摘要:针对常规双基地电磁矢量传感器多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷达中短电偶极子$({L}/{\lambda } < 0.1)$和小磁环$\left(2{\rm{\pi }}({R}/{\lambda }) < 0.1\right)$辐射效率不足问题, 本文根据实际应用中电磁矢量传感器的有效长度来设计新型的发射电磁矢量传感器阵列和接收电磁矢量传感器阵列. 首先, 通过平行因子算法来实现对双基地MIMO雷达阵列接收数据空时特性的充分利用. 这种处理过程能够实现发射俯仰角和接收俯仰角的自动参数配对. 然后, 针对归一化坡印亭矢量估计器在长电偶极子和大磁圆环约束下无法实现角度和极化参数有效测量的问题, 对于利用平行因子算法得到的发射和接收加载矩阵采用新的盲估计算法来实现对角度参数和极化参数的高精度估计. 所提出的盲估计算法在不需要电偶极子长度和磁环周长的先验信息的情况下能够有效地实现发射四维参数和接收四维参数的精确估计, 且该算法估计得到的八维参数满足自动参数配对特性. 最后, 详细推导了长电偶极子和大磁圆环约束下双基地MIMO雷达中角度和极化参数估计性能的克拉美罗界. 仿真实验表明, 对于实际中长电偶极子和大磁圆环组成的新型电磁矢量传感器, 本文所提算法具有良好的参数估计性能. 通过理论分析和仿真实验结果可以发现, 本文的研究工作能够进一步促进电磁矢量传感器在双基地MIMO雷达中的应用.
关键词: 长电偶极子/
大磁圆环/
双基地多输入多输出雷达/
平行因子算法/
盲估计算法/
联合参数估计

English Abstract

全文HTML

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近年来, 电磁矢量传感器阵列(electromagnetic vector sensors, EMVS)由于其优良的电磁测量能力得到了众多****的广泛研究^[1-5]. 相比于标量阵列, 电磁矢量传感器通过利用其包含的三个相互正交的电偶极子和三个相互正交的磁偶极子分别实现对电场矢量和磁场矢量信息的获取. 随着对电磁矢量传感器研究的深入, 众多****把电磁矢量传感器应用于集中式多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷达中, 以此来获取MIMO雷达中目标参数的极化信息^[6-13]. 本文主要研究电磁矢量传感器在双基地MIMO雷达中的应用.
由于每个电磁矢量传感器包含6个极子, 因此把电磁矢量传感器应用于双基地MIMO雷达中面临着复杂的角度参数和极化参数提取问题. 为了实现对双基地EMVS-MIMO雷达中发射四维参数和接收四维参数的有效估计, 文献[6]首次利用旋转不变子空间算法(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)来实现对二维发射角(two dimensional direction-of-departure, 2D-DOD)和二维接收角(two dimensional direction-of-arrival, 2D-DOA)的联合参数估计. 但是, 文献[6]提出的ESPRIT算法由于需要进行奇异值分解过程, 具有较大的计算复杂度. 为了降低计算代价, 文献[7]利用传播算子方法(propagator method, PM)来实现对阵列接收数据信号子空间的近似. 文献[8]进一步考虑利用EMVS-MIMO雷达阵列接收数据的多维特性, 提出高阶奇异值分解算法(high order singular value decomposition, HOSVD)来实现对角度参数和极化参数的联合估计. 以上三种算法面临的主要问题在于都需要进行构建额外的谱峰搜索类配对优化函数来实现2D-DOD和2D-DOA的参数配对. 谱峰搜索类配对函数的构建, 进一步增加了额外的计算复杂度. 为了实现2D-DOD和2D-DOA的自动参数配对, 文献[9]提出平行因子算法. 该算法利用平行因子多次迭代得到的加载矩阵包含的内部固有特性来实现对发射俯仰角和接收俯仰角的角度参数配对. 文献[10]在文献[7]的基础之上提出修正的传播算子算法, 该算法通过对发射角和接收角利用相同的特征矢量矩阵求解来实现参数配对过程. 文献[11]通过设计稀疏的发射阵列和接收阵列来实现对双基地EMVS-MIMO雷达中角度参数和极化参数估计性能的提升. 文献[12,13]针对双基地EMVS-MIMO雷达中的相关信源展开研究.
以上提出的针对双基地EMVS-MIMO雷达中的角度参数和极化参数估计算法主要还是在短电偶极子$\left({L}/{\lambda } < 0.1\right)$和小磁环$\left(2{\text{π}}({R}/{\lambda } ) < 0.1\right)$组成的理想电磁矢量传感器约束下进行研究. 但是, 实际中常用的电偶极子的长度和磁偶极子的周长一般情况下不满足上述约束^[14-19], 即${L}/{\lambda } > 0.1$和$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) > 0.1$. 究其原因在于, 短电偶极子$\left(({L}/{\lambda } ) < 0.1\right)$和小磁环$\left(2{\text{π}}({R}/{\lambda }) < 0.1\right)$组成的电磁矢量传感器不能有效地实现电磁辐射, 影响接收端的参数估计精度. 因此, 为了适应实际目标探测的需要, 本文考虑长电偶极子和大圆环组成的电磁矢量传感器发射阵列和接收阵列背景下的双基地MIMO雷达的角度参数和极化参数估计问题. 相比于文献[6-13]中的短电偶极子和小磁环, 为了提取长电偶极子和大圆环组成的新型电磁矢量传感器中的角度信息和极化信息, 本文利用新的估计方法来避免归一化坡印亭矢量估计器的失效问题. 本文提出的盲估计方法能够实现角度参数和极化参数高精度的求解. 通过对新型电磁矢量传感器约束下的双基地MIMO雷达进行详细的理论推导, 能够进一步解决实际面临的角度和极化参数估计问题, 且通过设计不同的仿真实验进一步对电偶极子长度和磁环周长的选择提供了相应的技术支撑.

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2.1.长电偶极子和大磁圆环组成的新型电磁矢量传感器阵列信号模型

如图1所示, 电磁矢量传感器包含三个相互正交的电偶极子和三个相互正交的磁环, 其中三个正交的电偶极子和磁环分别被用来实现对电场矢量和磁场矢量的测量.
图 1 三正交电偶极子和三正交磁环示意图
Figure1. Three orthogonal dipoles and three orthogonal loops.

考虑一个电磁波信号以角度$\left( {{\theta _z}, {\phi _x}, \gamma , \eta } \right)$入射到直角坐标系中, $\left( {{\theta _z}, {\phi _x}} \right)$分别表示入射信号的俯仰角和方位角, 角度范围分别为${\theta _z} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right)$, ${\phi _x} \in \left[ {0, 2{\text{π}}} \right)$. $\gamma $和$\eta $分别表示极化角和极化相位差, 相应的角度范围分别为$\gamma \in \left[ {0, {{\text{π}}/2}} \right]$, $\eta \in \left[ { - {\text{π}}, {\text{π}}} \right)$. 同时根据图1中的空间坐标, ${\theta _x} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right]$表示入射信号的传播方向和正x轴的夹角; ${\theta _y} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right]$表示入射信号的传播方向和正y轴的夹角; ${\phi _y} \in \left[ { - {\text{π}}, {\text{π}}} \right]$表示信源传播方向在$y \text- o \text- z$平面的投影和正y轴的夹角; ${\phi _z} \in \left[ { - {\text{π}}, {\text{π}}} \right]$表示信源传播方向在$x \text- o \text- z$平面的投影和正z轴的夹角. 以上各个角度与入射信号的方位角和俯仰角的关系如下:

$\sin {\theta _x} = \sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\sin }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} ,$

$\cos {\theta _x} = \sin {\theta _z}\cos {\phi _x},$

$\sin {\theta _y} = \sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\cos }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} ,$

$\cos {\theta _y}\left( {} \right) = \sin {\theta _z}\sin {\phi _x},$

$\sin {\phi _y}\left( {} \right) = \frac{{\cos {\theta _z}}}{{\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\sin }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} }},$

$\cos {\phi _y}\left( {} \right) = \frac{{\sin {\theta _z}\sin {\phi _x}}}{{\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\sin }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} }},$

$\sin {\phi _z} = \frac{{\sin {\theta _z}\cos {\phi _x}}}{{\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\cos }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} }},$

$\cos {\phi _z} = \frac{{\cos {\theta _z}}}{{\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _z}{{\cos }^2}{\phi _x} + {{\cos }^2}{\theta _z}} }}.$

定义如下的单位矢量${{{u}}_{{\theta _x}}}$, ${{{u}}_{{\theta _y}}}$, ${{{u}}_{{\theta _z}}}$和${{{u}}_{{\phi _x}}}$

${{{u}}_{{\theta _x}}} \!= \!{\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\theta _x}}&{\cos {\theta _x}\cos {\theta _y}}&{\cos {\theta _x}\sin {\theta _y}} \end{array}} \!\!\right]^{\rm{T}}},$

${{{u}}_{{\theta _y}}}\! =\! {\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _y}\sin {\phi _z}}&{ - \sin {\theta _y}}&{\cos {\theta _y}\cos {\phi _z}} \end{array}}\! \!\right]^{\rm{T}}},$

${{{u}}_{{\theta _z}}} \!=\! {\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _z}\cos {\phi _x}}&{\cos {\theta _z}\sin {\phi _x}}&{ - \sin {\theta _z}} \end{array}} \!\!\right]^{\rm{T}}},$

${{{u}}_{{\phi _x}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\phi _x}}&{\cos {\theta _x}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

根据图1可以看出, 在直角坐标系下入射目标的电磁场域矢量可以分别表示为

$\begin{split} {{e}} &= {{e}_x}\overbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right]}^{{{{u}}_x}} + {{e}_y}\overbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right]}^{{{{u}}_y}} + {{e}_z}\overbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right]}^{{{{u}}_z}}\begin{array}{*{20}{c}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_x}} \\ {{{e}_y}} \\ {{{e}_z}} \end{array}} \right]} \end{array} \\ &\begin{array}{*{20}{c}} = {\overbrace {\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }}}^{{{e}_{{\theta _z}}}}\overbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ {\sin {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ { - \sin {\theta _z}} \end{array}} \right]}^{{{{u}}_{{\theta _z}}}}} +\overbrace {\cos \gamma }^{{{e}_{{\phi _z}}}}\overbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\phi _x}} \\ {\cos {\phi _x}} \\ 0 \end{array}} \right]}^{{{{u}}_{{\theta _x}}}}\end{array} \\ &\begin{array}{*{20}{c}} ={\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ {\sin {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ { - \sin {\theta _z}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin {\phi _x}} \\ {\cos {\phi _x}} \\ 0 \end{array}} \end{array}} \right]} \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{{\theta _z}}}} \\ {{{e}_{{\phi _z}}}} \end{array}} \right] \\& \begin{array}{*{20}{c}} = \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ {\sin {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ { - \sin {\theta _z}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\phi _x}} \\ {\cos {\phi _x}} \\ 0 \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }}} \\ {\cos \gamma } \end{array}} \right],\end{split} $

