摘要:基于约瑟夫森结的超导量子比特是一个宏观的人工原子, 通过微纳米加工的方法, 可以改变人工原子的基本参数. 三维Transmon量子比特是目前已知退相干时间较长的一种量子比特, 该量子比特通过电容的方式与三维超导谐振腔进行耦合, 是一个人造的原子与腔场耦合系统, 可对原子物理、量子力学、量子光学、腔量子电动力学的各种效应进行实验验证. 本文制备并实现了3D Transmon量子比特, 通过Jaynes-Cummings方法寻找到了区分基态、第一激发态和第二激发态的最佳读出功率, 对共振条件下和非共振条件下的奥特-汤恩斯分裂效应进行了测试表征, 得到的测试结果与理论结果相符.
关键词: 三维 Transmon/
Jaynes-Cummings读出法/
奥特-汤恩斯分裂效应

English Abstract

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基于约瑟夫森结的超导量子比特是一个宏观的人造原子^[1], 近年来一直作为量子信息的基本载体向着长退相干时间、低噪声、易加工、易拓展的方向不断发展^[2,3]. 由于超导量子计算具备加工容易、耦合可控、基态容易制备、拓展性强等优点, 被认为是最容易实现量子计算机的方式, 吸引了IBM^[4]、Google^[5]等国际公司投入力量进行研究. 超导量子比特由超导电路构成, 具有参数灵活可调的特点, 可与超导谐振腔相结合, 实现芯片级的腔量子电动力学(cQED)^[6,7], 也可作为一个灵活的实验验证平台, 可对量子力学、量子光学、原子物理领域里的实验进行验证^[8-10], 甚至部分自然原子不容易实现的实验, 也有可能在超导芯片上实现^[11]. 除此之外, 传统的光场与原子的耦合较弱, 而超导电路与微波场的耦合, 可通过电容、电感等参数进行调节, 可实现原子与微波场的超强耦合, 也会产生一些奇异的量子光学效应^[12-15]. 国内和国际上的研究小组基于三维 (3D) Transmon量子比特与超导谐振腔的耦合, 演示了诸多相关的量子操纵方面的实验^[16-18].
有部分研究小组对超导量子比特的奥特-汤恩斯分裂效应进行了研究, Baur等^[19]用色散读出法对Transmon进行了奥特-汤恩斯分裂效应研究, 相位量子比特的奥特-汤恩斯分裂效应通过隧穿原理进行读出^[20]; 磁通量子比特与共面波导谐振腔耦合的系统中也观测到了奥特-汤恩斯分裂效应^[21]; Novikov等^[22]于2013年在3D Transmon量子比特中也观测到了奥特-汤恩斯分裂效应. 本文通过双角度蒸发的方法制备了Transmon量子比特^[23], 并与铝基三维超导谐振腔^[24]进行耦合, 构成了3D Transmon量子比特^[25]. 在10 mK的超低温下, 对3D Transmon进行了基本的频域参数表征. 用Jaynes-Cummings^[26]读出方法找到了区分量子比特处于基态$\left| {\rm{0}} \right\rangle $, $\left| {\rm{0}} \right\rangle $与$\left| {\rm{1}} \right\rangle $的叠加态, 以及$\left| {\rm{0}} \right\rangle $, $\left| {\rm{1}} \right\rangle $和$\left| {\rm{2}} \right\rangle $的叠加态的最佳读出功率. 该方法与Novikov等^[23]所用方法不同的是, 仅需要给量子比特施加连续的微波激励信号, 而不需要对量子比特进行精准的时序测试, 从而降低了观测奥特-汤恩斯分裂效应的测试复杂度. 并研究了该量子系统在共振情况下和非共振情况下的奥特-汤恩斯分裂效应^[20], 实验与理论结果相符.

Transmon量子比特是由电荷量子比特并联大电容, 并与谐振腔相结合的一种超导量子比特, 其等效电路如图1所示. 由两个约瑟夫森结构成的电荷量子比特与谐振腔通过电容C_g耦合在一起.
图 1 Transmon量子比特等效电路图
Figure1. Equivalent circuit diagram of Transmon qubit.

