摘要:理论研究了二维周期排列的金开口环谐振器的磁共振模式与周期阵列的衍射模式发生强耦合所需满足的条件及其对二次谐波产生效率的影响. 通过控制阵列结构在x和y方向的周期大小, 使得衍射模式只在其中一个方向产生, 当衍射模式的电场方向与入射光电场偏振方向一致时, 衍射模式才会与开口环谐振器的磁共振模式发生强耦合作用, 产生表面晶格共振进而实现近场场增强. 在此基础上, 进一步计算了金开口环谐振器阵列的二次谐波产生效率, 随着阵列周期逐渐增大, 即开口环谐振器的数密度减小, 二次谐波强度呈现先增加后降低的趋势, 当开口环谐振器数密度降为原来的1/4左右时, 二次谐波强度可以增强2倍以上. 本文的研究为金属超表面二次谐波产生效率的提高提供了一种新的可能途径.
关键词: 强耦合/
金开口环谐振器阵列/
衍射模式/
二次谐波

English Abstract

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局域表面等离激元(localized surface plasmons, LSPs)是指单个金属微纳结构表面的自由电子在特定频率电磁波照射下发生的非传导集体振荡^[1,2]. 由于其拥有将电磁能量局域在亚波长尺度的特性, 从而能极大增强光与物质的相互作用, 故基于超表面的LSPs共振在生物传感器^[3-9]、表面增强拉曼散射^[10-15]、非线性增强^[16-22]等领域已有广泛的应用. 然而, 金属纳米颗粒的LSPs寿命短、衰减快, 使得LSPs的共振谱线线宽较宽, 这在一定程度上限制了对光场的局域能力. 此外, 单个金属微纳结构的LSPs共振和周期金属微纳阵列的衍射模式之间可以通过模式耦合从而产生表面晶格共振(surface lattice resonances, SLRs). 与LSPs共振相比, SLRs的线宽更窄, 即具有更高的Q因子, 因此, 金属微纳结构周围的场强有更明显的增强, 基于金属阵列结构的超表面会产生强光学性质, 这种增强效应在传感技术^[23]、激光技术^[24]及光与物质相互作用的强耦合实验^[25,26]、固态照明^[27]等领域被广泛研究.
近期, SLRs被用于研究基于超表面周期阵列结构的二次谐波产生 (second harmonic generation, SHG) 增强^[28], 其原理是通过增大周期结构的尺寸, 在金属V型单元结构共振附近引入衍射模式, 通过模式耦合产生表面晶格共振, 使共振线宽变窄实现场增强, 所以, 在单元结构密度减少一半的情况下, SHG可以得到5倍的增强. 另外, 我们发现, 之前关于表面晶格共振增强非线性的研究大多是基于正方周期阵列, 通过改变入射角或周期尺寸来研究表面晶格共振的产生及影响, 但正方阵列使x, y方向的模式发生简并, 无法区分不同方向共振模式对应的场增强效果, 以及是否对非线性增强产生有效的影响.
在本文中, 计算的单元结构是开口环谐振器, 这是因为产生二次谐波的条件是结构中心对称性破缺, 而且在之前的研究中, 通过比较多种不同类型的单元结构^[29], 发现利用开口环谐振器计算的二次谐波产生效率最好. 我们分别改变了x, y两个方向的周期大小, 基于长方周期结构研究不同方向周期的变化产生的衍射模式与金开口环谐振器在电磁波激发下产生的LSPs共振的强耦合过程, 以及二次谐波强度在改变不同方向周期尺寸下的变化规律, 在此基础上, 结合电场分布情况进一步分析表面晶格共振的产生机制.

