摘要:Kelvin-Helmholtz不稳定性(KHI)是流体和等离子体的基本物理过程, 广泛存在于自然、天体物理以及高能量密度物理现象中. 本文提出一种新的实验方案产生磁化KHI. 利用开源的FLASH 模拟程序对激光驱动调制靶产生的KHI进行了二维的数值模拟, 考察和比较了KHI涡旋在毕尔曼自生磁场、外加磁场和无磁场情况下的演化. 模拟结果表明自生磁场在KHI演化过程中基本不会改变KHI 涡旋的形貌, 而平行于流体方向的外加磁场对剪切流有致稳作用, 主要稳定长波扰动. 该研究结果可为在高能量密度激光装置中开展强磁环境下KHI 实验提供理论指导.
关键词: 磁场/
Kelvin-Helmholtz不稳定性/
高能量密度/
激光

English Abstract

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Kelvin-Helmholtz不稳定性(KHI)最初由开尔文和亥姆霍兹在19世纪各自独立发现. KHI是流体和等离子体中的一个基本物理过程. KHI发生在两个密度、速度不同的平行流体之间的界面上, 当流体界面两侧的流体速度不同时, 存在切向不连续性, 界面附近的微小扰动将引起KHI^[1,2]. KHI广泛存在于自然现象中, 例如水面波、卷状云等. 在天体物理现象中, 双中子星并合过程中产生的KHI可以实现磁场放大, 接近宇宙最强磁场(10¹¹ T)^[3,4]、在星系演化^[5]、吸积盘^[6]、太阳大气中的日冕加热^[7]以及彗星尾的动力学结构^[8]中, KHI也发挥着重要作用. 此外, 一直以来由于KHI存在于惯性约束聚变等高能量密度物理现象中, 与Rayleigh-Taylor不稳定性、Richtmyer-Meshkov不稳定性等一起严重影响内爆过程, 造成不同物质的混合和推进层破裂^[9-13]. 在理论方面, Chandrasekhar^[14]对KHI进行了开创性的研究. 王立锋等^[15,16]通过数值模拟先后研究了考虑热传导效应时的烧蚀KHI中大尺度结构的形成原因以及二维可压缩流体中的KHI, 分析了可压缩性对KHI线性增长率的影响. Mak等^[17]和Liu等^[18]通过理论模拟先后研究了理想磁流体中磁场对不可压缩KHI演化的影响. 尽管已经有许多关于磁场对KHI影响的研究, 但在高能量密度物理过程中对磁化KHI的实验研究甚少.
近年来高功率激光器技术的发展为研究高能量密度下磁流体不稳定性提供了一个平台. Harding等^[19]利用OMEGA激光装置进行了一系列的KHI实验, 利用X射线背光获得了高能量密度等离子体中KHI涡旋的图像. Wan等^[20,21]在OMEGA-EP激光装置中观察到了超音速的单模KHI演化和双模KHI涡旋并合过程. 然而他们的研究并没有考虑磁场的影响. 我们此前利用神光-II (SG-II)激光装置开展了外加磁场对KHI演化的影响的实验研究, 利用光学诊断获得了外加磁场下KHI涡旋在4—6 ns的线性演化过程, 但没有给出对应的模拟结果^[22].
本文提出一种新的实验方案用于产生磁化KHI. 利用开源的FLASH模拟程序对激光驱动调制靶产生的KHI进行了二维数值模拟. 与Wan等^[20]不同, 本文考察和比较了KHI涡旋在毕尔曼自生磁场、外加磁场和无磁场情况下的演化情况, 可以清晰地获得磁场的作用效果和机理. 研究结果可为下一步在高能量密度激光装置中开展强磁环境下KHI实验提供理论指导. 本文第2部分主要描述实验方案和理论模拟模型, 第3部分介绍模拟结果, 第4部分是结论.