设电荷量子比特的栅电压为V_g, 栅电容为C_g, 则栅电压吸引的库伯对数目为n_g = C_gV_g/2e, 库珀盒的总充电能为4E_C = (2e)²/2(C_J + C_g), 库珀盒的约瑟夫森能为E_J, 根据上述参数可写出电荷量子比特的哈密顿量H:

$\begin{split}H =\;& 4{E_{\rm{C}}}\sum\limits_n {{{\left( {n - {n_{\rm{g}}}} \right)}^2}} \left| n \right\rangle \left\langle n \right| \\&- \frac{{{E_{\rm{J}}}}}{2}\sum\limits_n {\big[ {\left| n \right\rangle \left\langle {n + 1} \right| + \left| {n + 1} \right\rangle \left\langle n \right|} \big]} ,\end{split}$

其中n为库珀对的数目, $\left| n \right\rangle $为粒子数算符. 构成电荷量子比特的约瑟夫森结较小, 其约瑟夫森能E_J远小于充电能${E_{\rm{C}}}$, 该量子比特对电荷噪声极为敏感, 很小的电荷噪声将会使得偏置点n_g发生较大变化, 给该量子比特并联大电容${C_{\rm{B}}}$, 使得${E_{\rm{C}}}$减小, ${E_{\rm{J}}}/{E_{\rm{C}}}$增大, 量子比特的能带变得更加扁平, 即对于同样的电荷噪声, 只会引起较小的n_g变化, 量子比特的抗电荷噪声能力显著增强. 较早的Transmon量子比特所用的谐振腔都是共面波导谐振腔^[6]. Transmon量子比特的哈密顿量由超导电荷量子比特推导得到, 本文所描述的Transmon量子比特是由一个约瑟夫森结构成的.
2011年, 耶鲁大学Paik等^[25]首次将Transmon量子比特与三维谐振腔耦合在一起, 构成了3D Transmon量子比特, 经测试发现, 3D Transmon量子比特在退相干时间方面具有非常好的表现, 非常适合用做量子力学、量子光学、原子物理、腔量子电动力学等方面的验证平台.
制作3D Transmon量子比特所用到的工艺主要为双角度蒸发工艺. 双角度蒸发工艺是制作约瑟夫森结的一种常用工艺, 其示意图如图2所示. 双角度蒸发工艺需要形成具有悬空结构的电子束胶, 即图2中标注的W部分, 制作开始时, 首先从一个角度蒸发第一层铝, 厚度为30 nm, 蒸发速率为0.2 nm/s, 接下来要进行氧化, 氧化条件能够决定量子比特的能级分布, 氧化完成后, 进行第二个角度的蒸发, 第二个角度蒸发铝的厚度要略大于第一个角度的厚度, 为了能够保证边缘的连接, 第二层铝的厚度为50 nm. 图2中的h和H分别为上下层电子束胶的厚度, W为悬空部分的宽度, X为约瑟夫森结的横向设计尺寸, M为电子束上层胶的开孔宽度, $\theta $为电子束蒸发的角度.
图 2 双角度蒸发工艺示意图
Figure2. Schematic diagram of double angle evaporation process.

根据几何关系可以列出方程:

$M - X = h\tan \theta ,$

$W + 2X + 2h\tan \theta = X + 2(h + H)\tan \theta .$

根据(2)式和(3)式, 在给定胶厚度h和H, 以及蒸发角度$\theta $的情况下, 可以设计任意尺寸的约瑟夫森结. 但在设计时需要注意的是, $\theta $一般不超过20°, 否则膜的均匀性就会受到影响.
本文制备的3D Transmon量子比特实物照片如图3(a)所示, 图3(b)与图3(c)是样品的SEM图片, 经测试表征, 该3D Transmon的基态$\left| {\rm{0}} \right\rangle $到第一激发态$\left| {\rm{1}} \right\rangle $的跃迁频率为${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$, 第一激发态$\left| {\rm{1}} \right\rangle $到第二激发态$\left| {\rm{2}} \right\rangle $的跃迁频率为${f_{12}} = 9.0120\;{\rm{ GHz}}$, 如图3(d)所示. 超导谐振腔的本征模态为${f_{\rm{C}}} = {8.108}\;{\rm{GHz}}$, 有载品质因子为${Q_{\rm{L}}} = 4.8 \times {10^5}$.
图 3 3D Transmon样品及能级分布
Figure3. 3D transmon sample and energy level distribution.