图1给出了处于均匀介质环境中的金开口环谐振器(split-ring resonators, SRRs)阵列的结构示意图及开口环谐振器的单元结构图. 如图所示, ${a_x}, {a_y}$分别表示SRRs阵列在x和y方向上的周期大小, 阵列所处环境的折射率为1.459, l是开口环谐振器的边长, w是两底部间距, d代表两臂间距, h表示单元结构的厚度, 关于线性透射谱和二次谐波强度的计算是基于有限元仿真软件COMSOL Multiphysics, SRRs的材料设定为金, 介电常数采用Drude模型, 即${\varepsilon _{{\rm{Au}}}}\left( \omega \right) = 1 - \left[ {{{\omega _{\rm{p}}^2} / {\left( {{\omega ^2} + {\rm{i}}\omega \gamma } \right)}}} \right]$, $\omega $是入射电磁波的角频率, ${\omega _{\rm{p}}}$和$\gamma $分别代表金的等离子体频率和衰减速率, ${\omega _{\rm{p}}} = 1.37 \times {10^{16}}$ Hz, $\gamma = 1.22 \times {10^{14}}$ Hz, 入射光设为平面波形式, 电场沿x方向偏振, 并沿–z方向垂直入射于SRRs阵列. 为防止杂散光对仿真计算结果产生影响, 故将模拟区域的上下底面设置为完美匹配层和散射边界条件, 并考虑到结构为周期阵列, 侧面采用周期性边界条件. 透射谱是通过计算不同入射电磁波透过周期阵列结构的能量与入射光波能量的比值得到的, 由于金属表面等离子体的趋肤深度是有限的, 大约为0.1 nm, 所以依据金属非线性表面极化强度可以计算出金属有效非线性表面电流密度关系式, 具体计算方法可以参考文献[29], 通过设置金开口环谐振器表面电流密度的3个分量, 可以计算出二次谐波强度的变化.
图 1 (a) 处于均匀介质中的金开口环谐振器阵列结构示意图, x, y方向的周期分别为${a_x}$, ${a_y}$, 入射光垂直照射于阵列结构, 电场方向沿x轴; (b) SRRs单元结构图, 其中$l = 200\;{\rm{nm}}$, $w = 80\;{\rm{nm}}$, $d = 100\;{\rm{nm}}$, $h = 30\;{\rm{nm}}$
Figure1. (a) Schematic of SRRs array, the period of the x axis and y axis is ${a_x}$ and ${a_y}$, respectively, the incident light is perpendicular to the structure, and the electric field is along the x axis; (b) the unit cell of SRRs, where $l = 200\;{\rm{nm}}$, $w = 80\;{\rm{nm}}$, $d = 100\;{\rm{nm}}$, $h = 30\;{\rm{nm}}$.

首先, 我们计算了两种周期阵列结构的透射谱, 如图2所示, 这两个周期结构的${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$, ${a_x}$分别等于400 nm和1200 nm, 从图中可以发现, 两个透射谱都有一个宽带透射谷(Dip1), 该位置是开口环谐振器的磁共振模式, 位置几乎不随周期的改变而改变, 图1中插图表示Dip1位置x-y截面的磁场分布图和电流分布情况, 红色箭头代表电流, 从插图中的环形电流分布图也可以看出, 该位置是SRRs被激发的磁共振模式. 但在${a_x} = 1200 \;{\rm{nm}}$的透射谱中还存在一个窄带透射谷(Dip2), 该位置是由周期结构引入的衍射模式, 之后我们会对Dip1和Dip2的位置随周期的变化规律进行详细地分析.
图 2 ${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$固定不变, ${a_x} = 1200\;{\rm{nm}}$ (黑线)和${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$ (红线)两种不同周期阵列结构的透射谱, 插图表示宽带透射谷(Dip1)位置x-y截面的磁场电流分布图
Figure2. The transmission spectrum of two different periods along the x axis, ${a_x} = 1200\;{\rm{nm}}$ (black line) and ${a_x} = 400 \;{\rm{nm}}$ (red line). The insert shows the distribution of magnetic field and current in x-y section at the position of Dip1.