本文提出一种新的实验方案, 参照国内星光-III激光装置, 使用一束长脉冲纳秒激光束驱动实验, 激光能量为150 J, 脉宽$ \tau $为1 ns, 波长$ \lambda_{\rm L} $为351 nm, 激光焦斑直径为200 μm, 产生的激光强度度约为$ 4.8 \times 10^{14} \; {\rm{W}} \cdot {\rm{cm}}^{-2} $. 图1显示了调制靶和每一层的特性, 其中整个靶由上下两部分组成, 上方为较低密度的CH调制层 (长 × 宽: $ 3000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} \times 1000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} $), 下方为较高密度的Al调制层(长 × 宽: $ 3000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} \times 1000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} $), 其中在中间界面处加入单模初始扰动. 激光束从CH调制层(入射位置: (0, 500 μm)) 一侧注入并在靶后产生CH等离子体流. 在CH调制层内部, CH等离子体流传输的过程中会不断扩散以及离化Al调制层. 这使得Al调制层产生具有横向速度的Al等离子体流, 并与CH等离子体流相互作用产生速度剪切层($ \Delta {{u}} $), 受到这两种调制层中间界面处初始扰动的影响, 在Al调制层附近逐渐形成KHI.
图 1 利用激光驱动调制靶产生KHI的实验方案(虚线框是模拟区域)
Figure1. Experimental scheme for KHI using the laser-driven modulation targets. The dashed line box is the simulation domain.

使用的FLASH模拟程序是由芝加哥大学开发的开源程序^[23], 至今已有超过20年的历史. FLASH模拟程序最初设计的研究对象是天体, 目前此程序引入了完备的高能量密度物理建模模块, 特别适合模拟强激光烧蚀实验. 靶的状态方程(EOS)和不透明度表基于IONMIX4数据库^[24]. FLASH模拟程序采用非分裂算子磁流体解法器(USM), 可以很好地耦合Hall效应、毕尔曼自生磁场、黏性和热传导等非理想项. 为便于研究, 本文选择二维平面作为分析对象, 图1中的虚线框为模拟平面, 即x-y平面, 模拟范围设置为: $ 3000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} \times 2000 \; {\text{μ}} {\rm{m}} $, 最高分辨率为$ 5 \; {\text{μ}} {\rm{m}} \times 5 \; {\text{μ}} {\rm{m}} $. 在忽略Hall效应、热传导和黏性前提下, 考察和比较了毕尔曼自生磁场、外加磁场和无磁场的情况. 对于二维不可压缩的磁流体, 其控制方程如下所示:

$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+{\bf{\nabla}} \cdot(\rho {{u}}) = 0, $

$ \rho\left[\frac{\partial {{u}}}{\partial t}+({{u}} \cdot {\bf{\nabla}}) {{u}}\right] = -{\bf{\nabla}} p+{{j}} \times {{B}}, $

$ \begin{split}&\frac{\partial \rho E}{\partial t}+{\bf{\nabla}} \cdot\left[{{u}}\left(\rho E+p_{*}\right)-{{B}}({{u}} \cdot {{B}})\right] \\=\;& \rho {{g}} \cdot {{u}}+{\bf{\nabla}} \cdot \sigma \nabla T+{\bf{\nabla}} \cdot[{{B}} \times(\eta {\bf{\nabla}} \times {{B}})]. \end{split}$

(1)—(3)式分别是连续性方程、动量方程和能量方程, 这里$ \rho $是流体密度, u是流体速度, j是等离子体电流密度, $ p_{*} $是总压强, p是热压强, B是磁场强度, E是特征能量, g为重力加速度, $ \sigma $为电导率, $ \eta $为磁扩散系数, T是等离子体温度. 总压强$ p_{*} $, 特征能量E表示为

$ p_{*} = p+\frac{1}{2} {{{B}}^{\bf{2}}}, $

$ E = \frac{1}{2} {{{u}}^{\bf{2}}}+\epsilon+\frac{1}{2} \frac{{{{B}}^{\bf{2}}}}{\rho}, $

其中$ \epsilon $表示特征内能.
USM解法器使用广义欧姆定律求解磁场演化:

$ \frac{\partial {{B}}}{\partial t} = -{\bf{\nabla}} \times\left(-{{u}} \times {{B}}+\eta {\bf{\nabla}} \times {{B}}+\frac{{\bf{\nabla}} p_{\rm e}}{e n_{\rm e}}\right), $

包含感应项(induction)、电阻项(friction)和毕尔曼自生磁场项, 其中$ p_{\rm e} $为电子热压强, $ n_{\rm e} $为电子数密度.
对于不可压缩流满足如下关系:

