = {{1}}$)情形

为验证噪声对系统纳米摩擦现象的影响. 此部分将在公度情形下, 研究随机因素影响下, 系统的纳米摩擦现象随着噪声强度的增大而变化的规律. 其中$a = 1$, $c = a/\beta = 30/24$, 此时, 链长$L = 140$, 原子个数$N = 140$^[8,12]. 图4和图5描述的是系统的机动性能B随着外力F绝热增大和减小而发生变化的过程.
图 4 D = 0, 0.005, 0.010时, 公度情形下系统机动性能B随外力F的改变的变化规律(图中三角形和原点分别表示外力F绝热增加和减小的过程)
Figure4. Noise effects on static friction and hysteresis of the $B(F)$ characteristics for the commensurate case when D = 0, 0.005, 0.010. Triangles and circles denote, respectively, the adiabatic increasing and decreasing process of F.

图 5 D = 0.1, 0.2, 0.5时公度情形下系统机动性能B随外力F的改变的变化规律
Figure5. Noise effects on static friction and hysteresis of the $B(F)$ characteristics for the commensurate case when D = 0.1, 0.2, 0.5.

如图4所示, 当无随机激励($D = 0$)时, 系统有明显的滞回现象, 随着噪声强度的增大, 滞回区域的面积有明显减小的趋势直至消失. 此过程系统的最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$也随着噪声强度的增大而减小. 印证了非公度的相关结论.
另一方面, 当系统机动性能未达到饱和状态时, 随着外力F的增大, 噪声加速了原子的运动, 使得系统的机动性能更早地达到饱和状态($ D= $$ 0, \; F\approx 0.93$; $D = 0.005$, $F \approx 0.90;\;D = 0.01, \;F \approx $$ 0.79$). 之后, 系统的机动性能B不受外力以及随机因素的影响.
对比图1和图4. 非公度情形下, 链长$L = 144$, 原子个数为$N = 233$. 公度情形下, 链长$L = 140$, 而原子个数为$N = 140$. 当链长相差不大的情况下, 公度情形下, 原子个数相对较少, 但当噪声强度$D = 0$时(此时为确定性FK系统), 公度情形下的滞回区域却明显大于非公度情形下的滞回区域^[12]. 公度情形下, 最大静摩擦力也大于非公度情形. 与非公度相比(如图1所示), 公度情形下, 系统滞回受随机因素的影响变化更为明显, 系统的最大静摩擦力改变也更为明显(如图6所示). 公度和非公度的区别在于: 公度情形下, 要移动原子链, 就必须使原子爬上并越过外势的顶部, 从而克服一个势垒^[29]. 噪声的引入, 使得这种束缚变得极不稳定, 此时原子也会逃离势阱做同步运动. 因此, 公度情形下, 系统受到的耦合作用更为强烈. 从而噪声对公度情形的影响也更为明显.
图 6 公度与非公度情形下最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$随噪声强度D的改变的变化规律
Figure6. Noise effects on maximum static friction for the incommensurate case (blue) and the commensurate case (red)

如图5所示, 进一步增大噪声强度, 系统的滞回消失, 产生超滑现象. 当外力$F < 0.8$时, 随着噪声强度的增大, 系统的机动性能B随着噪声强度的增大而增大, 表明噪声的引入, 使得原子更容易脱离基底势的束缚而运动. 但当外力$F \geqslant 0.8$, 系统的机动性能不受噪声强度以及外力的影响. 验证了噪声容易使得原子脱离束缚, 但并不改变系统饱和状态时的机动性能.
进一步, 图6从总体上描述了最大静摩擦力${F_{\rm{s}}}$随噪声强度D的改变的变化规律. 在非公度和公度状态下, 随着噪声强度的增大, 最大静摩擦力都有减小的趋势, 当噪声强度$D \approx 0.1$, 系统将产生超滑现象. 不同之处在于, 由于公度情形下, 原子受到基底势更强的耦合作用, 所以噪声的引入, 使得这种束缚变得极不稳定, 此时原子也会逃离势阱做同步运动, 所以对公度情形下(如滞回, 最大静摩擦力)的影响更为明显.

本文从非公度和公度两方面, 研究了高斯白噪声激励下的一维随机FK模型. 讨论了系统纳米摩擦现象受噪声强度影响的变化规律. 结果表明: 在非公度和公度情形下, 随着噪声强度的增大, 对减小系统的滞回和减小摩擦有积极影响, 当噪声强度选择恰当, 系统将产生超滑. 另一方面, 噪声的引入, 加速原子运动, 使得系统更快地进入饱和状态, 但当系统达到饱和状态后, 系统的机动性能并不受噪声的影响. 因此, 为减小滞回, 产生超滑, 适当的噪声强度即可.
非公度和公度的区别在于: 受噪声影响, 公度情影响更为明显. 表明相同前提下, 公度情形由于受到基底势更为强烈的耦合作用^[8,29]从而具有更为复杂的动力学行为. 通过对高斯白噪声激励下的FK模型的研究, 对其他有色噪声激励下的FK模型有更好的借鉴意义. 对于人们设计出超润滑材料, 以及制造出具有工程应用价值的新材料有一定的借鉴作用.