对3D Transmon量子比特的量子态读取常用的方法有色散读出法^[6]以及Jaynes-Cummings读出法. 色散读出法给超导谐振腔施加的读出信号功率较低, Jaynes-Cummings方法基于三维超导谐振腔奇异的非线性效应, 可直接在谐振腔的本征模态${f_{\rm{C}}}$处进行读出. 这种读出方法主要基于三维超导谐振腔对量子比特状态的“继承性”.
3D Transmon的频域测试系统如图4所示, 总体的测试系统设计按照输入衰减、输出放大的原则进行, 这样能够提供最大的信噪比. 3D Transmon安装在10 mK级. 微波源与网络分析仪的输出端口1通过功分器进入稀释制冷机, 稀释制冷机在不同的温度区域安装了衰减器, 输入信号从室温环境进入到样品衰减了39 dB, 在输出端安装了两个隔离器用于隔离输出放大器的噪声对3D Transmon的影响, 在4 K和室温下分别进行了两级放大.
图 4 3D Transmon的频域测试系统
Figure4. Frequency domain measurement system of 3D Transmon.

用图4所示的测试系统对3D Transmon量子比特的频域特性进行了扫描, 得到图5所示的结果.
图 5 网络分析仪变功率扫描S₂₁曲线
Figure5. S₂₁ curve of variable power scanning of network analyzer.

注意图5中的黄色部分, 当读出功率为–85 dBm时, 此时的谐振腔具有较大的传输系数, 当读出功率为–90 dBm时, 谐振腔的传输系数有所降低, 当读出功率为–95 dBm时, 谐振腔的传输系数几乎和噪底相同. 图5中8.06 GHz处传输曲线有一个较大的波谷, 这是由谐振腔的非线性效应造成的^[26].
对3D Transmon进行Jaynes-Cummings读出的测试系统在2014年发表的论文^[23]中进行了详细介绍. 给样品施加8.108 GHz的微波脉冲信号, 并变化微波功率, 得到图5中的黑色曲线, 该曲线反映出量子比特处于基态$\left| {\rm{0}} \right\rangle $时, 读出信号随输入信号功率的变化情况. 给量子比特施加与${f_{01}} \!=\! 9.2709\;{\rm{ GHz}}$相同的连续微波信号, 在8.108 GHz处进行读出功率扫描, 可得到图6(a)的红色曲线, 此时由于连续的微波信号作用, 量子比特处于$\left| {\rm{0}} \right\rangle $和$\left| {\rm{1}} \right\rangle $的叠加态, 当给量子比特施加非共振频率的微波激励信号7.2709 GHz时, 得到的曲线与没有任何微波激励信号的曲线完全相同. 对比三条曲线, 即可找出区分量子比特$\left| {\rm{0}} \right\rangle $和$\left| {\rm{1}} \right\rangle $状态的读出最佳功率点. 观测奥特-汤恩斯分裂效应, 涉及量子比特的三个能级, 因此需要寻找能够区分基态$|0\rangle $、第一激发态$|1\rangle $以及第二激发态$|2\rangle $的最佳读出功率点. 对量子比特分别施加${f_{{\rm{01}}}} \!=\! 9.2709\;{\rm{ GHz}}$的激励信号, 以及${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$与${f_{12}} \!=\! 9.0120\;{\rm{ GHz}}$的激励信号, 进行读出功率扫描, 得到如图6(b)所示的结果.
图 6 (a)区分两个量子态的读出功率的优化; (b)区分三个能态的最佳读出功率优化
Figure6. (a) Optimization of readout power for distinguishing two quantum states; (b) optimization for distinguishing three energy states.