$\begin{split} {{h}} &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_x}} \\ {{h_y}} \\ {{h_z}} \end{array}} \right] \begin{array}{*{20}{c}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{u}}_{{\phi _x}}}}&{ - {{{u}}_{{\theta _z}}}} \end{array}} \right]} \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{{\theta _z}}}} \\ {{{e}_{{\phi _x}}}} \end{array}} \right] \\ &\begin{array}{*{20}{c}} = \!{\left[\!\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\phi _x}} \\ {\cos {\phi _x}} \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ { - \sin {\phi _x}\cos {\theta _z}} \\ {\sin {\theta _z}} \end{array}} \end{array}} \!\!\!\!\!\right]\!\!\!\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }}} \\ {\cos \gamma } \end{array}} \!\!\!\right]}. \end{array}\! \end{split} $

因此, 理想电磁矢量传感器的空间响应可以表示为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_x}} \\ {{{e}_y}} \\ {{{e}_z}} \\ {{{h}_x}} \\ {{{h}_y}} \\ {{{h}_z}} \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _x}\cos {\theta _z}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \sin {\phi _x}\cos \gamma } \\ {\sin {\phi _x}\cos {\theta _z}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} + \cos {\phi _x}\cos \gamma } \\ { - \sin {\theta _z}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }}} \\ { - \sin {\phi _x}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \cos {\phi _x}\cos {\theta _z}\cos \gamma } \\ {\cos {\phi _x}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \sin {\phi _x}\cos {\theta _z}\cos \gamma } \\ {\sin \left( {{\theta _z}} \right)\cos \left( \gamma \right)} \end{array}} \right].$

在文献[17-19]中, 针对长电偶极子和大圆环背景下的三正交电偶极子和三正交磁偶极子进行了详细的分析. 根据文献[17-19]中的推导, 下面给出长电偶极子和大圆环背景下新的电场矢量${{{e}}^{\tfrac{L}{\lambda }}}$和磁场矢量${{{h}}^{\tfrac{R}{\lambda }}}$. 实际中常用的电偶极子的长度一般满足${L}/{\lambda } > 0.1$, 例如半波长偶极子. 同样地, 常用的磁偶极子的长度也要求满足$2{\text{π}}({R}/{\lambda } ) > 0.1$, 如单位波长磁环. 对于长电偶极子组成的三正交阵列, 其电场矢量${{{e}}^{\tfrac{L}{\lambda }}}$并不是仅仅等于理想的电场矢量${{e}}$和标量数据的乘积, 相反其是一个电场矢量${{e}}$和三元组有效长度${{{l}}_e}$的点乘${{{e}}^{\tfrac{L}{\lambda }}} = {{e}} \cdot {{{l}}_e}$. 其中, ${{{l}}_e}$的详细形式为

${{{l}}_e} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{e_x}}}\csc {\theta _x}} \\ {{l_{{e_y}}}\csc {\theta _y}} \\ {{l_{{e_z}}}\csc {\theta _z}} \end{array}} \right],$

其中, ${\theta _x} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right)$表示入射信源的传播角和x轴的夹角, ${\theta _y} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right)$表示入射信源的传播角和y轴的夹角, 且

$\begin{split} &{l_{{e_x}}} = \dfrac{\lambda }{{\rm{\pi }}}\dfrac{1}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _x}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}{{\sin {\theta _x}}}, \\ &{l_{{e_y}}} = \dfrac{\lambda }{{\rm{\pi }}}\dfrac{1}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _y}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}{{\sin {\theta _y}}}, \\ &{l_{{e_z}}} = \dfrac{\lambda }{{\rm{\pi }}}\dfrac{1}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }{\theta _z}\cos } \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}{{\sin {\theta _z}}}. \end{split} $

电偶极子的有效长度不仅仅取决于偶极子自身的物理长度, 还与入射信号的自身波长有关. 同样地, 实际中三正交磁环的磁场矢量${{{h}}^{\frac{R}{\lambda }}}$也是${{h}}$和三元组有效长度${{{l}}_h}$的点乘${{{h}}^{\frac{R}{\lambda }}} = {{h}} \cdot {{{l}}_h}$. ${{{l}}_h}$的详细形式为

${{{l}}_h} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{h_x}}}\csc {\theta _x}} \\ {{l_{{h_y}}}\csc {\theta _y}} \\ {{l_{{h_z}}}\csc {\theta _z}} \end{array}} \right],$

其中

$\begin{split}&{l_{{h_x}}} = {\rm{j}}2{\rm{\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _x}} \right),\\&{l_{{h_y}}} = {\rm{j}}2{\rm{\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _y}} \right),\\&{l_{{h_z}}} = {\rm{j}}2{\rm{\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _z}} \right),\end{split}$

其中, ${J_1}\left( \cdot \right)$表示一阶第一类贝塞尔函数. 因此, 一个包含三正交的长电偶极子和三个相互正交的大磁环构成的六元电磁矢量传感器, 其详细的电场形式和磁场形式可以表示为

$\begin{split}& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{e}}^{\frac{L}{\lambda }}}} \\ {{{{h}}^{\frac{R}{\lambda }}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}} \cdot {{{l}}_e}} \\ {{{h}} \cdot {{{l}}_h}}\end{array}} \right] = \\ & {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _x}\cos {\theta _z}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \sin {\phi _x}\cos \gamma } \\ {\sin {\phi _x}\cos {\theta _z}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} + \cos {\phi _x}\cos \gamma } \\ { - \sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }}} \\ { - \sin {\phi _x}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \cos {\phi _x}\cos {\theta _z}\cos \gamma } \\ {\cos {\phi _x}\sin \gamma {{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}\eta }} - \sin {\phi _x}\cos {\theta _z}\cos \gamma } \\ {\cos \gamma }\end{array}} \right]}\\& \circ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{e_x}}}\csc {\theta _x}} \\ {{l_{{e_y}}}\csc {\theta _y}} \\ {{l_{{e_z}}}} \\ {{l_{{h_x}}}\csc {\theta _x}} \\ {\csc {\theta _y}} \\ {{l_{{h_z}}}}\end{array}} \right].\end{split} $

通过对(15)式和(20)式的对比可以发现, 为了实现角度参数和极化参数的求解, 常用的归一化坡印亭矢量处理方法在长电偶极子和大磁圆环的约束下失效. 因此, 为了解决实际双基地EMVS-MIMO雷达中的角度参数和极化参数估计问题, 在接下来的分析中, 通过寻找新的处理手段来实现长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS背景下的目标参数估计.
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2.2.长电偶极子和大磁圆环约束下双基地EMVS-MIMO雷达信号模型

如图2所示, 考虑一个包含M个长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS 发射阵列和N个长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS 接收阵列的双基地 EMVS-MIMO 雷达系统, 其中发射阵列和接收阵列的阵元间距均是半波长. 且发射EMVS阵列和接收EMVS阵列中长电偶极子的长度和大磁环的周长分别设置为$L\;\left(({L}/{\lambda }) > 0.1\right)$和$R\;\left(2{\text{π}}({R}/{\lambda }) > 0.1\right)$. 因此, 新型发射EMVS阵列和新型接收EMVS阵列的阵元位置为
图 2 长电偶极子和大磁圆环组成的新型双基地EMVS-MIMO雷达系统示意图
Figure2. New designed bistatic EMVS-MIMO radar system with long dipoles and large loops.

${L_{\rm{t}}} = \frac{\lambda }{2}\left\{ {0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,M - 1} \right\},$

${L_{\rm{r}}} = \frac{\lambda }{2}\left\{ {0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,N - 1} \right\}.$

假设目标的个数为K, 则长电偶极子和大圆环磁偶极子组成的发射 EMVS导向矢量和接收EMVS导向矢量分别为

${{{a}}_{{{\rm{t}}_k}}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right),$

${{{a}}_{{{\rm{r}}_k}}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right),$

其中, ${{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} = {\left[ {1, {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}, \cdot \cdot \cdot , {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\left( {M - 1} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \right]^{\rm{T}}}$为对应于发射俯仰角的导向矢量矩阵, ${{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} = \big[ 1, {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}, \cdot \cdot \cdot , {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\left( {N - 1} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} \big]^{\rm{T}}$为对应于接收俯仰角的导向矢量矩阵. ${{{c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$和${{{c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\big({\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}} \big)$分别为对应于长电偶极子和大磁圆环组成的发射 EMVS和接收EMVS阵列的电磁矢量传感器的空间响应:

$\begin{split} &{{{c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}}_{{{\rm{t}}_k}}^{\frac{L}{\lambda }}}&{{{h}}_{{{\rm{t}}_k}}^{\frac{R}{\lambda }}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{l}}_{e{t_k}}}} \\ {{{{l}}_{h{t_k}}}}\end{array}} \right] \\& \begin{array}{*{20}{c}} ={\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \\ { - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\end{array}} \right]}\end{array} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{e_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {{l_{{e_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ {{l_{{e_z}{t_k}}}} \\ {{l_{{h_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {{l_{{h_{\rm{y}}}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ {{l_{{h_z}{t_k}}}}\end{array}} \right] \\ & =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{e_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {\left( {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{e_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{l_{{e_z}{t_k}}}} \\ {\left( { - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{h_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{h_{\rm{y}}}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{l_{{h_z}{t_k}}}}\end{array}} \right],\end{split} $

$\begin{split} &{{{c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}}_{{{\rm{r}}_k}}^{\frac{L}{\lambda }}}&{{{h}}_{{{\rm{r}}_k}}^{\frac{R}{\lambda }}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}} \left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{l}}_{e{r_k}}}} \\ {{{{l}}_{h{r_k}}}}\end{array}} \right] \\ &\begin{array}{*{20}{c}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \\ {\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \\ { - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \\ {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\end{array}} \right]}\end{array} \circ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{e_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {{l_{{e_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ {{l_{{e_z}{r_k}}}} \\ {{l_{{h_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {{l_{{h_{\rm{y}}}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ {{l_{{h_z}{r_k}}}}\end{array}} \right] \\& = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{e_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {\left( {\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{e_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{l_{{e_z}{r_k}}}} \\ {\left( { - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{h_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{h_{\rm{y}}}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{l_{{h_z}{r_k}}}}\end{array}} \right],\end{split} $

其中, ${{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$和${{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$表示维度为$6 \times 2$的空间角度位置矩阵, 且${\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\theta _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ {0, {\text{π}}} \right)$表示俯仰角, ${\phi _{{{\rm{t}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ {0, 2{\text{π}}} \right)$表示方位角. ${{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$和${{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$表示维度为$2 \times 1$的极化状态矢量, 且${\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ {0, {{\text{π}}/2}} \right]$表示极化角, ${\eta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ { - {\text{π}}, {\text{π}}} \right]$表示极化相位差. 其中, ${\theta _{x{t_k}}}$, ${\theta _{y{t_k}}}$, ${\theta _{x{r_k}}}$, ${\theta _{y{r_k}}}$, ${l_{{e_x}{t_k}}}$, ${l_{{e_y}{t_k}}}$, ${l_{{e_z}{t_k}}}$, ${l_{{h_x}{t_k}}}$, ${l_{{h_y}{t_k}}}$, ${l_{{h_z}{t_k}}}$, ${l_{{e_x}{r_k}}}$, ${l_{{e_y}{r_k}}}$, ${l_{{e_z}{r_k}}}$, ${l_{{h_x}{r_k}}}$, ${l_{{h_y}{r_k}}}$, ${l_{{h_z}{r_k}}}$的详细形式可以根据(1)式—(8)式, (17)式和(19)式来获得.
据(15)式和(20)式可见, 由于长电偶极子和大圆环磁偶极子的空间电磁响应和理想的短电偶极子和小磁环对应的空间电磁响应不同, 因此, 常用的矢量叉积算法并不能有效地实现发射四维参数和接收四维参数的求解. 为了实现长电偶极子和大磁圆环背景下的发射四维参数和接收四维参数求解, 在下一章节将采用有效的盲校正方法.
进一步地, 利用双基地 EMVS-MIMO 雷达发射信号波形和接收信号波形的正交性, 匹配滤波之后的阵列接收数据可以表示为^[6]