$ {\bf{\nabla}} \cdot {{u}} = 0, $

安培定律表示为

$ {\bf{\nabla}} \times {{B}} = {{j}}, $

洛伦兹力表示为

$ {{j}} \times {{B}} = ({\bf{\nabla}} \times {{B}}) \times {{B}} = \frac{-{\bf{\nabla}} B^{2}}{2}+{{B}} \cdot {\bf{\nabla}} {{B}}. $

(9)式右侧第一项和第二项分别代表了磁场张力和磁压力梯度, 当等离子体挤压磁场时, 受到的约束作用主要来自这两项.
初始外加磁场作用于x方向, 满足:

$ {B} = {{B}}_{0} = 0.4\;{\rm{T}}. $

CH调制层和Al调制层中的单模初始扰动为正弦型, 满足$ y = 60 \sin (\pi x / 200) $. 扰动振幅A为60 μm, 扰动波长$ \lambda $为400 μm.
在有磁场情况下, 发生KHI的条件是^[14]:

$ \begin{split}& ({{k}} \cdot {{{u}}_{\bf{1}}}-{{k}} \cdot {{{u}}_{\bf{2}}})^{2} \\> \;& \dfrac{\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right) \left[({{k}} \cdot {{{B}}_{\bf{1}}})^{2}+({{k}} \cdot {{{B}}_{\bf{2}}})^{2}\right]}{\mu_{0} \rho_{1} \rho_{2}}, \end{split}$

其中, $ \rho_{1} $和$ \rho_{2} $为上下两层等离子体流的密度, ${{{u}}_{{1}}}$和${{{u}}_{{2}}}$对应上下两层等离子体流的速度, ${{{B}}_{{1}}}$和${{{B}}_{{2}}}$为上下两层流体中的磁场强度, 波数$ {{k}} = 2 \pi / \lambda{{{e}}_{{x}}} $. KHI的线性增长率可以表示为^[14]

$\begin{split}\gamma_{\rm {ic}} ={}& \dfrac1{\rho_{1}+\rho_{2}} \big\{\rho_{1} \rho_{2}\left({{k}} \cdot {{u}}_{1}-{{k}} \cdot {{u}}_{2}\right)^{2}-\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right) \\& \times \left[({{k}} \cdot {{{B}}_{{1}}})^{2}+({{k}} \cdot {{{B}}_{{2}}})^{2}\right] / \mu_{0}\big\}^{1/2}. \\[-8pt]\end{split}$

从(12)式可以看出, 磁场对KHI的影响取决于其方向, 在不考虑磁场情况下, KHI的线性增长率$ \gamma_{\rm {i c}} $可以简化为^[14]

$ \gamma_{\rm {ic}} = \frac{k\left(u_{1}-u_{2}\right)}{2} \frac{\sqrt{\rho_{1} \rho_{2}}}{\rho_{1}+\rho_{2}}. $

图2为不考虑任何磁场情况下, 20—80 ns期间KHI演化区域的密度分布图. 图2显示激光束注入之后, 在靶后形成的CH等离子体流可以充分地与Al调制层相互作用, 并给出了KHI的形成与演变过程. 这里将KHI演化分为3个阶段, 依次是流体相互作用过程、KHI涡旋线性生长过程、KHI涡旋破裂向湍流转化过程. 首先, 如图2(a)所示, 在20 ns时靶后CH等离子体流已经传输到1400 μm处, 平均运动速度为70 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, 等离子体声速$ v_{{\rm{s}}} = \sqrt{\varGamma P / \rho} $ (Γ为绝热指数, P为压强, $ \rho $为密度)约为65 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, 说明靶后CH等离子体流外边界处的弓形结构为冲击波. 此时扰动界面处的靶后CH等离子体流不断的离化Al调制层产生Al等离子体流, 使得流体间发生相互作用. 从图2(b)和图2(c)可以清晰地看到3个顺时针旋转的KHI涡旋从密度较高的Al调制层附近向密度较低的CH调制层生长, 这里得到了和Rutter等^[25]所做工作中相似的KHI涡旋形貌. 如图2(d)所示, 在80 ns时可以看到0—1500 μm区间内形成的KHI涡旋逐渐破裂消失向湍流转化, 此靶后CH等离子体流已经运动到2750 μm处, 平均运动速度为34.4 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, 这附近伴随着新的KHI涡旋的形成, 附近等离子体声速$ v_{{\rm{s}}} $ = 20 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $.
图 2 无磁场时不同时刻的电子密度分布图　(a) 20 ns; (b) 40 ns; (c) 60 ns; (d) 80 ns
Figure2. Snapshots of the electron density distribution at different times without magnetic field: (a) 20 ns; (b) 40 ns; (c) 60 ns; (d) 80 ns.