为探索衍射模式和磁共振模式发生强耦合所需要满足的条件, 我们分别研究了只改变x方向周期${a_x}$和只改变y方向周期${a_y}$两种情况下的耦合过程. 如图3所示, 图3(a) 和图3(b) 表示保持${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$固定不变, 只改变${a_x}$时的透射谱和两透射谷位置随周期的变化规律. 图3(c) 和图3(d) 分别与图3(a) 和图3(b) 相对应, 区别在于${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$固定不变, 而${a_y}$从1200 nm变化到1500 nm, 图3(a),(c)展示了金开口环谐振器阵列结构的透射谱, 可以观察到每一个透射谱都有两个透射谷：一个是窄带, 一个是宽带. 图3(b) 和图3(d)中空心圆圈代表了这两个透射谷位置随周期的变化规律; 黑色实线代表单个金开口环谐振器的磁共振, 磁共振的位置由金属材料特性和开口环谐振器的几何参数决定, 但不受阵列周期的影响; 蓝色实线代表介质环境中衍射模式随周期移动的曲线图; 两条红色曲线代表拟合的混合模式态—高能态和低能态, 该混合模式态由金属开口环谐振器激发的LSPs共振和周期结构Wood异常引入的衍射模式耦合形成, 二者能量可以通过耦合共振模型来计算^[30]：
图 3 ${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$, ${a_x} = 1200$—1550 nm (间隔50 nm) 时的　(a) 线性透射谱及(b) 透射谱中两透射谷随周期的变化; ${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$, ${a_y} = 1200$—1500 nm (间隔50 nm)时的 (c) 线性透射谱及(d) 透射谱中两透射谷随周期的变化
Figure3. (a) Linear transmission spectrum and (b) the positions of two dips in transmission spectrum change with the period along the x axis, ${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$, ${a_x} = 1200\!-\!1550 $ nm (interval 50 nm); (c) linear transmission spectrum and (d) the positions of two dips in transmission spectrum change with the period along the y axis, ${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$, ${a_y} = 1200\!-\! 1500$ nm (50 nm interval).

${E_ \pm } = \frac{{{E_{{\rm{sp}}}} + {E_{{\rm{wood}}}}}}{2} \pm \sqrt {\frac{\varDelta }{2} + \frac{{{{({E_{{\rm{sp}}}} - {E_{{\rm{wood}}}})}^2}}}{4}} , $

其中, ${E_{{\rm{sp}}}}$和${E_{{\rm{wood}}}}$分别表示磁共振和Wood异常的能量, $\varDelta$表示耦合强度. 用${\varDelta _1}$表示改变x方向周期的耦合强度, ${\varDelta _2}$表示改变y方向周期的耦合强度, 在计算中${\varDelta _2}$是${\varDelta _1}$的8倍左右, 衍射模式位置满足如下关系式^[31]：

${\lambda _{\rm i,0}} = P\left( {\frac{n}{{\left| i \right|}} - \frac{{\sin {\theta _{\rm i}}}}{i}} \right), $