$\begin{split} {{y}}\left( t \right) &= \left( {\left( {{{{Q}}_{\rm{t}}} \odot {{{C}}_{\rm{t}}}} \right) \odot \left( {{{{Q}}_{\rm{r}}} \odot {{{C}}_{\rm{r}}}} \right)} \right){{s}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right) \\ & = \left( {{{{A}}_{\rm{t}}} \odot {{{A}}_{\rm{r}}}} \right){{s}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right), \end{split} $

其中${{{A}}_{\rm{t}}} = \left[ {{{{a}}_{{\rm{t1}}}}, {{{a}}_{{\rm{t2}}}}, \cdot \cdot \cdot , {{{a}}_{{\rm{t}}K}}} \right]$和${{{A}}_{\rm{r}}} = \left[ {{{{a}}_{{\rm{r1}}}}, {{{a}}_{{\rm{r2}}}}, \cdot \cdot \cdot , {{{a}}_{{\rm{r}}K}}} \right]$分别表示发射导向矢量矩阵和接收导向矢量矩阵, ${{n}}\left( t \right)$表示加性高斯白噪声矢量. 对于T个采样快拍, 总的阵列接收数据可以表示为

${{Y}} = \left( {{{{A}}_{\rm{t}}} \odot {{{A}}_{\rm{r}}}} \right){{S}} + {{N}}.$

对于长电偶极子和大圆环磁偶极子组成的双基地EMVS-MIMO雷达, 其阵列接收数据的结构仍然具有空时特性. 因此, 为了充分考虑发射阵列、接收阵列和采样快拍之间的内在联系, 这里采用张量结构来对阵列接收数据进行处理.

2

-->

3.1.高分辨联合角度和极化参数估计

根据文献[20]中平行因子分解的定义, (28)式中的阵列接收数据可以进一步的被重新表示为

${{Y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{A}}_{\rm{t}}}{{{D}}_1}\left( {{{{A}}_{\rm{r}}}} \right)} \\ {{{{A}}_{\rm{t}}}{{{D}}_2}\left( {{{{A}}_{\rm{r}}}} \right)} \\ { \cdot \cdot \cdot } \\ {{{{A}}_{\rm{t}}}{{{D}}_{6N}}\left( {{{{A}}_{\rm{r}}}} \right)} \end{array}} \right]{{S}} + {{N}} \in {\mathbb{C}^{36MN \times T}}.$

相应地, 关于发射导向矢量矩阵${{{A}}_{\rm{t}}}$和接收导向矢量矩阵${{{A}}_{\rm{r}}}$的联立方程可以分别被表示为

${{{Y}}_{\rm{t}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{A}}_{\rm{r}}}{{{D}}_1}\left( {{S}} \right)} \\ {{{{A}}_{\rm{r}}}{{{D}}_2}\left( {{S}} \right)} \\ { \cdot \cdot \cdot } \\ {{{{A}}_{\rm{r}}}{{{D}}_T}\left( {{S}} \right)} \end{array}} \right]{{A}}_{\rm{t}}^{\rm{T}} + {{{N}}_{\rm{t}}} \in {\mathbb{C}^{6NT \times 6M}},$

${{{Y}}_{\rm{r}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{S}}^{\rm{T}}}{{{D}}_1}\left( {{{{A}}_{\rm{t}}}} \right)} \\ {{{{S}}^{\rm{T}}}{{{D}}_2}\left( {{{{A}}_{\rm{t}}}} \right)} \\ { \cdot \cdot \cdot } \\ {{{{S}}^{\rm{T}}}{{{D}}_{6M}}\left( {{{{A}}_{\rm{t}}}} \right)} \end{array}} \right]{{A}}_{\rm{r}}^{\rm{T}} + {{{N}}_{\rm{r}}} \in {\mathbb{C}^{6MT \times 6N}}.$

通过文献[9,11]中相同的处理方式, 利用平行因子分解算法的多次迭代过程, 最终能够实现对加载矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$和${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$的有效求解. 并且, 包含在${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$和${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$中的2 D-DOD和2 D-DOA是自动配对的. 下面分别针对估计得到的发射导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$和接收导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$进行发射俯仰角、发射方位角、发射极化角、发射极化相位差和接收俯仰角、接收方位角、接收极化角、接收极化相位差的估计.
对于估计得到的发射导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$, 首先来构建旋转不变关系实现对发射俯仰角${\tilde \theta _{{{\rm{t}}_k}}}, k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , K$进行估计. 从图3可以看出, 由于长电偶极子和大圆环磁偶极子组成的EMVS发射阵列和接收阵列均为均匀线性阵列, 因此, 针对估计得到的发射导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$, 定义如下的选择矩阵
图 3 新型阵列 EMVS-MIMO 雷达系统旋转不变关系构建
Figure3. The rotational invariance relationship for new designed bistatic EMVS-MIMO radar system.

$\left. \begin{gathered} {{{J}}_{{\rm{t}}1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{M - 1}}}&0 \end{array}} \right], ~~ {{{J}}_{{\rm{t2}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{{I}}_{M - 1}}} \end{array}} \right],\end{gathered} \right.$

因此, 发射俯仰角${\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , K$满足如下的旋转不变特性

$\left( {{{{J}}_{{\rm{t1}}}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{t}}} = \left( {{{{J}}_{{\rm{t2}}}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}{{{\varPhi }}_{{\rm{t1}}}}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right),$

其中, ${{{\varPhi }}_{{\rm{t1}}}}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right)\! =\! {\rm{diag}}\!\left[ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_1}}}}}}\;\;{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_2}}}}}}\;\;{ \cdots}\;\;{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_K}}}}}} \!\right]$表示针对于发射俯仰角的旋转不变因子. 因此, ${{{\varPhi }}_{{\rm{t1}}}}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right)$的估计可以表示为

${{\tilde{ \varPhi }}_{{\rm{t1}}}}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right) = {\left( {\left( {{{{J}}_{{\rm{t2}}}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{{\tilde{ A}}}_{\rm{t}}}} \right)^\dagger }\left( {{{{J}}_{{\rm{t1}}}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}.$

进一步地, 估计得到的发射俯仰角的正弦值可以表示为

${\tilde \mu _{{{\rm{t}}_k}}} = \Big( {\frac{{ - \angle {{{\tilde{ \varPhi }}}_{{\rm{t1}}}}{{\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right)}_{k,k}}}}{\pi }} \Big),~~k = 1,2, \cdots ,K.$

因此, 相应的发射俯仰角可以被表示为

${\tilde \theta _{{{\rm{t}}_k}}} = \arcsin \left( {{{\tilde \mu }_{{{\rm{t}}_k}}}} \right),~~k = 1,2, \cdots ,K$

当获得发射阵列的俯仰角之后, 为了实现发射方位角、发射极化角和极化相位差的求解, 首先, 通过如下的方式获得长电偶极子和大圆环磁偶极子组成的新型EMVS阵列的空间响应函数${{\tilde{ C}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$

$\begin{split}&[ {{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_1}}},{\phi _{{{\rm{t}}_1}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_1}}},{\eta _{{{\rm{t}}_1}}}} \right),{{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_2}}},{\phi _{{{\rm{t}}_2}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_2}}},{\eta _{{{\rm{t}}_2}}}} \right), \cdots ,\\&{{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_K}}},{\phi _{{{\rm{t}}_K}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_K}}},{\eta _{{{\rm{t}}_K}}}} \right) ]\\ =\;& \frac{1}{M}\sum\limits_{m = 1}^M {\left( {{{{\tilde{ A}}}_{\rm{t}}}\left( {6m - 5:6m,:} \right){\tilde{ \varPhi }}_{\rm{t}}^{1 - m}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right)} \right)} ,\\[-20pt]\end{split}$

其中, ${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}\left( {6 m - 5:6 m, :} \right)$表示${{\tilde{ A}}_{\rm{t}}}$的第$6 m - 5$到$6 m$行的元素, ${\tilde{ \varPhi }}_{\rm{t}}^{}\left( {{\theta _{\rm{t}}}} \right) = {\rm{diag}}\big[{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}}}}\;\;{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{t}}_{\rm{2}}}}}}}}\;\;{ \cdots }\;\; {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{t}}_K}}}}}} \big]$对应于已估计得到的发射阵列的旋转不变因子. 根据(25)式, 估计得到的空间响应${{\tilde{ c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$的详细形式为

${{\tilde{ c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{e_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {\left( {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{e_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{l_{{e_z}{t_k}}}} \\ {\left( { - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{h_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}} \\ {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){l_{{h_{\rm{y}}}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{l_{{h_z}{t_k}}}} \end{array}} \right].$

下面利用盲估计算法实现对$\left( {{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$进行角度参数估计.
令${{\tilde{ c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},\, {\phi _{{{\rm{t}}_k}}},\, {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},\, {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = \left[ {c_{1{t_k}}},\, {c_{2{t_k}}},\, {c_{3{t_k}}},\, {c_{4{t_k}}}, {c_{5{t_k}}}, \, {c_{6{t_k}}} \right]^{\rm{T}}$, 则

${c_{3{t_k}}} = - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{e^{j{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{l_{{e_z}{t_k}}},$

${c_{6{t_k}}} = \cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{l_{{h_z}{t_k}}},$

则估计得到的极化相位差可以被表示为

${\tilde \eta _{{{\rm{t}}_k}}} = \frac{{3{\rm{\pi }}}}{2} + \angle \left( {\frac{{{c_{3{t_k}}}}}{{{c_{6{t_k}}}}}} \right).$

如果${L}/{\lambda } > 0.1$和$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) > 3.8317$, 根据(17)式和(19)式中的${l_{{e_z}}}$和${l_{{h_z}}}$的定义, 此时二者的取值为负, 因此以上对${\eta _{{{\rm{t}}_k}}}$的求解需要进行加${\text{π}}$来实现相应的相位补偿. 下面对${\phi _{{{\rm{t}}_k}}}$进行求解, 首先, 通过下面的操作去除${c_{1{t_k}}}$中的相位信息

$\begin{split} {{\tilde c}_{1{t_k}}} =\;& {c_{1{t_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{3{t_k}}}}} \\=\;&{l_{{e_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}[ \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} ]. \end{split} $