图3为仅考虑x方向外加0.4 T磁场情况下, 0—120 ns期间KHI演化区域的密度分布图. 从图3可知, 相比于无磁场情况, 靶后CH等离子体流明显受到了x方向外加磁场的箍缩作用, 更趋向于中间聚集, 以相对更准直的等离子体流向前传播. 此外靶后CH等离子体流在靶内的传输速度以及KHI涡旋的生长状态都明显被抑制. 如图3(b)所示, 在40 ns时靶后CH等离子体流才与Al调制层相互接触, 尚未发生明显的相互作用. 图3(c)在80 ns时刻对应的状态相当于无磁场情况下的第一演化阶段, 此时CH等离子体流速度约为12.5 km/s, 附近等离子体声速约11.2 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, 可以发现相比于无磁场情况, 此时的CH等离子体流速度明显变慢了, 主要是因为CH等离子体流和外加磁场充分相互作用, 其中的一部分动能转化为了外加磁场的磁能, 后面将详细分析外加磁场的变化情况. 从图3(d)可以看到一个明显的KHI涡旋正在生长, 处于第二演化阶段, KHI涡旋的高度远小于同阶段无磁场的情况, 说明x方向的外加磁场不仅可以有效约束靶后CH等离子体流还可以有效抑制KHI的演化.
图 3 x方向外加0.4 T磁场时不同时刻的电子密度分布图　(a)?0?ns;?(b)?40?ns;?(c) 80?ns;?(d)?120?ns
Figure3. Snapshots of the electron density distribution at different times with 0.4 T in x direction: (a) 0 ns; (b) 40 ns; (c) 80 ns; (d) 120 ns.

下面来探究毕尔曼自生磁场对KHI演化过程的影响. 在激光与固体靶相互作用中, 由于产生的等离子体的温度梯度和密度梯度方向不一致将产生毕尔曼自生磁场, 可表示为$\left(\displaystyle\frac{\nabla p_{\rm e}}{n_{\rm e} e}\right)\! =\! \displaystyle\frac{k_{\rm B} \nabla T_{\rm e} \times \nabla n_{\rm e}}{n_{\rm e} e}$, 其中$ k_{\rm B} $为玻尔兹曼常数. 此处使用二维模拟, 毕尔曼自生磁场仅有环向(垂直模拟平面方向)分量. 毕尔曼自生磁场产生之后只能随靶后CH等离子体流的传播而耗散, 但从图4可以了解到在整个KHI演化期间毕尔曼自生磁场一直存在, 通过磁通量守恒可以知道, 相比于靶前快速膨胀扩散的截面而言, 在靶后有限截面毕尔曼自生磁场耗散的时间很长. 为此做了对比模拟, 图4(a)为考虑毕尔曼自生磁场, 在120 ns时毕尔曼自生磁场强度的分布情况, 图4(b)为忽略毕尔曼自生磁场, 在120 ns时外加磁场在模拟平面的分布情况. 结果表明, 无论是否考虑毕尔曼自生磁场, 磁场强度和磁压最强位置均位于KHI涡旋处, 约300 MPa, 2.4 T. 而且靶后CH等离子体流都传输到1200 μm处, 平均运动速度均为10 $ {\rm{km}} / {\rm{s}} $. 这两种情况下KHI涡旋具有基本一致的形态. 此外在模拟中, CH等离子体出流边缘的数密度$ n_{\rm e} $量级为$ 10^{22}\ {\rm{cm}}^{-3} $, 并且由于CH等离子体出流是在靶后固体密度的CH靶中传输, 所耗时间在数十纳秒, 这时出流已经开始冷却, 温度在10 eV左右. 由于等离子体具有抗磁性且在出流区边缘磁场被压缩和放大, 所以外围电子受到磁场的影响较大, 被压缩后磁场大小量级为1 T. 出流边缘电子回旋时间$ \tau_{\rm {ei}} $与等离子体碰撞频率$ \omega_{\rm e} $之积为
图 4 (a) 考虑毕尔曼自生磁场, 在120 ns时毕尔曼自生磁场强度的分布情况; (b)忽略毕尔曼自生磁场, 在120 ns时外加磁场在模拟平面的分布情况
Figure4. (a) Considering the Biermann self-generated magnetic field, the distribution of the Bierman self-generated magnetic field strength at 120 ns; (b) ignoring the Bierman self-generated magnetic field, the distribution of the applied magnetic field in the simulated plane at 120 ns.