当给样品施加${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$连续微波激励信号时, 量子比特处于$\left| {\rm{0}} \right\rangle $和$\left| {\rm{1}} \right\rangle $的叠加态, 当给样品施加${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$与${f_{12}} = 9.0120\;{\rm{ GHz}}$的连续微波激励信号时, 量子比特处于$\left| {\rm{0}} \right\rangle $, $\left| {\rm{1}} \right\rangle $和$\left| {\rm{2}} \right\rangle $的叠加态. 图6(a)中黑色箭头标出的位置, 就是最佳的读出功率点, 在该功率下, 可以很好地区分量子比特的三个最低能态, 从而进行奥特-汤恩斯分裂效应的观测.

1955年, Aulter和Townes利用OCS分子做实验发现^[27], 如图7所示, 给该分子同时施加两束角频率分别为${\omega _{\rm{C}}}$和${\omega _{\rm{P}}}$的信号, ${\omega _{\rm{C}}}$与量子比特$\left| {\rm{0}} \right\rangle $$\left| {\rm{1}} \right\rangle $的耦合拉比频率为Ω_C, ${\omega _{\rm{P}}}$与量子比特$\left| {\rm{1}} \right\rangle $$\left| {\rm{2}} \right\rangle $耦合的拉比频率为Ω_P, 可以发现, 当Ω_C逐渐增强时, $\left| {\rm{1}} \right\rangle $到$\left| {\rm{2}} \right\rangle $跃迁的单峰频谱将会劈裂为双峰结构, 也可称为缀饰态. 功率较强的耦合信号角频率${\omega _{\rm{C}}}$与原子能级差${\omega _{{\rm{ab}}}}$的失谐可表示为$\delta = {\omega _{\rm{C}}} - {\omega _{{\rm{ab}}}}$. 由于他们最早发现了这个量子光学效应, 因此这种劈裂称为奥特-汤恩斯分裂效应, 或称为动态Stark splitting效应.
图 7 奥特-汤恩斯分裂效应示意图
Figure7. Schematic diagram of ATS effect.

给3D Transmon同时施加${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$与${f_{12}} = 9.0120\;{\rm{ GHz}}$的信号, 保持${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$的信号较弱, 并在${f_{12}} = 9.0120\;{\rm{ GHz}}$附近进行频率扫描, 逐渐增强${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$信号的强度, 从而得到如图8(a)所示的奥特-汤恩斯分裂效应强度图.
图 8 3D Transmon量子比特的奥特-汤恩斯分裂效应　(a)奥特-汤恩斯分裂效应测试强度图; (b)奥特-汤恩斯分裂效应双峰间距与微波幅度的关系; (c)耦合信号功率为–30 dBm时的奥特-汤恩斯分裂效应曲线; (d)耦合信号功率为–20 dBm时的奥特-汤恩斯分裂效应曲线; (e)耦合信号功率为–10 dBm时的奥特-汤恩斯分裂效应曲线.
Figure8. ATS effect of 3D transmon qubit: (a) ATS test intensity diagram; (b) relationship between ATS peak spacing and microwave amplitude; (c) ATS curve at –30 dBm coupling signal power; (d) ATS curve at –20 dBm coupling signal power; (e) ATS curve at –10 dBm coupling signal power.