进一步地, 通过如下的求解方式从(42)式中的复值中移除实数因子${l_{{e_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}$

$\begin{split} {{\tilde c}_{11{t_k}}} =\;& \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}\sin {\eta _{{{\rm{t}}_k}}} + \Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}\cos {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}} \\ =\;& {\cot \left( {{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\tan {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, \end{split} $

其中, $\Re $表示实部, $\Im $表示虚部. 类似地, 为了去除${c_{2{t_k}}}$中的相位信息, 构建如下的求解过程

$\begin{split} {{\tilde c}_{2{t_k}}} =\;& {c_{2{t_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{3{t_k}}}}} \\ =\;&{l_{{e_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}[ \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}} \\ &+ \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} ]. \end{split} $

通过如下的求解方式从(44)式中的复值中移除实数因子${l_{{e_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}$

$\begin{split} {{\tilde c}_{22{t_k}}} =\;& \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{2{t_k}}}} \right\}\sin {\eta _{{{\rm{t}}_k}}} + \Im \left\{ {{{\tilde c}_{2{t_k}}}} \right\}\cos {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{2{t_k}}}} \right\}}} \\= \;&{- \tan {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\tan } {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}. \end{split} $

对等式(43)式和(45)式进行分析可以发现, 在已经估计得到极化相位差${\tilde \eta _{{{\rm{t}}_k}}}$之后, 通过$\dfrac{{{{\tilde c}_{22{t_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{t_k}}}}}$的相除可以去除两者中的公共因子$\tan {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}$. 除过之后的变量仅仅是关于${\phi _{{{\rm{t}}_k}}}$的, 因此, 入射信源的方位角估计可以表示为

$ {\tilde \phi _{{{\rm{t}}_k}}} \!=\! \left\{\!\!\begin{aligned} & - {\rm{\pi }} \!+\! \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{t_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{t_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}}\!,\; \;{{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\! \in\! \left[ { - {\rm{\pi }},{\rm{-\pi }}/2} \right)}, \\ &\arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{t_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{t_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} \in \left[ { - {\rm{\pi }}/2,0} \right)}, \\ & - \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{t_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{t_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} \in \left[ {0,{\rm{\pi }}/2} \right)}, \\ & \pi - \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{t_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{t_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} \in \left[ {{\rm{\pi }}/2,{\rm{\pi }}} \right)} . \end{aligned} \right. $

在求得极化相位差${\eta _{{{\rm{t}}_k}}}$和方位角${\phi _{{{\rm{t}}_k}}}$之后, 下面进行对极化角${\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}$的求解.
通过如下的方式去除${c_{4{t_k}}}$中的相位信息

$\begin{split} {{\tilde c}_{4{t_k}}} =\;& {c_{4{t_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{6{t_k}}}}} \\ =\;&{l_{{h_x}{t_k}}}\csc {\theta _{x{t_k}}}[ - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} ]. \end{split} $

类似地, 去除${c_{5{t_k}}}$中的相位信息, 可以进一步被表示为

$\begin{split} {{\tilde c}_{5{t_k}}} =\;& {c_{5{t_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{6{t_k}}}}} \\ =\;&{l_{{h_y}{t_k}}}\csc {\theta _{y{t_k}}}[ \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} ]. \end{split} $

构建如下关于${\tilde c_{4{t_k}}}$和${\tilde c_{5{t_k}}}$的方程

$\frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}} - \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}} = \frac{{\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\tan {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}\left[ {\cot {\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + \tan {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right].$

并且, 通过把${\tilde c_{1{t_k}}}$中的实部和虚部相比可以得到

$\frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}} = \frac{{\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\tan {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\tan {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \frac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}.$

进一步地把(49)式和(50)式进行相除, 可以得到

${\tan ^2}{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}} = \frac{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}} + \dfrac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}}{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}} - \dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}}}}.$

从(51)式可以看出, 在已经获得极化相位差${\eta _{{{\rm{t}}_k}}}$和方位角${\phi _{{{\rm{t}}_k}}}$之后, (51)式仅仅与极化角${\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}$有关. 最终, 估计得到的极化角可以被表示为

${\tilde \gamma _{{{\rm{t}}_k}}} = \arctan \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{t_k}}}} \right\}}} + \dfrac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}}{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{t_k}}}} \right\}}} - \dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{t_k}}}} \right\}}}}}} .$

因此, 经过上面的求解之后, 最后可以得到长电偶极子和大磁圆环组成的新型电磁矢量传感器针对入射信源的发射四维参数. 并且, 通过上面的分析可以发现, 以上的求解过程并不需要额外的$\frac{L}{\lambda }$, $\frac{R}{\lambda }$以及极化角作为先验信息, 完全实现了角度参数和极化参数求解的盲估计, 通过以上处理过程得到的$\left( {{{\tilde \theta }_{{{\rm{t}}_k}}}, {{\tilde \phi }_{{{\rm{t}}_k}}}, {{\tilde \gamma }_{{{\rm{t}}_k}}}, {{\tilde \eta }_{{{\rm{t}}_k}}}} \right)$满足自动参数配对特性.
下面针对估计得到的接收导向加载矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$来实现对接收四维参数$\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$进行求解. 对于估计得到的接收导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$, 首先来构建旋转不变关系实现对接收俯仰角${\tilde \theta _{{{\rm{r}}_k}}}, k = 1, 2, \cdots , K$进行估计. 针对估计得到的接收导向矢量矩阵${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$, 定义如下的选择矩阵

$\left\{ \begin{gathered} {{{J}}_{{\rm{r}}1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N - 1}}}&0 \end{array}} \right], \\ {{{J}}_{{\rm{r2}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{{I}}_{N - 1}}} \end{array}} \right]. \\ \end{gathered} \right.$

因此, 接收俯仰角${\tilde \theta _{{{\rm{r}}_k}}}, k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , K$满足如下的旋转不变特性

$\left( {{{{J}}_{{\rm{r}}1}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{r}}} = \left( {{{{J}}_{{\rm{r}}2}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}{{{\varPhi }}_{{\rm{r}}1}}\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right),$

其中${{{\varPhi }}_{{\rm{r}}1}}( {{\theta _{\rm{r}}}} ) \!=\! {\rm{diag}}\big[{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_1}}}}}\;\;{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_2}}}}}}\;\;{ \cdots}\;\; {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_K}}}}}\big]$表示针对接收俯仰角的旋转不变因子. 因此, ${{{\varPhi }}_{{\rm{r}}1}}\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right)$估计可以表示为

${{\tilde{ \varPhi }}_{{\rm{r}}1}}\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right) = {\left( {\left( {{{{J}}_{{\rm{r}}2}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{{\tilde{ A}}}_{\rm{r}}}} \right)^\dagger }\left( {{{{J}}_{{\rm{r}}1}} \otimes {{{I}}_6}} \right){{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}.$

进一步地, 估计得到的接收俯仰角的正弦值可以表示为

${\tilde \mu _{{{\rm{r}}_k}}} = \left( {\frac{{ - \angle {{{\tilde{ \varPhi }}}_{{\rm{r}}1}}{{\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right)}_{k,k}}}}{{\rm{\pi }}}} \right),k = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,K.$

因此, 相应的接收俯仰角可以被表示为

${\tilde \theta _{{{\rm{r}}_k}}} = \arcsin \left( {{{\tilde \mu }_{{{\rm{r}}_k}}}} \right),k = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,K.$

当获得接收阵列的俯仰角之后, 为了实现接收方位角、接收极化角和极化相位差的求解, 通过如下方式首先获得长电偶极子和大磁圆环组成的EMVS阵列的空间响应函数${{\tilde{ C}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$

$\begin{split} &[ {{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_1}}},{\phi _{{{\rm{r}}_1}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_1}}},{\eta _{{{\rm{r}}_1}}}} \right),{{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_2}}},{\phi _{{{\rm{r}}_2}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_2}}},{\eta _{{{\rm{r}}_2}}}} \right), \cdot \cdot \cdot ,\\ &{{{\tilde{ c}}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_K}}},{\phi _{{{\rm{r}}_K}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_K}}},{\eta _{{{\rm{r}}_K}}}} \right)] \\ =\;& \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{{{\tilde{ A}}}_{\rm{r}}}\left( {6n - 5:6n,:} \right){\tilde{ \varPhi }}_{\rm{r}}^{1 - n}\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right)} \right),} \end{split} $

其中, ${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}\left( {6 n - 5:6 n, :} \right)$表示${{\tilde{ A}}_{\rm{r}}}$的第$6 n - 5$到$6 n$行的元素, ${\tilde{ \varPhi }}_{\rm{r}}^{}\left( {{\theta _{\rm{r}}}} \right) = {\rm{diag}}\left[ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{r}}_1}}}}}}\;\;{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{r}}_2}}}}}}\;\;{ \cdots}\;\; {{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {{\tilde \theta }_{{{\rm{r}}_K}}}}} \right]$对应于已估计得到的接收阵列的旋转不变因子. 根据(26)式, 估计得到的空间响应${{\tilde{ c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$的详细形式为

${{\tilde{ c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{e_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {\left( {\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{e_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{l_{{e_z}{r_k}}}} \\ {\left( { - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{h_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}} \\ {\left( {\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){l_{{h_{\rm{y}}}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}} \\ {\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{l_{{h_z}{r_k}}}} \end{array}} \right].$

下面利用盲估计算法实现对$\left( {{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$进行角度参数估计.
令${{\tilde{ c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}, {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}, {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = \big[ {c_{1{r_k}}}, {c_{2{r_k}}}, {c_{3{r_k}}}, {c_{4{r_k}}}, {c_{5{r_k}}}, {c_{6{r_k}}} \big]^{\rm{T}}$, 则

${c_{3{r_k}}} = - \sin {\theta _{x{r_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{l_{{e_z}{r_k}}},$

${c_{6{r_k}}} = \cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{l_{{h_z}{r_k}}},$

则估计得到的极化相位差可以被表示为

${\tilde \eta _{{{\rm{r}}_k}}} = \frac{{{\rm{3\pi }}}}{2} + \angle \left( {\frac{{{c_{3{r_k}}}}}{{{c_{6{r_k}}}}}} \right).$

如果${L}/{\lambda } > 0.1$和$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) > 3.8317$, 根据(17)式和(19)式中的${l_{{e_z}}}$和${l_{{h_z}}}$的定义, 此时二者的取值为负, 因此以上对${\eta _{{{\rm{r}}_k}}}$的求解需要进行加${\text{π}}$来实现相应的相位补偿. 下面对${\phi _{{{\rm{r}}_k}}}$进行求解, 首先, 通过下面的操作去除${c_{1{r_k}}}$中的相位信息

$\begin{split} {{\tilde c}_{1{r_k}}} =\;& {c_{1{r_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{3{r_k}}}}} \\ =\;&{l_{{e_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}[ \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} ]. \end{split} $

进一步地, 通过如下的求解方式从(63)式中的复值中移除实数因子${l_{{e_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}$

$\begin{split} {{\tilde c}_{11{r_k}}} =\;& \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}\sin \left( {{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) + \Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}\cos {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}} \\ =\;& {\cot {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\tan } {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}.\end{split} $