其中, $P$代表阵列周期, ${\theta _{\rm i}}$表示入射角, $n$为环境折射率, $i$是与衍射级相关的整数. 在计算图3(a)中${a_x}$从1200 nm变化到1550 nm的透射谱时, ${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$远小于计算的波长范围1600 nm到2400 nm, 因此, y方向的衍射模式不会出现, 只会出现x方向的衍射模式, 同样地, 计算图3(c)中${a_y}$从1200 nm变化到1500 nm的透射谱时, ${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$远小于计算的波长范围, 所以只会出现y方向的衍射模式, 在此基础上, 可以将衍射模式位置满足的关系(2)式进行化简：${\lambda _{\rm i, 0}} = {a_{x\left( y \right)}}\dfrac{n}{i}$, 一阶衍射位置${\lambda _{\rm i, 0}} = {a_{x\left( y \right)}}n$, 如图3(b)和图3(d)中蓝色实线所示, 其他阶数的衍射模式不在研究的波长范围内, 从图中可以观察到, 利用耦合共振模型计算的耦合模式解析解和利用COMSOL仿真软件计算的两混合模式数值解符合得很好, 在衍射模式和磁共振模式相交的位置, 两透射谷都出现了明显的反交叉现象, 但两种情况的耦合强度不同, 只有在改变y方向周期的条件下实现了强耦合, 在远离相交的地方, 两透射谷分别沿衍射模式和磁共振模式曲线方向.
接下来, 我们利用场分布图进一步分析强耦合的产生机理, 分别研究了以上两种情况下衍射模式的表面电场分布, 如图4 所示. 图4(a) 表示${a_x} = 1300\;{\rm{nm, }}\;{a_y} = 400\;{\rm{nm}}$的SRRs阵列在激发波长λ = 1900 nm (Wood异常附近)时$x \text- z$截面的电场强度的模值分布及其x和y分量的分布图. 从电场模分布图可以判断该处引入了衍射模式, 并且从${E_x}, {E_y}$场图可以看出衍射模式的电场沿y方向, 与入射光的偏振方向垂直. 图4(b) 表示a_y = 1300 nm, a_x = 400 nm的SRRs阵列在激发波长λ = 1900 nm (Wood异常附近)时$y \text- z$截面的电场强度的模值分布及其x和y分量的分布图, 可以判定该处引入了衍射模式, 且电场沿x方向, 与入射光的偏振方向相同.
图 4 (a) ${a_x} = 1300\;{\rm{nm, }}\;$${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$的SRRs阵列在激发波长为λ = 1900 nm时$x \text- z$截面的电场模值(左)与电场x (中)和y (右)分量的场分布图; (b) 周期${a_y} = 1300\;{\rm{nm, }}\;{a_x} = 400\;{\rm{nm}}$ 的SRRs阵列在激发波长λ = 1900 nm时$y \text- z$截面的电场模值(左)与电场x (中)和y (右)分量的场分布图
Figure4. Calculated total (left) and x (middle) component and y (right) component of electric field amplitude distribution in $x \text- z$cross-section at λ = 1900 nm for (a)${a_x} = 1300\;{\rm{nm, }}\;$${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$and in $y \text- z$cross-section at λ = 1900 nm for (b)${a_y} = 1300\;{\rm{nm, }} \;{a_x} = 400\;{\rm{nm}}$.