图8(a)中黄线标出的三个功率点分别为耦合信号功率为–30, –20和–10 dBm, 其二维图曲线如图8(c)—图8(e)所示, 可以明显看出, 当${f_{01}}$功率较低时, 扫描${f_{12}}$只能得到一个9.0120 GHz的谐振峰, 但是随着${f_{01}}$功率的增加, 扫描${f_{12}}$可以得到两个关于9.0120 GHz对称的谐振峰, 并且他们之间的距离随着功率增加而增加.
为了得到谐振峰的峰值与频率, 可通过洛伦兹曲线进行拟合, 双峰奥特-汤恩斯分裂效应曲线可通过两个洛伦兹曲线相加进行拟合. 图8(c)—图8(e)中的黑点为测试得到的原始数据, 红色曲线为洛伦兹拟合曲线, 用于拟合的公式为

$ \begin{split}y =\;& {y_0} + \frac{{2{A_1}}}{{\rm{\pi }}}\frac{{{w_1}}}{{4{{\left( {x - x{}_{c1}} \right)}^2} + w_1^2}} \\&+ \frac{{2{A_2}}}{{\rm{\pi }}}\frac{{{w_2}}}{{4{{\left( {x - x{}_{c2}} \right)}^2} + w_2^2}}, \end{split}$

其中${y_0}$为曲线的偏移, ${A_1}$与${A_{\rm{2}}}$反映洛伦兹峰与横轴包围的面积, ${x_{{\rm{c1}}}}$与${x_{{\rm{c2}}}}$是两个洛伦兹峰所在的位置, ${w_1}$和${w_{\rm{2}}}$表示两个洛伦兹峰的半高宽. 将不同功率下的${x_{{\rm{c1}}}} - {x_{{\rm{c2}}}}$与耦合信号的微波幅度绘制在一起, 得到如图8(b)所示的散点, 将这些散点进行线性拟合, 得到图8(b)中的曲线, 可以看出拟合效果很好, 这与奥特-汤恩斯分裂效应理论符合得很好.

只考虑小失谐情况下的奥特-汤恩斯分裂效应称之为共振情况下的奥特-汤恩斯分裂效应, 即耦合信号的失谐量$\delta $远小于${f_{{\rm{01}}}} = 9.2709\;{\rm{ GHz}}$与${f_{12}} = 9.0120\;{\rm{ GHz}}$, 当耦合信号有较大失谐时, 对探测信号进行扫描, 得到奥特-汤恩斯分裂效应的双峰会随着耦合信号失谐的不同而产生偏移, 形成免交叉结构. 免交叉结构形成的两条曲线是(5)式哈密顿量的两个本征值.

${{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{\rm{C}}}}&{{\varOmega _{\rm{C}}}/2} \\ {{\varOmega _{\rm{C}}}/2}&{{\omega _{{\rm{ab}}}}} \end{array}} \right].$

对该哈密顿量进行本征值求解, 可以得到

${\lambda _1} = \frac{1}{2}\left( {{\omega _{\rm{C}}} + {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right) + \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{\omega _{\rm{C}}} - {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2}, \tag{6a}$

${\lambda _{\rm{2}}} = \frac{1}{2}\left( {{\omega _{\rm{C}}} + {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right){\rm{ - }}\frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{\omega _{\rm{C}}} - {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2} .\tag{6b}$

在这种非共振情况下, 测量的时候扫描${\omega _{\rm{P}}}$, 双峰出现在${\omega _{\rm{P}}}$与缀饰态能级发生共振的时候, 此时测量得到的曲线应该满足方程:

$ \begin{split}{\lambda _{{\rm{M}}1}} =\;& {\omega _{{\rm{ab}}}} + {\omega _{{\rm{bc}}}} - \bigg[ \frac{1}{2}\left( {{\omega _{\rm{C}}} + {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right) \\&+ \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{\omega _{\rm{C}}} - \omega {}_{{\rm{ab}}}} \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2} \; \bigg], \end{split}\tag{7a}$

$ \begin{split}{\lambda _{{\rm{M2}}}} =\;& {\omega _{{\rm{ab}}}} + {\omega _{{\rm{bc}}}} - \bigg[ \frac{1}{2}\left( {{\omega _{\rm{C}}} + {\omega _{{\rm{ab}}}}} \right)\\&{\rm{ - }}\frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{\omega _{\rm{C}}} - \omega {}_{{\rm{ab}}}} \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2} \;\bigg]. \end{split}\tag{7b}$