类似地, 为了去除${c_{2{r_k}}}$中的相位信息, 构建如下的求解过程

$\begin{split} {{\tilde c}_{2{r_k}}} =\;& {c_{2{r_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{3{r_k}}}}} \\ =\;&{l_{{e_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}[ \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} \\ &+ \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} ], \end{split} $

通过如下的求解方式从(65)式中的复值中移除实数因子${l_{{e_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}$

$\begin{split} {{\tilde c}_{22{r_k}}} =\;& \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{2{r_k}}}} \right\}\sin {\eta _{{{\rm{r}}_k}}} + \Im \left\{ {{{\tilde c}_{2{r_k}}}} \right\}\cos {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{2{r_k}}}} \right\}}} \\ =\;& {- \tan {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\tan } {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}. \end{split} $

对等式(64)式和(66)式进行分析可以发现, 在已经估计得到极化相位差${\tilde \eta _{{{\rm{r}}_k}}}$之后, 通过$\dfrac{{{{\tilde c}_{22{r_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{r_k}}}}}$的相除可以去除两者中的公共因子$\tan {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}$. 除过之后的变量仅仅是关于${\phi _{{{\rm{r}}_k}}}$的, 因此, 入射信源的方位角估计可以表示为

$ {\tilde \phi _{{{\rm{r}}_k}}} = \left\{ \begin{aligned} &- {\rm{\pi }} + \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{r_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{r_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ { - {\rm{\pi }},{\rm{-\pi }}/2} \right)}, \\ &\arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{r_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{r_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ { - {\rm{\pi }}/2,0} \right)}, \\ & - \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{r_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{r_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ {0,{\rm{\pi }}/2} \right)}, \\ &{\rm{\pi }} - \arctan {\left| {\frac{{{{\tilde c}_{22{r_k}}}}}{{{{\tilde c}_{11{r_k}}}}}} \right|^{\frac{1}{2}}},\;\; \;\;{{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} \in \left[ {{\rm{\pi }}/2,{\rm{\pi }}} \right)} . \end{aligned} \right. $

在求得极化相位差${\eta _{{{\rm{r}}_k}}}$和方位角${\phi _{{{\rm{r}}_k}}}$之后, 下面对极化角${\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}$进行求解.
通过如下的方式去除${c_{4{r_k}}}$中的相位信息

$\begin{split} {{\tilde c}_{4{r_k}}} =\;& {c_{4{r_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{6{r_k}}}}} \\ =\;&{l_{{h_x}{r_k}}}\csc {\theta _{x{r_k}}}[ - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}], \end{split} $

类似地, 去除${c_{5{r_k}}}$中的相位信息, 可以进一步被表示为

$\begin{split} {{\tilde c}_{5{r_k}}} =\;& {c_{5{r_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}\angle {c_{6{r_k}}}}} \\ =\;&{l_{{h_y}{r_k}}}\csc {\theta _{y{r_k}}}[ \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} \\ &- \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{ - {{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}]. \end{split} $

构建如下关于${\tilde c_{4{r_k}}}$和${\tilde c_{5{r_k}}}$的方程

$\frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}} - \frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}} \!=\! \frac{{\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\tan {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}\left[ {\cot {\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + \tan {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right],$

并且, 通过把${\tilde c_{1{r_k}}}$中的实部和虚部相比可以得到

$\frac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}} = \frac{{\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\tan {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\tan {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \frac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}.$

进一步把(70)式和(71)式进行相除, 可以得到

${\tan ^2}{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}} = \frac{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}} + \dfrac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}}{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}} - \dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}}}}.$

从(72)式中可以看出, 在已经获得极化相位差${\eta _{{{\rm{r}}_k}}}$和方位角${\phi _{{{\rm{r}}_k}}}$之后, (72)式仅仅与极化角${\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}$有关. 最终, 估计得到的极化角可以被表示为

${\tilde \gamma _{{{\rm{r}}_k}}} = \arctan \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{1{r_k}}}} \right\}}} + \dfrac{1}{{\tan {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}}{{\dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{4{r_k}}}} \right\}}} - \dfrac{{\Re \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}}{{\Im \left\{ {{{\tilde c}_{5{r_k}}}} \right\}}}}}} .$

因此, 经过上面的求解之后, 最后可以得到长电偶极子和大磁圆环组成的新型电磁矢量传感器针对于信源的接收四维参数. 并且, 通过上面的分析可以发现, 以上的求解过程并不需要额外的$\frac{L}{\lambda }$, $\frac{R}{\lambda }$以及极化角作为先验信息, 完全实现了角度参数和极化参数求解的盲估计, 通过以上处理过程得到的$\left( {{{\tilde \theta }_{{{\rm{r}}_k}}}, {{\tilde \phi }_{{{\rm{r}}_k}}}, {{\tilde \gamma }_{{{\rm{r}}_k}}}, {{\tilde \eta }_{{{\rm{r}}_k}}}} \right)$满足自动参数配对特性.
最终, 经过以上的算法处理, 得到的对应于发射 EMVS 阵列和接收 EMVS阵列的发射俯仰角、发射方位角、发射极化角、发射极化相位差和接收俯仰角、接收方位角、接收极化角、接收极化相位差能够保证良好的估计精度.
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3.2.克拉美罗界(Cramer-Rao Bound)

由于长电偶极子的长度和大磁圆环的周长作为变量也影响着角度估计的精度, 对于所设计的新型长电偶极子和大磁圆环组成的EMVS阵列, 双基地EMVS-MIMO雷达需要估计的参数分别为$\left( {{{{\theta }}_{\rm{t}}}, {\phi _{\rm{t}}}, {{{\gamma }}_{\rm{t}}}, {{{\eta }}_{\rm{t}}}, L, R} \right)$和$\left( {{{{\theta }}_{\rm{r}}}, {\phi _{\rm{r}}}, {{{\gamma }}_{\rm{r}}}, {{{\eta }}_{\rm{r}}}, L, R} \right)$, 其中

${{{\theta }}_{\rm{t}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{{{\rm{t}}_1}}}}&{{\theta _{{{\rm{t}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\theta _{{{\rm{t}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${\phi _{\rm{t}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{{{\rm{t}}_1}}}}&{{\phi _{{{\rm{t}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\phi _{{{\rm{t}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${{{\gamma }}_{\rm{t}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{{{\rm{t}}_1}}}}&{{\gamma _{{{\rm{t}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\gamma _{{{\rm{t}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${{{\eta }}_{\rm{t}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _{{{\rm{t}}_1}}}}&{{\eta _{{{\rm{t}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\eta _{{{\rm{t}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${{{\theta }}_{\rm{r}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{{{\rm{r}}_1}}}}&{{\theta _{{{\rm{r}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\theta _{{{\rm{r}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${\phi _{\rm{r}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{{{\rm{r}}_1}}}}&{{\phi _{{{\rm{r}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\phi _{{{\rm{r}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${{{\gamma }}_{\rm{r}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{{{\rm{r}}_1}}}}&{{\gamma _{{{\rm{r}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\gamma _{{{\rm{r}}_K}}}} \end{array}} \right],$

${{{\eta }}_{\rm{r}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _{{{\rm{r}}_1}}}}&{{\eta _{{{\rm{r}}_2}}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{\eta _{{{\rm{r}}_K}}}} \end{array}} \right].$

因此, 关于以上未知变量的Fisher信息矩阵可以被表示为

${{J}} = \left[ \begin{aligned}{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}R}}}\\{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}L}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}R}}}\\{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}R}}}\\{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}R}}}\\{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}R}}}\\{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}L}}}&{{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}R}}}\\{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}R}}}\\{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}L}}}&{{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}R}}}\\{{{{J}}_{L{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{L{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{L{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{L{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{L{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{L{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{L{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{L{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{LL}}}&{{{{J}}_{LR}}}\\{{{{J}}_{R{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{R{\phi _{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{R{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{R{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}}&{{{{J}}_{R{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{R{\phi _{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{R{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{R{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}}&{{{{J}}_{RL}}}&{{{{J}}_{RR}}}\end{aligned} \right]$

假设噪声${{n}}\left( t \right)$服从均值为0, 方差为$\sigma _n^2{{I}}$的高斯分布, 信号${{s}}(t)$服从均值为0, 方差为$\sigma _s^2{{I}}$的高斯分布, 则双基地EMVS-MIMO雷达在T个快拍接收数据的协方差矩阵可以被表示为

${{R}} \!=\! \frac{{{{Y}}{{{Y}}^{\rm{H}}}}}{T} \!=\! \sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _{{s_k}}^2} \left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _n^2{{I}}.$

因此, Fisher信息矩阵${{J}}$关于$\left( {{{{\theta }}_{\rm{t}}}, {\phi _{\rm{t}}}, {{{\gamma }}_{\rm{t}}}, {{{\eta }}_{\rm{t}}}, L, R} \right)$和$\left( {{{{\theta }}_{\rm{r}}}, {\phi _{\rm{r}}}, {{{\gamma }}_{\rm{r}}}, {{{\eta }}_{\rm{r}}}, L, R} \right)$的详细形式可以进一步被表示为^[21]

$\begin{split}&{{{J}}_{{{hk}}}}\left( {i,j} \right) = T{\rm{tr}}\left\{ {{{{R}}^{ - 1}}\frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {{{h}}_i}}}{{{R}}^{ - 1}}\frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {{{h}}_j}}}} \right\},\\&\left( {{{h}},{{k}} = {{{\theta }}_{\rm{t}}},{\phi _{\rm{t}}},{{{\gamma }}_{\rm{t}}},{{{\eta }}_{\rm{t}}},{{{\theta }}_{\rm{r}}},{\phi _{\rm{r}}},{{{\gamma }}_{\rm{r}}},{{{\eta }}_{\rm{r}}},L,R} \right).\end{split}$

在附录A中, 详细给出了Fisher信息矩阵${{J}}$中各个元素的推导过程. 由于得到的Fisher矩阵${{J}}$满足Hermitian特性, 因此, 只需要知道上对角线的元素值即可获得整个矩阵的值. 最终, 对于获得的${{J}}$, 对应于发射参数$\left( {{{{\theta }}_{\rm{t}}}, {\phi _{\rm{t}}}, {{{\gamma }}_{\rm{t}}}, {{{\eta }}_{\rm{t}}}, L, R} \right)$和接收参数$\left( {{{{\theta }}_{\rm{r}}}, {\phi _{\rm{r}}}, {{{\gamma }}_{\rm{r}}}, {{{\eta }}_{\rm{r}}}, L, R} \right)$的CRB可以被表示

$\left\{ \begin{aligned} &{\rm CRB}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{k,k}}, \\& {\rm CRB}\left( {{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{K + k,K + k}}, \\& {\rm CRB}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{2K + k,2K + k}}, \\ &{\rm CRB}\left( {{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{3K + k,3K + k}}, \\& {\rm CRB}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{4K + k,4K + k}}, \\& {\rm CRB}\left( {{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{5K + k,5K + k}}, \\ &{\rm CRB}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{6K + k,6K + k}}, \\ &{\rm CRB}\left( {{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) = {\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]_{7K + k,7K + k}}, \\ &{\rm CRB}\left( L \right) = {\rm{mean}}\left( {{\rm{sum}}{{\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]}_{8K:9K,8K:9K}}} \right), \\ &{\rm CRB}\left( R \right) = {\rm{mean}}\left( {{\rm{sum}}{{\left[ {{{{J}}^{ - 1}}} \right]}_{9K:10K,9K:10K}}} \right).\end{aligned} \right.$

故, 经过以上的推导过程可以获得CRB的闭式解.