$\begin{split}&\omega_{\rm e} \cdot \tau_{\rm {e i}} = \displaystyle\frac{e B}{m_{\rm e}} \cdot \left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} \times \displaystyle\frac{3 m_{\rm e}^{2} T_{\rm e}^{{3}/{2}}}{4 \sqrt{2 \pi} n_{\rm i} z^{2} e^{4} \ln \varLambda} \\\approx\;& 6.052 \times 10^{22} B({\rm T}) \;\cdot\;[Z \cdot \ln \varLambda {{n}}_{\rm e}({\rm m}^{-3})]^{-1} T_{\rm e}^{{3}/{2}}(\rm {e V}) \\\approx\;& 5.5 \times 10^{-6} \ll 1,\end{split}$

其中T_e为电子温度, $ \ln \varLambda = 10 $为库仑对数, Z = 3.5 为原子序数. 根据Farmer等^[26]的结果, 有$ \omega_{{\rm{e}}} \cdot \tau_{\rm{ei}} \ll 1 $, 所以电子热传导的各向异性很小. 在垂直于磁场以及平行于磁场的情况下, CH等离子体出流整体的发展是各向同性的. 由于各向异性电阻率系数与各向异性的热传导相关, 在电子热传导基本各向同性的情况下, 可以基本忽略磁场对电阻率各向异性带来的影响.
为了更详细地分析外部磁场对KHI涡旋的抑制作用, 图5为0—120 ns不同时刻内磁场强度的分布情况. 图5中白色线段表示磁力线, 颜色分布表征在x-y平面内的磁场强度. 图5(a)为激光打靶前在x方向上外加磁场的初始状态即静态磁场分布. 外加磁场的初始值为0.4 T. 图5(b)—(d)分别对应40, 80和120 ns时的磁场分布. 图5(b)显示, 当靶后CH等离子体流到达Al调制层和外加磁场区域时同时参与两个过程, 一方面靶后CH等离子体流受到了x方向外加磁场施加的磁压力和磁张力影响向中心准直, 另一方面由于靶后CH等离子体流和Al调制层之间的挤压效应, 使得外加磁场发生变形并被放大至1 T左右. 随着靶后CH等离子体流与Al调制层不断的相互作用, 在调制层界面处生长出KHI涡旋的同时, KHI涡旋处的磁场也在不断地被挤压和放大, 其中的一部分等离子体流的动能转化为了外加磁场的磁能. 如图5(d)所示, KHI涡旋处的磁场剪切最为剧烈, 中心磁场强度约2.4 T, 在磁压力和磁张力共同影响下, KHI涡旋的生长受到抑制. 这里需要说明的是, 外加磁场需要穿透一个完全电离的超声速等离子体, 以确保磁场和等离子体流出之间的相互作用, 那么电子的拉莫尔半径需要远小于系统尺度^[27]. 可以用单流体电阻磁流体力学来分析电子参数. 经压缩放大后, 外加磁场为2.4 T, 如图5(d)所示, 电子拉莫尔半径为$ r_{\rm {L e}} \!=\! \left(2 K m_{\rm e} / e B\right)^{1 / 2} $ = $7.12 \times 10^{-6}\;{\rm{mm}}$ $(K \!=\! m_{\rm e} v^{2} / 2$, $ v = 3 \;{\rm{km}} / {\rm{s}} $为等离子体沿x方向的速度). 可以选择靶后CH等离子体流在120 ns时在靶后外加磁场区域前进距离作为系统尺度$ {{D}} = 1.2\;{\rm{mm}} $, 电子拉莫尔半径与系统尺寸的比值$ r_{\rm {L e}} / D $约为$ 5.93\times 10^{-6} $. 因此电子的拉莫尔半径比系统尺度小得多, 这说明电子被完全磁化, 磁场可以穿透等离子体. 图5(b)—(d)中未发展和形成KHI的扰动区域也显示出磁场发生了变化, 可以看到调制层的结构, 这是因为尽管这一区域没有明显的流体间的相互作用, 但是仍然有部分离化了的等离子体, 在这附近存在的等离子体密度差异、压强差异进而导致等离子体的运动, 从而改变初始的外加磁场结构.
图 5 x方向外加0.4 T磁场时不同时刻外加磁场的分布情况　(a)静态参考图像(0 ns); (b) 40 ns的磁场分布图像; (c) 80 ns的磁场分布图像; (d) 120 ns的磁场分布图像
Figure5. Snapshots of the magnetic field distribution at different delay times with 0.4 T in x direction: (a) Reference image (0 ns); (b) 40 ns. (c) 80 ns; (d) 120 ns