将${a_x} = 1300\;{\rm{nm}}$的SRRs阵列的衍射模式场图与${a_y} = 1300\;{\rm{nm}}$阵列的衍射模式场图进行对比, 可以发现后者产生了SLRs, 而前者只是引入了电场方向与入射光偏振方向相垂直的衍射模式, 与SRRs的磁共振模式耦合强度非常低. 对于${a_y} = 1300\;{\rm{nm, }}\;{a_x} = 400\;{\rm{nm}}$的SRRs阵列, 由于${a_y}$远大于${a_x}$, 故将阵列结构类比为条纹方向沿x轴的一维光栅, 此时表面波沿y方向传播. 入射光经过SRRs阵列被散射, 沿光栅条纹的电场方向保持不变, 沿x轴方向, 与入射光电场方向相同. 因此, 衍射模式与磁共振模式发生强耦合, 产生SLRs并实现局域场增强. 而对于${a_x} = 1300\;{\rm{nm, }}\;{a_y} = 400\;{\rm{nm}}$的SRRs阵列, 由于${a_x}$远大于${a_y}$, 故可将阵列结构类比为条纹方向沿y轴的一维光栅. 在研究的波长范围内, 表面波沿x方向传播. 入射光经过SRRs阵列被散射时, 平行于条纹方向的电磁场分量不变, 根据${\boldsymbol{k}}\parallel {\boldsymbol{S}} = {\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{H}}$, 表面波电场方向发生变化, 不再沿x轴方向^[32], 因此不能发生强耦合, 无法产生SLRs. 通过分析x, y两个方向周期变化的表面电场分布, 可以判定强耦合的产生除了需要满足衍射模式和磁共振模式在共振频谱上重合的条件, 还需要保证衍射模式的电场方向与入射光偏振方向保持一致.
基于SRRs阵列结构的二次谐波强度主要由强耦合引起的局域场增强和周期增大引起的稀释效应所决定, 所以我们进一步计算了x(y)方向周期${a_x}$(${a_y}$)从1200 nm变化到1600 nm时二次谐波强度的变化规律, 如图5所示. 图中纵轴代表不同周期大小下阵列结构的二次谐波强度与${a_x} = {a_y} = 400\;{\rm{nm}}$形成的密集阵列结构二次谐波强度的比值, 蓝色实心圆代表${a_y}$远大于${a_x}$的情况, 随着${a_y}$的增大, 二次谐波强度呈现先上升再下降的趋势, 上升是因为衍射模式和磁共振模式发生强耦合产生表面晶格共振实现场增强, 强耦合占据了主导地位, 下降是因为随着周期的变大, 稀释效应逐渐占主导地位, 且与小周期的密集阵列(${a_x} = {a_y} = 400\;{\rm{nm}}$)相比, 在增大单元结构尺寸的基础上, 二次谐波强度还可以实现2倍多的增强. 红色实心三角代表${a_x}$远大于${a_y}$的情况, 随着周期的增大, SHG呈明显的下降趋势, 这是因为引入的衍射模式电场方向发生改变, 与入射光偏振方向相反, 随着周期变大, 稀释效应占主导地位, 所以二次谐波强度一直降低直至趋于稳定. 从该二次谐波变化谱也很好地验证了实现强耦合的条件, 即衍射模式和磁共振模式要在线性共振谱中重合, 而且衍射模式的电场方向要与可以产生磁共振的入射光电场方向相同, 而只有当入射光的偏振方向沿金开口环谐振器阵列底部时^[33,34], 才可以产生磁共振.
图 5 固定${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$, 改变${a_y}$(蓝色实心圆)和固定${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$, 改变${a_x}$(红色实心三角)时SRRs阵列的二次谐波强度变化
Figure5. The second harmonic intensity of the SRRs array at fixed ${a_x} = 400\;{\rm{nm}}$, variable ${a_y}$ (blue circles) and fixed ${a_y} = 400\;{\rm{nm}}$, variable ${a_x}$ (red triangles).

本文通过改变x, y两个方向的周期, 在金开口环谐振器阵列结构提供的磁共振位置附近引入了衍射模式, 理论计算了强耦合的产生条件及二次谐波强度变化, 可以发现, 虽然在两种情况下, 衍射模式和磁共振模式在线性共振谱中都发生重合, 但通过分析衍射模式位置处的电场分布情况可以发现, 当${a_x}$远大于${a_y}$时, 衍射模式的电场方向与入射光偏振方向垂直, 没有发生强耦合, 随着周期的增大, 稀释效应占主导地位, 所以二次谐波强度逐渐降低, 当${a_y}$远大于${a_x}$时, 衍射模式的电场方向与入射光偏振方向相同, 此时衍射模式和磁共振模式发生强耦合, 随着周期的增大, 二次谐波强度变化先上升后下降, 上升是因为模式耦合占主导地位, 所以在增大周期(即减小密度)的情况下, SHG可以实现2倍多的增强, 下降是由于稀释效应占主导地位. 由此, 我们发现当周期结构引入的衍射模式和金开口环谐振器阵列结构提供的磁共振模式在线性共振谱重合时, 还需要满足衍射模式电场方向和可以产生磁共振的入射光的偏振方向要一致, 才可以发生强耦合. 本文利用长方周期结构将不同方向的场增强效果进行了区分, 并且分析了不同方向的场增强对非线性效应的影响, 在阵列数密度减小的情况下仍可以实现二次谐波增强, 降低了对加工技术的要求, 本文的研究对之后进一步研究基于超表面的非线性增强提供了更广阔的思路.