下面通过一系列的仿真实验来验证所提算法对于发射四维参数和接收四维参数的参数估计性能. 如图2所示, 发射EMVS阵列和接收EMVS阵列均是由长电偶极子和大磁圆环组成, 其中发射阵列个数和接收阵列个数分别被设置为$M = 6$和$N = 8$. 并且, 发射EMVS阵列和接收EMVS阵列的阵元间距均为半波长.
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4.1.算法的角度参数自动配对特性

首先, 通过星座图来验证所提盲估计算法的角度参数自动配对的有效性. 在仿真中, 长电偶极子的长度设置为${L}/{\lambda } = 0.5$, 大磁圆环的周长设置为$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) = 1$. 假设入射目标的个数$K = 4$, 并且各个信号之间相互独立, 相应的发射俯仰角、发射方位角、发射极化角、发射极化相位差和接收俯仰角、接收方位角、接收极化角、接收极化相位差如表1所列. 仿真中噪声设置为相互独立的零均值加性高斯白噪声, 并且信号和噪声之间相互独立. 快拍数T设置为200, 信噪比设置为$20\;{\rm{dB}}$. 利用100次蒙特卡罗仿真实验结果来绘制如图4所示的星座图.

目 标	方位角 $\left( {{\theta _{\rm{t}}}, {\theta _{\rm{r}}}} \right)$	俯仰角 $\left( {{\phi _{\rm{t}}}, {\phi _{\rm{r}}}} \right)$	极化角 $\left( {{\gamma _{\rm{t}}}, {\gamma _{\rm{r}}}} \right)$	极化相位差 $\left( {{\eta _{\rm{t}}}, {\eta _{\rm{r}}}} \right)$
1	${{{{40}^ \circ }}/{{{24}^ \circ }}}$	${{{{15}^ \circ }}/{{{21}^ \circ }}}$	${{{{10}^ \circ }}/{{{42}^ \circ }}}$	${{{{36}^ \circ }}/{{{17}^ \circ }}}$
2	${{{{20}^ \circ }}/{{{38}^ \circ }}}$	${{{{25}^ \circ }}/{{{32}^ \circ }}}$	${{{{22}^ \circ }}/{{{33}^ \circ }}}$	${{{{48}^ \circ }}/{{{27}^ \circ }}}$
3	${{{{30}^ \circ }}/{{{16}^ \circ }}}$	${{{{35}^ \circ }}/{{{55}^ \circ }}}$	${{{{45}^ \circ }}/{{{60}^ \circ }}}$	${{{{56}^ \circ }}/{{{39}^ \circ }}}$
4	${{{{50}^ \circ }}/{{{60}^ \circ }}}$	${{{5^ \circ }}/{{{10}^ \circ }}}$	${{{{30}^ \circ }}/{{{20}^ \circ }}}$	${{{{10}^ \circ }}/{{{50}^ \circ }}}$

表1目标回波参数表
Table1.Parameters of target signals.

图 4 新型双基地EMVS-MIMO雷达角度参数和极化参数估计星座图　(a) 发射俯仰角和接收俯仰角; (b) 发射方位角和接收方位角; (c) 发射俯仰角和发射方位角; (d) 发射极化角和极化相位差; (e) 接收俯仰角和接收方位角; (f) 接收极化角和极化相位差
Figure4. Scatter plot of the angle parameters and polarization parameters by using the new designed bistatic EMVS-MIMO radar: (a) Scatter plot of the transmit elevation angle and receive elevation angle ; (b) scatter plot of the transmit azimuth angle and receive azimuth angle; (c) scatter plot of the transmit elevation angle and azimuth angle ; (d) scatter plot of the transmit polarization angle and polarization phase difference; (e) scatter plot of the receive elevation angle and azimuth angle ; (f) scatter plot of the receive polarization angle and polarization phase difference.

从图4(a)和图4(b)中可以看出, 提出的平行因子算法能够实现2D-DOD和2D-DOA的自动参数配对. 同时从图4(c)—图4(f)中可以看出, 通过对利用平行因子算法得到的发射加载矩阵和接收加载矩阵进行盲估计算法应用能够有效地实现发射方位角、发射极化角、发射极化相位差、接收方位角、接收极化角和接收极化相位差的角度参数配对. 并且, 在进行四维发射参数和四维接收参数求解时所提出的盲估计算法不需要大电偶极子长度和圆环周长的先验信息.
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4.2.长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS阵列随信噪比的变化

在第二个仿真实验中, 验证长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS阵列的角度和极化参数估计性能随信噪比的变化. 均方误差的定义为${\rm RMSE} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{{KI}}\sum\limits_{i = 1}^I {{{\left\| {\tilde \vartheta - \vartheta } \right\|}^2}} }$, 其中$\tilde \vartheta $表示估计得到的角度或极化参数, $\vartheta $表示真实的角度或极化参数, I表示蒙特卡罗仿真实验次数. 在这个仿真中, 信噪比的变化范围是$ - 10$—$30\;{\rm{dB}}$, 变化的步长为$5\;{\rm{dB}}$, 在每个信噪比条件下蒙特卡罗仿真实验次数为200. 同时, 也给出了相应的检测成功概率曲线. 其中检测成功概率定义为每个入射信源的估计角度和极化角度与真实的角度和极化角度的差值小于${1^ \circ }$. 入射信源的个数K 此时设置为3, 相应的发射四维参数和接收四维参数和第一个实验中前三个入射信源相同. 长电偶极子的长度设置为${L}/{\lambda } = 0.5$, 大磁圆环的周长设置为$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) = 1$. 其中的下标d表示角度参数, 下标p表示极化参数. 图中${s_{{\rm{1 d}}}}$, ${s_{{\rm{2 d}}}}$, ${s_{{\rm{3 d}}}}$和${{\rm CRB}_{\rm{d}}}s1$, ${{\rm CRB}_{\rm{d}}}s2$, ${{\rm CRB}_{\rm{d}}}s3$ 分别对应于第一个信源、第二个信源和第三个信源的角度参数以及相应的克拉美罗界. 同样地, 图中${s_{1{\rm{p}}}}$, ${s_{2{\rm{p}}}}$, ${s_{{\rm{3 p}}}}$, 和${{\rm CRB}_{\rm{p}}}s1$, ${{\rm CRB}_{\rm{p}}}s2$, ${{\rm CRB}_{\rm{p}}}s3$ 分别对应于第一个信源、第二个信源和第三个信源的极化参数以及相应的克拉美罗界. 从图5中可以看出, 每个信源的均方误差性能和检测成功概率随着信噪比的增加而提升. 通过仿真可以发现, 对于实际中用到的长电偶极子和大磁环组成的EMVS双基地MIMO雷达系统, 通过对电偶极子和磁环周长进行合理的设置, 其相应的角度参数估计精度能够维持在一个合理的区间. 总体上, 在信噪比大于$10\;{\rm{dB}}$ 之后, 所提出的盲估计算法具有较好的参数估计精度. 因此, 图5中的仿真实验结果为进一步利用长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS阵列提供了相应的指导.
图 5 新型阵列角度和极化参数估计性能随信噪比的变化　(a) 角度估计均方误差随信噪比的变化; (b) 角度检测概率随信噪比的变化; (c) 极化估计均方误差随信噪比的变化; (d) 极化检测概率随信噪比的变化
Figure5. The effect of the SNR for the proposed new bistatic EMVS-MIMO radar: (a) Curves of angle’s RMSE versus SNR; (b) curves of angle’s PSD versus SNR; (c) curves of polarization’s RMSE versus SNR; (d) curves of polarization’s PSD versus SNR.

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4.3.长电偶极子和大磁圆环组成的新型EMVS阵列随快拍数的变化

在第三个实验中考虑快拍数对长电偶极子和大磁圆环组成的双基地EMVS-MIMO雷达角度参数估计性能的影响. 这里, 入射信源的个数以及其相应的发射和接收四维参数和第二个实验相同. 长偶极子的长度和大圆环的周长仍然保持不变. 快拍数的变化范围为$100 - 1000$, 变化的步长为100. 信噪比设置为$10\;{\rm{dB}}$. 在每个快拍数条件下蒙特卡罗仿真实验次数为200. 从图6中的仿真结果可以看出, 随着快拍数的增加, 新型EMVS阵列的角度和极化参数估计性能在提升. 但是由于信噪比设置为$10\;{\rm{dB}}$, 三个信源最终的检测成功概率仍然不能接近于1. 这说明在该信噪比的条件下, 利用新型阵列结构估计得到的角度参数和极化参数和真实的角度参数和极化参数之间的差值仍然大于所设定的门限值. 因此, 为了获得更加良好的角度和极化参数性能, 在实际的角度参数估计中, 应该设置较高的信噪比门限, 从而提升新型阵列的空间目标获取能力.
图 6 新型阵列角度和极化参数估计性能随快拍数的变化　 (a) 角度估计均方误差随快拍数的变化; (b) 角度检测概率随快拍数的变化; (c) 极化估计均方误差随快拍数的变化; (d) 极化检测概率随快拍数的变化
Figure6. The effect of the snapshot for the proposed new bistatic EMVS-MIMO radar: (a) Curves of angle’s RMSE versus snapshot; (b) curves of angle’s PSD versus snapshot; (c) curves of polarization’s RMSE versus snapshot; (d) curves of polarization’s PSD versus snapshot.

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4.4.电偶极子的长度对估计精度的影响

在第四个仿真实验中验证电偶极子的长度变化对双基地EMVS-MIMO雷达中角度和极化参数估计性能的影响, 该仿真实验结果为设计合适长度的电偶极子提供相应的参考. 入射信源的个数及其发射四维参数和接收四维参数和第二个实验相同. 此时, 信噪比和快拍数分别被设置为200和$10\;{\rm{dB}}$. 大磁环的周长被设置为$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) = 1$. 电偶极子的长度的变换范围是0.1—0.8, 变化步长为0.1. 在每个大电偶极子背景下蒙特卡罗仿真实验次数被设置为200. 从图7中的仿真结果可以发现, 随着电偶极子长度的增加, 所设计的新型EMVS-MIMO雷达的角度参数和极化参数估计性能先是变好, 然后又变差. 这说明并不是电偶极子的长度越长越好, 越长的电偶极子可能会产生较大的角度和极化参数估计误差. 同时从检测成功概率曲线可以看出, 随着电偶极子长度的增加, 对于极化参数具有较低的估计性能. 该仿真实验说明在此信噪比和快拍数的背景下, 长电偶极子的长度变化对极化参数的估计能力较弱.
图 7 不同电偶极子的长度对角度和极化参数估计性能的影响　(a) 角度估计均方误差随电偶极子长度的变化; (b) 角度检测概率随电偶极子长度的变化; (c) 极化估计均方误差随电偶极子长度的变化; (d) 极化检测概率随电偶极子长度的变化
Figure7. The effect of the various ${L}/{\lambda }$ for the proposed new bistatic EMVS-MIMO radar: (a) Curves of angle’s RMSE versus various ${L}/{\lambda }$; (b) curves of angle’s PSD versus various ${L}/{\lambda }$; (c) curves of polarization’s RMSE versus various ${L}/{\lambda }$; (d) curves of polarization’s PSD versus various ${L}/{\lambda }$.