图6给出了在120 ns时磁压力和磁张力的分布情况. 图6(a)中的结构与图3(d)中的结构相似, 这表明, 外加磁场作用整个KHI演化区域. 对比图6(a)和图3(d)可以发现, 磁压力集中在整个扰动界面上, 最大值可以达到$10^{11}\; {\rm{dyn}} · {{\rm cm}^{-3}}$, 由于界面被卷起, 导致磁力线扭曲, 局部放大了磁场能量, 因此界面上的磁能梯度大, 使得磁压力变大, 以阻止扰动界面两侧流体间的相互作用. 在图6(b)中, 磁张力主要集中在弯曲的界面附近, 磁张力的作用是将弯曲磁力线拉直. 这些模拟结果表明, 在磁张力和磁压力的共同作用下, KHI的演化受到了抑制. 通过比较图6(a)和图6(b), 可以看出磁压力明显大于磁张力, 在对KHI的抑制过程中占主导地位.
图 6 (a) 120 ns时磁压力的分布情况; (b) 120 ns的磁张力的分布情况
Figure6. (a) Distribution of magnetic pressure at 120 ns; (b) distribution of magnetic tension at 120 ns.

图7给出了定量的外加磁场对KHI的抑制情况, 为便于简化分析, 在有无外加磁场两种情况下, 针对相同区间(0—1200 μm) KHI涡旋的平均高度进行了对比. 图7(a)中, 红线对应无磁场情况, 黑线对应x方向初始时刻外加0.4 T磁场, 这里比较了KHI涡旋高度随时间的变化. 从图7(a)可以看出, KHI涡旋高度的变化分别对应前面描述的三个演化阶段. 对于无磁场情况, 在0—15 ns内KHI涡旋高度没有变化, 15—20 ns内KHI涡旋高度明显降低, 这表明依次经过了激光驱动产生靶后CH等离子体流以及靶后CH等离子体流离化Al调制层并相互作用这两个过程, 严格地说此时尚未形成KHI. 如图7(a)所示, 在20—80 ns, KHI涡旋随时间逐渐增长对应KHI涡旋线性生长过程和KHI涡旋破裂向湍流转化过程. 对于外加磁场情况, 如图7(a)所示, KHI的演化相对滞后, 直至35 ns时靶后CH等离子体流才与Al调制层发生相互作用, 在50—120 ns内KHI涡旋随时间缓慢增长, 涡旋高度明显低于无磁场情况. 为了更深入地分析, 分别模拟了相同外加磁场(x方向外加0.4 T), 不同初始扰动波长情况下, KHI涡旋的生长情况. 图7(b)中黑线对应图7(a)中的有外加磁场情况(即黑线), 红线、蓝线和绿线分别对应初始扰动波长为600, 800和1000 μm. 结果表明KHI的演化遵从相似的演化规律, 但是随着扰动波长的增加, 磁场对KHI的抑制效果越来越明显, 说明外加磁场主要抑制长波扰动, 而短波可能需要更强的外加磁场来抑制.
图 7 (a) 有无外加磁场的情况下, KHI涡旋的生长情况; (b) x方向外加0.4 T磁场, 初始扰动波长不同时, KHI涡旋的生长情况
Figure7. (a) Growth of the KHI vortex with or without an external magnetic field; (b) the growth of the KHI vortex when a 0.4 T magnetic field is applied in the x direction and the initial disturbance wavelength is different.