图9(a)—图9(c)为非共振情况下的奥特-汤恩斯分裂效应测试强度图和拟合曲线, 这三个强度图对应的${\omega _{\rm{C}}}$功率分别为–20, –15与–10 dBm, 对应${\omega _{\rm{P}}}$的功率为–34 dBm. 图中黑色曲线是用(7a)式和(7b)式拟合的结果, 拟合时的参数为${\omega _{{\rm{ab}}}}/h = 9.2713\;{\rm{ GHz}}$, ${\omega _{{\rm{bc}}}}/h = 9.0125\;{\rm{ GHz}}$, h为普朗克常数.
图 9 非共振条件下的奥特-汤恩斯分裂效应免交叉测试强度图　(a)${\omega _{\rm{C}}}$的功率为–20 dBm; (b)${\omega _{\rm{C}}}$的功率为–15 dBm; (c)${\omega _{\rm{C}}}$的功率为–10 dBm
Figure9. Anticrossing intensity test diagram of ATS under non resonance condition: (a) Power of ${\omega _{\rm{C}}}$ is –20 dBm; (b) power of ${\omega _{\rm{C}}}$ is –15 dBm; (c) power of ${\omega _{\rm{C}}}$ is –10 dBm.

图9(a)—图9(c)对应的${\varOmega _{\rm{C}}}$拟合值分别为4.6, 8.5以及16.6 MHz, 可以看出测试曲线与拟合曲线符合得非常好.
实际上, 免交叉能级结构的两个能级对应的本征态是$\left| {{\rm{1}}, N} \right\rangle $和$\left| {{\rm{2}}, N} \right\rangle $态的叠加, 有如下形式:

$\cos \frac{\varTheta }{2}\left| {2,N} \right\rangle + \sin \frac{\varTheta }{2}\left| {1,N} \right\rangle ,$

其中, $\varTheta = {\tan ^{ - 1}}\left( {{\varOmega _{\rm{C}}}/2\delta } \right)$^[23], 当共振时, $\cos \dfrac{\varTheta }{2} = \sin \dfrac{\varTheta }{2} = \dfrac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{2}}}$, 探测到两个态的概率幅相等, 反映在能谱上就是两条强度相等的谱线结构.
非共振时, 有两种情况, 首先在免交叉左侧, 此时$\delta > 0$, 所以可以做如下变换:

$\begin{split}&\cos \dfrac{\varTheta }{2} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \varTheta }}{2}} = \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{2\delta }}{{\sqrt {{{\left( {2\delta } \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2} }}}}{2}} \\&> \sin \dfrac{\varTheta }{2} = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \varTheta }}{2}} = \sqrt {\dfrac{{1 - \dfrac{{2\delta }}{{\sqrt {{{\left( {2\delta } \right)}^2} + \varOmega _{\rm{C}}^2} }}}}{2}} .\end{split}$

从(9)式可以看出, 随着$\delta $的增加, 探测到$\left| {{\rm{2}}, N} \right\rangle $的概率将远大于$\left| {{\rm{1}}, N} \right\rangle $的概率, 所以能谱上只能看到频率较高的$\left| {{\rm{2}}, N} \right\rangle $态到$\left| {{\rm{c}}, N} \right\rangle $态的跃迁谱线.

本文制作了3D Transmon量子比特, 并对其基本参数进行了表征. 基于该量子比特最低的三个能级, 通过Jaynes-Cummings读出方法选取能够最大程度区分最低三个能级的读出功率, 对共振情况与非共振情况下的奥特-汤恩斯分裂效应进行了测试, 实验结果与理论结果符合得较好. 3D Transmon量子比特是一个人工原子与超导谐振腔的耦合平台, 人工原子的参数可通过微纳米加工手段进行修改, 超导谐振腔的谐振频率也可以设计, 因此可作为量子力学、量子光学以及腔量子电动力学的实验验证平台, 对部分其他量子系统中不容易实现的理论实验进行验证.
感谢日本NEC基础创新实验室Tsai J S提供的样品加工支持.