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4.5.磁偶极子的周长对估计精度的影响

最后, 通过仿真实验来验证磁偶极子的周长对新型阵列角度和极化参数估计性能的影响. 入射信源的个数及其发射四维参数和接收四维参数和第二个实验相同. 此时, 信噪比和快拍数分别被设置为200和$10\;{\rm{dB}}$. 长电偶极子的长度被设置为${L}/{\lambda } = 0.5$. 大磁环周长的变换范围是0.1—2.8, 变化步长为0.3. 在每个大磁环周长背景下蒙特卡罗仿真实验次数被设置为200. 从图8的仿真结果可以发现, 随着磁偶极子周长的增加, 所设计的新型EMVS-MIMO雷达的角度参数和极化参数估计性能并不能一直保持不变. 当磁环的周长$2{\text{π}}({R}/{\lambda }) > 1$时, 新型EMVS阵列的角度参数和极化参数估计性能随着磁环周长的增加而变差. 对应的检测成功概率也较差. 尤其是对于极化参数的估计性能, 其均方误差还是具有相对较大的值. 因此, 在对磁环周长进行设计时, 不能一味地追求辐射效率而忽视角度参数估计精度. 通过第四个和第五个实验, 在进行长电偶极长度和大磁环周长设计时, 即要兼顾辐射效率也要兼顾角度参数估计精度, 在二者之间寻求一个较好的平衡点.
图 8 不同磁偶极子周长对角度参数和极化参数估计性能的影响　(a) 角度估计均方误差随磁偶极子周长的变化; (b) 角度检测概率随磁偶极子周长的变化; (c) 极化估计均方误差随磁偶极子周长的变化; (d) 极化检测概率随磁偶极子周长的变化
Figure8. The effect of the various $2{\text{π}}({R}/{\lambda })$ for the proposed new bistatic EMVS-MIMO radar: (a) Curves of angle’s RMSE versus various $2{\text{π}}({R}/{\lambda })$; (b) curves of angle’s PSD versus various $2{\text{π}}({R}/{\lambda })$; (c) curves of polarization’s RMSE versus various $2{\text{π}}({R}/{\lambda })$; (d) curves of polarization’s PSD versus various $2{\text{π}}({R}/{\lambda })$.

为了解决实际中短电偶极子和小磁环在双基地MIMO雷达中辐射效率不足的问题, 本文利用长电偶极子和大圆磁环来设计新型的发射EMVS阵列和接收EMVS阵列来处理实际中双基地MIMO雷达的角度参数和极化参数估计问题. 在进行角度和极化参数求解的过程中, 通过采用平行因子算法来实现对阵列接收数据三维结构的利用和发射俯仰角和接收俯仰角的角度参数配对. 同时, 由于归一化坡印亭矢量估计器无法实现长电偶极子和大圆磁环组成的新型EMVS阵列中的角度和极化参数的提取, 新的盲估计算法被提出来实现对发射四维参数和接收四维参数进行有效估计. 所提出的盲估计算法能够实现发射方位角、发射极化角、发射极化相位差、接收方位角、接收极化角、接收极化相位差和发射俯仰角、接收俯仰角的自动参数配对. 通过理论分析和仿真实验可以发现, 在实际应用中并不是电偶极子的长度和磁环的周长越大越好, 在对电磁矢量传感器进行设计时, 既要考虑辐射效率也要考虑角度参数的估计精度. 因此, 本文针对长电偶极子和大磁圆环背景下的双基地MIMO雷达的研究能够为下一步的工程应用提供相应的参考.

为了实现Fisher信息矩阵${{J}}$中各个元素的求解, 下面首先详细分析协方差矩阵${{R}}$关于$\left( {{{{\theta }}_{\rm{t}}}, {\phi _{\rm{t}}}, {{{\gamma }}_{\rm{t}}}, {{{\eta }}_{\rm{t}}}, L, R} \right)$和$\left( {{{{\theta }}_{\rm{r}}}, {\phi _{\rm{r}}}, {{{\gamma }}_{\rm{r}}}, {{{\eta }}_{\rm{r}}}, L, R} \right)$偏导数的具体形式

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} = \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}},\tag{A1}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}} = \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}},\tag{A2}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}} = \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^H} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}},\tag{A3}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} = \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}},\tag{A4}$

$\small \begin{split} \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial L}} =\;& \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial L}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial L}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} +\sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial L}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial L}}} \right]^{\rm{H}}}, \end{split} \tag{A5}$

$\small \begin{split} \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial R}} =\;& \frac{{\sigma _{{s_k}}^2\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial R}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial R}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} +\sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial R}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial R}}} \right]^{\rm{H}}},\end{split} \tag{A6}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} = \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \right]^{\rm{H}}},\tag{A7}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}} = \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \right]^H},\tag{A8}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}} = \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \right]^H},\tag{A9}$

$\small \frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} = \sigma _{{s_k}}^2{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]^{\rm{H}}} + \sigma _{{s_k}}^2\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]{\left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \right]^H}.\tag{A10}$

近一步地, 为了实现CRB的闭合解, 下面给出$\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}$, $\dfrac{{\partial {{R}}}}{{\partial L}}$和$\dfrac{{\partial {{R}}}}{{\partial R}}$的详细形式

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} = {{{w}}_1} \otimes {{{c}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) + {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{w}}_2},\tag{A11}$

$\small \begin{split} {{{w}}_1} =\; & - \left[ {1,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\left( {M - 1} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \right] \left[ {{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}, \cdots ,{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right] {\left[ {0,1, \cdots ,M - 1} \right]^{\rm{T}}},\end{split} \tag{A12}$

$\small {{{w}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \\ { - \sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\ 0 \end{array}}\\ {\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\ {\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\ 0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{l}}_{e{t_k}}}}\\ {{{{l}}_{h{t_k}}}} \end{array}} \right] + {{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{22}}}\\ {{w_{32}}}\\ {{w_{42}}} \end{array}} \\ {{w_{52}}}\\ {{w_{62}}}\\ {{w_{72}}} \end{array}} \right],\tag{A13}$

$\small \begin{split} {w_{22}} =\; & - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\frac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \\&+ \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}}, \end{split} \tag{A14}$

$\small \begin{split} {w_{32}} =\; & - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} \\ &+\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split} \tag{A15}$

$\small \begin{split}{w_{42}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}} -\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}},\end{split}\tag{A16}$

$\small \begin{split}{w_{52}} =\; & {\rm{j}}2{\rm{\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right. -{ \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}} \\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right]{\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\& +{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split}\tag{A17}$

$\small \begin{split}{w_{62}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}} \\&times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right] {\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\ & +{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}},}\end{split}\tag{A18}$

$\small {w_{72}} = {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{J_1}\left( {{\rm{2\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)} \right]2{\rm{\pi }}R\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}},\tag{A19}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{u}}_1},\tag{A20}$

$\small {{{u}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\{\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\0\end{array}}\\{ - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\{ - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\0\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{l}}_{e{t_k}}}}\\{{{{l}}_{h{t_k}}}}\end{array}} \right] + {{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{22}}}\\{{u_{32}}}\\0\end{array}}\\{{u_{52}}}\\{{u_{62}}}\\0\end{array}} \right],\tag{A21}$

$\small \begin{split}{u_{22}} = \;& - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}} \\ & -\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split}\tag{A22}$

$\small\begin{split}{u_{32}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}} \\& -\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split}\tag{A23}$

$\small\begin{split} {u_{52}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}} \\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right] {\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \\& \times - {\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split} \tag{A24}$

$\small \begin{split} {u_{62}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}} \\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} \right] {\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \\& + {\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split} \tag{A25}$

$\small\frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{v}}_1},\tag{A26}$

$\small {{{v}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\ {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}}\\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \end{array}}\\ {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{l}}_{e{t_k}}}} \\ {{{{l}}_{h{t_k}}}} \end{array}} \right],\tag{A27}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{h}}_1},\tag{A28}$

$\small {{{h}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\ {\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\ { - \sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \end{array}}\\ { - \sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}}\\ {\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{t}}_k}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}}{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}}}} \\ 0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{l}}_{e{t_k}}}}\\ {{{{l}}_{h{t_k}}}} \end{array}} \right],\tag{A29}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial R}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{m}}_1},\tag{A30}$

$\small {{{m}}_1} = {{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \\ {{m_{52}}} \\ {{m_{62}}} \\ {{m_{72}}} \end{array}} \right],\tag{A31}$

$\small \begin{split} {m_{52}} =\; & {\rm{j2\pi }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right) + {{\rm{j}}}4{{\rm{\pi }}^2}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} {J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right) \\& \times{ - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right),} \\[-15pt] \end{split} \tag{A32}$

$\small \begin{split} {m_{62}} =\; & {\rm{j2\pi }}{{\rm{J}}_1}\left( {{\rm{2\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right) +{\rm{j4}}{{\rm{\pi }}^2}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} {J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right) \\&{ - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} } \right)} , \\[-16pt]\end{split}\tag{A33} $

$\small {m_{72}} = {\rm{j2\pi }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) + {\rm{j4}}{{\rm{\pi }}^{\rm{2}}}R\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)} \right], \tag{A34}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{t}}}}}{{\partial L}} = {{{q}}_{{{\rm{t}}_k}}} \otimes {{{n}}_1},\tag{A35}$

$\small {{{n}}_1} = {{{F}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{t}}_k}}},{\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{t}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{t}}_k}}},{\eta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{22}}} \\ {{n_{32}}} \\ {{n_{42}}} \end{array}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right],\tag{A36}$

$\small \begin{split} {n_{22}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}}\left[ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right. \\& - \left. {\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\left( {\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right],\end{split} \tag{A37}$

$\small \begin{split} {n_{32}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{t}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)}}\left[ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right. \\& -\left. {\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right],\end{split} \tag{A38}$

$\small {n_{42}} = \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}\left[ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} - {\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{t}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right],\tag{A39}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} = {{{w}}_{{\rm{r}}1}} \otimes {{{c}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}},{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) + {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{w}}_{{\rm{r}}2}},\tag{A40}$

$\small {{{w}}_{{\rm{r}}1}} = - \left[ {1,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}\left( {N - 1} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \right] \cdot \left[ {{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}, \cdots ,{\rm{j\pi }}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right] \cdot {\left[ {0,1, \cdots ,N - 1} \right]^{\rm{T}}},\tag{A41}$