在不考虑磁场情况下, 当调制层振幅h与初始扰动波长$ \lambda $ 相比较小(即$ {{h}} / {\rm{\lambda}} < 1 $)时, 假设不可压缩、忽略表面张力和黏度结合线性化流动方程可以获得KHI涡旋高度h(t)随时间演化呈近似指数型增长, 即$ h(t) = h_{0} {\rm e}^{\gamma_{\rm {ic}} t} $. 其中$ h_{0} $为$ t = 0 $时扰动界面的高度, $ \gamma_{\rm {ic}} $是KHI的线性增长率, 从图7(a)可以进一步验证这一点. 由(13)式可以估计出无磁场下的$ \gamma_{\rm {ic}} $, $ \rho_{1} $和$ \rho_{2} $对应靶后CH等离子体流和Al等离子体流的密度, $ {{u}}_{1} $和$ {{u}}_{2} $对应靶后CH等离子体流和Al等离子体流的速度, 波数$ k = 2 \pi / \lambda $ = $ 1.57 \times 10^{-2}\ {\text {μ}} {\rm{m}}^{-1} $. 对于线性演化阶段, 以图2(b)为例, 在t = 40 ns时刻, $ \rho_{1} $ = $ \rho_{2} $ = 4 $ {\rm{g}} / {\rm{cm}^3} $, $ \Delta {{u}} = {{u}}_{1}-{{u}}_{2} $$ \approx $$ 15\ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, 因此获得$ \gamma_{\rm {i c}}^{-1} \approx 1.7\ {\rm{ns}} $. 考虑x方向外加0.4 T磁场情况下, 此时靶后CH等离子体流与初始外加磁场平行, 以图3(d)为例, 在t = 120 ns时刻, 波数$ k = 2 \pi / \lambda $ = $ 1.57 \times 10^{-2}\ {\text {μ}} {\rm{m}}^{-1} $, $ \rho_{1} $ = $ \rho_{2} $ = 4 $ {\rm{g}} / {\rm{cm}^3} $, $ \Delta {{u}} = {{u}}_{1}-{{u}}_{2} $$ \approx $$ 5\ {\rm{km}} / {\rm{s}} $, $ B_{1} \approx 0 $, $ B_{2} \approx 2.4\ {\rm{T}} $, 将这些参数代入(12)式可以获得这时的$ \gamma_{\rm {i c}}^{-1} \approx 2.5\ {\rm{ns}} $. 我们发现尽管从理论上表明x方向外加磁场可以抑制KHI, 但是从实际激光驱动调制靶产生的KHI结果来看, 有无磁场两种情况下得到的KHI线性增长时间远远大于理论公式推导的结果, 这说明理论上的KHI线性增长率过于理想化, 还需考虑热传导、黏性等非理想化的磁流体动力学过程.
参照前面的分析, 在实际的实验过程中估计KHI不稳定性的演化情况时, 近似认为无论是否有外加磁场, KHI涡旋高度h随时间的变化均为指数型增长模式. 按照这一假设可以分析模拟结果得到对应有无磁场下的$ \gamma_{\rm {i c}}^{-1} $分别为316.1和66.3 ns. 其中在实验期间, 不同时刻的KHI涡旋高度h可以通过光学阴影、X射线背光成像等诊断获得.

本文利用开源的FLASH模拟程序对激光驱动调制靶产生的KHI进行了二维的数值模拟, 比较了KHI在考察毕尔曼自生磁场、x方向外加磁场和无磁场情况下的演化过程. 通过定性和定量两方面分析了外加磁场对KHI涡旋生长的影响. 模拟结果表明, 无论是否考虑毕尔曼自生磁场, KHI涡旋都具有一致的形态和相近的涡旋高度, 所以在整个KHI演化期间可以忽略毕尔曼自生磁场, 这也为后续的实验提供了理论支撑. 靶后CH等离子体流在与Al调制层相互作用产生KHI的过程中还伴随着与外加磁场之间的耦合作用, 初始平行于流体方向的外加磁场会被压缩和放大6倍左右(约2.4 T). 放大后的磁场对KHI的演化有致稳作用, 主要稳定长波扰动, 而短波扰动则需要更强的外加磁场来稳定, 研究结果可为下一步在高能量密度激光装置中开展强磁环境下KHI实验提供理论指导.
感谢北京大学物理学院、HEDPS应用物理与技术中心、核物理与技术国家重点实验室雷柱博士的讨论. 本研究工作得到北京师范大学超算中心以及国家超级计算广州中心(天河II)的支持.