$\small {{{w}}_{{\rm{r}}2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\{ - \sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\0\end{array}}\\{\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\0\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{l}}_{e{r_k}}}}\\{{{{l}}_{h{r_k}}}}\end{array}} \right] + {{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{w_{22}}}\\{{w_{{\rm{r}}32}}}\\{{w_{{\rm{r}}42}}}\end{array}}\\{{w_{{\rm{r}}52}}}\\{{w_{{\rm{r}}62}}}\\{{w_{{\rm{r}}72}}}\end{array}} \right],\tag{A42}$

$\small \begin{split}{w_{{\rm{r}}22}} =\; & - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} \\ &+\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split}\tag{A43}$

$\small \begin{split} {w_{{\rm{r}}32}} =\; & - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \\&\dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}}, \end{split} \tag{A44}$

$\small {w_{{\rm{r}}42}} = \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\left( {\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}},\tag{A45}$

$\small \begin{split}{w_{{\rm{r}}52}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} }}} \\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right]{\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \\& +{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split}\tag{A46}$

$\begin{split}{w_{{\rm{r}}62}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} }}} \\& \times\left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right]{\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \\& +{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split}\tag{A47}$

$\small {w_{{\rm{r}}72}} = {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right]2{\rm{\pi }}R\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}},\tag{A48}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{u}}_{{\rm{r}}1}},\tag{A49}$

$\small {{{u}}_{{\rm{r}}1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\0\end{array}}\\{ - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{ - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\0\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{l}}_{e{r_k}}}}\\{{{{l}}_{h{r_k}}}}\end{array}} \right] + {{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{{\rm{r}}22}}}\\{{u_{{\rm{r}}32}}}\\0\end{array}}\\{{u_{{\rm{r}}52}}}\\{{u_{{\rm{r}}62}}}\\0\end{array}} \right],\tag{A50}$

$\small \begin{split}{u_{{\rm{r}}22}} =\; & - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}} \\& - \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split}\tag{A51}$

$\small \begin{split}{u_{{\rm{r}}32}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}} \\ &- \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}\dfrac{{\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]2\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^2}}},\end{split}\tag{A52}$

$\small \begin{split}{u_{{\rm{r}}52}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right. { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}} }}}\\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right] {\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^{2{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}} \\& -{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split}\tag{A53}$

$\small \begin{split}{u_{{\rm{r}}62}} =\; & {\rm{j2\pi }}R\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right.{ - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} }}}\\& \times \left. {{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}^2 + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)} \right] {\dfrac{{\left( { - 2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }} \right)\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\& +{\dfrac{{{\rm{j2\pi }}R{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{{{\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}},\end{split}\tag{A54}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{v}}_{{\rm{r}}1}},\tag{A55}$

$\small {{{v}}_{{\rm{r}}1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} - \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{ - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\end{array}}\\{\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} + \cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\\{ - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}}\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{l}}_{e{r_k}}}}\\{{{{l}}_{h{r_k}}}}\end{array}} \right],\tag{A56}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial {\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{h}}_{{\rm{r}}1}},\tag{A57}$

$\small {{{h}}_{{\rm{r}}1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\{\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\{ - \sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\end{array}}\\{ - \sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\{\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\gamma _{{{\rm{r}}_k}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}}}}\\0\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{l}}_{e{r_k}}}}\\{{{{l}}_{h{r_k}}}}\end{array}} \right],\tag{A58}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial R}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{m}}_{{\rm{r}}1}},\tag{A59}$

$\small {{{m}}_{{\rm{r}}1}} = {{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\end{array}}\\{{m_{{\rm{r}}52}}}\\{{m_{{\rm{r}}62}}}\\{{m_{{\rm{r}}72}}}\end{array}} \right],\tag{A60}$

$\small \begin{split}{m_{{\rm{r}}52}} =\; & {\rm{j2\pi }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right) +{\rm{j4}}{{\rm{\pi }}^2}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} {J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right) \\& { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right)},\end{split}\tag{A61}$

$\small \begin{split}{m_{{\rm{r}}62}} =\; & {\rm{j2\pi }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right) +{\rm{j4}}{{\rm{\pi }}^2}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} {J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right) \\& { - \dfrac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\dfrac{R}{\lambda }\sqrt {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} } \right),}\\[-16pt]\end{split}\tag{A62}$

$\small \begin{split}{m_{{\rm{r}}72}} = \; &{\rm{j2\pi }}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) +{\rm{j4}}{{\rm{\pi }}^2}R\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\left[ {{J_0}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \frac{\lambda }{{2{\rm{\pi }}R\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{J_1}\left( {2{\rm{\pi }}\frac{R}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right],\end{split}\tag{A63}$

$\small \frac{{\partial {{{a}}_{\rm{r}}}}}{{\partial L}} = {{{q}}_{{{\rm{r}}_k}}} \otimes {{{n}}_{{\rm{r}}1}},\tag{A64}$

$\small {{{n}}_{{\rm{r}}1}} = {{{F}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\theta _{{{\rm{r}}_k}}},{\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right){{{g}}_{{{\rm{r}}_k}}}\left( {{\gamma _{{{\rm{r}}_k}}},{\eta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{n_{{\rm{r}}22}}}\\{{n_{{\rm{r}}32}}}\\{{n_{{\rm{r}}42}}}\end{array}}\\0\\0\\0\end{array}} \right],\tag{A65}$

$\small \begin{split}{n_{{\rm{r}}22}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\sin }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}}\left[ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\left( {\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right. \\&\left. -{\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\left( {\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\cos {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right],\end{split}\tag{A66}$

$\small \begin{split}{n_{{\rm{r}}32}} =\; & \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\left( {{{\sin }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}{{\cos }^2}{\phi _{{{\rm{r}}_k}}} + {{\cos }^2}{\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)}}\left\{ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\left( {\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)} \right)\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right. \\& -\left. {\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}\sin {\phi _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {\pi \dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right\},\end{split}\tag{A67}$

$\small {n_{{\rm{r}}42}} = \dfrac{\lambda }{{{\rm{\pi }}\sin {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}\left\{ {\dfrac{{ - {\rm{\pi }}\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right)\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}}}{{\sin \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}}- {\dfrac{{{\rm{\pi }}\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)\left[ {\cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }\cos {\theta _{{{\rm{r}}_k}}}} \right) - \cos \left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)} \right]}}{{{{\sin }^2}\left( {{\rm{\pi }}\dfrac{L}{\lambda }} \right)}}} \right\}. \tag{A68}$

根据以上公式，${{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}\left( {i, j} \right)$可以被表示为

$\small \begin{split} {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}\left( {i,j} \right) =\; & T{\rm{tr}}\left\{ {{{{R}}^{ - 1}}\frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\theta _i}}}{{{R}}^{ - 1}}\frac{{\partial {{R}}}}{{\partial {\theta _j}}}} \right\} \\ =\; & T{\rm{tr}}\left\{ {{{{R}}^{ - 1}}\left( {\sigma _{{s_i}}^2{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}} + \sigma _{{s_i}}^2{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}} \right){{{R}}^{ - 1}}\left( {\sigma _{{s_j}}^2{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}} + \sigma _{{s_j}}^2{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}} \right)} \right\} \\ =\; & T\sigma _{{s_i}}^2\sigma _{{s_j}}^2{\rm{tr}}\left\{ {{{{R}}^{ - 1}}\left( {{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}} + {{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}} \right){{{R}}^{ - 1}}\left( {{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}} + {{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}} \right)} \right\}\\ =\; &T\sigma _{{s_i}}^2\sigma _{{s_j}}^2{\rm{tr}}\left\{ {{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}} + {{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}} \right. \\ &+ \left. {{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}} + {{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}} \right\}\\ =\; &T\sigma _{{s_i}}^2\sigma _{{s_j}}^2\left\{ {{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}} + {\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}} \right. \\ &+ \left. {{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}} + {\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}} \right\} \\ =\; & 2T\sigma _{{s_i}}^2\sigma _{{s_j}}^2\Re \left\{ {{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}} + {\tilde{ b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ b}}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}}{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_i}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{b}}_{{\theta _{{{\rm{t}}_j}}}}}} \right\}.\end{split}\tag{A69} $

以上公式的推导利用了矩阵的迹的特性: ${\rm{tr}}\left( {{{x}}{{{y}}^{\rm{H}}}} \right) = {{{y}}^{\rm{H}}}{{x}}$. 其中, ${{{b}}_{{\theta _{\rm{t}}}}} = \left[ {{{{a}}_{\rm{t}}} \otimes {{{a}}_{\rm{r}}}} \right]$, ${{\tilde{ b}}_{{\theta _{\rm{t}}}}} = \dfrac{{\partial {{{b}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}}}{{\partial {\theta _{\rm{t}}}}}$, 则${{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}}$可以进一步被表示为

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A70}$

其中, ${{g}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sigma _{{s_1}}^2}&{\sigma _{{s_2}}^2}& \cdots &{\sigma _{{s_K}}^2}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}$表示信号功率的集合. 根据相同的推导过程, 可以得到

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A71}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A72}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A73}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A74}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A75}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A76}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A77}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}L}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A78}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{t}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A79}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{\phi _{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A80}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A81}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A82}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{\rm{\theta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A83}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A84}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A85}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A86}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}L}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^H{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A87}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{\phi _{\rm{t}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A88}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A89}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A90}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A91}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A92}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A93}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A94}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}L}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A95}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A96}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{t}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A97}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A98}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A99}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{t}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A100}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A101}$

$\small \begin{array}{l}{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}L}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array} + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{array}\tag{A102}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^T} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{t}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A103}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\theta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A104}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A105}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A106}$

$\small {{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A107}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}L}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A108}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\theta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A109}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{\phi _{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\phi _{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A110}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A111}$

$\small {{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A112}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}L}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A113}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{\phi _{\rm{r}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\phi _{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A114}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A115}$

$\small {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A116}$

$\small \begin{split} {{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}L}} = \; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right. \\ & + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^H}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split} \tag{A117}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\gamma }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A118}$

$\small {{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}{{{\eta }}_{\rm{r}}}}} = 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\tag{A119}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}L}} = \; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A120}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}R}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left. {\left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{{{\eta }}_{\rm{r}}}}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right\},\end{split}\tag{A121}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{LL}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\&+ \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}}\\& + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right)^{\rm{T}}}\\& + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}},\end{split}\tag{A122}$

$\small \begin{split}{{{J}}_{RR}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right.\\& + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}}\\& + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)^{\rm{T}}}\\& + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}},\end{split}\tag{A123}$

$\small \begin{split} {{{J}}_{LR}} =\; & 2T{{g}}{{{g}}^{\rm{T}}} \oplus \Re \left\{ {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {{\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)}^{\rm{T}}}} \right. \\& + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}}\\& + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}}} \right)^{\rm{T}}} \\ & + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{t}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}} + \left( {{\tilde{ B}}_{{\theta _{\rm{r}}}R}^{\rm{H}}{{{R}}^{ - 1}}{{{\tilde{ B}}}_{{\theta _{\rm{r}}}L}}} \right) \oplus {\left( {{{{B}}^{\rm{H}}}{{{R}}^{ - 1}}{{B}}} \right)^{\rm{T}}}. \end{split} \tag{A124}$

经过以上的详细推导过程即可实现Fisher信息矩阵${{J}}$中各个元素的求解.